什么是组合数学
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问题：一个边长3尺的立方体，要将其切割成27个边 长1尺的立方体，至少需要切割多少次？ 初看较繁，可换一种 想法。显然，不用重排，6次 可切割出来。而中心的 小立方体的6个面都是切割后形 成的面，故不能少于6次。即6次最少。
一个 n 阶幻方是由数字 1 ， 2 ， 3 ， … ， n2 组成的 n×n方阵，使得方阵中每行上的数字和、每列上的 数字和以及每条对角线上的数字和均等于同一个数 S。称S为该幻方的幻和。中国历史上研究3×3 = 9 幻方也称为“九宫填数”。
组合数学问题在生活中随处可见: 例如： 计算下列赛制下总的比赛次数：n支球队参赛，每队 只能和其他队比赛一次； 创建幻方； 一笔画问题（在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络 路线走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下， 一笔画出网络）； 在玩扑克牌的游戏中，计算满堂红(full-house)牌的手 数，以确定出现一手满堂红的几率……等等 所有这些都是组合数学问题。
主讲教师：晏 静 之
R. A. Brualdi（美）著, 冯舜玺 罗平 裴伟东 译 卢开澄 冯舜玺 校 《组合数学》(中译第五版) 机械工业出版社
百分制： 考勤占10% 平时成绩占30％ 期末闭卷考试成绩占60％。
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6
棋盘的完美覆盖 切割立方体 幻方 四色问题 36军官问题与拉丁方 总结
5. 完美覆盖能否被切分？
试说明：一个4×4棋盘可以被切分成两块而不 损坏任一块骨牌。 实现切分的直线可称为断层线。
x1
证明：反设不存在切分，则图中x1、x2和x3都不 是断层线，即每个都会切到骨牌。 对于x1，它不能只切一个骨牌。否则，第一行 的3个余下方格不能都由横牌覆盖。即x1必须切割 2块以上的骨牌。类似地，x2和x3也必须切割2块以 上的骨牌。可见，覆盖中必须有6块以上的竖牌。 同样地，对竖断层线则至少有6块以上横牌。说明， 要想不损坏任一骨牌则至少要12块以上骨牌，但 一个4×4棋盘的覆盖中只有8块骨牌。得证。
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军衔矩阵 军团矩阵
§1.5 例：36军官问题与拉丁方
分别
我们把具有上述性质1的两个6×6矩阵均称为6阶百度文库
拉丁方 。这两个 6 阶拉丁方若同时具有上述性质 2 ， 则称它们是正交的。 于是36军官问题又可描述为：是否存在两个正交 的6阶拉丁方？
§1.6 总结
以上列举的问题均是组合数学所研究的问题。从 中我们可以看出组合数学所讨论的问题在描述上 具有以下特征： 1.能否排列 …… ？ 2.存在一个 …… 吗？
3.能用多少方法 ……？ 4.计算 …… 的数目？
§1.6 总结
概括起来说，组合数学的研究涉及如下一般性问 题：
· 排列的存在性
· 排列的计数和分类
· 研究一个已知的排列
· 构造一个优化的排列
讲授结束
作业如下: P13 3, 5, 15, 28
3. 设想一个监狱 由64个囚室组成，这些囚室排列的恰如一张8行8列的棋盘。
行每列均有各种军衔的军官 1名，并且每行和 每列上的不同军衔的 6名军官还分别来自不同 的军团？
§1.5 例：36军官问题与拉丁方
我们把一个军官表示为一个序偶（i，j），其中i表 示该军官的军衔（ i ＝ 1 ， 2 ， … ， 6 ），而 j 表示他所在 的军团（j＝1，2，…，6），于是上述36军官问题可用 数学语言描述成： 36个序偶（i，j）能否排成6×6方阵，使得这6个整 数都能分别以某种顺序出现在序偶的第一个或第二个 元素位置上？
m
现考虑右下角的r×s小块。因r≤s ，而从颜色1开始涂色，因此， 每行中颜色1必然出现1次，共r 次。为了保证每种的颜色数相同， 其他的每种颜色也必须都出现r次， 故应该有r*b个方格。
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2
r
qb
s
其实，右下角的方格数是r*s，故： r*b=r*s 若r≠0，有b=s，矛盾。得证。 说明： m×n棋盘必存在都能横放骨 牌或竖放骨牌的完美覆盖。这样的覆盖 称为平凡覆盖。
与传统的数学课程相比,组合数学研究的是一些离 散的事物之间存在的数学关系。 其主要内容是计数和枚举。计数问题是组合学中 研究得最多的内容。
