川师大学物理第十章-静电场中的导体和电介质习题解

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__________________________________________________ 第十章 静电场中的导体和电介质

10–1 如图10-1所示，有两块平行无限大导体平板，两板间距远小于平板的线度，设板面积为S，两板分别带正电Qa和Qb，每板表面电荷面密度1= ，2= ，3= ，4= 。

解：建立如图10-2所示坐标系，设两导体平板上的面电荷密度分别为1，2，3，4。由电荷守恒定律得

12aSSQ （1）

34bSSQ （2）

设P，Q是分别位于二导体板内的两点，如图10-2所示，由于P，Q位于导板内，由静电平衡条件知，其场强为零，即

3124000002222PE （3）

3124000002222QE （4）

由方程（1）~（4）式得

142abQQS （5）

232abQQS （6）

由此可见，金属平板在相向的两面上（面2，3），带等量异号电荷，背向的两面上（面1，4），带等量同号电荷。

10–2 如图10-3所示，在半径为R的金属球外距球心为a的D处放置点电荷+Q，球内一点P到球心的距离为r，OP与OD夹角为，感应电荷在P点产生的场强大小为 ，方向 ；P点的电势为 。

+Q

D P

R 

a O r

图10–4 x P Q QQ图10-2 QQ图10-1

+Q

D P

R 

a O r

图10-3 __________________________________________________

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解：（1）由于点电荷+Q的存在，在金属球外表面将感应出等量的正负电荷，距+Q的近端金属球外表面带负电，远端带正电，如图10-4所示。P点的场强是点电荷+Q在P点产生的场强E1，与感应电荷在P点产生的场强E2的叠加，即EP=E1+E2，当静电平衡时，EP=E1+E2=0，由此可得

21r2204π(2cos)QararEEe

其中er是由D指向P点。

因此，感应电荷在P点产生的场强E2的大小为

22204π(2cos)QEarar

方向是从P点指向D点。

（2）静电平衡时，导体是等势体。P点的电势VP等于球心O点的电势VO。而由电势叠加原理，球心O点的电势VO是由点电荷+Q在该点的电势V1和感应电荷在该点的电势V2的叠加，即

12POVVVV

其中，点电荷+Q在O点的电势V1为

104πQVa

由于感应电荷是非均匀地分布在导体球外表面，设球面上面积元dS处的面电荷密度为，则它在球心的电势为0d4πSR，考虑球的半径是一常量，故整个球面上的感应电荷在球心O点产生的电势为

200d1d4π4πSSSVSRR

由电荷守恒可知，感应电荷的代数和d0SS。因此

201d04πSVSR

所以，P点电势为

120004π4πPOQQVVVVaa

10–3 如图10-5所示，三个无限长、半径分别为R1，R2，R3的同轴导体圆柱面。A和C接地，B带电量为Q，则B的内表面的电荷Q1和外表面的电荷Q2之比为 。

解：三个导体圆柱面构成两个圆柱形电容器，电容分别为

12012πlnBABAQRCLVVR

A B C

图10–5 __________________________________________________

__________________________________________________ 32022πlnBCBCRQCLVVR

由于A和C接地，则BABCVVVV，因此

211322lnlnRQRRQR

10–4 一平行板电容器，充电后断开电源，然后使两极板间充满相对介电常数为r的各向同性均匀电介质，此时电场能量是原来的 倍。如果在充入电介质时，电容器一直与电源相连，能量是原来的 倍。

解：一平行板电容器，充电后断开电源，其电荷量不变，根据电容器能量公式2e2qWC，可得电容器充入电介质后的能量W´与充入电介质前的能量W之比为

eerr1WCCWCC

若电容器一直与电源相连，电容器电压不变，根据公式212WCV，可得

erreWCCWCC

10–5 一平行板电容器两极板间电压为V，其间充满厚度为d，相对介电常数为r的各向同性均匀电介质，则电介质中的电场能量密度we= 。

解：电介质内场强为VEd。故电介质中的电场能量密度为

2220re0r211222VVwEdd

10–6 如图10-6所示，真空中有一点电荷q，旁边有一半径为R的球形带电导体，q距球心为d（d>R），球体旁附近有一点P，P在q与球心的连线上，静电平衡时，P点附近导体的面电荷密度为 。以下关于P点电场强度大小的答案中，正确的是[ ]。

A．20024π()qdR

B．20024π()qdR

C．2004π()qdR

D．2004π()qdR

E．0

F．以上答案全不对

解：导体处于静电平衡时，邻近导体表面P处的电场强度大小为 /0，正确答案选（E）。 图10–6 • P q

d R

• __________________________________________________

__________________________________________________ 10–7 如图10-7所示，一半径为R的金属球接地，在与球心相距d=2R处有一点电荷+q，则金属球上的感应电荷q´为[ ]。

A．2q B．0 C．2q D．由于感应电荷分布非均匀，因此无法求出

解：金属球面上感应电荷q´分布非均匀，设感应电荷的面电荷密度为，在导体球面面积元dS处的感应电荷为dS，则它在球心的电势为0d4πSR，故整个球面上感应电荷在球心O处产生的电势为

