平面与平面垂直的定义与判定

2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
如图，∠P AO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.
(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.
1列说法中正确的个数是()
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直．A．0B．1 C．2 D．3
2．下列说法中，正确的是()A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行
C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α
3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝
90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1.
6.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°
B．45°C．30° D．120°
7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是()
A. 5 B．25C．3 5 D．45
9.)正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________．
10.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上
任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM.
11如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．
13．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，
AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平
面BEF.
14．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂
直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直
16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.
(1)求证：AC⊥B1D；(2)求三棱锥C－BDB1的体积．
17.如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面P AD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平
面PCD.
19.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的________心.
21..在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则( )
A.MN ∥C 1D 1
B.MN ⊥BC 1
C.MN ⊥平面ACD 1
D.MN ⊥平面ACC 1
22.如图，已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________.
23.如图所示，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列
结论正确的是( )
A ．P
B ⊥AD B ．平面P AB ⊥平面PBC
C ．直线BC ∥平面P AE
D ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°
24.直角三角形ABC 所在平面外有一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点．
(1)求证：SD ⊥平面ABC ；
(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .
.平面与平面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号语言：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥
(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言： ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥β
α∩β＝l
a ⊂αa ⊥l ⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线． 特征：线面垂直⇒面面垂直
要点四：求点线、点面、线面距离的方法
(1)若P 是平面α外一点，a 是平面α内的一条直线，过P 作平面α的垂线PO ，O 为垂足，过O 作OA ⊥a ，连接PA ，则以PA ⊥a ．则线段PA 的长即为P 点到直线a 的距离(如图所示)．
(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．
(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．
②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．
③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．
1．三棱锥S -ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，
SA ＝SB ＝SC ．求证：平面ABC ⊥平面SBC ．
2.如图所示，在四棱锥S -ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边
形，SC ⊥平面ABCD ，E 为SA 的中点．
求证：平面EBD ⊥平面ABCD ．
3.．如下图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AC=BC ，
D 是AB 的中点。

求证：平面CA 1D ⊥AA 1B 1B 。

4．如右图，在三棱锥A —BCD 中，AB ⊥平面
BCD ，BD ⊥CD 。

求证：平面ABD ⊥平面ACD ；
5．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中
点．（1）求证：MN ⊥CD ；（2）若∠PDA=45°，
求证：MN ⊥平面PCD ．
6．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．
（1）求证：11//B C 平面ABC ；（2）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ．
7.在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PD ＝a ，P A ＝PC
＝2a ，求证： (1)PD ⊥平面ABCD ；
(2)平面P AC ⊥平面PBD ；
8．在四面体ABCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a ，求证：平面ABD ⊥平面BCD .
9.在四棱锥P —ABCD 中，已知P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，则下列结论中错误的是( )A ．平面P AB ⊥平面P AD B ．平面P AB ⊥平面PBC
C ．平面PBC ⊥平面PC
D D ．平面PCD ⊥平面P AD
10在三棱锥P －ABC 中，E ，F 分别为AC ，BC 的中点．
(1)求证：EF ∥平面P AB ；
(2)若平面P AC ⊥平面ABC ，且P A ＝PC ，∠ABC ＝90°.求证：平面PEF ⊥平面PBC .
11.如图所示，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD ＝G .
(1)求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1；
(2)求点D 1到平面B 1EF 的距离．
12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A —BD —C ，有如下三个结论．
①AC ⊥BD ； ②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；
说法正确的命题序号是________．
13如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ，(1)证明：CD ⊥平面P AC ；
(2)若E 为AD 的中点，求证：CE ∥平面P AB .
例5 (2011年第14题)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD 是平行四边形，PA AD =，则异面直线PD BC 与所成角的大小是 。

例6 正方-1111ABCD A B C D -中，求1BC 与对角面11BB D D 所成的角。

如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、1CC 的中点。

(Ⅰ)求证：1AD EFG 平面；
(Ⅱ)求证：平面1ACA EFG ⊥平面。

18.(本题满分8分)
已知长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，棱14AA =。

(1)求异面直线1BC 与AC 所成角的余弦值； A
B C D P O C D A B D 1
C 1 B 1 A 1 G E
F
(2)求直线1BD 与平面ABCD 所成角的正切值；
(3)求二面角1D AC D --的平面角的正切值。