高中数学知识点总结导数的定义及几何意义

导数的定义及几何意义

1．x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/

叫函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0|/x x y = 。 注：①函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，x ∆趋近

于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。③x

y ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）及点（0x +x ∆，

)(00x x f ∆+）的割线斜率。④导数x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度，它的几何意义是

曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）处的切线的斜率。⑤若极限x

x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。⑥如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点

都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；此时对于每一个x ∈),(b a ，都对应

着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ，称这个函数)(/

x f 为函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：

求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。

[举例1]若2)(0/=x f ，则k

x f k x f k 2)()(lim 000--→等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2

解析：∵2)(0/=x f ，即k x f k x f k ---+→-)()]([lim 000=2⇒k

x f k x f k 2)()(lim 000--→=-1。 [举例2] 已知0,a n >为正整数设()n y x a =-，证明1'()

n y n x a -=- 解析：本题可以对()n y x a =-展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：

x a x a x x y n

n x ∆---∆+=→∆)()(lim 0/

=

x

a x x C x a x C x a x C a x n

n n n n n n n n x ∆--∆++∆-+∆-+---→∆)()()()()()(lim 222110Λ= x

x C x a x C x a x n n

n n n n n x ∆∆++∆-+∆---→∆)()()()(lim 22210Λ= ])()()()()([lim 12332210----→∆∆++∆-+∆-+-n n n n n n n n x x C x a x C x a x C a x n Λ=1)(--n a x n 。

[巩固1]一质点作曲线运动，它的位移S 与时间t 的关系为：2221t t

t S +-=

，试用导数的定义求t =3时的速度。 [巩固2]设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ），当产量为0q 时，

产量变化q ∆对成本的影响可用增量比q

q C q q C q C ∆-∆+=∆∆)()(00刻划. 如果q ∆无限趋近于0时，q

C ∆∆无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）。设生产x 个单位产品的总成

本函数是C(x)＝8＋8

2

x ，则生产8个单位产品时，边际成本是： （ ） A ．2 B ．8 C ．10 D ．16

2．常用导数公式：0'=c ,1)'(-=n n nx x ,x x e e =/)(，x

x 1)(ln /=； 导数的运算法则：若函数)(x f 与)(x g 的导数存在，则)(')(')]'()([x g x f x g x f ±=±,

)(')]'([x f c x cf ⋅=，)()()()()]()([///x g x f x g x f x g x f +=；

)

()()()()())()((2///x g x g x f x g x f x g x f -=（这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比）； 复合函数的导数：由)(u f y =与u =ϕ)(x 得到复合函数f y =][)(x ϕ，则'x y ='u y .'

x u 。 [举例1]已知x f x x x f -+=)1()(/23，则)2(/f = 。

解析：)1(/f 是常数，∴1)1(23)(/2/-+=xf x x f ⇒)1(/f =3+2)1(/f -1⇒)1(/f = -2

∴143)(2/--=x x x f ，故)2(/

f =3。

[举例2]+∈N n ，n n n n n nC C C C ++++Λ32132= 。 解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法（k k n C = n 1

1--k n C ）；这里，我

们观察n n n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+Λ332210)1( ①，不难发现其通项k k n x C 求导后的系数正是所求“项”；故考虑对①式两边同求导数，得：

1232132)1(-++++=+n n n n n n n x nC x C x C C x n Λ，令x =1得：

n n n n n nC C C C ++++Λ32132=n n 2⋅

[巩固1] 已知2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．令()()F x xf x '=，则)(/x F = 。

[巩固2]已知函数)1()13)(12)(1()(++++=nx x x x x f Λ，则)0(/f 的值为：

A ．2n C

B ．21+n

C C ．2n A

D ．21+n A

3．函数)(x f 在0x x =处的导数)('0x f 的几何意义：曲线)(:x f y C =在其上点0(x P ，)0y 处的切线的斜率。用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）。

[举例1]曲线12e

x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．29e 2

Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e （07高考海南理10） 解析：12e x y =⇒x e y 21/

21=，则]曲线在点2(4e )，处的切线斜率为：221e ， ∴切线方程为：)4(2

122-=-x e e y ，它与坐标轴的交点分别为：（2，0），（0，-2e ）； ∴切线与坐标轴所围三角形的面积为：2e ，选D 。

[举例2]函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是：8+-=x y ，若点P 的横坐标为5， 则)5()5(/f f += 。

解析：本题没有函数表达式，但有切线方程8+-=x y ，注意到“切点在切线上”，

∴P （5，3）；又“切点在曲线上”，∴3)5(=f ；而曲线)(x f y =在点P 处的切线斜率为)5(/

f ，

即)5(/f =-1，故)5()5(/f f +=2。 [举例3]已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =

解析：本题固然可以将直线方程带入抛物线方程中，使得到的一元二次方程的判别式∆=0， 从而求出a 的值；但这种做法只限于二次曲线，若将抛物线换成其它的非二次曲线，则此路不通。以下用“导数”求解：“切点”是关键，记切点P （0x ，0y ），ax y 2/

=，则有：

0100=--y x （切点在切线上）①；200ax y = （切点在曲线上）② 02ax =1 （切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；由①②③解得：4

1=

a 。 [巩固1]已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=＿＿＿＿．（07高考湖北文13）