回归分析模型多元线性回归模型
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出品 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 率
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
解：n 10, x 14.5, y 67.3
n
bˆ
( xi
i 1 n
x )( yi y) (xi x )2
上面右式为计算 2 公式， 2 越小，用一次线性函数研究
随机变量与的关系就越有效。
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型——线性假设的 显著性检验
必要性：上面我们假设 Y 关于 x 的回
归形式是否为线性函数需要检验，
ˆRXY
R lxy
1 n
n
(xi x
记第i 组实验的误差
有最小值：
i，使yi总误差尽i 量小，即下式
n
n
2 i
( yi a bxi )2
i 1
i 1
yˆi aˆ bˆxi
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型——a,b, 2估计
令其偏导数为零，求得最大似然估计为：
相关系数值为：
R lxy 0.9981 lxx lyy
百度文库
相关系数接近1，说明随机 变量与x具有显著的相关性， 线性回归的拟合度较高，检
验通过
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
一元线性回归的Excel实现
（1）将数据导入Excel工作表；
请同学用 Excel完成上
面的例题
（2）工具栏中选插入—图表—XY散点图；
数学建模——回归分析模型
Keep focused
Follow me —Jiang
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
• 回归分析概述 • 几类回归分析模型比较 • 一元线性回归模型 • 多元线性回归模型 • 注意点
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
回归分析
➢ 名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。
这就是一元线性回归模型，b 为回归系数。 ~ N (0, 2 ) 是随机误差，是人们不可控制的。
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型—— a,b, 2估计 方法：最小二乘法
求解：对x取不全相同的值做独立实验，得到样本。
(x1,Y1), (x2 ,Y2 ),..., (xn ,Yn )
➢ 解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。
➢ 几类常用的回归模型：
线性回归
一元线性回归 多元线性回归
有何区别 与联系？
非线性回归
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
回归模型方程式
一元线 性回归
自变量
一元 一次
eg（. 仅从形式上）
y kx b, x R
线性回归 多元线
398.5 82.5
4.8303
i 1
aˆ y bˆx 67.3 4.830314.5 2.7394
请同学将结论与实 际问题结合，分析 工作时长与出品率 的关系，并预测20 小时和6小时时的出 品率？时间趋于无
限大呢？
所以回归方程为：
yˆ 4.8303x 2.7394
（3）选择数据区域，填写标题、图例等内容，完成；
（4）右击散点图—选添加趋势线—线性（类型）—在选项中 选显示公式和R平方值。此时作出了回归图并求得方程；
（5）在工具栏中选工具—数据分析—找到回归并确定—选择 数据区域、输出数据区域，勾选置信度残差、标准残差、 线性拟合图。此时得到几个表格，可查得回归系数、常数 项及R平方值。
Yi 0 1X1i 2 X 2i L K X Ki i ,i 1, 2,..., n
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型——模型
随机变Y量（因变量）与实际变 x量（因变量）
存在着某种相关关系。现对Y 做正态假设确定 这种关系为：
Y ~ N (a bx, 2 )
其中 a,b, 2为未知参数，与x无关。上式等价于
Y a bx , ~ N (0, 2 )
性回归
多元 一次
y k1x1 k2x2 ... kn xn , n 2, k R Yi 0 1X1i 2 X 2i L K X Ki ui
多元多次及
非线性回归(暂不说明)
其他函数形 式
Y
1 1 exp(2
3x )
(Logistic模型)
在生活中竞赛，在竞赛中生活
Excel是做一元线性回归的其中一种 软件，还有Spss，Matlab都可以做
数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型——模型
现实生活中，一个变量往往受到多个因素的影响，假设有n 个因
素，称为解释变量，这种多个解释变量与因变量构成的这种关系称为 多元线性关系，由这种关系构成的函数关系式称为多元线性回归模 型，其一般式如下：
i1[1,1]
)(
lxx
l1
n
n
yy ( xi
i 1
x)2
1 n
yi
n
(
i 1
y) yi
y)2
称为拟合优度检验
判别准则
方法：相关系数法（还有其他方法）
样本相关系数如右式。R 为相关 系数。
|||RRR| |接近1 | |RRR||| 接近0
线性相关关系显著 线性相关关系不显著
R 0, yˆ aˆ y 与x无关系，不相关
R 1,bˆ
lyy lxx
存在相关关系
在生活中竞赛，在竞赛中生活
当︱R ︱ ＞Rα(n2), （通常取0.8） 认为X与Y之间的线性相关关系显著， 反之，则不显著
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型——应用举例
在研究机器工作效应时，测得工作时间与出品率 如下表所示，求出品率关于工作时间的回归方程 并作拟合优度检验。
n
(xi x )( yi y )
bˆ i1 n
aˆ
y
( xi
i 1
bˆx
x )2
这样我们就求得了未知参数
ˆ 2
n
1
2
n i 1
( yi
a, b 的值，我们记
yˆi )2
yˆ aˆ bˆx
