分式的概念和运算
分式的知识点总结
分式的知识点总结一、分式的基本概念1. 分式的定义：分式是由一个整数（分子）与另一个非零整数（分母）用分数线（也称为分子线）相连所构成的数，通常表示为 a/b（a为分子，b为分母）。
2. 分式的分类：根据分母的情况，分式可以分为真分式、假分式和带分数。
真分式的分子比分母小，假分式的分子比分母大，带分数由整数部分和真分数部分组成。
3. 分式的性质：分式的分子和分母都可以乘以（或除以）同一非零数，而不改变其值；分式的分子和分母互换位置，得到的新分式称为倒数；两个分式相乘，分子相乘，分母相乘；两个分式相除，分子相除，分母相除。
这些性质都是分式运算中的基本规律，对于分式的计算和化简有着重要的作用。
二、分式的运算1. 分式的加减法：要进行分式的加减法，首先需要找到它们的公分母，然后分别对分子进行相应的加减操作，最后将结果化简为最简分式。
如果分式的分母不同，可以通过通分的方式将它们转化为相同分母后进行计算。
2. 分式的乘法：分式的乘法是将分式的分子相乘，分母相乘，然后将结果化简为最简分式。
如果有字数相同的多个分式相乘，也可以先将它们的分子和分母分别相乘，最后将所有结果相乘得到最终结果。
3. 分式的除法：分式的除法是将两个分式相除，即将第一个分式乘以第二个分式的倒数，然后化简为最简分式。
三、分式的应用1. 代数中的分式：在代数中，分式可以用来表示多项式中的系数和字母之间的比值关系，例如多项式的根、系数、因式分解等都涉及到分式的计算和化简。
2. 几何中的分式：在几何中，分式可以用来表示两个线段或面积的比值，例如在相似三角形或相似图形中，就可以利用分式来表示相似比例。
3. 概率中的分式：在概率中，分式可以用来表示事件的发生概率，例如事件发生的次数与总次数之间的比值就可以用分式表示。
综上所述，分式是数学中重要的概念之一，它不仅具有基本的定义和运算规律，还在各个数学领域中有着广泛的应用。
熟练掌握分式的相关知识和运算方法，对于学习代数、几何和概率等数学课程都具有重要的意义。
分式的概念、性质及运算
分式的概念和性质要点一、分式的概念一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x y x是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b b a a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】1. 下列各式中，m 取何值时，分式有意义？（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239m m --．2. 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为___________________.3. 当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负数？4. 填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c --=----．【变式1】将下列各式约分：（1）23412ax x ；（2）243153n n x y x y+-；（3）211a a --；（4）321620m m m m -+-．【变式2】将下列各式通分：（1）4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211x -．（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．5. 若2x y =-，求22222367x xy y x xy y----的值．要点七、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⋅=，其中a b cd 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点八、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a ba b a bb b b---⎛⎫=≠⎪⎝⎭.6、计算：(1)422449158a b xx a b；(2)222441214a a aa a a-+--+-．7、计算：(1)222324a b a bc cd-÷；(2)2222242222x y x yx xy y x xy-+÷+++．8、计算：（1）432xy⎛⎫⎪-⎝⎭；（2）323a bc⎛⎫⎪-⎝⎭．9、计算：（1）23422x y yy x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）222223()a b aba abb b a⎛⎫-⎛⎫÷+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．。
