小学数学中的递推和递归学习递推和递归的基本思想和方法
第1讲递推与迭代
/* 赋初始值 */
/* 据递推关系1递推 */
/* 据递推关系2递推 */
/* 据递推关系m递推 */ /* 输出解f(n) */
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1.2 递推数列
1.2.1 幂序列
x y 【例 4.2】 输出集合 2 ,3 | x 1, y 1 元素由小到大排
列的双幂序列第 n 项与前 n 项之和。
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Visual FoxPro （2） 简单逆推算法 逆推即从后往前推,从已得的规模为n，n-1， …，i+1的一系列解，推出问题规模为 i的解，直至 得到规模为1的解。
简单逆推算法框架描述： f(n—i+1)=<初始值>； /* 确定初始值 */ for(k=i;k>=1;k--) f(k)=<递推关系式>；/* 实施递推 */ printf(f(1))； /* 输出解f(1) */
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1.3 应用递推求解应用题
1.3.1 猴子爬山问题 【例1.4】 一个顽猴在一座有30级台阶的小山上
爬山跳跃，猴子上山一步可跳1级，或跳3级，试 求上山的30级台阶有多少种不同的爬法。
1. 递推算法设计 一般地有递推关系： f(k)=f(k-1)+f(k-3) （k>3） 初始条件有: f(1)=1； 即1=1。 f(2)=1； 即2=1+1。 f(3)=2； 即3=1+1+1；3=3。
14
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3. 问题引申 把问题引申为爬山n级，一步有m 种跨法，一步跨多少级均 从键盘输入。
(1） 分级递推算法设计 设爬山t台阶级的不同爬法为f(t),设从键盘输入一步跨多少
算法总结之递推与递归
算法总结之递推与递归递推算法递归算法⼤致包括两⽅⾯的内容：1）递归起点； 2）递归关系递推起点递归起点⼀般由题⽬或者实际情况确定，不由递归关系推出。
如果⽆法确定递归起点，那么递归算法就⽆法实现。
可见，递归起点是递归算法中的重要⼀笔。
递推关系递归关系是递归算法的核⼼。
常见的递归关系有以下⼏项：1）⼀阶递推；2）多阶递推；3）间接递推；4）逆向递推；5）多维递推。
下⾯通过栗⼦来详细介绍⼀下上述类别的递推关系。
1. ⼀阶递推在计算f(i)时，只⽤到前⾯项中的⼀项，如等差数列。
公差为3的等差数列，其递推关系为：f(i)=f(i-1)+3eg. 平⾯上10条直线最多能把平⾯分成⼏部分？分析：以直线数⽬为递推变量，假定i条直线把平⾯最多分成f(i)部分，则f(i-1)表⽰i-1条直线把平⾯分成的最多部分。
在i-1条直线的平⾯上增加直线i，易得i与平⾯上已经存在了的i-1条直线最多各有⼀个交点，即直线i最多被分成i段，⽽这i段将会依次将平⾯⼀分为⼆，即直线i将最多使平⾯多增加i部分。
所以，递推关系可表⽰为：f(i)=f(i-1)+i易得当0条直线时，平⾯为1部分。
所以f(0)=1为递推起点。
上述分析可⽤下⾯代码表⽰（c++）：#define MAX 100int f[MAX] //存放f（i）int lines(int n){//输⼊n为直线数⽬//输出最多部分数int i;f(0)=1;for(i=1;i<=n;i++){f[i]=f[i-1]+3;}return f[i];}2. 多阶递推在计算f(i)时，要⽤到前⾯计算过的多项，如Fibonacci数列。
eg.求Fibonacci的第10项。
分析：总所周知，Fibonacci数列中的第n项等于第n-1项加上n-2项。
所以递推关系为f(i)=f(i-1)+f(i-2);且f[0]=f[1]=1。
C++代码如下：#define MAX 100int f[MAX];int fib(int n){//输⼊n为项数//输出第n个fib数int i;f[0]=0;f[1]=1;for(i=2;i<=n;i++){f[i]=f[i-1]+f[i-2];}return f[n]}3. 间接递推在计算f[i]时需要中间量，⽽计算中间量要⽤到之前计算过的项。
