五年级奥数.计算综合.分数裂差(A级).学生版

2、对于分母上为 3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有:

1

n (n k) (n 2k)

2k n (n k) (n k)(n 2k)

1

n (n k) (n 2k) (n 3k) 3k [

n

(n

1 k) (n 2k) 1

(n k) (n 2k) (n 3k)

3、对于分子不是1的情况我们有:

n(n k)

考试要求

1、 灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和

2、 能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和

型运算

将算式中的项进行拆分， 使拆分后的项可前后抵消，

这种拆项计算称为裂项法•裂项分为分数裂项和整

数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，

这样的话，找到相邻两项的相似部分，

让它们消去才是最根本的。

1

1、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，

即—— 形式的，这里我们把较小的数写在前面，

即a b ，

a b

1 1

(一

a a

知识结构

那么有

b )

h h 1 1

n n k

k n n k

2k

1

1

n n k n 2k

n n k

n k n 2k

3k

1

1

n n k h

n 2k n 3k h n n 1 k n 2k 1 n

k n 2k

n 3k

n n k n 2k

2k n

n k

n k n

2k

h

h 1

1

n n k n 2k n 3k

3k n n k n

2k

n k n 2k n 3k

2

2n ,11 1 ------------- 1 - 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1

二、裂差型裂项的三大关键特征：

（1） 分子全部相同，最简单形式为都是 1的，复杂形式可为都是 x （x 为任意自然数）的，但是只要将

x 提取出来即可转化为分子都是 1的运算。

（2） 分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻

2个分母上的因数“首尾相接”

（3） 分母上几个因数间的差是一个定值。

重难点 -ilr

1、 分子不是1的分数的裂差变型；

2、 分母为多个自然数相乘的裂差变型。

/ /二^例题精讲

1

、用裂项法求

型分数求和

n(n 1)

1

【例1】填空:

1 1

(1)1_ _ = （2）

2 1 2 (5) （6） 1 1

59 60 59 60

1 1 1 1 1 【巩固】' '

12 2 3 3 4 4 5 5 6

1 1 1 （3）（4）

2 3 2 3

(7) （8） 1 1

99 100 99 100

分析:

n(n 1)

型（n为自然数）

因为-—

n n 1

n 1 n

n(n 1) n(n 1)

寸（n为自然数），所以有裂项公式:

1 1 1

n(n 1) n n 1

【例2】计算:

1 1

10 11 11 12

1 59 60

【例3】计算：

1

1

2

2 4

2 6 15 35 77

1 1 1 1 1 1 1 1 【巩固】-

6

12 20 30 42 56 72 90

【巩固】计算:

1 1985 1986

1 1986 1987

1 1995 1996

1 1996 1997

1 1997

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 6 12 20 30 42 56 72 90 【例4】计算:

1 【巩固】计算：1丄

2 21

12 20

20

1

420

1 1 1 1 1

2008 - 2009 - 2010 ——2011 ——2012 —

18 54 108 180 270 【例5】计算:

1 5 11 19 29 9701 9899

【巩固】计算：

L

2 6 12 20 30

9702 9900

1 111

1 ( ) ，所以 n(n k) k n n k n(n k)

1 99 101

1 n(n k)

分析：

1

型。（n,k 均为自然数）

n （n k ）

用裂项法求

型分数求和

k n ]

k) n(n k)]

【例6】

1 1 1 1 1 1 1

3 15 35 63 99 143 195 【巩固】计算:

【例7】计算：25 丄

1~3 3~5

i 23 25

【巩固】计算:

(I 丄丄丄

24 48 80 丄

120

丄

168

1

224

128 _______