分式的认识与计算
分式的认识与计算分式是数学中常见的表达形式之一，它由分子和分母组成，分子位于分式的上方，分母位于分式的下方，中间以一条水平线分隔。
本文将从分式的基本概念开始，介绍分式的计算方法以及一些常见的应用场景。
一、基本概念分子和分母：分式的分子表示被除数，分母表示除数。
例如，分式3/4中，3为分子，表示被除数；4为分母，表示除数。
真分数和假分数：当分子小于分母时，分式被称为真分数；当分子大于或等于分母时，分式被称为假分数。
例如，1/2是真分数，3/2是假分数。
带分数：由整数和分数部分组成，整数部分表示整数部分，分数部分表示真分数。
例如，1 1/2是带分数，由整数1和真分数1/2组成。
二、分式的计算方法1. 分式的加减法分式的加减法遵循找到相同的分母，然后将分子进行加减运算的原则。
具体步骤如下：（1）找到相同的分母；（2）将分子进行加减运算；（3）结果的分子作为新分式的分子，分母保持不变。
2. 分式的乘除法分式的乘除法遵循分式乘法和分式除法规则。
具体步骤如下：（1）分式乘法：将分子相乘作为新分式的分子，分母相乘作为新分式的分母；（2）分式除法：将第一个分式的分子与第二个分式的倒数（即分子与分母交换）相乘，作为新分式的分子，将第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘，作为新分式的分母。
三、分式的应用场景1. 比例问题分式在比例问题中有着广泛的应用。
例如，若某商品原价为100元，打8折后的售价可表示为100*(1-8/10)。
2. 方程问题分式也常出现在解方程的过程中。
例如，将一个未知数表示为分式形式，然后通过分式的计算方法解方程。
如：2/x = 3/(x+1)，可以通过分式的乘法和化简等步骤来求解。
3. 财务问题分式在财务问题中的运用也十分广泛，如货币换算、利率计算、股票涨跌幅计算等。
例如，假设某股票的涨幅为5%，而你持有的股票数量为500股，可以通过分式计算出涨幅所带来的收益。
四、总结分式是数学中常见的表达形式，广泛应用于实际问题的解决中。
分式知识点总结及复习
分式知识点总结及复习分式是数学中一个重要的概念，也是许多人在学习数学时感到困惑的内容之一。
本文将对分式的基本概念、运算法则以及应用进行总结与复习，帮助读者更好地理解和掌握分式知识。
一、基本概念分式由分子和分母两部分组成，分子表示分数的被除数，分母表示分数的除数。
分数的值可以是整数、小数或者其他分数。
下面是分式的基本概念：1. 真分数：分子小于分母的分数称为真分数，例如1/2、3/4等。
2. 假分数：分子大于或等于分母的分数称为假分数，例如5/2、7/3等。
3. 常分数：分子为0的分数称为常分数，其值为0。
二、分式的四则运算分式的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面是各种运算的规则和注意事项：1. 加法与减法：- 分式加减法的前提是分母相同，如果分母不同，则需要找到它们的最小公倍数来进行通分。
- 计算分子时，加法取分子相加，减法取分子相减。
- 结果的分子不一定能被整除，可能需要进行约分。
2. 乘法：- 分式乘法直接将分子相乘，分母相乘。
- 结果的分子和分母都需要化简，即约分。
3. 除法：- 分式除法可以转化为乘法求逆的问题，即将被除数的分子和除数的分母互换位置，然后进行乘法运算。
- 运算结束后需化简结果。
三、分式的应用分式在实际问题中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 比例问题：当我们需要比较两个量的大小、计算比例或者解决比例问题时，常常会使用到分式。
2. 混合运算：在一些复杂的算术题中，可能会出现含有分式的运算，我们需要根据题目要求进行正确的计算和化简。
3. 高等数学中的应用：在微积分、线性代数等高等数学中，分式经常用于表示函数、方程组等，是一种重要的数学工具。
四、分式知识点的复习为了更好地巩固分式的知识，建议读者可以通过以下方法进行复习：1. 多做练习题：选择一些分数相关的练习题，分情况进行分类练习，逐步提高解题能力。
2. 总结归纳：将每个知识点进行总结和分类，形成自己的知识框架，并根据实际问题进行思考和应用。
分式与分式知识点总结