数列的递推关系与递归公式
数列的递推关系与递归公式数列是数学中常见的概念，指的是一系列按照特定规律排列的数字或者数值。
在数学的研究中，人们常常需要研究数列的性质和规律，以便进一步应用于数学问题的解决或者其他相关领域的研究中。
数列的递推关系和递归公式是研究数列的重要方法和工具，在本文中，我们将对数列的递推关系和递归公式进行详细的解析和探讨。
一、递推关系数列的递推关系是指数列中的每一项与它前面的一项或多项之间的关系。
通过递推关系，我们可以通过已知的数列元素求解未知的数列元素，从而揭示出数列中的规律和性质。
递推关系有多种形式，下面以几个具体的例子来说明。
例一：斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的数列，它的递推关系可以用如下的公式表示：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F0=0，F1=1。
也就是说，斐波那契数列中的每一项等于它前面两项的和。
比如，数列的前几项为0、1、1、2、3、5、8...，可以通过递推关系求得。
例二：等差数列在等差数列中，每一项与它前面的一项之间的差值相等。
递推关系可以用如下的公式表示：an = an-1 + d，其中d是公差。
比如，数列的前几项为1、3、5、7、9...，可以通过递推关系求得。
例三：等比数列在等比数列中，每一项与它前面的一项之间的比值相等。
递推关系可以用如下的公式表示：an = an-1 * r，其中r是公比。
比如，数列的前几项为2、4、8、16、32...，可以通过递推关系求得。
通过以上的例子，我们可以看出，递推关系可以帮助我们找到数列中每一项之间的规律和关系，进而求解未知的数列元素。
二、递归公式递归公式是一种通过数列前面的多项元素来求解后面元素的公式。
递归公式在数列的研究中起到重要的作用，它可以帮助我们建立数列的数学模型并进行进一步的分析。
以斐波那契数列为例，递归公式可以表示为：Fn = F(n-1) + F(n-2)，其中n为数列的序号（从0开始），F0=0，F1=1。
递归公式是一种通过数列的前面两项来求解后面的项，不断地利用递归公式可以求得数列中的任意一项。
小学六年级数学第5讲：递推与归纳(教师版).docx
第五讲遴稚鸟归角大脳体標作业兒成情况知识械理有时，我们会遇上一些具有规律性的数学问题，这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律，并利用这一规律去解决问题。
例如：按规律填数：1，4, 9, 16, 25, ( ), 49, 64；分析：要在括号填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律。
若你仔细地观察这一数列，就会发现这些数之间的规律：⑴先考虑相邻两个数之间的差，依次是3, 5, 7, 9,……,15；可以看到相邻两数的差从3 开始呈现递增2的规律，所以括号里的数应是25+11=36,再看36+13=49得到验证。
⑵如果我们换一个角度去考虑，那么我们还可以发现，这数列的第一项是1的平方，第二项是2的平方，第三项是3的平方，……，从这些事实中，发现规律是第n项是n的平方。
那么所求的是第六项是62=36。
我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知数。
像这种解题方法称为递推法。
教学重•难点1.理解递推法的概念。
2.会用递推法解题趣味引入例1： 999・・：99*X999・・：999』勺乘积屮有多少个数字是奇数?10个910个9分析：我们可以从最简单的9X9的乘积屮有几个奇数着手寻找规律。
9X9=81,有 1 个奇数；99 X 99=99 X (100-1) =9900-99=9801,有 2 个奇数; 999X999=999 (1000-1) =999000-999=998001,有 3 个奇数； …… 从而可知，Q99・・・999X9g9・・・99Q 的乘积屮共有10个数字是奇数。
