含参数的函数的极值与导数
极值与导数常见题型归纳讲义2023届高三数学二轮专题复习
函数的极值与导数常见题型归纳题模一：函数极值的概念与判定 1. 下列结论中正确的是（ ） A.导数为零的点一定是极值点B.如果在x 0附近的左侧f′（x ）＞0，右侧f′（x ）＜0，那么f （x 0）是极大值C.如果在x 0附近的左侧f′（x ）＞0，右侧f′（x ）＜0，那么f （x 0）是极小值D.如果在x 0附近的左侧f′（x ）＜0，右侧f′（x ）＞0，那么f （x 0）是极大值 2. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极大值点________个；有极小值点________个． 2. 已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为，且，那么下列情形不可能出现的是（ ） A.， B.是的极小值点 C.是的极小值点 D.是的极小值点题模二：具体函数的极值1. 下列函数中，0x =是极值点的函数式（ ） A.3y x =- B.2cos y x = C.sin y x x =- D.1y x=2. 函数f （x ）=14x 4-13x 3+x 2-2在R 上的极值点有（ ） A.3个 B.2个 C.1个D.0个3. 已知函数．求的极小值．4. 已知函数f （x ）=2f′（1）lnx -x ，则f （x ）的极大值为____．5. 已知函数f （x ）=（x+t ）2+4ln （x+1）的图象在点（1，f （1））处的切线垂直于y 轴． （1）求实数t 的值； （2）求f （x ）的极值．题模三：已知含参函数极值点求参数1.函数f （x ）=x 3+ax 2+3x -9，已知f （x ）在x=-3时取得极值，则a=（ ） A.2 B.3 C.4D.5()f x ()a b ，'()f x ()a b ，()f x ()a b ，()f x ()g x R ()f x ()g x 0x =0()()f x g x ≥x R ∀∈()()0f x f x ≤0x -()f x -0x -()f x -0x -()f x --()3213232f x x x x =-+()f x 题模精讲.2 设函数．若的两个极值点为、，且，求实数________．3. 若函数y=e 1a x -（）+4x （x∈R ）有大于零的极值点，则实数a 范围是（ ）A.a ＞-3B.a ＜-3C.a ＞-13D.a ＜-134. 若函数321111()(1)3245f x a x ax x =-+-+在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .题模四：已知含参函数极值情况求参数范围1. 若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A.(0,1)B.(,1)-∞C.(0,)+∞D.1(0,)22. 已知三次函数f （x ）=ax 3-x 2+x 在（0，+∞）上存在极大值点，则a 的范围是（ ）A.(0，13)B.(0，13]C.(-∞，13)D.(-∞，0)∈(0，13)3. 已知f （x ）=22(1)x bx --无极值，则b 的值为（ ）A.1B.2C.3D.44. 已知函数，，且有极值．求实数的取值范围．1.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ A.y=x 3B.y=ln （-x ）C.y=xe -xD.y=x+2x2.关于函数()32f x x x x =-+，下列说法正确的是（ ）A.有极大值，没有极小值B.有极小值，没有极大值C.既有极大值也有极小值D.既无极大值也无极小值3. 已知函数f （x ）=（x 2+a ）•e x （x∈R ）在点A （0，f （0））处的切线l 的斜率为-3． （1）求a 的值以及切线l 的方程；（2）求f （x ）在R 上的极大值和极小值．4.已知函数f （x ）=（x 2+ax -2a 2+3a ）e x （x∈R ），若a∈R ，求函数f （x ）的单调区间与极值．5. 函数f （x ）=x 2+aln （1+x ）有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则实数a 的范围是()()326322f x x a x ax =+++()f x 1x 2x 121x x =a =()ln f x ax x =+(1)x e ∈，()f x a 随堂练习____．6. 已知函数y=ax 3+bx 2，当x=1时，有极大值3． （1）求a ，b 的值；（2）求函数y 的极小值．7. 设函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当为何值时，函数有极值？并求出极大值．8. 若函数f （x ）=x 3+x 2+mx+1在R 上无极值点，则实数m 的取值范围是____．9. 函数y=x 3-2ax+a 在（0，1）内有极小值，则实数a 的取值范围是（ ）A.（0，3）B.（0，32） C.（0，+∞） D.（-∞，3）10 已知f （x ）与g （x ）是定义在R 上的连续函数，如果f （x ）与g （x ）仅当x=0时的函数值为0，且f （x ）≥g （x ），那么下列情形不可能出现的是（ ） A.0是f （x ）的极大值，也是g （x ）的极大值 B.0是f （x ）的极小值，也是g （x ）的极小值 C.0是f （x ）的极大值，但不是g （x ）的极值 D.0是f （x ）的极小值，但不是g （x ）的极值11设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ）A.x=12为f （x ）的极大值点B.x=12为f （x ）的极小值点C.x=2为 f （x ）的极大值点D.x=2为 f （x ）的极小值点()()3211132f x x ax a x =-+-1a =()y f x =()00，a ()y f x =12 已知函数f （x ）=4x +a x -lnx -32，其中a∈R ，且曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线y=12x ． （∈）求a 的值；（∈）求函数f （x ）的单调区间与极值．13 已知函数，试讨论的极值 ．14已知函数（）．讨论在区间上的极值点．15 若函数f （x ）=21x ax ++在x=1处取极值，则a=____．16 如果函数322()f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，那么a = ，b = ．()ln f x ax x =+()f x ()2ln 2x f x a x =-1a >()f x ()1e ，答案解析题模一：函数极值的概念与判定 1.【答案】B 【解析】导数为零的点且左右两边的符号不同才是极值点，故A 错；如果在x 0附近的左侧f′（x ）＞0，右侧f′（x ）＜0，则函数先增后减，则f （x 0）是极大值； 如果在x 0附近的左侧f′（x ）＜0，右侧f′（x ）＞0，则函数先减后增，则f （x 0）是极小值； 故选B ．2.【答案】2；1【解析】从的图象可知在内从左到右的单调性依次为增→减→增→减， 根据极值点的定义可知在内只有2个极大值点，1个极小值点．3.【答案】D【解析】A 项，（）是的极大值点，不一定是最大值点，故不正确； B 项，是把的图象关于轴对称，因此，是的极大值点； C 项，是把的图象关于轴对称，因此，是的极小值点；D 项，是把的图象分别关于轴、轴对称，因此是的极小值点．题模二：具体函数的极值 1.【答案】B【解析】A ．230y x '=-<，所以无极值点；B ．2cos sin y x x '=-，在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上0y '>，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上0y '<，所以0x =是极大值点；C ．cos 10y x '=-≤，所以无极值点；D ．210y x'=-<，所以无极值点．2.【答案】C 【解析】f′（x ）=x 3-x 2+2x=x （x 2-x+2），∈x 2-x+2＞0，∈x∈（-∞，0）时，f′（x ）＜0；x∈（0，+∞）时，f′（x ）＞0； ∈x=0是函数f （x ）的极小值点． 故选：C ．.3【答案】极小值为．【解析】．