球面三自由度并联机器人可达工作空间的研究

中国机械工程第ｌ　２卷第ｌＯ期２００１年１０月　文章编号：１００４一Ｉ３２ｘ（２００１）１０一ｌ１　２２—０４　

球面三自由度并联机器人可达工作空间的研究　

张立杰刘辛军　摘要：建立了球面三自由度并联机器人机构的空间模型．给出了该并联　机器人的可迭工作空问确定、形状表达和工作空问面积计算方法，全面而系　统地研究了该机器人的工作空间面积与足寸之间的关系，绘制了可迭工作空　问面积·ｌ生能图谱，并归纳出相应的变化规律．这些结果对设计球面三自由度　并联机器人具有重要的参考价值　关键词：球面并联机器人；空间模型；工作空间；保角变换　中囤分类号：ＴＨｕ２．１　文献标识码：Ａ　

在２０世纪８０年代．并联机器人由于其高剐　度和高精度等特性而得到了众多学者的青睬　般来说．并联机器人的运动学和几何特性同串　联机器人相比要复杂得多，并联机器人的奇异性　和工作空间的确定也是一个具有挑战性的方　向【３ｊ．而工作空间在机器人的机构设计和轨迹规　划方面是不可缺少的。在利用空间模型理论来研　究不同种类机器人的性能方面　已有很大发展　球面三自由度并联机器人是一种有重要应用的并　联机构，可以用作机器人的腰部关节、腕关节、肩　关节，可用在机床加工中．也可用于卫星天线的空　间方位跟踪系统等。本文以此机构为研究对象，借　助空间模型理论研究该机器人的可达工作空间及　性能指标的性能图谱，为该机器人的机构设计提　供重要参考依据。　

１　空间模型　图１所示为球面三自由度并联机器人．该并　联机构的９个转动副轴线相交于一点Ｄ，Ｄ即为　该并联机构的转动中心，因此该机构各运动杆件　上任一点都通过该点与转动中心之间联线而被约　束，而且杆件闻的相对运动是以通过该机构中心　的轴线为转轴的转动运动，运动的上棱锥台通过　３个分支与固定的下棱锥台相联接，上棱锥台相　对下棱锥台具有３个转动自由度。　根据并联机器人结构的对称性原则，该机构　的机构参数为４个角度参数（见图１）：　．、　、　－、　其取值范围为　。≤卢ｌ≤。。。　。＜卢　≤。。。ｌ　（１）　０≤　．≤１８０。０≤口２≤ｌ８Ｏ。Ｊ　

收稿日期　２Ｏ０１一Ｏ１　Ｏ３　·ｌｌ２２·　

张立杰讲师　图１　球面三自由度井鞋机器人　根据该机构的结构特性，可以得出球面并联　三自由度机械手既能组装起来又能运动的条件是　

麓　１８０　＞　卢２。ｌｄ　ｌ。一　｝（２）　＋　且口２～（　＋　）＜　。　Ｊ　

由式（１）及式（２），当　给定且令该球面机构的球半　径为单位１时，可以得出该球面并联机构的空间模　型，图２所示的多面体ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪＫＬＭＮ【６　，　如果给定　的值．它是平行于０一　平面的多边　

皿　Ⅳ＋　Ｇ　

图２　球面三自由度并联机器人的空间域型　

维普资讯 http://www.cqvip.com 球面三自由度并驻机器人可选工作空问的研究　张立燕　刘辛军　２　球面三自由度并联机器人的反解　球面三自由度并联机器人的反解已得到解　决【　建立如图ｌ所示的与文献［７：不同的各坐标　系：坐标系Ｏｘ　ｌＹ．Ｌ２ｌ１、Ｏｘ　Ｙ．而２、Ｏｘ　Ｙ　按照Ｈ　Ｄ规则确定；坐标系Ｏｘｙｚ．２轴沿ＩＩＯ方向．　轴垂直于　轴且在　轴与　轴所确定的平面内；　坐标系Ｏｘ。　＃。，。。轴沿ＯＨ　方向，ｚ　轴垂直于　轴且在　与　。轴所确定的平面内　如果已知上平　台的方位，即已知坐标系Ｏｘ　Ｙ　对坐标系ＯＪ－ｙｚ　的３个欧拉角　、　、　，则可求出　．（　．　｝．　可以通过下式得出该机器人的反解：　ｑｖ　＝ＣＯ８ｆｆ　２　１　２—３　（３）　即　＋２Ｂ，　＋Ｃ．＝０　｛）　一ｔａｌｌ（　／Ｚ）　Ａ．＝ｃｏｓ￣；ｓｉｎａ　Ｌ口，　一　、ｃｏｓ￣，ｓｉｎｆｌ　Ｌ　一ｓｉｎａ　ｓ　Ｌｎ　．…　ｃ０ｓ　ｌｓｉｎ＃Ｌｓｉｎｇｖ，，一ｃ０ｓ　ｌｃｏｓｆｌ　Ｌ　一（＝。　口ｚ　Ｂ，一一ｃ０ｓ　ｃｏｓ　Ｔ］，ｓｉｎａ　Ｌ　一ｃｏｓｆｌ　Ｌｓｉｎａｌｓｌｎ　，　，　十　ｓⅢＬｓｉｎ＃　．　Ｃ．＝ｓｉｎａ１ｓｌｎ　。　一ｃ０ｓ　ｌｃ０ｓ　ｓｉｎ＃１　．　一ｃｏｓｑｌｓｉｎａ　．．～　ｃ０ｓ　ｌｓｉｎ＃ｌｓ】ｎ　．　一ｃ０ｓｄｌｃ０　一ＣＯＳｆｆｚ　＝一目ｌ　ｌｃ０ｓ　ｓｉｎ／￣２一　ｌ　ｓｉｎ￣，．ｓｉｎｆｌ２一ｑ　３ｃｏｓｆｌ？　＝一ｑ　２１ｃｏｓｖ　ｓｉｎ＃２一　ｓｉｎ￣，ｓｉｎｆｌ２一ｑ　ｚ３ｃｏｓｆｌ：　＝一ｑ３１ｃｏｓ￣ｓｌｎ＃ｚ—ｑ】＝ｓｉｎａｉ．ｓｉｎ＃　＋目３３ｃ０ｓ　口ｌ一一ｓｉｎｅｌｓｉｎ　一ｃ０５　ｌｃｏｓ￣３ｃ０ｓ　２　ｑ　２＝一ｓｉｎｅｌｃｏｓ￣　一㈨　ｌｓｉｎｅ３ｃｏｓ￣　ｑ¨＝ｃｏｓ￣　ｓｉｎｅ　ｚ　ｑ２１＝ｃｏｓ￣Ｌｓｉｎｅ　３＋ｓｉｎｅ＇ｌｃｏ　ｃｏｓ￣ｂｚ　ｑ２２＝ｃｏｓ￣ｌｃｏｓ　一ｓｉｎｓ￣ｌｓｉｎｅ　ｃ０ｓ　目　ｘ＝ｓｉｎｅｌｓｉｎｅ：　ｌ＝一ｃｏｓ￣：ｓｉｎｅ：　”＝ｓｉｎｓ￣：ｓｉｎｓ０　