---- y ------------ V Z10个910个9分析:先从AB 之间只有一个点开始，在逐步增加AB 之I'可的点数，找出点和线段之I'可的规律。
我们可以采用列表的方法清楚的表示出点和线段数之间的规律。
AB 之间只有1个点：线段有1+2=3条。
AB 之间只有2个点：线段有1+2+3二6条。
第二讲 递归与递推
江 苏 省 青 少 年 信 息 学 奥 林 匹 克 夏 令 营 C 层 次 教 学
例5、由m个A，n个B组成若干个排列。从某个排列 的位置1开始数，数到任意位置时都能保证A的个数 不少于B的个数，则称该排列为合理排列。例如： 当m=2，n=2时排列有 A A B B(合理) A B A B(合 理)A B B A(不合理) B B A A(不合理) 合理排列数有2 种 输入：只有一行两个整数m,n（1≤n≤m≤12）（用 空格分隔） 输出：一个整数（所有的合理排列数） 【样例】 输入 输出 32 5
递归过程例析
先以三个盘的移动为例，看一下移动过程。
江 苏 省 青 少 年 信 息 学 奥 林 匹 克 夏 令 营 C 层 次 教 学
2008年冬令营
递归过程例析
分析 1、当n=1时，只需要移动一次A---C； 2、当n=2时，需要移动三次； A---1---B； A---2---C； B---1---C； 3、当n>=3时，先将前n-1个盘子以C为 中介移到B柱子；再将第n个盘子移到 C柱子；最后将n-1个盘子以A为中介 从B柱移到C柱。
递归关系式——如何求？ 运用函数的前驱值来计算函数当前值的关系式
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2008年冬令营
递归
例3、用递归方法求两个正整数m和n的最大公 约数。
分析：求两个数的最大公约数可以用辗转 相除法，即求m与n的最大公约数等价于求（m mod n）的值与n的最大公约数，此时的n可以当 作新的m ，而（m mod n）的值当作新的n ，所 以原问题的求解又变成求新的m与n的最大公约 数问题，继续下去，直至(m mod n)为0，最大 公约数就是最终存放在n中的值。
数学中的递推与迭代小学生了解递推与迭代的原理
数学中的递推与迭代小学生了解递推与迭代的原理在数学中，递推和迭代是两种常见的数学方法，用于解决问题和生成数列。
对于小学生来说，了解递推和迭代的原理可以帮助他们更好地理解数学概念，并培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
一、递推的原理递推是一种根据前一项或前几项推导后一项的方法。
简单来说，就是通过已知条件计算未知结果。
递推通常使用递推公式或递推关系来表示，常见的递推关系有等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是一种数列，其中每一项与前一项之间的差值都相等。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
计算等差数列的递推关系很简单，只需要根据前一项和公差相加即可得到后一项。
2. 等比数列等比数列是一种数列，其中每一项与前一项之间的比值都相等。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2。
计算等比数列的递推关系也很简单，只需要根据前一项和公比相乘即可得到后一项。
递推在数学中有着广泛的应用，例如计算斐波那契数列、求解递推方程等。
通过递推，我们能够得到数列中任意一项的值。
二、迭代的原理迭代是一种通过不断重复计算来逼近目标值的方法。
迭代通常使用迭代公式或迭代关系来表示，每次迭代都将上一次的结果作为新的输入，循环进行计算，直到达到某个条件为止。
1. 二分法迭代二分法是一种常见的迭代方法，通过将一个区间不断二分，逼近目标值。
例如，在查找一个数的平方根时，可以利用二分法迭代来逼近。
每次迭代，我们将当前区间的中点作为新的猜测值，然后根据猜测值的平方与目标值的比较结果，将区间缩小一半，逐渐靠近目标值。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于求解方程根的迭代方法。
通过不断迭代求导和替换变量的方式，求解方程的近似解。