计算机科学就是算法的科学,而计算机所处理 的对象是离散的数据,研究离散对象的科学恰 恰就是组合数学。因此,在信息时代的今天,组 合数学就是信息时代的数学。 在计算机科学中，必须对算法所需的运算量和 存储单元作出估计,即算法的时间复杂性和空 间复杂性分析。
4
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5 1
7 6
一个n阶幻方中所有数字的和为：
2 2 n ( n 1) 2 1+2+3+…+n = 2
=nS 故它的幻和为
(列)上数字的和。
n (n 1) S= 正好是一行 2
2
关于幻方的问题可归结为:
(1) 对任意的正整数n，n阶幻方存在吗？ (2) 对某个正整数n，如果n阶幻方存在，有多少不同的 形式？ (3) 构造存在的n阶幻方。 注意，给出一种算法，不仅要描述算法的步骤，而且要 证明算法的正确性，并对算法进行时间分析。
组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终 一定能成为一个软件大国，但是要实现这个目 标的一个突破点就是发展组合数学。中国在软 件技术上远远落后于美国，而在组合数学上则 更是落后于美国和欧洲。如果中国只是想在软 件技术上跟着西方走，而不在组合数学上下功 夫，那么中国的软件产业只能定位于应用软件 和二次开发。
b是m或n
证明： 因为b不是素数，所以假设b除m和n 的余数分别为r和s，则可表示成： m=pb+r，其中0≤r≤b-1 n=qb+s，其中0≤s≤b-1 若r和s中某个为0，得证。不妨设r≤s ，以下证明r=0。
涂色。将棋盘上b×b的块按下图所示方 式涂色（颜色用数字表示）。
1 b 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 … b-1 b b-1 b-2
b-1 b
现在，利用以上涂色规则将m×n棋盘涂色（图 中假定b=4）。
n
1 4 3
2
m=pb+r，其中0≤r≤b-1
3 2 1
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n=qb+s，其中0≤s≤b-1
pb
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3 2 1
所有相邻的囚室之间都有门相通, 一个被囚在某个角上囚室的犯人被告之，
如果他能够恰好通过每个一次而到达对角位置上的囚室，他就将被释放。 该犯人能否得到自由。 5. 求3*4棋盘的多米诺骨牌完美覆盖的个数。 15.能将下列不完全的方形阵列填写成一个4阶幻方吗？
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显然，若存在完美覆盖，则图中 b种颜色的任意一种所占方格的 数量都是等同的。 在图中，上面的pb行中每种颜色 出现np次；在左下角的r行qb列 中每种颜色出现rq次。即每种颜 色出现np+rq次。
1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问 世，这是组合数学的第一部专著。书中首次使 用了组合论（Combinatorics）一词。 组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍 应用之后。由于组合数学涉及面广，内容庞杂， 并且仍在很快地发展着，因而还没有一个统一 而有效的理论体系。这与数学分析形成了对照。
例：5阶幻方。
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21 2
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偶数阶幻方较繁，可参考其它书籍。 除了加幻方外，还有乘幻方等。
§1.4 例：四色问题 在一张地图中每个国家均是一个连通的区域 ，现对地图中的每个国家着色，使得具有共 同边界的两个国家涂成不同的颜色，完成这 项工作至少需要几种颜色？在离散数学中我 们利用对偶图已经证明用 5 种颜色可以对地 图着色。
1. 考虑一张普通的国际象棋棋盘， 即8*8的64个正方形。设有形状 一样的多米诺骨牌，每张牌恰好 覆盖棋盘上相邻的两个方格。那 么，是否能够把32张多米诺牌放 到棋盘上，使得任何两张多米诺 牌均不重叠，每张多米诺牌覆盖 两个方格，并且所有的方格都被 覆盖住？
我们把这样一种排列称为棋盘被多米诺牌完美覆盖。 Fischer在1961年发现，它有12988816=24*(901)2 种 多米诺骨牌完美覆盖等价于分子物理学中的二聚物 问题，进而可演变到二分图的匹配理论。
4. m×n棋盘存在b-牌(指有b个方格大小的块连接 在一起构成的牌)的完美覆盖吗？ 分析1：b是m或n的因子 存在完美覆盖。