列表如下：1 2 + 0 - 0 +单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，的极小值为． '()f x ()f x ()a b ，()a b ，0x 00x ≠()f x ()f x -()f x y 0x -()f x -()f x -()f x x 0x ()f x -()f x --()f x x y 0x -()f x --()223f =23212f x x x x x '=-+=--x ()1-∞，()12，()2+∞，()f x '()f x ()f x ()23f =4.【答案】2ln2-2【解析】由于函数f （x ）=2f′（1）lnx -x ，则f′（x ）=2f′（1）×1x-1（x ＞0），f′（1）=2f′（1）-1，故f′（1）=1，得到f′（x ）=2×1x -1=2xx-，令f′（x ）＞0，解得：0＜x ＜2，令f′（x ）＜0，解得：x ＞2， 则函数在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数， 故f （x ）的极大值为f （2）=2ln2-2 故答案为：2ln2-25.【答案】（1）t=-2（2）f(x)极大值=4，f （x ）极小值=1+4ln2 【解析】（1）∈f （x ）=（x+t ）2+4ln （x+1），∈f '(x)=2(x+t)+41x +，∈函数f （x ）=（x+t ）2+4ln （x+1）的图象在点（1，f （1））处的切线垂直于y 轴，∈f '(1)=2(1+t)+42=0，解得t=-2．（2）由（1）知f '(x)=2(1)1x x x -+，x ＞-1，由f′（x ）＞0，得0＜x ＜1；由f′（x ）＜0，得-1＜x ＜0或x ＞1， ∈f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（-1，0），（1，+∞）， ∈f(x)极大值=f （0）=4，f （x ）极小值=f （1）=1+4ln2． 1.【答案】D 【解析】∵f′（x ）=3x 2+2ax+3，又f （x ）在x=-3时取得极值 ∈f′（-3）=30-6a=0 则a=5． 故选D2.【答案】9．【解析】．已知，从而，所以．3.【答案】B 【解析】因为函数y=e 1a x -（）+4x ，所以y′=（a -1）e 1a x -（）+4（a ＜1），所以函数的零点为x 0=11a -ln 41a-，因为函数y=e 1a x -（）+4x （x∈R ）有大于零的极值点，()()218622f x x a x a '=+++()()120f x f x ''==122118a x x ==9a =所以x 0=11a -ln 41a -＞0，即ln 41a-＜0， 解得：a ＜-3． 故选B ．4.【答案】15a --<或15a -+>或1a =【解析】即21()(1)04f x a x ax =-+-=有解.当–10a =时，满足.当–10a ≠时，只需2(1)0a a ∆=+->.题模四：已知含参函数极值情况求参数范围 1.【答案】D【解析】∵()2'36f x x b =-，由题意，函数'()f x 图象如右图．''(0)0,(1)0,f f ⎧<⎪∴⎨>⎪⎩即60,360,b b -<⎧∴⎨->⎩得102b <<．故选D 2.【答案】D【解析】由题意知，f′（x ）=3ax 2-2x+1，∈三次函数f （x ）=ax 3-x 2+x 在（0，+∞）上存在极大值点， ∈f′（x ）=3ax 2-2x+1=0有两个不同的正实数根或一正一负根， ∈当a ＞0时，此时3ax 2-2x+1=0有两个不同的正实数根， ∈44310203103a aa⎧⎪=-⨯⨯>⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，即0＜a ＜13，∈当a ＜0时，此时3ax 2-2x+1=0有一正一负根，只须∈＞0，即4-12a ＞0，∈a ＜13，∈a ＜0综上所述，a 的范围是(-∞，0)∈(0，13)故选D ．3.【答案】B 【解析】∵f′（x ）=32(1)2(2)(1)x x b x ----=32(1)(1)x b x -+--， ∈若函数f （x ）=22(1)x bx --无极值，则1-b=-1，∈b=2．故选B ．4.【答案】． 11e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，【解析】由求导可得，令，可得． ∵，∴，∴ 又因为所以，有极值，实数的取值范围为．1.【答案】D 【解析】由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项y=x 3单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值． 故选：D ．2.【答案】D【解析】∵()22123213033f x x x x ⎛⎫'=-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立，∴()f x 在R 上单调递增，∴既无极大值也无极小值，故选D ．3.【答案】（1）a=-3，3x+y+3=0 （2）极大值为6e -3，极小值为-2e 【解析】（1）f （x ）=（x 2+a ）•e x ∈f'（x ）=（x 2+2x+a ）•e x … 所以f'（0）=-3∈a=-3，…（4分）所以f （0）=-3，切线方程为3x+y+3=0；…（2）f （x ）=（x 2+a ）•e x ∈f'（x ）=（x 2+2x -3）•e x =（x+3）（x -1）e x ∈f'（x ）=0∈x=-3或x =1，…当x∈（-∞，-3），f'（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x∈（-3，1），f'（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x∈（1，+∞），f'（x ）＞0，f （x ）单调递增，… 所以极大值为f （-3）=6e -3，极小值为f （1）=-2e ．…4.【答案】见解析 【解析】f′（x ）=[x 2+（a+2）x -2a 2+4a]e x令f′（x ）=0 解得x=-2a 或x=a -2以下分三种情况讨论．()ln f x ax x =+1()f x a x '=+1()0f x a x '=+=1a x=-(1)x e ∈，111x e ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，11a e ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，(1)x e ∈，()f x a 11e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，极大值x 11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1a -1e a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()f x '+0-()f x ↗↘随堂练习（1）若a ＞23，则-2a ＜a -2．当x 变化时，f′（x ），f （x ）的变化如下表： -所以f （x ）在（-∞，-2a ），（a -2，+∞）内是增函数在（-a ，a -2）内是减函数 函数f （x ）在x=2处取得极大值f （-2a ），且f （-2a ）=3ae -2a函数f （x ）在x=a -2处取得极小值f （a -2），且f （a -2）=（4-3a ）e a -2（2）若a ＜23则-2a ＞a -2当x 变化时，f′（x ），f （x ）的变化如下表：函数f （x ）在x=2处取得极小值f （-2a ），且f （-2a ）=3ae -2a函数f （x ）在x=a -2处取得极大值f （a -2），且f （a -2）=（4-3a ）e a -2（3）若a=23则-2a=a -2函数f （x ）在（-∞，+∞）内单调递增，此时函数无极值5.【答案】（0，12）【解析】∵f （x ）定义域为（-1，+∞），又f′(x)=2x+1ax +，令f'（x ）=0，则2x+1ax +=0，∈函数在（-1，+∞）内有两个不同的实数根， ∈a=-2x （x+1），令y 1=a ，y 2=-2x （x+1）， 如图示：∈0＜a ＜12． 6.