分式与分式知识点总结一、分式的定义在数学中，分式是指一个数与另一个不为零的数相乘或相除所得的结果。
一个分数通常包括两个数，分子和分母。
分子是分数的上部，分母是分数的下部。
分式的表示形式为a/b，其中a是分子，b是分母，a和b都是整数，b≠0。
分式也可以是代数式，例如x/y，其中x和y是代数式，y≠0。
分式还可以表示一个整数与一个分数的和，例如3+1/2。
二、分式的化简对于一个分式，如果分子和分母有公因子，就可以对分式进行化简。
化简分式的目的是将分数表示为最简形式，使得分子和分母互质。
化简分式的方法是找出分子和分母的公因子，然后约去这些公因子，得到最简分式。
例如，对于分式6/12，分子和分母都可以整除2，所以可以化简为1/2。
三、分式的运算1. 分式的加减法分式的加减法是将两个分式相加或相减得到另一个分式。
分式的加减法要求分母相同，因此需要先将分母化为相同的形式，然后再进行加减操作。
例如，分式1/2 + 1/3，将分母统一为6，然后分别将分子相加，得到5/6。
2. 分式的乘法分式的乘法是将两个分式相乘得到另一个分式。
分式的乘法只需将分子相乘，分母相乘，然后再进行化简即可。
例如，分式1/2 * 1/3，相乘得到1/6。
3. 分式的除法分式的除法是将一个分式除以另一个分式得到另一个分式。
分式的除法可以转化为乘法，即a/b÷c/d=a/b * d/c。
四、分式的求值对于一个分式，可以通过代入具体的数值来求解分式的值。
计算分式的值需要注意分母不为0，否则分式无意义。
例如，分式2/3的值是2/3，分式表示的是2除以3，所以分式的值为2/3。
五、分式的应用分式在数学中有广泛的应用，特别是在代数、几何和统计学中。
1. 代数中的分式应用在代数中，分式经常用来表示未知数，比如x/y，其中x和y都是未知数，可以表示为一个分式，用来解方程或者表示函数的值。
2. 几何中的分式应用在几何中，分式经常用来表示比例关系，比如两条线段的比例、两个面积的比例等。
分式的知识点总结
分式的知识点总结分式是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
掌握分式的知识对于数学学习以及实际生活中的应用都具有重要意义。
本文将总结分式的相关概念、性质以及常见的运算方法，以帮助读者更好地理解和应用分式。
一、分式的基本概念分式由分子和分母两部分组成，用分数线隔开，分母不能为零。
分式可以表示一个有理数或未知数的比例关系。
通常表示为：a/b，其中a称为分子，b称为分母。
二、分式的类型1. 真分式：分式的分子小于分母的分式，例如：2/3。
2. 假分式：分式的分子大于等于分母的分式，例如：5/4。
3. 带分数：由整数和真分式组成的分数，例如：1 3/5。
三、分式的化简与约分化简分式是将分子和分母中的公因式约去，使得分子和分母没有其他公因式的过程。
约分是将分子和分母中的公因式约去，使得分子和分母互质的过程。
四、分式的运算1. 分式的加法和减法：分式的加法和减法的运算方法相同：①将分式化为通分分式；②对分子进行加、减运算，分母保持不变；③化简结果（如果需要）。
2. 分式的乘法：两个分式相乘时，将分子乘以分子，分母乘以分母，然后化简结果（如果需要）。
3. 分式的除法：两个分式相除时，将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子，然后化简结果（如果需要）。
五、分式方程的解法1. 清除分母法：将方程两边的分式的分母去掉，得到一个整式方程；解这个整式方程，找到方程的解；检验这些解是否满足原方程。
2. 相乘法：将方程中的分式两边同时乘以一个适当的整式，消去分式得到一个整式方程；解这个整式方程，找到方程的解；检验这些解是否满足原方程。
六、分式在实际生活中的应用1. 财务计算：分式用于计算各种财务比例，如股息率、盈利能力等；2. 比例问题：分式用于解决比例关系的各种问题，如物件的分配、速度比较等；3. 科学计算：分式用于科学实验和研究中的测量、计算等；4. 经济学：分式用于解决经济学中的各种问题，如经济增长率、通货膨胀率等。
分式知识点归纳总结
分式知识点归纳总结一、基本概念1. 分式的定义分式是由分子和分母组成的表达式，分子和分母都是整式。
通常写作a/b的形式，其中a为分子，b为分母，b不为0。
例如：3/4，7x/5y等都是分式。
2. 分式的分类根据分子和分母的形式，分式可以分为以下几类：a) 真分式：分子的次数小于分母的次数，例如：2/3。
b) 假分式：分子的次数大于或等于分母的次数，例如：x^2+1/x。
c) 反比例函数：分子和分母中都含有变量，例如：x/y。
3. 分式的性质a) 若分子和分母互换位置，分式的值不变，这就是分式的对称性质。