1000d1d4π4π4πSSSqVSRRR

电荷+Q在球心O处产生的电势为

204π(2)qVR

由电势叠加原理，球心O处的电势由点电荷+q和导体表面的感应电荷q´在该处产生的电势的叠加，又由于金属球接地，于是

120004π4π(2)OqqVVVRR

由此可求得导体表面上存在感应电荷为

2qq

故应选（C）。

10–8 下列说法正确的是[ ]。

A．高斯面上各点的D为零，则面内必不存在自由电荷

B．高斯面上各点的E为零，则面内自由电荷的代数和为零，极化电荷的代数和也为零

C．高斯面内不包围自由电荷，则面上各点D必为零

D．高斯面上各点的D仅与自由电荷有关

解：高斯面上各点的D为零，表明曲面内自由电荷的代数和一定为零；所以（A）说法错误。

由电介质的高斯定理diQSDS和D=E，可知高斯面上各点的E为零，则曲面内自由电荷的代数和一定为零。又由0011diniqQqSES，可知极化电荷的代数和也为零，所以（B）说法正确。

高斯面上的D由空间中所有电荷（包括自由电荷和极化电荷）的分布决定，通过高斯面的D的通量只由其中的自由电荷所决定，高斯面内不包围自由电荷，只能说明通过该高斯面的D的通量为零。所以（C）、（D）说法错误。故答案应选（B）。

10–9 极化强度P是量度介质极化程度的物理量，有一关系式为P = 0(r1)E，电位移矢量公式为D = 0E + P，则[ ]。

A．二公式适用于任何介质

B．二公式只适用于各向同性电介质 R O q

d q´

图10–7 __________________________________________________

__________________________________________________ C．二公式只适用于各向同性且均匀的电介质

D．前者适用于各向同性电介质，后者适用于任何电介质

解：在电磁学中，为简化数学，D = 0E + P是由一些特例得到的，对任何介质都适用，是一个一般结论，介质的特性由P与E的关系体现，对各向同性介质，才有0ePE，由此可得到P = 0(r1)E，因此P = 0(r1)E只适用于各向同性介质。故答案应选（D）。

10–10 空气平行板电容器保持电压不变，再在两极板内充满均匀介质，则电场强度大小E、电容C、极板上电量Q及电场能量W四个量与充入介质前比较，变化情况是[ ]。

A．E减小，C、Q、W增大 B．E不变，C、Q、W增大

C．E、W减小，C、W增大 D．E不变，C、Q、W减小

解：未插入介质前，设平行板电容器电容为C0，极板上的电量为00QCU，插入介质后，电容r0CC增大，电容器接在电源上，两极板间的电势差0VV仍不变，极板上的电量r0r0QCUCUQ增大。

未插入介质前，电场强度0VEd，插入介质后，VEd，因V，d不变，所以0EE，电场强度不变。

未插入介质前，电场能量20012WCV，插入介质后，22r0r01122WCVCVW增大。

综上，正确答案是（B）。

10–11如图10-8所示，一球形导体A含有两个球形空腔，这导体本身的总电荷为零，但在两空腔中心分别有一个点电荷q1和q2，导体球外距导体球很远的r处有另一个点电荷q3。求：（1）球形导体A外表面所带电量；（2）A，q1，q2，q3所受的力。

解：（1）在导体内作一闭合曲面包围q1所在空腔。由于静电平衡时，导体内场强处处为零，因此闭合曲面的电通量为零。根据高斯定理，点电荷q1空腔壁上有电量q1，同理，点电荷q2空腔壁上有电量q2。已知导体本身的总电荷为零，根据电荷守恒，导体球A外表面所带电量为（q1+q2）。由于静电屏蔽效应，q1，q2不受q3影响，在腔内均匀分布。

（2）由于点电荷q1所在球形空间被周围金属屏蔽，q1相当于只受空腔1内表面电荷的作用，又因q1处于带电空腔的中心，空腔表面上的感应电荷q1均匀分布，则感应电荷q1在q1处产生的场强E1=0，因此，点电荷q1受到的作用力F1= q1E1=0。同理，点电荷q2受到的作用力F2=0。

由于点电荷q3距导体球A很远，它对导体球外表面电荷的影响可忽略，因此，感应电荷在导体球A外表面上近似均匀分布，它在q3处产生的场强可等效看成是在球心的点电荷（q1+q2）激发

11204πAqqEr

因而导体球A近似地对q3产生的作用力为 A

q1 q2 q3

r

图10–8