使用留数定理计算实积分

用留数定理计算实积分 一：教学内容（包括基本内容、重点、难

点）： 基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法 重点：用留数定理计算实积分的方法 难点：定理的应用 二:教学目标或要求： 真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法

三、教学手段与方法: 讲授、练习

四、思考题、讨论题、作业与练习：5-7 用留数定理计算实积分

留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分.女口，在研究阻尼振动时

a

\ b 为任意实数）如用实函数分析 中的方法计算这些积分几乎是

不可能的，既使能计算，也相当复杂

•如果能把

它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了 •当然最关键的是设法

把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来 .

把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区 间［口*］可以看作是复数平面上的实轴上的一段丄1,于是，或者利用自变数的 变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者 另外补上一段曲线。，使和一合成回路1,1包围着区域B ,这样

计算积分 ,在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分

；sin x 2dx

在热学中将遇到积分I '

打⑵必二 f f(z)dz + f f(z)dz

左端可应用留数定理，如果」 容易求出，则问题就解决了，下面具体

介绍几个类型的实变定积分•

2 n

一 计算° R(cos , sin )d 型积分

令z e i

,则cos 与sin 均可用复变量z 表示出来，从而实现将

R(cos ,sin )变形为复变量z 的函数的愿望，此时有

同时，由于z e i

，所以z 1,且当 由0变到2n 时，z 恰好在圆周c: z 1 上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。 至此，有

当一’ 时，I 一；当一」时，令二

dz

稻

=1 r

-1

*~ i I s

!-1

(z _ 功(1 - pz) 2_亠戸

':内，一 「宀〔二仅以

Z = 1：

为一级极点,

‘：

I 上无奇点,

故由留数定理

cos

z 2 1

2z

sin

2iz

2 n

0 R(cos , sin

)d R (—)丄dz H 1 2z 2iz iz

2 n

于是，计算积分o R(cos

,sin )d 的方法找到了，只需令z e i 即可。

ds

2芯

-丄

別》］时,在日＜】内/仗）仅以「戸为一级极点,在H"1上无奇点,

Z = -■2^rRe sj"（z）

r J '

炯------- W—

Z2 + —£ 4 1

$ 的奇点及其留数.

令其分母为零得:

1

z -—

先求

0 一卫）（1-咽）

例

解:

这就是「2）的两个单极点.

单极点可的模为：

l-l+l^T7|=l^EZ

£ £ £

< i _（i _ g）

E

所以极点可在单位圆内.而单极点可的模为：

I-丄-匕>5

E £S £

所以可在单位圆外，在极点可处.

R亡芒/伝)--limKr-Zi)-- -------------------------- —

s-J. HTP, r-*J. (卫-可)(匡

为此，在前例中，用1•代—得:

= 1=2 可一可对-y

——如Resr/

⑵-——

此积分在力学和量子力学中甚为重要，由它可以求出开普勒积分:

(1 十

ffCOfifl)3之值.

两也对a求导得:

(- X)d0

(a-\-

sco^ff)2

z3 + -7 + 1 = 0=>召—丄心

B£ E

T

1 J cos ,

f = — dx

2 J F 5-4 cos r

L = 2/?A = f 5in ^Z dx = 0

'5 -4cosx ，则

勺说于

解：若直接作0"=远变换，则积分复杂，若先考虑积分

令a=1得，即:

(1 + sicos

G)2

[

(1 _/)暫

5^4cos A

解-'-■-儿为偶函数，故 A 十込工

5^4 ” -------------- dr

5 - 4cos?r

z K 血 ul — 忆十2 IZ

曲内部ar 仅有

I

z =—

2为一级极点,

比较实部得

?

例计算积分Tsgm 隔

:『严皿〔閃冷日—gin 甸］却4寸：*。曲［心（加-血

&j\d9

［GW （用夕一 amQ ） — i sin （存夕一 Ein 白）肚g

'4 （dsP+isinS -its m

Res-^? = ilim — [z

7 z ra+1 H ! “ 刘

F 1 r [加

Zi - - ■

-——

i

棉！ 用！

2JT

比较两边的实部和虚部得: 一计算磐x

型积分

匸竺

1心三lifn r 旦型必

由于

，考虑添加辅助曲线M 与实轴上

是区间卜尺引构成围线C ,则

口的 哄⑵ 厶。⑵

?

其中丄 为「二落在匚内部的有限个奇点处的留数和，若能估计出

作变换: ，则:

1 _

因•- 「为 所以：

71+1 阶极点.

故:

z ml

]=

i