【答案】（1）a=-6，b=9（2）0 【解析】（1）y′=3ax 2+2bx ，当x=1时，y′|x=1=3a+2b=0，y|x=1=a+b=3， 即3203a b a b +=⎧⎨+=⎩，a=-6，b=9（2）y=-6x 3+9x 2，y′=-18x 2+18x ，令y′=0，得x=0或x=1当x ＞1或x ＜0时，y′＜0函数为单调递减；当0＜x ＜1时，y′＞0，函数单调递增． ∈y 极小值=y|x=0=0．7.1）；（2）．【解析】．（1）当时，，则曲线在点处的切线方程为； （2）显然，当时，即时函数有极值．1 + 0 - 0 +递增极大值点递减极小值点递增此时，函数极大值为．1+ 00 +递增极大值点 递减极小值点递增此时，函数极大值为 ． 综上，．8.【答案】[13，+∞）【解析】f′（x ）=3x 2+2x+m ，∈函数f （x ）=x 3+x 2+mx+1在R 上无极值点， ∈f （x ）在R 上是单调函数，∈∈=4-12m≤0，解得m≥13，0y =()24(1)26=2223aa a f x a a -⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩极大值，，()()()2111f x x ax a x x a '=-+-=---⎡⎤⎣⎦1a =()00k f '==()y f x =()00，0y =11a -≠2a ≠2a <11a -<x ()1a -∞-，1a -()11a -，()1+∞，()f x '()f x ()y f x =()()2116f a a -=-x ()1-∞，()11a -，1a -()f x '-()f x ()y f x =()213f =-()24(1)26=2223a a a f x a a -⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩极大值，，故答案为：[13，+∞）．9.【答案】B【解析】根据题意，y'=3x 2-2a=0有解，所以a ＞0 23a 所以23a 所以023a 1 0＜23a ＜1 0＜a ＜3210【答案】C【解析】根据题意和图形知结合函数的图象分析：可得A ，B ，D 可能．当0是f （x ）的极大值时，不是g （x ）的极值是不可能的，选C ．11【答案】D【解析】∈f （x ）=2x+lnx ； ∈f′（x ）=-22x +1x =22x x ； x ＞2∈f ′（x ）＞0；0＜x ＜2∈f ′（x ）＜0．∈x=2为 f （x ）的极小值点．故选：D ．12【答案】（Ⅰ）54，（Ⅱ）函数f （x ）的单调递增区间为（5，+∞）； 单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值-ln5．【解析】（∈）∈f （x ）=4x +a x -lnx -32， ∈f′（x ）=14-2a x -1x， ∈曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线y=12x ． ∈f′（1）=14-a -1=-2，解得：a=54， （∈）由（∈）知：f （x ）=4x +54x -lnx -32，f′（x ）=14-254x -1x =22454x x x --（x ＞0）， 令f′（x ）=0，解得x=5，或x=-1（舍），∈当x∈（0，5）时，f′（x ）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x ）＞0，故函数f （x ）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值-ln5．13【答案】当时，函数不存在极值；当时，函数在处取得极大值．无极小值．【解析】函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+=． 当a≥0时，f'（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上为增函数，此时函数不存在极值．当a ＜0时，由f'（x ）＞0，解得0＜x ＜-，此时函数递增．由f'（x ）＜0，解得x ＞-此时函数递减．此时函数在x=-处取得极大值．无极小值． 综上所述：当时，函数不存在极值；当时，函数在处取得极大值．无极小值．14【答案】的极小值点为【解析】，导数=， ≥e ，即a≥e 2时，在区间（1，e ）上单调递减，无极值点．②当＜e ，即1＜a ＜e 2时，在区间(1)上单调递减，在区间(，e)单调递增，则的极小值点为，无极大值点．15【答案】3【解析】f′（x ）=22222(1)x x x a x +--+=222(1)x x a x +-+． 因为f （x ）在1处取极值，所以1是f′（x ）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为316【答案】411-，【解析】22()32.(1)320,(1)110f x x ax b f a b f a b a =++=++==+++=′由已知得′，22334311.9a b a a b b a a b +=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨==-++=⎩⎩⎩，，，联立解得或，当3a =-时，1x =不是极值点． 当411a b ==-，时满足题意．0a ≥0a <1x a=-()f x 1x 1ax x+1a 1a1a0a ≥0a <1x a=-()f x x a ()2ln 2x f x a x =-()a f x x x '=-2x a x-()()x a x a +-a ()f x ()f x a ()f x a a ()f x a。
高考题型专题讲解1： 含参数导数问题的分类讨论
对于第③种情况，
g
(
x
)
=
0
有两个不等的实根，
x1
=
1 2a
−
和 (a −1)(3a −1)
2a(1− a)
1 x2 = 2a +
(a −1)(3a − 2a (1− a)
1)
．由于不知道两根是否落在定义域
(0,
+∞
)
内，因此要考虑讨论点
2
，
而利用韦达定理进行判断是一个快捷的方法．
因为 ， ，所以当 时，有 且 ，此时 x1
1 / 10
况．由于 g(x) 的函数类型不能确定，所以需要对a 进行分类讨论从而确定函数的类型．
（1）当 a =1时，g (x) 是常数函数，此时 g (x) =1， f ′(x) = 1 > 0 ，于是 f (x) 在(0,+∞) x
上递增．
（2）当a ≠1时，g(x) 是二次函数，类型确定后，我们首先考虑讨论点1—— f ′(x) = 0是
（2）若 ln
1 1
+ −
x x
≥
a
x
对
x
∈ ( −1,1)
恒成立，求正数
a
的最大值．
【解析】（1）定义域为(0,+∞) ， f ′(x) = 1 − k = −kx +1 ．
x
x
法 1：①当 k = 0 时， f ′(x) = 1 > 0 ，函数 f (x) 在[1,2] 为增函数，所以 x
． f ( x)min = f (1) = 0
否有实根的问题．由于 g(x) 不能因式分解，所以我们考虑其判别式∆ = 4(a −1)(3a −1) ，判
高考数学一轮复习 第十一节 第二课时 导数与函数极值、最值课件 理 新人教A版
得 f′(1)＝0，即 1－a＝0，解得 a＝e. e
思考：对函数求导后参数a对导数值正负有什么
影响？
(2)f′(x)＝1－eax， ①当 a≤0 时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数， 所以函数 f(x)无极值． ②当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 ex＝a，即 x＝ln a. x∈(－∞，ln a)，f′(x)<0；x∈(ln a，＋∞)，f′(x)>0， 所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调 递增，
在[1a, 2]上是减函数．又 f(2)－f(1)＝ln 2－a，∴当12<a<ln 2
时，最小值是 f(1)＝－a； 当 ln 2≤a<1 时，最小值为 f(2)＝ln 2－2a. 综上可知， 当 0<a<ln 2 时，函数 f(x)的最小值是－a； 当 a≥ln 2 时，函数 f(x)的最小值是 ln 2－2a.
②当 a>0 时，令 f′(x)＝x1－a＝0，可得 x＝1a， 当 0<x<a1时，f′(x)＝1－xax>0； 当 x>1a时，f′(x)＝1－xax<0， 故函数 f(x)的单调递增区间为0，1a， 单调递减区间为1a，+ ∞.