问题：存在完美覆盖 b是m或n的因子
分析2：若b是素数且存在完美覆盖，则b必然是 m或n的因子。
问题：若b不是素数且存在完美覆盖，则b是否是m或n的因子？
分析3：对任意的b，存在完美覆盖 的因子。
不存在2阶幻方。因为其和为5，对1来说，同 行（或列）只能为4，而对角线放2或3都不能 使和为5。 当n为奇数时，有一种简单的构造方法。 ⑴在第一行居中的方格内放1； ⑵依次向右上方填入2、3、4…，如果右上 方已有数字，则向下移一格继续填写。顺序将 各数置于右上方位置。若当前数位于1行n列或 当前数的右上角已填入了其它数，则下一个数 填在当前数下方；若当前数的右上方超出了矩 阵，则下一个数循环填在另一侧。
1 2 3 1 2 3 (1,1)(2,2)(3,3) (3,2)(1,3)(2,1) 3 1 2 2 3 1 2 3 1 3 1 2 ( 2 , 3 )( 3 , 1 )( 1 , 2 )
§1.5 例：36军官问题与拉丁方
或者：是否存在这样的两个 6×6 矩阵，其元素 取自1，2，…，6，使得 1．整数1，2，…，6以某种顺序出现在矩阵的每一行 和每一列； 2．当这两个矩阵并置时，所有36序偶（i，j） （i＝1，2，…，6）全部出现。
§1.5 例：36军官问题与拉丁方
以 9 名军官为例，设 i=1, 2, 3 表示军官的军衔， j=1, 2, 3 表示军官的团队，则每个军官对应一个序偶 (i, j)。从而可以排出：
2. m×n棋盘存在多米诺骨牌的完美覆盖吗？ 不难看出，m*n为偶数时，存在完美匹配。
当且仅当m和n至少有一个是偶数时，m×n棋 盘存在多米诺骨牌的完美覆盖。
例如，3×3棋盘不存在完美覆盖。
3. 剪去对角的8×8棋盘存在完美 覆盖吗？
显然，8×8棋盘存在完美覆盖 ，且覆盖方法有1200万种覆盖 方法。 剪去后，将方格按图所示黑白 相间涂色。显然，一张骨牌必 然覆盖一黑一白两格。若存在 覆盖，黑格数必然等于白格数 。但图中有30白格而32黑格。
§1.4 例：四色问题
四色定理叙述起来简单，理解起来容易，它与 著名的三等分角问题一样 吸引着众多的非专业人员。 1890年heawood证明了用 5种颜色对任何地图着色。
1
2 3 4
§1.5 例：36军官问题与拉丁方 设有 6 个不同军衔和来自 6 个不同军团的 36 名
军官，问能否将他们排成 6×6 方阵，使得每
问题：一个边长3尺的立方体，要将其切割成27个边 长1尺的立方体，至少需要切割多少次？ 初看较繁，可换一种 想法。显然，不用重排，6次 可切割出来。而中心的 小立方体的6个面都是切割后形 成的面，故不能少于6次。即6次最少。
一个 n 阶幻方是由数字 1 ， 2 ， 3 ， … ， n2 组成的 n×n方阵，使得方阵中每行上的数字和、每列上的 数字和以及每条对角线上的数字和均等于同一个数 S。称S为该幻方的幻和。中国历史上研究3×3 = 9 幻方也称为“九宫填数”。
组合数学问题在生活中随处可见: 例如： 计算下列赛制下总的比赛次数：n支球队参赛，每队 只能和其他队比赛一次； 创建幻方； 一笔画问题（在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络 路线走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下， 一笔画出网络）； 在玩扑克牌的游戏中，计算满堂红(full-house)牌的手 数，以确定出现一手满堂红的几率……等等 所有这些都是组合数学问题。
主讲教师：晏 静 之
R. A. Brualdi（美）著, 冯舜玺 罗平 裴伟东 译 卢开澄 冯舜玺 校 《组合数学》(中译第五版) 机械工业出版社
百分制： 考勤占10% 平时成绩占30％ 期末闭卷考试成绩占60％。
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6
棋盘的完美覆盖 切割立方体 幻方 四色问题 36军官问题与拉丁方 总结
5. 完美覆盖能否被切分？
试说明：一个4×4棋盘可以被切分成两块而不 损坏任一块骨牌。 实现切分的直线可称为断层线。
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证明：反设不存在切分，则图中x1、x2和x3都不 是断层线，即每个都会切到骨牌。 对于x1，它不能只切一个骨牌。否则，第一行 的3个余下方格不能都由横牌覆盖。即x1必须切割 2块以上的骨牌。类似地，x2和x3也必须切割2块以 上的骨牌。可见，覆盖中必须有6块以上的竖牌。 同样地，对竖断层线则至少有6块以上横牌。说明， 要想不损坏任一骨牌则至少要12块以上骨牌，但 一个4×4棋盘的覆盖中只有8块骨牌。得证。
