数值计算方法与算法

xi )
yi (xi1 x) xi1 xi
yi1 (x xi ) ， xi1 xi
xi
x
xi1
• m关系式
Si (x) mi
yi1 yi xi1 xi
(x
xi )(xi1 xi1 xi
x)
2
yi1 yi xi1 xi
mi1
(x
xi )2 xi1
( xi 1 xi
x)
yi (xi1 x) xi1 xi
1 h0
)1
h1
1 h1
m1 e1 e0 m0 / h1
1 h1
2(
1 h1
)1
h2
1 hn 2
2(
1 hn 2
1
hn 2
1 hn 1
m2
)
mn1
3 e2 en1
e1 en2
mn
0 0 / hn1
其中
hi
xi1 xi ， di
y i 1 x i 1
1
max j
i
ai, j
，A
max i
j
ai, j
谱半径
ρ(
A)
max i
|
i
(
A)
|
例题 1
•
计算矩阵
A
1 1
10 的范数
A 1 5，A A 2
2
2
1
• 计算矩阵 B 13 13 的谱半径
1 4，2 2，(B) 4
第1章 插值
• 多项式插值
pn (x) a0 a1x an xn，
a
b a
pn (x)dx
f (n1) ( )
(n 1)!
f (n2) ( )
(nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2)!
bn
a (x xi )dx i0
bn
x
a
(x xi )dx
i0
n为奇数 n为偶数
f (a) f (b) (b a) f () (b a)3
2
12
f
(a)
4
f
(
a
b 2
)
f (b) (b a)
n1 i0
f
(
xi
)
2 3
f
(
xi
xi 2
1
)
(b
a)
f (4) () (b a)5
2880n 4
• Romberg积分
Ri,0
2i 个分点的梯形积分， Ri, j
Ri, j1
Ri, j1 Ri1, j1 ，1 4j 1
ji
例题 4
• 构造积分 I ( f ) 2h f (x)dx 的数值积分公式 h I ( f ) = a0 f (-h) + a1 f (0) + a2 f (2h)。
a0 x00
an
xn0
• Lagrange插值
x0n
1
y0
xnn
yn
pn (x)
n i0
(x xi )
n i0
wi x xi
， wi
yi (xi x j )
ji
• Newton插值
n
pn (x) ai (x x j )， ai i 阶差商 f [x0 , , xi ] i0 ji
• Runge现象
第1章 插值
• 三次样条函数
3
n1
S (x) ai xi a3i max( 0, (x xi )3 )
i0
i 1
• M关系式
Si (x)
Mi 6
(
xi1 xi1
x) xi
3
(xi1
xi )(xi1
x)
M i1 6
(x xi1
xi
)3 xi
(xi1
xi )(x
(x
1)( x
2)
7 15
(x
1)( x
2)( x
3)
例题 3
• 给定数据 f (0), f (1), f (3), f '(3), 作出插值多项式， 并写出插值余项。
p(x) (x 1)(x 3)2 f (0) x(x 3)2 f (1)
9
4
x(x 1)(1
5 6
(
x
3))
f
(3)
h
2
中心差商 f (x) f (x h) f (x h) f (3 ) h2
2h
6
插值型微分 f (xi )
pn (xi )
f (n1) ( )
(n 1)!
ji
(xi
xj)
第2章 数值微分和数值积分
• 数值积分
将区间
[a, b]
n 等分，xi
a
i (b a) n
b f (x)dx
第1章 插值
• 差商
f [x0 ]
f (x0 )，
f [x0 ,
, xk ]
f [x1,
, xk ] f [x0 , xk x0
, xk1 ]
• 插值函数误差
f (x)
pn (x)
f
(n1) ( (x))
(n 1)!
n
(x xi )
i0
一般地，若 p(xi ) f (xi )， ，p(k) (xi ) f (k) (xi )，则 (x xi )k1 | f (x) p(x)。
yi1 (x xi ) ， xi1 xi
xi
x
xi1
第1章 插值
2(h0 h1 )
h1
M1 d1 d0 h1M 0
h1
2(h1 h2 )
hn2
hn2 2(hn2
hn1 )
M2
M n1
6
d2 d n1
d1 dn2
0 0 hn1M
n
2(
f (4) () (b a)5
6
2880
第2章 数值微分和数值积分
• 复化数值积分
将区间
[a, b]
n 等分，xi
a
i (b a) n
b a
f
(x)dx
f
(b)
2
f
(a)
n1 i0
f
(xi )(b
a)
f ()
12n 2
(b
a)3
b a
f (x)dx
f (b) 6
f (a)
yi xi
，
ei
yi1 yi (xi1 xi )2
例题 2
• 给定 f (-1) = 3, f (2) = 5, f (3) = 7, f (4) = 5，作出差 商表，写出Newton插值公式。
x
-1
2
3
4
Δ0
3
5
7
5
Δ1
2/3
2
-2
Δ2
1/3
-2
Δ3
-7/15
p(x)
3
2 3
(x
1)
1 3
数值计算方法与算法
第0章 绪论
• 误差
精确值x，近似值x dx，绝对误差dx，相对误差dx x
y F(x) dy F'(x)dx dy F'(x)dx F'(x) dx
• 范数
向量范数
x p
x1
p
xn
p
1/ p，矩阵范数
A
p
sup
x0
Ax p
x p
A 2
1 ( A)， A
p(x) x(x 2h) f (h) (x h)(x 2h) f (0) (x h)x f (2h)
3h 2
2h2
x(x 1)(x 3)
f
(3)
6
6
f (x) p(x) f (4) ( (x)) x(x 1)(x 3)2，0 (x) 3
4!
第2章 数值微分和数值积分
• 数值微分
向前差商 f (x) f (x h) f (x) f (1 ) h
h
2
向后差商 f (x) f (x) f (x h) f (2 ) h