例如，求解方程f(x)=0的根时，我们可以通过迭代公式x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，不断更新变量x的值，直到满足精度要求。
迭代在数学中也有着广泛的应用，例如求解方程的根、求解最优化问题等。
递推（一）：递推法的基本思想
递推（⼀）：递推法的基本思想所谓递推，是指从已知的初始条件出发，依据某种递推关系，逐次推出所要求的各中间结果及最后结果。
其中初始条件或是问题本⾝已经给定，或是通过对问题的分析与化简后确定。
利⽤递推算法求问题规模为n的解的基本思想是：当n=1时，解或为已知，或能⾮常⽅便地求得；通过采⽤递推法构造算法的递推性质，能从已求得的规模为1、2、…、i−1的⼀系列解，构造出问题规模为i的解。
这样，程序可从i=0或i=1出发，重复地由已知⾄i−1规模的解，通过递推，获得规模为i的解，直⾄获得规模为n的解。
可⽤递推算法求解的问题⼀般有以下两个特点：（1）问题可以划分成多个状态；（2）除初始状态外，其它各个状态都可以⽤固定的递推关系式来表⽰。
当然，在实际问题中，⼤多数时候不会直接给出递推关系式，⽽是需要通过分析各种状态，找出递推关系式。
利⽤递推算法解决问题，需要做好以下四个⽅⾯的⼯作：（1）确定递推变量应⽤递推算法解决问题，要根据问题的具体实际设置递推变量。
递推变量可以是简单变量，也可以是⼀维或多维数组。
从直观⾓度出发，通常采⽤⼀维数组。
（2）建⽴递推关系递推关系是指如何从变量的前⼀些值推出其下⼀个值，或从变量的后⼀些值推出其上⼀个值的公式（或关系）。
递推关系是递推的依据，是解决递推问题的关键。
有些问题，其递推关系是明确的，⼤多数实际问题并没有现成的明确的递推关系，需根据问题的具体实际，通过分析和推理，才能确定问题的递推关系。
（3）确定初始（边界）条件对所确定的递推变量，要根据问题最简单情形的数据确定递推变量的初始（边界）值，这是递推的基础。
（4）对递推过程进⾏控制递推过程不能⽆休⽌地重复执⾏下去。
递推过程在什么时候结束，满⾜什么条件结束，这是编写递推算法必须考虑的问题。
递推过程的控制通常可分为两种情形：⼀种是所需的递推次数是确定的值，可以计算出来；另⼀种是所需的递推次数⽆法确定。
对于前⼀种情况，可以构建⼀个固定次数的循环来实现对递推过程的控制；对于后⼀种情况，需要进⼀步分析出⽤来结束递推过程的条件。
数学归纳法与递推关系知识点总结
数学归纳法与递推关系知识点总结数学归纳法和递推关系是数学中常用的两种证明方法和计算方法。
它们在解决各种问题和证明定理时经常被应用。
本文将对数学归纳法和递推关系的相关知识点进行总结，以便读者更好地理解和应用它们。
一、数学归纳法1. 基本思想数学归纳法是一种证明方法，用于证明与正整数有关的命题。
其基本思想是：-（1）先证明当n=1时命题成立；-（2）假设当n=k时命题成立，即假设命题对于某一特定的正整数k成立；-（3）利用这个假设，证明当n=k+1时命题也成立；-（4）由（1）和（3）可得，命题对于一切正整数都成立。
2. 过程步骤数学归纳法的一般步骤如下：a. 基础步骤：证明当n=1时命题成立；b. 归纳假设：假设当n=k时命题成立；c. 归纳步骤：利用归纳假设，证明当n=k+1时命题也成立；d. 综合步骤：结合基础步骤和归纳步骤，可得出命题对于一切正整数都成立。
3. 应用范围数学归纳法广泛应用于数学领域，特别是在证明与正整数有关的等式、不等式、恒等式等方面。
例如证明正整数的奇数和一定是平方数，证明等差数列的通项公式等。
二、递推关系1. 定义递推关系是数列中的相邻项之间的关系。
通过已知的前一项来推导出后一项。
递推关系通常表示为an与an-1之间的关系。
2. 递推公式递推关系可以用一个递推公式来表示。
递推公式描述了数列的项与前一项之间的关系。
形式化表示为an = f(an-1)，其中f是一个函数。
3. 求解递推关系为了求解递推关系，我们需要已知数列的初始项或递推关系的初始条件。
通常，给定数列的初始项或递推关系的初始条件后，就可以通过递推公式来计算数列的其他项。
4. 应用范围递推关系经常出现在数学、计算机科学和经济学等领域。
在数学中，递推关系被广泛应用于计算数列的通项公式、计算组合数等问题。