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军衔矩阵 军团矩阵
§1.5 例：36军官问题与拉丁方
分别
我们把具有上述性质1的两个6×6矩阵均称为6阶百度文库
拉丁方 。这两个 6 阶拉丁方若同时具有上述性质 2 ， 则称它们是正交的。 于是36军官问题又可描述为：是否存在两个正交 的6阶拉丁方？
§1.6 总结
以上列举的问题均是组合数学所研究的问题。从 中我们可以看出组合数学所讨论的问题在描述上 具有以下特征： 1.能否排列 …… ？ 2.存在一个 …… 吗？
3.能用多少方法 ……？ 4.计算 …… 的数目？
§1.6 总结
概括起来说，组合数学的研究涉及如下一般性问 题：
· 排列的存在性
· 排列的计数和分类
· 研究一个已知的排列
· 构造一个优化的排列
讲授结束
作业如下: P13 3, 5, 15, 28
3. 设想一个监狱 由64个囚室组成，这些囚室排列的恰如一张8行8列的棋盘。
行每列均有各种军衔的军官 1名，并且每行和 每列上的不同军衔的 6名军官还分别来自不同 的军团？
§1.5 例：36军官问题与拉丁方
我们把一个军官表示为一个序偶（i，j），其中i表 示该军官的军衔（ i ＝ 1 ， 2 ， … ， 6 ），而 j 表示他所在 的军团（j＝1，2，…，6），于是上述36军官问题可用 数学语言描述成： 36个序偶（i，j）能否排成6×6方阵，使得这6个整 数都能分别以某种顺序出现在序偶的第一个或第二个 元素位置上？
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现考虑右下角的r×s小块。因r≤s ，而从颜色1开始涂色，因此， 每行中颜色1必然出现1次，共r 次。为了保证每种的颜色数相同， 其他的每种颜色也必须都出现r次， 故应该有r*b个方格。
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其实，右下角的方格数是r*s，故： r*b=r*s 若r≠0，有b=s，矛盾。得证。 说明： m×n棋盘必存在都能横放骨 牌或竖放骨牌的完美覆盖。这样的覆盖 称为平凡覆盖。
与传统的数学课程相比,组合数学研究的是一些离 散的事物之间存在的数学关系。 其主要内容是计数和枚举。计数问题是组合学中 研究得最多的内容。
计算机科学就是算法的科学,而计算机所处理 的对象是离散的数据,研究离散对象的科学恰 恰就是组合数学。因此,在信息时代的今天,组 合数学就是信息时代的数学。 在计算机科学中，必须对算法所需的运算量和 存储单元作出估计,即算法的时间复杂性和空 间复杂性分析。
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一个n阶幻方中所有数字的和为：
2 2 n ( n 1) 2 1+2+3+…+n = 2
=nS 故它的幻和为
(列)上数字的和。
n (n 1) S= 正好是一行 2
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关于幻方的问题可归结为:
(1) 对任意的正整数n，n阶幻方存在吗？ (2) 对某个正整数n，如果n阶幻方存在，有多少不同的 形式？ (3) 构造存在的n阶幻方。 注意，给出一种算法，不仅要描述算法的步骤，而且要 证明算法的正确性，并对算法进行时间分析。
组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终 一定能成为一个软件大国，但是要实现这个目 标的一个突破点就是发展组合数学。中国在软 件技术上远远落后于美国，而在组合数学上则 更是落后于美国和欧洲。如果中国只是想在软 件技术上跟着西方走，而不在组合数学上下功 夫，那么中国的软件产业只能定位于应用软件 和二次开发。
b是m或n
证明： 因为b不是素数，所以假设b除m和n 的余数分别为r和s，则可表示成： m=pb+r，其中0≤r≤b-1 n=qb+s，其中0≤s≤b-1 若r和s中某个为0，得证。不妨设r≤s ，以下证明r=0。
涂色。将棋盘上b×b的块按下图所示方 式涂色（颜色用数字表示）。
1 b 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 … b-1 b b-1 b-2
b-1 b
现在，利用以上涂色规则将m×n棋盘涂色（图 中假定b=4）。
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所有相邻的囚室之间都有门相通, 一个被囚在某个角上囚室的犯人被告之，