b) 分式的值只有在分母不为0时才有定义，即分式的定义域是除了分母为0的所有实数。
二、分式的化简1. 分子分母的最小公因式分式的化简首先要找出分子分母的最小公因式，然后进行约分。
例如：将分式6x^2y/9xy化简为2x/3。
2. 分式的通分当分母不同时，可以通过通分将分母变为相同的多项式，从而进行比较、运算。
例如：将1/2+2/3进行通分，得到3/6+4/6=7/6。
3. 整式转化为分式可以将整式转化为分式，只需将分子为整式，分母为1的形式即可。
例如：将5x^2+3x+1转化为分式为(5x^2+3x+1)/1。
三、分式的运算1. 分式的加减法分式的加减法需要先进行通分，然后对分子进行加减，最后合并分子。
例如：(2/3)+(3/4)，首先通分为8/12+9/12=17/12。
2. 分式的乘法分式的乘法是将分子乘以分子，分母乘以分母，然后进行约分。
例如：(2/3)*(3/4)=6/12=1/2。
3. 分式的除法分式的除法需要将除号改为乘以被除数的倒数，然后进行乘法运算。
例如：(3/4)÷(2/3)=(3/4)*(3/2)=9/8。
四、分式的应用1. 分式的实际问题在实际问题中，分式常用于解决各种比例、速度、浓度等问题，可以帮助我们解决生活中的实际问题。
2. 分式与方程分式的化简与运算经常用于解决各种方程，需要将方程中的分式进行合并、化简、求值等操作。
分式基本概念及计算
2．要使分式
5．若分式
b2 1 的值为 0，则 b 的值为 b 2 2b 3
．
三、解下列各题 ----------------------------------1 x2 2x 1．计算 2 ． x 4 x 2 x 1
2．计算
1 1 x y x y． 2x x y 2x
x3 x 1 x 1 3．计算 ． 2 x 1 x 2 x 4x 4
003
a a (a 1)(a 2) 4．计算 2 ． 2 a 4a 4 a 2a a 2
四、解下列各题 ----------------------------------1．计算 1 1 2 4 ． 2 1 x 1 x 1 x 1 x4
则abc ．
3．化简
1 1 1 1 ． x( x 1) ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x 99)( x 100)
4．已知 A
12 22 22 32 32 42 10042 10052 10052 10062 ，那 1 2 23 3 4 1004 1005 1005 1006
习题
一、判断命题 -----------------------------------下列四个命题：
002
分式（一）——基本概念及计算 （1）含有分子和分母的代数式就是分式； （2）分母中含有字母的式子一定是分式； 1 是分式； （3） 2π 1 （4） 不是分式． 1 x x 其中，正确的有 个．
2．计算
1 1 2a 4a 3 2 ． a b a b a b2 a4 b4
4、分式的概念、性质及运算-培优 数学张老师
4、分式的概念、性质及运算分式(fraction)包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容． 从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”，在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分(changing fractions tO a common denom —inator)和约分(reduction of a fraction)是技巧性较强的工作，需要灵活处理．分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具，分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有： 1．化整为零，分组通分；2．步步为营，分步通分；3．减轻负担，先约分再通分； 。
4．裂项相消后通分等．【例l 】(1)当m= 时，分式23)3)(1(2+---m mm m 的值为零；(2005年杭州市中考题)(2)要使分式||||11x x -有意义，则x 的取值范围是(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(2)，当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密．【例2】已知a+b+C=0，,4111-=++cb a 那么222111cba++的值为( )．A ．3B ．8C ．16D ．20 。