提示：讨论极值在区间[1, 2]内、外确定最值！
解：由 f′(x)＝1－ax＝x－x a，x>0 知： (1)当 a≤0 时，f′(x)>0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极值； (2)当 a>0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a. 又当 x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 从而函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－aln a， 无极大值．
导数与函数极值最值
导数与函数的极值与最值1. 函数的极值⑴．判断 f (x 0)是极值的方法一般地，当函数 y ＝f (x )在点 x 0 处连续时，①．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＞0，右侧 f ′(x )＜0，那么 f (x 0)是极大值； ②．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＜0，右侧 f ′(x )＞0，那么 f (x 0)是极小值． ⑵．求可导函数极值的步骤：①．求 f ′(x )；②．求方程 f ′(x )＝0 的根；③．检查 f ′(x )在方程 f ′(x )＝0 的根左右值的符号．如果左正右负，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2. 函数的最值⑴．在闭区间[a ，b ]上连续的函数 y ＝f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．⑵．若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递增，则 f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递减，则 f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．⑶．设函数 f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求 f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①．求 f (x )在(a ，b )内的极值；②．将 f (x )的各极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3. 利用极值求参数1. 极值点使得导函数为0，即极值点为导函数的零点.2. 极值点的个数就是导函数变号零点的个数3. 方法：①直接法：直接求方程，得到方程的根，在通过解不等式确定参数取值范围； ②分离参数法：将参数分离，构造新函数转化成求最值或者值域的问题； ③数形结合：先对解析式变形，在坐标系中画出函数图像，通过找交点求解.题型一 求极值【例1】(1)（2019·湖北高二期末）函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ）A ．12为()f x 的极大值点 B ．2-为()f x 的极大值点 C ．2为()f x 的极大值点D ．45为()f x 的极小值点 (2)（2019·黑龙江铁人中学高二期中（文））函数()()2312f x x =-+的极值点是（ ） A ．0x =B ．1x =C ．1x =-或1D ．1x =或0【解析】(1)对于A 选项，当122x -<<时，()0f x '>，当122x <<时，()0f x '<，12为()f x 的极大值点，A 选项正确；对于B 选项，当2x <-时，()0f x '<，当122x -<<时，()0f x '>，2-为()f x 的极小值点，B 错误； 对于C 选项，当122x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，2为()f x 的极小值点，C 选项错误； 对于D 选项，由于函数()y f x =为可导函数，且405f ⎛⎫'<⎪⎝⎭，45不是()f x 的极值点，D 选项错误.故：A. (2)函数的导数为2233()2(1)(3)6(1)f x x x x x '=-⨯=-， 当()0f x '=得0x =或1x =，当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<， 所以1x =是极小值点.当0x <时，()0f x '<，当01x <<时，()0f x '<， 所以0x =不是极值点.故选B .【举一反三】1．（2018·安徽高二期末（理））函数()321313f x x x x =+--的极小值点是（ ） A ．1B ．（1，﹣83）C ．3-D ．（﹣3，8）【解析】()223f x x x =+-'，由2230x x +-=得31x =-或 函数()321313f x x x x =+--在(),3-∞-上为增函数，()3,1-上为减函数， ()1+∞，上为增函数，故()f x 在1x =处有极小值，极小值点为1.选A 2．（2019·安徽高二月考（文））已知函数()2ln f x ax b x =+在点M (1,1)处的切线方程为230x y +-=.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()y f x =的单调区间和极值.【答案】（1）f (x )=x 2-4lnx （2）函数()f x 的单调递增区间是(，单调递减区间是)+∞.极小值为22ln 2-，无极大值 【解析】（1）()2bf x ax x'=+， 因为点M (1,1)处的切线方程为2x +y -3=0，所以()()11122f a f a b ⎧==⎪⎨=+=-'⎪⎩,所以14a b =⎧⎨=-⎩，则f (x )=x 2-4lnx ;（2）定义域为(0,+∞),()24242x f x x x x-'=-=,令()0f x '=，得x =. 列表如下：故函数()f x 的单调递增区间是(，单调递减区间是)+∞.极小值为222ln 2f=-=-，无极大值.题型二 求最值【例2】（2019·黑龙江铁人中学高二期中 ）函数32()32f x x x =-+在区间[－1，1]上的最大值是（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．－2【答案】B【解析】令()2360f x x x '=-=，解得0x =2x =.()()()()02,22,12,10f f f f ==--=-=，故函数的最大值为2，所以本小题选B.【举一反三】1．（2019·湖南高一月考）已知函数2()4,[0,3],f x x x a x =-++∈若()f x 有最小值2-，则()f x 的最大值为____【解析】二次函数()y f x = 在[]0,2x ∈ 单调递增，当(]2,3x ∈ 单调递减故在x=0时取得最小值，即a=2题型三 利用极值最值求参数【例3】(1)（2019·河北唐山一中高三期中（理））若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）．A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1(2)（2019·贵州省铜仁第一中学高三（文））若函数()333f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则b 的取值范围为（ ） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <(3)（2019·安徽高二月考（文））若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是 A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)【答案】(1)A(2)A(3)C 【举一反三】1.已知是函数的极小值点，则的范围是_____2.已知是函数的极小值点，则取值范围________3.已知函数有两个极值点，且，则（ ）4.（2019·新疆高三月考）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是____．5.若函数在区间内有极值，则取值范围（ C ）0x =()()()22222f x x a x a x a=-++a ()(),02,-∞⋃+∞1x =()()()2202xk f x x e x kx k =--+>k ()0,e ()221ln f x x x a x =-++12,x x 12x x <D ()212ln 2.4A f x +<-()212ln 2.4B f x -<()212ln 2.4C f x +>-()212ln 2.4D f x ->()()()2122ln 02ax f x a x x a =-++>1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭a6. 若函数在上有小于零的极值点，实数的取值范围是（ ）7. 若函数在区间恰有一个极值点，则实数取值范围______.8. 已知函数在区间上至少有一个极值点，实数取值范围______ 课后训练：1．（2019·江西高三期中（文））若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(),1-∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞【答案】D 【解析】依题意()'2666f x x mx =-+，由于函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，所以()'2666fx x mx =-+在区间()1,+∞上有正有负，由于二次函数()'2666f x x mx =-+开口向上，对称轴为2m x =，2364660m ∆=-⨯⨯>，解得2m <-或2m >.当2m <-时，对称轴12mx =<-，()'060f =>故此时在区间()1,+∞上()'0f x >，函数()f x 单调递增，没有极值点.当2m >时，由于()'16661260f m m =-+=-<，且二次函数()'2666f x x mx =-+开口向上，故()'2666f x x mx =-+区间()1,+∞上必存在零点，也即()f x 在区间()1,+∞上存在极值点. 故选：D.2．（2019·陕西高三（文））函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤【答案】C【解析】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x =+=⇒=-<'，即0a <，应选答案C 。
高考数学一轮总复习课件：导数的应用(二) ——极值与最值
(2)(2020·河北冀州中学摸底)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 __(_－_1_，__0)_．
【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝ －1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当 x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′ (x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极 大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1， 0)．
第3课时 导数的应用(二) ——极值与最值
[复习要求] 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 不超过三次).3.会求闭区间上的最大值、最小值(其中多项式函 数不超过三次)．
课前自助餐
函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点， 都有 f(x)___<___f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)__>____f(x0)， 那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与 极小值统称为极值．
2020年高考数学一轮总复习集合函数导数专题18含参数导数题型规律总结(2)文(含解析)
专题18含参数导数题型规律总结（2）一、本专题要特别小心：1.图形考虑不周陷阱；2.思维定式陷阱（与等式有关的构造函数）；3. 已知条件中含有导函数值而无从下手；4.恒成立中的最值陷阱5. 含有导函数的式子中的和差构造陷阱6.与三角函数有关的构造函数7.忽视分母造成解集不完备8.与指数函数对数函数有关的构造二．【知识点】1.函数的极值(1)若可导函数f(x)在x＝x0处导数值为0，且在x＝x0处的左边f′(x0)＞0，在x＝x0处的右边f′(x0)＜0，则f(x)在x＝x0处有极大值.(2)若可导函数f(x)在x＝x0处导数值为0，且在x＝x0处的左边f′(x0)＜0，在x＝x0处的右边f′(x0)＞0，则f(x)在x＝x0处有极小值.(3)可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点不一定是极值点，如y＝x3在x＝0处导数值为零，但x＝0不是极值点.2.函数的最值(1)连续函数f(x)在闭区间[a，b]上必有最大值与最小值.(2)最值的求法：先求f(x)在(a，b)上的极值，再将各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.3.极值与最值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是函数在整个区间上的函数值的比较.(2)函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值.(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值(单峰函数)，则极大值即是[a，b]上的最大值，极小值即是[a，b]上的最小值.三．【题型方法总结】（一）多次求导例1. 设f″（x）是的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数（）都有对称中心，其中满足．已知，则_________．【答案】4036.【解析】根据题意，对于函数，有f ′（x ）＝x 2﹣x +3，f ″（x ）＝2x ﹣1．由f ″（x ）＝0，即2x ﹣1＝0，即x ＝，又由f （）＝2， 即函数的对称中心为（，2），则有f （x ）+f （1﹣x ）＝4， 则=＝4×1009＝4036； 故答案为：4036．练习1. 已知函数．（Ⅰ）若1是函数()f x 的一个极值点，求()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下证明：.【答案】（Ⅰ）()0,1；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意，函数，则，由1是函数()f x 的一个极值点，所以，解得0a =，则，令()0f x '<，得(0,1)x ∈所以()f x 的单调递减区间为(0,1) . （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下要证，即证，令，则，令，则，故函数()h x 在(0,)+∞为单调递增， 又，所以01(,)2x e ∃∈，使得0()0h x =，即001x x e=，则()g x 在0(0,)x 递减，在0(,)x +∞上递增， 故，故．练习2. 已知函数（1）讨论函数在上的单调性； （2）若，不等式对恒成立，求取值范围.【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为 (2)【解析】（1）的定义域为，，若，因为，所以，所以，所以在上单调递减，若，令，得，当时，； 当时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为（2），即对恒成立， 令，则，令，得，当时，； 当时，，所以的最小值为， 令，则，令，得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以当时，的最小值为；当时，的最小值为故的取值范围是（二）由导函数构造原函数例2. 设是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为__________．【答案】.【分析】由，构造新函数，求导，利用已知的不等式，可以判断出函数的单调性，从而利用单调性求出不等式的解集.【解析】，构造新函数，且，不等式变为，，由已知，所以是上的减函数，因为，所以，因此不等式（其中为自然对数的底数）的解集为.练习1．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】令，则，∵，∴，函数在递减，∴，∴，，∴，即，故，解得：，∴.故答案为：练习2. 已知定义在R上的可导函数f (x)的导函数为，满足＜f (x)，且f (x＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x)＜e x的解集为________．【答案】【解析】令，则，∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0．∴g（x）在R上单调递减．∵函数f（x+2）是偶函数，∴函数f（﹣x+2）＝f（x+2），∴函数关于x＝2对称，∴f（0）＝f（4）＝1，原不等式等价为g（x）＜1，∵g（0）1．∴g（x）＜1⇔g（x）＜g（0），∵g（x）在R上单调递减，∴x＞0．∴不等式f（x）＜e x的解集为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．练习3.已知定义在的函数的导函数，且满足，，则的解集为__________。
函数的极值(第一课时)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
练习
题型二：运用导数解决函数的极值问题
例2.求函数() = 2 − 的极值.
