数学模型练习

《数学模型》考试题型填空题(16分) （基本概念）简答题(24分) （基本概念）计算题(60分)（基本计算）复习重点章节：Ch1.建立数学模型（基本概念）§1 数学建模的背景及重要意义；§2模型和数学模型的概念；§3数学建模的流程图、基本方法和步骤；§4数学模型的分类与特点；Ch2.初等模型（基本计算）§10量纲分析与无量纲化；Ch3.简单的优化模型（基本概念）§1存储模型§2生猪的出售时机；Ch4.数学规划模型（基本计算）§1奶制品的生产与销售；Ch5. 微分方程模型（基本概念及计算）§1传染病模型；§3正规战与游击战Ch6.稳定性模型（基本概念及计算）§1捕鱼业的持续收获；§2军备竞赛Ch7. 差分方程模型（基本计算）§1市场经济中蛛网模型Ch8.离散模型（基本概念）§1 层次分析模型；§2循环比赛的名次Ch9.概率模型（基本概念）§1传送系统的效率；§2 报童的诀窍；§3 随机存贮策略；典型题型1．建立数学模型的基本步骤为：模型准备、、、、、模型应用等.2．数学模型按照应用领域分类的数学模型名称有：人口模型、水资源模型、 、 、 等.3．每对顶点之间都有一条边相连的 称为竞赛图．4个顶点的竞赛图共有 种形式．4．求正互反矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法有： 、 、 ．5．写出5个按照建模目的分类的数学模型名称．6.写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称以及5个按照应用领域分类的模型名称. 答:按数学方法分类:初等模型,几何模型,微分方程模型,统计回归模型,数学规划模型7.有4支球队A 、B 、C 、D 进行单循环赛，比赛结果是这样的：A 胜B 和C ，B 胜C 和D ，C 胜D ，D 胜A.试给出这4支球队比赛对应的竞赛图或其邻接矩阵.它是否为双向连通图？并给出这4支球队的名次．答：这4支球队的竞赛图对应的邻接矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100011000110A ，它是双向连通的.； 令T e )1,,1,1( =，分别计算8,,3,2,1,)1()( ===-k e A s A s k k k .从而可得这4支球队A 、B 、C 、D 的名次为{（A ，B ），（D ，C ）}8.基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电影A 、电影B 、电影C 这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图.9. ．写出数学建模过程的流程图（10）开普勒第三定律可由万有引力定律得到.设行星运行的周期t 与其椭圆轨道长半轴l 、太阳与行星的质量m 、万有引力常数k 有关，试用量纲分析方法给出行星运行周期t 的表达式.（万有引力定律公式为：221rm m k f =）解：设t ,l ,m ,k 的关系为(f t ,l ,m ,k )=0.其量纲表达式为100][T M L t =，001][T M L l = ，010][T M L m =，2][-=LMT k 2L 2-M =213--T M L ,其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A= )()()()()()()(200111003010k m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧==-=+02y - y 0 y y 0y 3y 414342的基本解为)1,1,3,2(---=Y由量纲i P 定理 得 1132---=k ml t π. ∴ km l t 3λ=，其中λ是无量纲常数.10.雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1 [ρ]=L -3MT 0 [μ]=L -1MT -1 [γ]=LM 0T 0 [g ]=LM 0T -2其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()()(210010110011311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----齐次线性方程组Ay=0 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y得到两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(121-=πϕπ∴)(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.11．某糕点厂生产两种糕点产品：精制糕点和普通糕点，已知每千克精制和普通糕点的原料（面粉、生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的利润最大.解：为方便起见，设精制糕点和普通糕点的产量分别为10x 千克和10y 千克，糕点的利润为Z （千元），由题意得此问题的数学模型为：y x Z 23max +=s.t. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,01531222153y x y x y x y x模型的求解：用图解法.可行域为：由直线,0153:1222:153:3:21===+=+=+y x y x l y x l y x l 及组成的凸五边形区域.直线C y x l =+23:在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l 过32l l 与的交点时，Z 取最大值. 由⎩⎨⎧=+=+1531222y x y x 解得：23,29==y x ，5.16232293max =⨯+⨯=Z （千元）.故生产精制糕点和普通糕点分别为45千克和15千克，糕点的利润为16.5（千元）.（11）一食品加工厂用牛奶生产21,A A 两种产品，1桶牛奶可以在甲设备上有12小时加工成3公斤1A ，或者在乙设备上有8小时加工成4公斤2A ，每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480个小时，并且甲设备每天至多能加工100公斤1A ，而乙设备的加工能力没有限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大.12．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y kk k -+-=-++ --------------------（1）0,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3）（1）代入（3），可得)2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（5） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（6） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．（12）. 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)3132(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品价格k y 的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)3132(11-++=k k k y y g x . 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)(00>--=-ααx x y y k k （1）0,)3132(0101>-+=--+ββy y y x x k k k （2）从上述两式中消去k x 可得,2,1,)1(323012=+=++++k y y y y k k k αβαβαβ， （3）上式是我们所建立关于商品价格k y 的差分方程模型，且是二阶线性常系数差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的特征方程0232=++αβαβλλ容易算出其特征根为612)2(222,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ≥3时，显然有333)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（5） 从而2λ ≥1，2λ在单位圆外．下面设3<αβ，由(5)式可以算出 32,1αβλ=．要使特征根均在单位圆内，即2,1λ1 ，必须 3<αβ．故0P 点稳定平衡条件为 3<αβ．13．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;（2）．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,并求此时渔场鱼量水平*0x . 解：（1）.)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即 02=+-h rx x N r ----（1）)4(42Nh r r N rh r -=-=∆ ，（1）的解为：2412,1NrNhN x -±=① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点；②当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20N x =. Nrx r N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx∴0x 不稳定；③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：2411rNh N N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x ， 22Nx ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.（2）．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max N x rx h -=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2N.（13）试求Gompertz 模型：()Ex xNrx dt t dx -=ln 的非零平衡点，并讨论其稳定性． (P178页 ) 其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同设渔场鱼量的自然增长服从这个模型,又单位捕捞量为Ex h =.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x (.xNrx t xln )(= ) 解：（1）)(t x 变化规律的数学模型为Ex xNrx dt t dx -=ln )( 记Ex x N rx x f -=ln )( ，令0)(=x f ，即 Ex xNrx -ln ＝0得到两个平衡点：（如图所示）rE Ne x -=0，01=x可证0x 稳定，01=x 不稳定（与E ，r 的大小无关）.E r xNr x f --=ln)(' 0)(0'<-=r x f ， x∞=)(1'x f eN 0x N（2）最大持续产量的数学模型为：max h ＝Ex s.t. 0,0ln≠=-x Ex xNrx ∴ rEENe h -= rE r E e rEN Ne dE dh ---=由0=dE dh ，得E r m = ，故最大持续产量erNh m =此时捕捞强度E r m =，渔场鱼量水平eN x =*0.（记 Ex xN rx x F -=ln)( 令()0=x F ，得0ln =-Ex x Nrx∴非零平衡点为rENex -=0． 又 ()E r xN r x F --=ln'，()00'<-=r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的.）.14. 考虑某地区传染病问题，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为单位.将人群分为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i ，又设每个病人每天有效接触的平均人数是λ.试建立描述()t i 变化的数学模型，并作出i dtdi~图形.。