(2006年“CASl0杯”武汉市选拔赛试题)思路点拨由222222)1()1()1(111Cb a cba++=++想到完全平方公式． 【例3】计算下列各式： ;4211)1(44322b a a ba a ba ba ⋅++++++- ;)()()()2(222222xyz y x z xy z zxy x z y zxy yzx z y x yz x ---+++++-+--++⋅(第12届“五羊杯”竞赛题);1)1(212211221)3(22233233-+--+-+++++-x x x x x x x x x x(江西省赣州市竞赛题)⋅+--+--+-+-+--+-++---)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())(()4(z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z x y x z y x x z x y(安徽省马鞍山市竞赛题)思路点拨 因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．对于(1)，分步通分；对于(2)，拆项再通分；对于(3)，先约分再通分；(4)注意到分母与分子的项与项之间的关系，如．x —2y+z=(x —y)一(y —z)，采用换元法简化式子．【例4】 已知,1)1(112222-++⋅=--+x C xB xA x x x x 其中A 、B 、c 为常数．求A+B+c 的值．． (第17届“五羊杯”竞赛题) 思路点拨将右边通分，比较分子，建立A 、B 、C 的等式．【例5】 (1)n 为自然数，著n+6︱n 3+1996，则称n 为1996的吉祥数，如4+6︱43+1996，4就是l996年的一个吉祥数．试求l996年的所有吉祥数的和；(北京市竞赛题) (2)计算：⋅+-++-+++-++-500099009999500010050002002250001001122222222k k k． (上海市“宇振杯”竞赛题)思路点拨(1)由于n3 + 1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问题转化为一个分式的问题来解决，是解本例的b键；(2)首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算．1．(1)若使分式aaa Z23114++- 没有意义，则a 的值为(2)若,32=a 则1273222+---a a a a 的值等于(2005年天津市中考题)2．已知,511=+yx则=+++-yxy x y xy x 2252(第16届“希望杯”邀请赛试题)3．已知22-+x b x a 与的和等于,442-x x 则a= ，b=(山东省竞赛题)4．学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖 品；若以l 枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买 枝． (江苏省镇江市中考题) 5．已知式子1||)1)(8(-+-x x x 的值为零，则2的值为( )．A ．±lB ．一lC ．8D ．一l 或8(第15届江苏省竞赛题) 6．计算：22224421b ab a ba ba ba ++-÷+--的结果是( )． ba b A +.ba b B +-. ba a C +.ba a D +-..(2005年河南省竞赛题)7．若x 取整数，则使分式1236-+x x 的值为整数的x 的值有( )．A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个(第17届江苏省竞赛题)8．若a 、b 、C 满足a+b+c=0，abc=8，则cb a 111++的值是( )．A ．正数B ．负数C ．零D ．正数或负数 、(第13届“希望杯”邀请赛试题) 9．化简下列各题：;12).2142)(1(2-+---x x x x x(2004年陕西省中考题));2.(121)2(y x xy x yx x--++-(2005年苏州市中考题)(3)请将下面代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数代入求值：⋅--++-11)1(22a a a a(2005年安徽省中考题) 10．甲、乙两个公司用相同的价格购粮，他们各购两次，已知两次的价格不同，甲公司每次购粮1万千克，乙公司每次用l 万元购粮，那么两次平均价格较低的是哪个公司?