微分几何测试题集锦(含答案)
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《微分几何》测试题(一)
一.填空题:(每小题2分,共20分)
⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向,则a =___t__。
⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切
方向的曲线为平面曲线
⒊ 设曲线在P 点的切向量为α,主法向量为β,则过P 由,αβ
确定的平面
是曲线在P 点的___密切平面__________。
⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α,则曲线在0()r t 点
的法平面方
程是__________________________。
⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=,则曲线在 t = 1对
应的点处其挠率
(1)τ=_ -2_____。
⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _
⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角,则这曲线的曲
率与挠率的比是___常数_________________。
⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是
_____________________。
二.选择填空题:(每小题3分,共30分)
11、若曲线的所有密切平面经过一定点,则此曲线是
___C___。
A 、 直线
B 、平面曲线
C 、球面曲线
D 、圆柱螺
线
12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ,则下列式
子___A___不正确。
A 、2r r k r '''⨯=
' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式
2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。
A 、0>
B 、0<
C 、0≤
D 、0≥
三.计算与证明题:(22题14分,其余各9分)
21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =,试求
⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。 ⑵ 曲率和挠率。
22、对于圆柱面{}:cos ,sin ,r u ρθρθ∑=,试求
⑴ ∑的第一、第二基本形式;
⑵ ∑在任意点处沿任意方向的法曲率;
⑶ ∑在任意点的高斯曲率和平均曲率;
⑷ 试证∑的坐标曲线是曲率线。
《微分几何》测试题(二)
一.单项选择题(2×10=20分)
1.若向量函数)(t r r =的终点在通过原点的一条直线上,则
( )
A . )(t r '是定长的; B. )(t r '是定向的;
C . 1)(='t r ; D. 2)('=t r .
2.对于向量函数)(t r ,若)(t r ⊥)(t r ',则( )
A .)(t r 是定长向量; B.)(t r '定长向量;
C .)(t r 是定向向量; D.)(t r '是定向向量.
3.设b a ,均为非零向量,且0=ab ,则( )
A.b a ,线性相关; B.b a ,线性无关;
C.a 可以由b 线性表示; D.b 可以a 由线性表
示.
4.挠率,0=τ曲率2=k 的曲线是( )
A . 半径为4的圆; B.半径为4
1
的圆;
C .半径为2的圆; D.半径为21的圆.
5.空间曲线的形状由( )决定
A . 由曲率和挠率; B. 仅由曲率;
C . 仅由挠率; D. 由参数的选取.
6.曲率是常数的曲线( )
A . 一定是直线; B. 一定是圆;
C . 一定是球面上的曲线; .答案A,B,C 都不
对.
7.设S 是球面, 则( )
A . S 上每一点是双曲点; B. S 上每一点是抛物点;
C . S 上的圆的β指向球心; D. S 上的测地线的β指
向球心.
8.若曲面S 在每一点的高斯曲率为4
1,则它可以与半径为( )
的球面贴合
A . 21; B. 2; C. 41; D. 4.
9.圆柱螺线}{bt asint,acost,=r 在任一点的切线与z 轴的夹角
α( ) A . 为; 90 B. 0; C. 与t 有关; D. 与b
有关.
10.设非直线的曲线C 是曲面S: )(v u,r r =上的测地线,则有
( )
A. C 在每一点β∥n ;
B. C 在每一点β⊥n ;
C. C 在每一点γ∥n ;
D. C 在每一点n ⊥γ .
一. 判断题(2×10=20分)
1.向量函数r r =()t 满足()()()()0,='⎰t t dt,t r r r ,则必有一常向量a ,
满足a ⊥r ()t .
2.如果曲线 C: r r =()t 的所有向径共面,则r '()t 必与某一固
定向量垂直.
3.曲线的形状只由曲率和挠率决定.
( )
4.直纹面上的直母线一定是曲率线. ( )
5.若曲面S 与一个半径为R 的球面沿一个半径为()R r 0r ≤<的
圆C 相切,则C 是S 上的测地线.
6.如果两个曲面S 1与S 2之间的一个对应关系, 使得它们在
对应点有相同的高斯曲率,则S 1与S 2 等距等价.
7.设曲面S :r =r ()v u,, 如果F :M E :L =,则v —线是曲率线.