如果他能够恰好通过每个一次而到达对角位置上的囚室，他就将被释放。 该犯人能否得到自由。 5. 求3*4棋盘的多米诺骨牌完美覆盖的个数。 15.能将下列不完全的方形阵列填写成一个4阶幻方吗？
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显然，若存在完美覆盖，则图中 b种颜色的任意一种所占方格的 数量都是等同的。 在图中，上面的pb行中每种颜色 出现np次；在左下角的r行qb列 中每种颜色出现rq次。即每种颜 色出现np+rq次。
1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问 世，这是组合数学的第一部专著。书中首次使 用了组合论（Combinatorics）一词。 组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍 应用之后。由于组合数学涉及面广，内容庞杂， 并且仍在很快地发展着，因而还没有一个统一 而有效的理论体系。这与数学分析形成了对照。
例：5阶幻方。
17 23 24 5 1 7 8 14 15 16
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偶数阶幻方较繁，可参考其它书籍。 除了加幻方外，还有乘幻方等。
§1.4 例：四色问题 在一张地图中每个国家均是一个连通的区域 ，现对地图中的每个国家着色，使得具有共 同边界的两个国家涂成不同的颜色，完成这 项工作至少需要几种颜色？在离散数学中我 们利用对偶图已经证明用 5 种颜色可以对地 图着色。
1. 考虑一张普通的国际象棋棋盘， 即8*8的64个正方形。设有形状 一样的多米诺骨牌，每张牌恰好 覆盖棋盘上相邻的两个方格。那 么，是否能够把32张多米诺牌放 到棋盘上，使得任何两张多米诺 牌均不重叠，每张多米诺牌覆盖 两个方格，并且所有的方格都被 覆盖住？
我们把这样一种排列称为棋盘被多米诺牌完美覆盖。 Fischer在1961年发现，它有12988816=24*(901)2 种 多米诺骨牌完美覆盖等价于分子物理学中的二聚物 问题，进而可演变到二分图的匹配理论。
4. m×n棋盘存在b-牌(指有b个方格大小的块连接 在一起构成的牌)的完美覆盖吗？ 分析1：b是m或n的因子 存在完美覆盖。
问题：存在完美覆盖 b是m或n的因子
分析2：若b是素数且存在完美覆盖，则b必然是 m或n的因子。
问题：若b不是素数且存在完美覆盖，则b是否是m或n的因子？
分析3：对任意的b，存在完美覆盖 的因子。
不存在2阶幻方。因为其和为5，对1来说，同 行（或列）只能为4，而对角线放2或3都不能 使和为5。 当n为奇数时，有一种简单的构造方法。 ⑴在第一行居中的方格内放1； ⑵依次向右上方填入2、3、4…，如果右上 方已有数字，则向下移一格继续填写。顺序将 各数置于右上方位置。若当前数位于1行n列或 当前数的右上角已填入了其它数，则下一个数 填在当前数下方；若当前数的右上方超出了矩 阵，则下一个数循环填在另一侧。
1 2 3 1 2 3 (1,1)(2,2)(3,3) (3,2)(1,3)(2,1) 3 1 2 2 3 1 2 3 1 3 1 2 ( 2 , 3 )( 3 , 1 )( 1 , 2 )
§1.5 例：36军官问题与拉丁方
或者：是否存在这样的两个 6×6 矩阵，其元素 取自1，2，…，6，使得 1．整数1，2，…，6以某种顺序出现在矩阵的每一行 和每一列； 2．当这两个矩阵并置时，所有36序偶（i，j） （i＝1，2，…，6）全部出现。
§1.5 例：36军官问题与拉丁方
以 9 名军官为例，设 i=1, 2, 3 表示军官的军衔， j=1, 2, 3 表示军官的团队，则每个军官对应一个序偶 (i, j)。从而可以排出：
2. m×n棋盘存在多米诺骨牌的完美覆盖吗？ 不难看出，m*n为偶数时，存在完美匹配。
当且仅当m和n至少有一个是偶数时，m×n棋 盘存在多米诺骨牌的完美覆盖。
例如，3×3棋盘不存在完美覆盖。
3. 剪去对角的8×8棋盘存在完美 覆盖吗？
显然，8×8棋盘存在完美覆盖 ，且覆盖方法有1200万种覆盖 方法。 剪去后，将方格按图所示黑白 相间涂色。显然，一张骨牌必 然覆盖一黑一白两格。若存在 覆盖，黑格数必然等于白格数 。但图中有30白格而32黑格。
§1.4 例：四色问题
四色定理叙述起来简单，理解起来容易，它与 著名的三等分角问题一样 吸引着众多的非专业人员。 1890年heawood证明了用 5种颜色对任何地图着色。
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§1.5 例：36军官问题与拉丁方 设有 6 个不同军衔和来自 6 个不同军团的 36 名
军官，问能否将他们排成 6×6 方阵，使得每