(第16届“希望杯”邀请赛试题)11．若,1321161814121218168232xxxxxxxa ++++++++++-=-则a 的值是 ．(2005年河南省竞赛题)12．若关于x 的方程122-=-+x a x 的解为正数，则a 的取值范围是 ．(湖北省选拔赛试题)13．代数式1112++=x x y 的值为整数的全体自然数x 的和是(2005年全国初中数学联赛题)14．已知612602-+a a是正整数，则正整数a=(第14届“希望杯”邀请赛试题)15．设a 、b 、c 均为正数，若,ac b cb a ba C +<+<+ 则a 、b 、C 三个数的大小关系是A ．c<a<bB ．b<c<口C ．a<b<cD ．c<b<a 16．计算))(())(())((b c a c c a b c b b c a b a a --+--+--的值是( )．))((2.c a b a a A -- ))((2.c b b a b B -- ))((2.c b c a c C -- 0.D(2004年河北省竞赛题)17．分式221012622++++x x x x 可取的最小值为( )．A ．4B ．5 ．C ．6D ．不存在 18．设有理数a 、b 、C 都不为零，且a+b+C=0，则+-++-+22222211ba c ac b 2221cb a -+的值是( )．A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定(2004年重庆市竞赛题)19．计算下列各题：;1814121111)1(842+-+-+-+--x x x x x;1113421793)2(2322-++---+-+++x x x x x x x x x⋅+---++----+---abbc ac c ba acab bc b a c bc ac ab a cb 222)3(20．某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的n 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的C 倍，求11111+++++c cb a 的值．(江苏省竞赛题)21．已知正整数n 大于30，且使得4n--1整除2002n ，求n 的值．(第14届“五羊杯”邀请赛试题)22．已知,321)3)(2)(1(60++-++=+-+x C x B x A x x x 其中A 、B 、C 为常数，求A+B+C 的值．(第16届“五羊杯”邀请赛试题) 答案：。
分式的概念及基本性质 分式的运算
分式的概念及根本性质分式的运算一. 知识精讲及例题分析〔一〕知识梳理1. 分式的概念形如AB〔A、B是整式，且B中含有字母，B≠0〕的式子叫做分式。
其中A叫分式的分子，B叫分式的分母。
注：〔1〕分式的分母中必须含有字母〔2〕分式的分母的值不能为零，否则分式无意义2. 有理式的分类3. 分式的根本性质分式的分子与分母都乘以〔或除以〕同一个不等于零的整式，分式的值不变。
A BA MB M=⨯⨯，ABA MB M=÷÷〔M为整式，且M≠0〕4. 分式的约分与通分〔1〕约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
步骤：①分式的分子、分母都是单项式时②分子、分母是多项式时〔2〕通分：把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定根底。
通分的关键是精确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母全部因式的X次幂的积。
求最简公分母的步骤：①各分母是单项式时②各分母是多项式时5. 分式的运算〔1〕乘除运算〔2〕分式的乘方〔3〕分式的加减运算〔4〕分式的混合运算【典型例题】例1. 以下有理式中，哪些是整式，哪些是分式。
ab a 2，1x，a3，--xx y，x+1π，14()x y-，1ya b()+，12a-例2. 以下分式何时有意义〔1〕xx-+12〔2〕11||x-〔3〕412xx-〔4〕xx x22+例3. 以下分式何时值为零以下各式中x为何值时，分式的值为零？〔1〕433xx+〔2〕xx-12〔3〕212--+||()()xx x1. 填空。
〔1〕x x xy y +=≠10()() 〔2〕3222xy x xx -=-()〔3〕x y x y x y x y -+=--≠()()22〔4〕a ab ab a b2-=-()2. 不改变分式的值，将以下分式的分子、分母中的系数化为整数。