解：函数的定义域为，
’ () = 2 − + 2 − ∙ (−1) = 2 − − 2 − = (2 − ) − .
令 ’ () = 0，得(2 − ) − = 0，解得 = 0或 = 2.
(3)解方程 ’ () = 0得方程的根；
(4)利用方程 ’ () = 0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各
个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果 ’ ()的符号在0 处由正(负)变负(正)，则()在0 处取
得极大(小)值.
练习
方法技巧：
2.已知函数极值求参数时的注意点：
答案：√，√，×.
辨析2.函数() = + 2
A.0
6
B.
答案：B.
C.
3
2
D.
在[0， ]上的极大值点为(
2
).
例析
1
l l 3
1
= 3
3
例5.求函数() = 3 − 4 + 4的极值.
解：因为()
− 4 + 4，所以
’ () = 2 − 4 = ( − 2)( + 2).
练习
变1.(多选)已知函数 = ’ ()的图象如图所示，则下列说
法正确的是(
).
A.函数()在区间(1， + ∞)上是增函数
B.函数()在区间(−1，1)上无单调性
C.函数()在 =
1
− 处取得极大值
2
D.函数()在 = 1处取极小值
导数与函数的极值、最值
导数与函数的极值、最值 考点一 利用导数研究函数的极值考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值[例1] 已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数f (x )的极值．[解] 由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex .①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0， 得e x ＝a ，即x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．[例2] 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R.讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．[解] f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x ＞－1)．令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝1，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当 a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． 当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． 当a ＞89时，Δ＞0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1＜－14，x 2＞－14.由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0, 函数f (x )单调递增． 因此函数f (x )有两个极值点．③当a ＜0时，Δ＞0，由g (－1)＝1＞0， 可得x 1＜－1＜x 2.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减． 所以函数f (x )有一个极值点．综上所述，当a ＜0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a ＞89时，函数f (x )有两个极值点．考法(二) 已知函数的极值点的个数求参数[例3] 已知函数g (x )＝ln x －mx ＋mx 存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围．[解] 因为g (x )＝ln x －mx ＋mx，所以g ′(x )＝1x －m －mx 2＝－mx 2－x ＋m x 2(x ＞0)，令h (x )＝mx 2－x ＋m ，要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2，则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h (0)＞0，12m＞0，h ⎝⎛⎭⎫12m ＜0，解得0＜m ＜12.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12. 考法(三) 已知函数的极值求参数[例4] (2018·北京高考)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． [解] (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . 所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1.此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a ＞12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )＜0; 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2＜0，ax －1≤12x －1＜0，所以f ′(x )＞0.所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 考点二 利用导数研究函数的最值[典例精析]已知函数f (x )＝ln x x －1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m ＞0，求函数f (x )在区间[m,2m ]上的最大值．[解] (1)因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )＞0，x ＞0，得 0＜x ＜e ；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )＜0，x ＞0，得x ＞e.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)①当⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤e ，m ＞0，即0＜m ≤e 2时，函数f (x )在区间[m,2m ]上单调递增，所以f (x )max ＝f (2m )＝ln (2m )2m－1；②当m ＜e ＜2m ，即e2＜m ＜e 时，函数f (x )在区间(m ，e)上单调递增，在(e,2m )上单调递减，所以f (x )max ＝f (e)＝ln e e －1＝1e－1； ③当m ≥e 时，函数f (x )在区间[m,2m ]上单调递减， 所以f (x )max ＝f (m )＝ln mm－1.综上所述，当0＜m ≤e 2时，f (x )max ＝ln (2m )2m －1；当e 2＜m ＜e 时，f (x )max ＝1e －1； 当m ≥e 时，f (x )max ＝ln mm－1. [题组训练]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x ＜12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当cos x ＞12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.答案：－3322．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx (其中a ，b 为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0，e]上的最大值为1，求a 的值．解：(1)因为f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋b ，因为函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx 在x ＝1处取得极值， 所以f ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，又a ＝1，所以b ＝－3，则f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间为⎝⎭⎫0，12，(1，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭12，1. (2)由(1)知f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x＝(2ax －1)(x －1)x(x ＞0)，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝12a， 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x 2＝12a≠x 1＝1.①当a ＜0，即12a ＜0时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在区间(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2. ②当a ＞0，即x 2＝12a＞0时，若12a ＜1，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，[1，e]上单调递增，在⎣⎡⎭⎫12a ，1上单调递减，所以最大值可能在x ＝12a 或x ＝e 处取得，而f ⎝⎛⎭⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝⎛⎭⎫12a 2－(2a ＋1)·12a ＝ln 12a －14a－1＜0， 令f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2. 若1＜12a ＜e ，f (x )在区间(0,1)，⎣⎡⎦⎤12a ，e 上单调递增，在⎣⎡⎭⎫1，12a 上单调递减， 所以最大值可能在x ＝1或x ＝e 处取得， 而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0， 令f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1， 解得a ＝1e －2，与1＜x 2＝12a ＜e 矛盾．若x 2＝12a ≥e ，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以最大值可能在x＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0，矛盾．综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2.考点三 利用导数求解函数极值和最值的综合问题[典例精析](2019·贵阳模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax ＋a (a ∈R)．(1)若函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在x ＝x 1和x ＝x 2处取得极值，且x 2≥ e x 1(e 为自然对数的底数)，求f (x 2)－f (x 1)的最大值．