一元四次方程的解法[1]

2
ax 4 bx 3 cx 2 dx e 0, a 0
在复数域内的四个解为分别为 x1 ， x 2 ， x 3 和 x 4 。 令
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一元四次方程的解法
2 1 c 3bd 12ae 3 2 2 2 2c 9bcd 27ad 27b e 72ace
b 3 4bc 8d 3 2 b2 2c 1 b2 4c a a a 2 2 2 3a 2 2a 3a 4a b 2c 4 4a 2 3a b 3 4bc 8d 3 2 b2 2c 1 b2 4c a a a 2 2 2 3a 2 2a 3a 4a b 2c 4 4a 2 3a b 3 4bc 8d 2 3 b2 2c 1 b2 4c a a a 2 2 2 3a 2 2a 3a 4a b 2c 4 4a 2 3a b 3 4bc 8d 2 3 b2 2c 1 b2 4c a a a 2 2 2 3a 2 2a 3a 4a b 2c 4 4a 2 3a
b2 2 b 2 b 1 c d 1 2 e * x x y y x y x y 2 4a 2a 2 a a 4 a 2a 若 x 为原方程的根，则无论 y 取什么值，上式总成立。特别地，若所取 y 值使等式右边
并记

则有
3
2 1
3
2 3a 3 2 43 1 2

2 2 43 1 2
33 2a
x1 b 1 4a 2 b 1 x 2 4a 2 b 1 x3 4 a 2 x4 b 1 4a 2
关于 x 的二次三项式也能变成一个完全平方式，则对 * 式对两边同时开方可以得到次数较 低的方程。 为使上式右边关于 x 的二次三项式也能变成一个完全平方式，使它的判别式为 0，即
b2 1 2 e d c b y 4 y 4a 2 a 4 y a 0 a 2a
等式两边同时加上
b x ，使等号左边可以配方成完全平方式： 2a
b2 c 2 d e 2 b x x x x 2 2a a a a 4a
此时，两边再同时加上 y x
2
2
2

b 1 2 x y 得 2a 4
这是一个关于 y 的一元三次方程，利用一元三次方程的求根公式解出 y 值，代入 * 后 两边开方，即可将四次方程降次成为一元二次方程，再通过一元二次方程的求根公式求解， 最终能解出此一元四次方程的四个复根。 略去计算过程，最后可以得出一般一元四次方程的求根公式，如下所述： 设关于 x 的一元四次方程
一元四次方程的解法
一元四次方程的解法
对形如
ax 4 bx 3 cx 2 dx e 0, a 0
的一元四次方程，将方程等号两边同时除以最高项系数 a ，得
x4
移项后有
b 3 c 2 d e x x x 0, a 0 a a a a
x4
2Hale Waihona Puke Baidu
b 3 c d e x x2 x a a a a
Xu Wen, Tongji University, Shanghai. All rights reserved.
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