〔1〕0300205...x yx y+-〔2〕13141223x yx y -+ 例5. 约分〔1〕-215635210a b ca b d〔2〕31263ab a b a b a ()()-- 〔3〕x x x 22444-+-〔4〕()()()()32322532222a a a a a a a a ---+-+ 例6. 通分：〔1〕345612222a b b c ac ，，- 〔2〕x x x x x x++---22223842，，例7. 分式运算1. 计算：〔1〕-⨯-a b c cd ab 22365()； 〔2〕a a a a a a 2327844324+--⨯-+ 〔3〕x xy y xy y xy y x xy y 22222222++-÷+-+ 〔4〕()ab b a b a b -÷-+2222. 计算：〔1〕()()()-⋅-⋅-a b a b 8761； 〔2〕()()()-⋅-÷--x yy x y x 22234 3. 计算：1111212x x x --+-+ 4. 计算：111a a +-- 5. 计算：()a a a aa a a +-+-÷+-+141233222 6. 计算：14413212222-++÷-⋅++-x x x x x x x () 7. 计算：11122x yx y x y -÷++-() 例8. 能力提高题1. 已知x x 2310-+=，求x x221+的值。
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分式的概念和运算
分式作为数学中的重要概念，在实际生活和学习中都有着广泛的应用。
它可以帮助我们更好地理解和处理各种比例关系和分配问题。
本
文将从基本概念、分式的运算规则和应用几个方面，对分式进行详细
的阐述。
一、基本概念
1. 分式的定义
分式是指以“分子/分母”的形式表示的数，其中分子与分母均为整数，分母不等于零。
分子表示被分割的数量，分母表示整体的数量。
2. 分子与分母的含义
分子表示分割出的部分数量，分母表示整体的数量。
例如，若将一
个馅饼平均分给3个人，则分子为1（表示每个人份的馅饼数量），分
母为3（表示总共有3个人）。
3. 分数与分式的关系
分数是分式的一种特殊形式，它是指分子比分母小的分式。
例如，
1/2、2/3都是分数，也是分式。
可以说所有的分数都是分式，但不是所有的分式都是分数。
二、分式的运算规则
1. 分式的乘法和除法
分式的乘法：两个分式相乘时，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
例如：2/3 × 3/4 = (2 × 3) / (3 × 4) = 6/12
分式的除法：两个分式相除时，将被除数的分子与除数的分母相乘得到新的分子，将被除数的分母与除数的分子相乘得到新的分母。
例如：2/3 ÷ 3/4 = (2 × 4) / (3 × 3) = 8/9
2. 分式的加法和减法
分式的加法：两个分式相加时，首先找到两个分式的公共分母，然后将各自的分子相加得到新的分子，分母保持不变。
例如：1/2 + 1/3 = (1×3 + 1×2) / 2×3 = 5/6
分式的减法：两个分式相减时，首先找到两个分式的公共分母，然后将各自的分子相减得到新的分子，分母保持不变。
例如：1/2 - 1/3 = (1×3 - 1×2) / 2×3 = 1/6
三、分式的应用
1. 比例关系
分式可以用来表示比例关系。
例如，若甲乙两人分别需要10个和15个苹果，用分式表示则分别为10/25和15/25。
由此可知，甲乙两人所需苹果的比例为10:15。
分式让比较、分析比例关系更加直观。
2. 分配问题
分式可以用来解决各种分配问题。
例如，某公司年度总奖金为10
万元，按照员工的工作时间比例分配，甲乙两人工作时间分别是3小
时和5小时，那么甲乙两人可得到的奖金分别为3/8 × 10万元和5/8 ×
10万元。
3. 面积和体积计算
在几何学中，许多面积和体积的计算问题可以使用分式解决。
例如，圆的面积公式为πr²，其中r表示半径，若要计算半径为3的圆的面积，则可以使用分式π(3²)。
4. 科学计算
在科学计算中，分式被广泛应用于各种公式和方程的推导和计算中。
例如，牛顿第二定律F=ma中，若要求加速度a，则可以使用分式
a=F/m。
总之，分式的概念和运算是数学中的重要内容，我们应该熟练掌握
分式的定义、运算规则和应用，以便在实际问题中能够准确地运用分
式进行计算和分析。
通过深入理解分式的概念和运算，我们能够更好
地应对生活和学习中的各种分数、比例和分配问题，提高数学思维能
力和解决问题的能力。