[解] (1)∵f ′(x )＝1x＋x －a (x ＞0)，又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴恒有f ′(x )≥0， 即1x ＋x －a ≥0恒成立，∴a ≤⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ， 而x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”，∴a ≤2. 即函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数时，a 的取值范围是(－∞，2]． (2)∵f (x )在x ＝x 1和x ＝x 2处取得极值， 且f ′(x )＝1x ＋x －a ＝x 2－ax ＋1x (x ＞0)，∴x 1，x 2是方程x 2－ax ＋1＝0的两个实根， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝1，∴f (x 2)－f (x 1)＝ln x 2x 1＋12(x 22－x 21)－a (x 2－x 1)＝ln x 2x 1－12(x 22－x 21)＝ln x 2x 1－12(x 22－x 21)1x 1x 2＝ln x 2x 1－12⎝⎛⎭⎫x 2x 1－x 1x 2， 设t ＝x 2x 1(t ≥ e)，令h (t )＝ln t －12⎝⎛⎭⎫t －1t (t ≥ e)， 则h ′(t )＝1t －12⎝⎛⎭⎫1＋1t 2＝－(t －1)22t 2＜0，∴h (t )在[e ，＋∞)上是减函数， ∴h (t )≤h (e)＝12⎝⎛⎭⎫1－ e ＋ee ，故f (x 2)－f (x 1) 的最大值为12⎝⎛⎭⎫1－ e ＋ee .[题组训练]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x (a ＞0)的导函数f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 解：(1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x(e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x.令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x ＞0，所以f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a ＞0，所以当－3＜x ＜0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0， 当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＝9a －3b ＋ce －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x .由(1)可知当x ＝0时f (x )取得极大值f (0)＝5，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者． 而f (－5)＝5e－5＝5e 5＞5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.[课时跟踪检测]A 级1．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最小值为( )A ．0 B.1e C.4e4 D.2e2 解析：选A f ′(x )＝1－xex ，当x ∈[0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈(1,4]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，因为f (0)＝0，f (4)＝4e 4＞0，所以当x ＝0时，f (x )有最小值，且最小值为0.2．若函数f (x )＝a e x －sin x 在x ＝0处有极值，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．e解析：选C f ′(x )＝a e x －cos x ，若函数f (x )＝a e x －sin x 在x ＝0处有极值，则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1，经检验a ＝1符合题意，故选C.3．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( ) A ．15 B ．16 C ．17D ．18解析：选D 因为x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，所以f ′(2)＝12－3a ＝0，解得a ＝4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＝0，得x ＝±2，故函数f (x )在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝18.4.(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.163解析：选C 由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，则x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两个不同的实数根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83. 5．(2019·泉州质检)已知直线y ＝a 分别与函数y ＝e x＋1和y ＝ x －1交于A ，B 两点，则A ，B 之间的最短距离是( )A.3－ln 22B.5－ln 22C.3＋ln 22D.5＋ln 22解析：选D 由y ＝e x＋1得x ＝ln y －1，由y ＝x －1得x ＝y 2＋1，所以设h (y )＝|AB |＝y 2＋1－(ln y －1)＝y 2－ln y ＋2，h ′(y )＝2y －1y ＝2⎝⎛⎭⎫y －22⎝⎛⎭⎫y ＋22y (y ＞0)，当0＜y ＜22时，h ′(y )＜0；当y ＞22时，h ′(y )＞0，即函数h (y )在区间⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增，所以h (y )min ＝h ⎝⎛⎭⎫22＝⎝⎛⎭⎫222－ln 22＋2＝5＋ln 22.6．若函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a ＞0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a ＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ＞a 或x ＜－a 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，∴f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )．∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a ＞0且f (a )＝a 3－3a 3＋a ＜0， 解得a ＞22. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫22，＋∞7．(2019·长沙调研)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a ＞12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________.解析：由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a ，当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＞0；当x ＞1a时，f ′(x )＜0.∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1. 答案：18．(2018·内江一模)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R)，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫π3，f ⎝⎛⎭⎫π3处的切线方程为y ＝x －π3.(1)求a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3x 在⎝⎛⎦⎤0，π2上的最小值．解：(1)由切线方程知，当x ＝π3时，y ＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫π3＝32a ＋12b ＝0. ∵f ′(x )＝a cos x －b sin x ，∴由切线方程知，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝12a －32b ＝1， ∴a ＝12，b ＝－32.(2) 由(1)知，f (x )＝12sin x －32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，∴函数g (x )＝sin x x ⎝⎛⎭⎫0＜x ≤π2，g ′(x )＝x cos x －sin x x 2.设u (x )＝x cos x －sin x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2，则u ′(x )＝－x sin x ＜0，故u (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．∴u (x )＜u (0)＝0，∴g (x )在⎝⎛⎦⎤0，π2上单调递减．∴函数g (x )在 ⎝⎛⎦⎤0，π2上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫π2＝2π. 9．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x (a ＞0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：由题意，知函数的定义域为{x |x ＞0}，f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x 2(a ＞0)．(1)由f ′(x )＞0，解得x ＞1a，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞； 由f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1a ，所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ，无极大值． (2)不存在，理由如下：由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增． ①若0＜1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件．②若1＜1a ≤e ，即1e ≤a ＜1时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1，1a 上为减函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，而1e≤a ＜1，故不满足条件． ③若1a ＞e ，即0＜a ＜1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e ＝a ＋1e ＝0，即a ＝－1e ，而0＜a ＜1e，故不满足条件．