为关于的经验回归方程，简称回归方程，其图形为回归直线。
出品 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 率
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
解：n 10, x 14.5, y 67.3
n
bˆ
( xi
i 1 n
x )( yi y) (xi x )2
上面右式为计算 2 公式， 2 越小，用一次线性函数研究
随机变量与的关系就越有效。
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型——线性假设的 显著性检验
必要性：上面我们假设 Y 关于 x 的回
归形式是否为线性函数需要检验，
ˆRXY
R lxy
1 n
n
(xi x
记第i 组实验的误差
有最小值：
i，使yi总误差尽i 量小，即下式
n
n
2 i
( yi a bxi )2
i 1
i 1
yˆi aˆ bˆxi
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型——a,b, 2估计
令其偏导数为零，求得最大似然估计为：
相关系数值为：
R lxy 0.9981 lxx lyy
百度文库
相关系数接近1，说明随机 变量与x具有显著的相关性， 线性回归的拟合度较高，检
验通过
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
一元线性回归的Excel实现
（1）将数据导入Excel工作表；
请同学用 Excel完成上
面的例题
（2）工具栏中选插入—图表—XY散点图；
数学建模——回归分析模型
Keep focused
Follow me —Jiang
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
• 回归分析概述 • 几类回归分析模型比较 • 一元线性回归模型 • 多元线性回归模型 • 注意点
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
回归分析
➢ 名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。
这就是一元线性回归模型，b 为回归系数。 ~ N (0, 2 ) 是随机误差，是人们不可控制的。
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型—— a,b, 2估计 方法：最小二乘法
求解：对x取不全相同的值做独立实验，得到样本。
(x1,Y1), (x2 ,Y2 ),..., (xn ,Yn )
➢ 解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。
➢ 几类常用的回归模型：
线性回归
一元线性回归 多元线性回归
有何区别 与联系？
非线性回归
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
回归模型方程式
一元线 性回归
自变量
一元 一次
eg（. 仅从形式上）
y kx b, x R
线性回归 多元线
398.5 82.5
4.8303
i 1
aˆ y bˆx 67.3 4.830314.5 2.7394
请同学将结论与实 际问题结合，分析 工作时长与出品率 的关系，并预测20 小时和6小时时的出 品率？时间趋于无
限大呢？
所以回归方程为：
yˆ 4.8303x 2.7394
（3）选择数据区域，填写标题、图例等内容，完成；
（4）右击散点图—选添加趋势线—线性（类型）—在选项中 选显示公式和R平方值。此时作出了回归图并求得方程；
（5）在工具栏中选工具—数据分析—找到回归并确定—选择 数据区域、输出数据区域，勾选置信度残差、标准残差、 线性拟合图。此时得到几个表格，可查得回归系数、常数 项及R平方值。
Yi 0 1X1i 2 X 2i L K X Ki i ,i 1, 2,..., n
在生活中竞赛，在竞赛中生活
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型——模型
随机变Y量（因变量）与实际变 x量（因变量）
存在着某种相关关系。现对Y 做正态假设确定 这种关系为：
Y ~ N (a bx, 2 )
其中 a,b, 2为未知参数，与x无关。上式等价于
Y a bx , ~ N (0, 2 )
性回归
多元 一次
y k1x1 k2x2 ... kn xn , n 2, k R Yi 0 1X1i 2 X 2i L K X Ki ui
多元多次及
非线性回归(暂不说明)
其他函数形 式
Y
1 1 exp(2
3x )
(Logistic模型)
在生活中竞赛，在竞赛中生活
Excel是做一元线性回归的其中一种 软件，还有Spss，Matlab都可以做
数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型——模型
现实生活中，一个变量往往受到多个因素的影响，假设有n 个因
素，称为解释变量，这种多个解释变量与因变量构成的这种关系称为 多元线性关系，由这种关系构成的函数关系式称为多元线性回归模 型，其一般式如下：
i1[1,1]
)(
lxx
l1
n
n
yy ( xi
i 1
x)2
1 n
yi
n
(
i 1
y) yi
y)2
称为拟合优度检验
判别准则
方法：相关系数法（还有其他方法）
样本相关系数如右式。R 为相关 系数。
|||RRR| |接近1 | |RRR||| 接近0
线性相关关系显著 线性相关关系不显著
R 0, yˆ aˆ y 与x无关系，不相关
R 1,bˆ
lyy lxx
存在相关关系
在生活中竞赛，在竞赛中生活
当︱R ︱ ＞Rα(n2), （通常取0.8） 认为X与Y之间的线性相关关系显著， 反之，则不显著
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型——应用举例
在研究机器工作效应时，测得工作时间与出品率 如下表所示，求出品率关于工作时间的回归方程 并作拟合优度检验。
n
(xi x )( yi y )
bˆ i1 n
aˆ
y
( xi
i 1
bˆx
x )2
这样我们就求得了未知参数
ˆ 2
n
1
2
n i 1
( yi
a, b 的值，我们记
yˆi )2
yˆ aˆ bˆx
为关于的经验回归方程，简称回归方程，其图形为回归直线。