在计算机科学中，递推关系常用于设计和分析算法。
在经济学中，递推关系用于建立经济模型和预测。
总结：数学归纳法和递推关系都是数学中常用的方法。
递推与递归
2021/4/6
4
递推
【例题1】 • 同一平面内有n（n≤500）条直线，已知
其中p（p≥2）条直线相交于同一点，则 这n条直线最多能将平面分割成多少个不 同的区域？
2021/4/6
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递推
【问题分析】
• 在学习回溯或搜索时，跳马是一道典型 的例题，有些同学在比赛时用了搜索， 但事实证明：当n，m=15就会超时。
• 其实，对本题稍加分析就能发现，要到 达棋盘上的一个点，只能从左边过来 （称之为左点）或是从上面过来（称之 为上点）。
2021/4/6
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递推
• 根据加法原理，到达某一点的路径数目， 就等于到达其相邻的上点和左点的路径 数目之和，因此我们可以使用逐行（或 逐列）递推的方法来求出从起点到终点 的路径数目。障碍点（马的控制点）也 完全适用，只要将到达该点的路径数目 设置为0即可。
2021/4/6
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递推
• 假设用F[i,j]表示到达点（i,j）的路径数目，用g[i,j] 表示点（i,j）是否是对方马的控制点，g[i,j]=0表示 不是对方马的控制点，g[i,j]=1表示是对方马的控 制点。则可得到如下的递推关系式：
F[i,j]=0 F[0,j]=F[0,j-1] F[i,0]=F[i-1,0] F[i,j]=F[i-1,j]+F[i,j-1]
total:=total+i; writeln(total); end.
2021/4/6
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递推
【例题2】（NOIP2002初中 组第4题）
递归与递推公式的掌握技巧
递归与递推公式的掌握技巧掌握递归与递推公式的技巧在计算机科学领域中，递归和递推公式是重要的概念和工具。
递归是指在一个函数或过程内部调用自己，直到满足某个条件才返回结果。
递推公式是指通过前面的结果推导出后面的结果的公式，也称为递归公式。
递归和递推公式在算法设计、数据结构、数学等领域都得到了广泛应用。
递归和递推公式的掌握是编程和数学学习的重点之一。
在实际应用中，掌握递归和递推公式对程序的正确性、效率和可读性都是至关重要的。
本文将介绍如何掌握递归和递推公式的技巧，帮助读者更好地应用它们解决问题。
第一部分：递归的设计和实现递归的设计和实现是一项重要的技巧。
递归函数的设计和实现需要考虑以下几个方面：1.确定递归的终止条件递归的过程必须能够终止，否则会造成死循环或栈溢出等问题。
因此，在设计递归函数时必须确定递归的终止条件。
例如，计算斐波那契数列的递归函数可以定义如下：```int fibonacci(int n) {if (n <= 1) {return n;}else {return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);}}```在这个例子中，当n小于或等于1时，递归终止，返回n的值。
如果n大于1时，递归调用fibonacci函数求解f(n-1)和f(n-2)的和。
递归终止条件的确定是函数正确实现的关键之一。
2.转化问题的规模递归通常是为了解决类似于“分而治之”的问题。
通过递归调用将原问题拆分成子问题，并在子问题得到解后合并得到原问题的解。