综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.B 级1．(2019·郑州质检)若函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，则a ，b 的值为( )A ．a ＝3，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11B ．a ＝－4，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11C ．a ＝－4，b ＝11D ．以上都不对解析：选C 由题意，f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，则f ′(1)＝0，即2a ＋b ＝3.①f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10，即a 2－a －b ＝9.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3. 经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3不符合题意，舍去．故选C. 2．(2019·唐山联考)若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(a －1，a ＋1)内存在极值，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，得函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x ＝4x 2－12x，令f ′(x )＝0，得x ＝12⎝⎛⎭⎫x ＝－12舍去， 则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≥0，a －1＜12，a ＋1＞12，解得1≤a ＜32. 答案：⎣⎡⎭⎫1，32 3．(2019·德州质检)已知函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是________．解析：由f ′(x )＝－x 2＋1，知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在[－1,1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f (x )在(a,10－a 2)上存在最大值的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜1，10－a 2＞1，f (1)≥f (a )，其中f (1)≥f (a )，即为－13＋1≥－13a 3＋a ，整理得a 3－3a ＋2≥0，即a 3－1－3a ＋3≥0，即(a －1)(a 2＋a ＋1)－3(a －1)≥0，即(a －1)(a 2＋a －2)≥0，即(a －1)2(a ＋2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，10－a 2＞1，(a －1)2(a ＋2)≥0，解得－2≤a ＜1.答案：[－2,1)4.已知函数f (x )是R 上的可导函数，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图，则下列结论正确的是( )A ．a ，c 分别是极大值点和极小值点B ．b ，c 分别是极大值点和极小值点C ．f (x )在区间(a ，c )上是增函数D ．f (x )在区间(b ，c )上是减函数解析：选C 由极值点的定义可知，a 是极小值点，无极大值点；由导函数的图象可知，函数f (x )在区间(a ，＋∞)上是增函数，故选C.5.如图，在半径为103的半圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中A ，B 在直径上，C ，D 在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁与拼接损耗)，记圆柱形罐子的体积为V ，设AD ＝x ，则V max ＝________.解析：设圆柱形罐子的底面半径为r ，由题意得AB ＝2(103)2－x 2＝2πr ，所以r ＝300－x 2π， 所以V ＝πr 2x ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫300－x 2π2x ＝1π(－x 3＋300x )(0＜x ＜103)，故V ′＝－3π(x 2－100)＝－3π(x ＋10)(x －10)(0＜x ＜103)． 令V ′＝0，得x ＝10(负值舍去)，则V ′，V 随x 的变化情况如下表：所以当x ＝10所以V max ＝2 000π. 答案：2 000π6．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x (x ＋1)2，其中a 为常数． (1)当1＜a ≤2时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ＞0时，求g (x )＝x ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1xln(1＋x )的最大值． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x (x －2a ＋3)(x ＋1)3， ①当－1＜2a －3＜0，即1＜a ＜32时， 当－1＜x ＜2a －3或x ＞0时，f ′(x )＞0，则f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增， 当2a －3＜x ＜0时，f ′(x )＜0，则f (x )在(2a －3,0)上单调递减．②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增． ③当2a －3＞0，即a ＞32时， 当－1＜x ＜0或x ＞2a －3时，f ′(x )＞0，则f (x )在(－1,0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，当0＜x ＜2a －3时，f ′(x )＜0，则f (x )在(0,2a －3)上单调递减．综上，当1＜a ＜32时，f (x )在(－1,2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3,0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32＜a ≤2时，f (x )在(－1,0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0,2a －3)上单调递减． (2)∵g (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln(1＋x )－x ln x ＝g ⎝⎛⎭⎫1x ， ∴g (x )在(0，＋∞)上的最大值等价于g (x )在(0,1]上的最大值．令h (x )＝g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1－1x 2ln(1＋x )＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x ·11＋x －(ln x ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－1x 2ln(1＋x )－ln x ＋1x－21＋x， 则h ′(x )＝2x 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (1＋x )－2x 2＋x (x ＋1)2. 由(1)可知当a ＝2时，f (x )在(0,1]上单调递减，∴f(x)＜f(0)＝0，∴h′(x)＜0，从而h(x)在(0,1]上单调递减，∴h(x)≥h(1)＝0，∴g(x)在(0,1]上单调递增，∴g(x)≤g(1)＝2ln 2，∴g(x)的最大值为2ln 2.。
高等数学求极值的方法
高等数学求极值的方法
高等数学中，求极值的方法有以下几种：
1. 导数法：对于一元函数，求解其导数，然后按照导数的性质判断临界点的类型（最大值、最小值还是拐点），再根据函数在临界点和区间端点的取值情况确定极值。
2. 条件极值法：对于含有一个或多个约束条件的极值问题，可以通过构建拉格朗日函数，并利用约束条件求解导数为零的点，然后根据约束条件和拉格朗日函数在这些点上的取值情况确定极值。
3. 二阶导数法：对于二次函数，可以利用二阶导数的符号判断极值点的类型（凹点还是凸点），然后根据函数在极值点和区间端点的取值情况确定极值。
4. 参数法：对于含有参数的函数，可以通过求导数并整理化简后，推导出关于参数的方程，进而求解参数值对应的极值点。
5. 函数图像法：通过观察函数的图像，寻找函数的极大值和极小值。
2022年 《学案5.3.2函数的极值与最大小值》优秀教案
函数的极值与最大小值第1课时函数的极值与导数1．极值点与极值1极小值点与极小值假设函数＝f 在点＝a的函数值f a比它在点＝a附近其他点的函数值都小，f ′a＝0，而且在点＝a附近的左侧f ′＜0，右侧f ′＞0，就把点a叫做函数＝f 的极小值点，f a叫做函数＝f 的极小值．2极大值点与极大值假设函数＝f 在点＝b的函数值f b比它在点＝b附近其他点的函数值都大，f ′b＝0，而且在点＝b附近的左侧f ′＞0，右侧f ′＜0，就把点b叫做函数＝f 的极大值点，f b叫做函数＝f 的极大值．3极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．思考：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f ＝3，f ′0＝0，但＝0不是f ＝3的极值点．所以，当f ′0＝0时，要判断＝0是否为f 的极值点，还要看f ′在0两侧的符号是否相反．2．求可导函数＝f 的极值的方法解方程f ′＝0，当f ′0＝0时：1如果在0附近的左侧f ′＞0，右侧f ′＜0，那么f 0是极大值；2如果在0附近的左侧f ′＜0，右侧f ′＞0，那么f 0是极小值．1．判断正误正确的打“√〞，错误的打“×〞1极大值一定比极小值大．2每一个函数都至少有一个极大值或极小值．3假设f ′0＝0，那么0一定是极值点．4单调函数不存在极值．[提示]1极大值不一定比极小值大，∴1错误；2有的函数可能没有极值．∴2错；3假设f ′0＝0，只有导函数的变号零点，0才是极值点，故3错误；4正确．[答案]1×2×3×4√2．函数f 的定义域为R，导函数f ′的图象如下图，那么函数fA．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[设＝f ′的图象与轴的交点从左到右横坐标依次为1，2，3，4，那么f 在＝1，＝3处取得极大值，在＝2，＝4处取得极小值．]3．多项选择题以下四个函数中，在＝0处取得极值的函数是A．＝3B．＝2＋1C．＝|| D．＝2BC[对于A，′＝32≥0，∴＝3单调递增，无极值；对于B，′＝2，＞0时′＞0，＜0时′＜0，∴＝0为极值点；对于C，根据图象，在0，＋∞上单调递增，在－∞，0上单调递减，∴C符合；对于D，＝2单调递增，无极值．应选BC]4．函数f ＝＋2co 在错误!上的极大值点为A．0B．错误!C．错误!D．错误!B[f ′＝1－2in ．令f ′＝0，∵∈错误!，∴＝错误!，∈错误!