例如，快速排序算法就是一种递归的排序算法，它的实现如下：```void quick_sort(int arr[], int left, int right) {if (left < right) {int pivot = partition(arr, left, right);quick_sort(arr, left, pivot - 1);quick_sort(arr, pivot + 1, right);}}int partition(int arr[], int left, int right) {int pivot = arr[right];int i = left - 1;for (int j = left; j < right; j++) {if (arr[j] <= pivot) {i++;swap(&arr[i], &arr[j]);}}swap(&arr[i + 1], &arr[right]);return i + 1;}```在这个例子中，快速排序通过递归调用将原问题拆分为更小的子问题，并在子问题解决后进行合并。
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小学数学中的递推和递归学习递推和递归的
基本思想和方法
递推和递归是数学中常见的两种求解问题的方法。
在小学数学中，递推和递归的思想和方法被广泛运用，帮助学生理解和解决各种数学问题。
本文将介绍递推和递归的基本概念、思想和解题方法。
一、递推的概念和思想
递推是一种基于已知条件来求解未知项的方法。
它利用已知的前一项或前几项，通过确定的规律来求解后一项或后几项。
递推的思想可以用一个简单的公式来表示：
an = an-1 + d
其中，an表示第n项，an-1表示第n-1项，d表示公差或增量。
通过递推的方法，我们可以简单地找到某个数列中任意一项的值。
例如，给定一个数列1，4，7，10...，我们可以通过递推的思想得到第n项的值为1+(n-1)×3。
递推的优势在于其简单直观的计算方式，对于小学生而言易于理解和掌握。
通过递推的训练，学生可以培养自己的数学思维和观察问题的能力。
二、递归的概念和思想
递归是一种通过将问题分解为更小的相似问题并解决它们的方法。
在递归中，问题的解决依赖于其自身的解决方案。
递归的思想可以通
过以下公式表示：
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
其中，f(n)表示第n项的值，f(n-1)表示第n-1项的值，f(n-2)表示第
n-2项的值。
递归的思想与递推相比，更注重将问题分解为更小、更简单的子问题，并通过解决子问题来解决原始问题。
通过递归的方法，我们可以
解决一些相对复杂的问题，比如斐波那契数列等。
递归在小学数学中的应用更多地体现在解决一些较为复杂、具有迭
代关系的问题上，培养学生的逻辑思考和问题分解的能力。
三、递推和递归的解题方法
1. 递推的解题方法
递推的解题方法相对简单明了。
首先，我们需要观察数列的前几项，找出其中的规律和增量。
然后，根据已知的前一项，利用所确定的规
律来求解后一项。
以求解等差数列为例，我们可以通过观察得到等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)×d，其中a1为首项，d为公差。
通过这个公式，我们可
以轻松地求解出任意一项。
2. 递归的解题方法
递归的解题方法相对复杂一些。
首先，我们需要将问题分解为更小、更简单的子问题。
然后，通过解决子问题来解决原始问题。
以求解斐波那契数列为例，我们可以通过递归的方式解决。
斐波那
契数列的递归公式为f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1。
通过
这个公式，我们可以逐步递归地求解出任意一项。
四、小学数学中递推和递归的应用举例
1. 递推的应用
递推在小学数学中的应用广泛，比如求解等差数列、等比数列等。
例如，给定一个等差数列1，4，7，10...，我们可以通过递推的思想轻
松找到任意一项的值。
2. 递归的应用
递归在小学数学中也有一些应用，比如求解斐波那契数列、解决一
些具有迭代关系的问题等。
例如，通过递归的方式求解斐波那契数列
中的第n项，可以培养学生的逻辑思维和问题分解的能力。
总结：
通过本文的介绍，我们了解了小学数学中递推和递归的基本思想和
方法。
递推和递归作为一种数学思维和解题方法，对培养学生的逻辑
思考能力和问题解决能力具有重要的意义。
递推和递归的应用在小学
数学教学中普遍存在，并通过解决数列和问题等方式为学生提供了更
多的思维训练机会。
希望本文可以帮助到对递推和递归感兴趣的读者，同时也为小学数学教学提供一些借鉴和参考。