时f ′＜0，∈错误!时，f ′＞0∴＝错误!是f 在错误!上的极大值点．]不含参数的函数求极值【例1】求以下函数的极值：1＝3－32－9＋5；2＝3－52[解]1∵′＝32－6－9，令′＝0，即32－6－9＝0，解得1＝－1，2＝3当变化时，′，的变化情况如下表：－∞，－1－1－1，333，＋∞′＋0－0＋↗极大值↘极小值↗∴当＝－1时，函数＝f 有极大值，且f －1＝10；当＝3时，函数＝f 有极小值，且f 3＝－222′＝32－52＋23－5＝52－3－5．令′＝0，即52－3－5＝0，解得1＝0，2＝3，3＝变化时，′与的变化情况如下表：－∞，000，333，555，＋∞′＋0＋0－0＋↗无极值↗极大值108↘极小值0↗∴＝0不是的极值点；＝3是的极大值点，极大值＝f 3＝108；＝5是的极小值点，极小值＝f 5＝0一般地，求函数＝f的极值的步骤1求出函数的定义域及导数f′；2解方程f′＝0，得方程的根0可能不止一个；3用方程f′＝0的根，顺次将函数的定义域分成假设干个开区间，可将，f′，f 在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；4由f′在各个开区间内的符号，判断f在f′＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数f在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点[跟进训练]1．求函数f ＝33－3＋1的极值．[解] f ′＝92－3，令f ′＝0，得1＝－错误!，2＝错误!当变化时，f ′，f 的变化情况如下表：错误!－错误!错误!错误!错误!f ′＋0－0＋f ↗极大值↘极小值↗1错误!3错误!错误!＝错误!为函数f ＝33－3＋1的极小值点，极小值为f 错误!＝1－错误!2含参数的函数求极值[思路探究]错误!―→错误!―→错误!―→错误![解]∵f ＝163－2021＋8a2－a3，其中a≠0，∴f ′＝482－40a＋8a2＝862－5a＋a2＝82－a3－a，令f ′＝0，得1＝错误!，2＝错误!①当a＞0时，错误!＜错误!，那么随着的变化，f ′，f 的变化情况如下表：错误!错误!错误!错误!错误!f ′＋0－0＋f ↗极大值↘极小值↗错误!错误!错误!当＝错误!时，函数f 取得极小值，为f 错误!＝0②当a＜0时，错误!＜错误!，那么随着的变化，f ′，f 的变化情况如下表：错误!错误!错误!错误!错误!f ′＋0－0＋f ↗极大值↘极小值↗∴当＝错误!时，函数f 取得极大值，为f 错误!＝0；当＝错误!时，函数f 取得极小值，为f 错误!＝错误!综上，当a＞0时，函数f 在＝错误!处取得极大值错误!，在＝错误!处取得极小值0；当a＜0时，函数f 在＝错误!处取得极大值0，在＝错误!处取得极小值错误!函数极值的注意点1求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，假设异号，那么该点是极值点，否那么不是极值点2求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′的零点有影响，假设有影响，那么需要分类讨论；二是看f′在其零点附近的符号确实定是否与参数有关，假设有关，那么需要分类讨论[跟进训练]2．假设函数f ＝－a n a∈R，求函数f 的极值．[解]函数f 的定义域为0，＋∞，f ′＝1－错误!＝错误!1当a≤0时，f ′＞0，函数f 在0，＋∞上单调递增，函数f 无极值．2当a＞0时，令f ′＝0，解得＝a当0＜＜a时，f ′＜0；当＞a时，f ′＞0∴f 在＝a处取得极小值，且f a＝a－a n a，无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f 无极值；当a＞0时，函数f 在＝a处取得极小值a－a n a，无极大值．由极值求参数的值或取值范围A．4或－3B．4或－11C．4 D．－32假设函数f ＝错误!2＋a－1－a n 没有极值，那么A．a＝－1 B．a≥0C．a＜－1 D．－1＜a＜0[思路探究]1由f ′1＝0且f 1＝，b，注意检验极值的存在条件．2求导分解因式主要对参数分类讨论．按根的大小1C2A[1∵f ＝3＋a2＋b＋a2，∴f ′＝32＋2a＋b由题意得得即错误!解得错误!，或错误!当错误!，时，f ′＝32－6＋3＝3－12≥0，故函数f 单调递增，无极值，不符合题意．∴a＝2f ′＝－1错误!，＞0，当a≥0时，错误!＋1＞0，令f ′＜0，得0＜＜1；令f ′＞0，得＞在＝1处取极小值．当a＜0时，方程错误!＋1＝0必有一个正数解＝－a，①假设a＝－1，此正数解为＝1，此时f ′＝错误!≥0，f 在0，＋∞上单调递增，无极值．②假设a≠－1，此正数解为≠1，f ′＝0必有2个不同的正数解，f 存在2个极值．综上，a＝－]函数极值求参数的方法对于可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号1可导函数的极值求参数问题的解题步骤：①求函数的导数f′；②由极值点的导数值为0，列出方程组，求解参数注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件2对于函数无极值的问题，往往转化为f′≥0或f′≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立[跟进训练]3．假设＝2是函数f ＝－m2的极大值点，求函数f 的极大值．[解]∵f ′＝－m3－m，且f ′2＝0，∴m－2m－6＝0，即m＝2或m＝61当m＝2时，f ′＝－23－2，由f ′＞0得＜错误!或＞2；由f ′＜0得错误!＜＜2∴＝2是f 的极小值点，不合题意，故m＝2舍去．2当m＝6时，f ′＝－63－6，由f ′＞0得＜2或＞6；由f ′＜0得2＜＜6∴＝2是f 的极大值，∴f 2＝2×2－62＝32即函数f 的极大值为321．如何画出函数f ＝23－32－36＋16的大致图象．[提示] f ′＝62－6－36＝62－－6＝6－3＋2．由f ′＞0得＜－2或＞3，∴函数f 的递增区间是－∞，－2和3，＋∞．由f ′＜0得－2＜＜3，∴函数f 的递减区间是－2，3．由得f －2＝60，f 3＝－65，f 0＝16∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f 大致图象如下图．2．当a变化时，方程23－32－36 ＋16＝a有几解？[提示]方程23－32－36＋16＝a解的个数问题可转化为函数＝a与＝23－32－36＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：1当a＞60或a＜－65时，方程23－32－36＋16＝a有且只有一解；2当a＝60或a＝－65时，方程23－32－36＋16＝a有两解；3当－65＜a＜60时，方程23－32－36＋16＝a有三解．【例4】函数f ＝3－3＋aa为实数，假设方程f ＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．[思路探究]求出函数的极值，要使f ＝0有三个不同实根，那么应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．[解]令f ′＝32－3＝3＋1－1＝0，解得1＝－1，2＝1当0；当－11时，f ′>0所以当＝－1时，f 有极大值f －1＝2＋a；当＝1时，f 有极小值f 1＝－2＋a因为方程f ＝0有三个不同实根，所以＝f 的图象与轴有三个交点，如图．由应有错误!解得－2<a<2，故实数a的取值范围是－2，2．1．改变条件本例中，假设方程f ＝0恰有两个根，那么实数a的值如何求解？[解]由例题知，函数的极大值f －1＝2＋a，极小值f 1＝－2＋a，假设f ＝0恰有两个根，那么有2＋a＝0，或－2＋a＝0，所以a＝－2或a＝22．改变条件本例中，假设方程f ＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．[解]由例题可知，要使方程f ＝0有且只有一个实根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞23．变条件、变结论讨论方程错误!＝a的根的情况．[解]令f ＝错误!，那么定义域为0，＋∞，f ′＝错误!令f ′＝0，得＝e当变化时，f ′与f 的变化情况如下表：因此，＝e是函数f 的极大值点，极大值为f e＝错误!，函数f 没有极小值点．其图象如图．∴当0＜a＜错误!时，错误!＝a有两个不同的根；当a＝错误!或a≤0时，错误!＝a只有一个根；当a＞错误!时，错误!＝a没有实数根．利用导数求函数零点的个数1利用导数可以判断函数的单调性；2研究函数的极值情况；3在上述研究的根底上突出函数的大致图象；4直观上判断函数的图象与轴的交点或两个图象的交点的个数假设含有参数，那么需要讨论极值的正负1．假设函数＝f 在区间a，b内有极值，那么＝f 在a，b内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．2．函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，需注意两点：1常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．2因为函数在一点的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证极值点的合理性．3．函数零点方程根的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：1直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2别离参数法，先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；3数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数＝g，＝h的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为＝a，＝g的图象的交点个数问题．1．函数f 的定义域为R，它的导函数＝f ′的局部图象如下图，那么下面结论错误的选项是A．在1，2上函数f 为增函数B．在3，4上函数f 为减函数C．在1，3上函数f 有极大值D．＝3是函数f 在区间[1，5]上的极小值点D[由题图可知，当1＜＜2时，f ′＞0，当2＜＜4时，f ′＜0，当4＜＜5时，f ′＞0，∴＝2是函数f 的极大值点，＝4是函数f 的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]2．设函数f ＝e，那么A．＝1为f 的极大值点B．＝1为f 的极小值点C．＝－1为f 的极大值点D．＝－1为f 的极小值点D[令f ′＝e＋·e＝1＋e＝0，得＝－＜－1时，f ′＜0；当＞－1时，f ′＞＝－1时，f 取得极小值．]3．函数f ＝3＋3a2＋3a＋2＋1既有极大值又有极小值，那么实数a的取值范围是________．－∞，－1∪2，＋∞[f ′＝32＋6a＋3a＋2，∵函数f 既有极大值又有极小值，∴方程f ′＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36a＋2＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1]4．函数f ＝2e f ′en －错误!，那么函数f 的极大值为________．2n 2[f ′＝错误!－错误!，故f ′e＝错误!－错误!，解得f ′e＝错误!，所以f ＝2n －错误!，f ′＝错误!－错误!由f ′＞0得0＜＜2e，f ′＜0得＞在0，2e单调递增，在2e，＋∞单调递减，故f 的极大值为f 2e＝2n 2e－2＝2n 2]。