一０　７　一号　＝争　㈤　３　工作空间的确定及其形状平面銎　机器人工作空间的确定是机器人运动学优　化的一个重要方面。对于球面三自由度并联机器　人的工作空间，我们这样定义：如图１所示．假定　上平台上的点Ｈ　，在以。为球心，以单位ｌ为半　径的球面上，即ＯＨ　是球半径，且垂直于上平台　（Ｈ　是上平台正三角形的中心）．当机构运动刊，　定义Ｈ　的轨迹为该机器人的工作空间　这样球　面三自由度并联机器人的工作空间就是　（）为球　心，以单位１为半径的球面的子集。严格地说球面　

三自由度并联机器人的工作空间，不能看作是３　个分支（串联形式）工作空间的交集，因为对于球　面上的某些点可能满足单个分支的反解，但这些　点未必是并联机器人工作空问中的点，即未必能　够使式（４）全部都有解　由于并联机器人工作空　间内的点一定是３个分支工作空间交集内的点．　因此可以利用３个相同的串联形式工作空间的交　集来研究球面三自由度并联机器人的工作空间，　即只要把不能使式（４］全部都有解的点从串联形　式工作空间的交集内除去，剩下的点的集台即是　球面三自由度并联机器人的工作空间。　如文献［６：中所述，对于给定的球面串联三　自由度机器人（其结构参数为　、　、　），可以确　定其工作空间形状；对于球面三自由度并联机器　人，当给定卢　时，只要确定　３个分支串联形式的工作　空问，并取其交，按照保角　变换理论，就可以得出３个　分支工作空问交集的工作　空间形状平面图。例如，　．　６０。，　２—３０。，ｄｌ＝ｌ００。，　３０。这一机器人，其３　个分支工作空间的交集的　形状平面图见图３，图中的　剖面线部分即是其交集　然　后，从该交集中除去不能使　图３球面三自由虞　

并联机器人的工作空　式（４）全部都有解的点，即间　

是该球面三自由度并联机器人的工作空间，亦即　图中双剖面线区域。　

４　可达工作空间的面积性能图谱　４．１　可达工作空间面积计算　采用数值计算方法计算球面三自由度并联机　器人可达工作空间的面积。根据文献［６］中介绍　的保角变换理论，球面上一点的笛卡尔坐标　，　Ｙ，ｚ），与保角变换平面上对应点的极坐标（Ｐ，　）　之间的关系为　ｚ＝ｓ　０ｓ纠　＝ｓｉｎＳｓｉｎ￣　（６）　

＝２ａｒｃ　ｃａｎ晏　（７）　坐标系Ｏｘ　．．到坐标系Ｏｘｙｚ的坐标转换矩阵　为　ｒ　ｓｉｎ￣］．　一ｃｏｓｆｌｌ　一ｃ。ｓ　ｓｌｎ　Ｐ—　一　—ｃ　ｏ．ｓ　

８　，

ｓｍ　一　：嚣　Ｊ　８　

维普资讯 http://www.cqvip.com 中国机械工程第１　２卷第１Ｏ期２００１年１０月　式中，　（　＝１，２，３）见式（５）。　则坐标系０％　俺　下的坐标（　ｌＩ．Ｙ＿】＿　。）与　坐标系Ｏｘｙｚ下的坐标（ｚ，　，　）之间的关系为　

这样就可以利用式（６）～式（９）把球面三自　由度并联机器人的边界变换到保角变换平面上　来，因此就把一个３维问题转换为２维问题。计算　可达工作空间的面积．只要在保角变换平面（Ｐ．ｆ）　中采用２维搜索利用数值计算方法即可。　该面积计算图例见图４　图中，　、Ｐ　为　、　对应球面点经保角变换后的平面极坐标表示，如　果记Ｐ方向上的步长为Ａｐ（即却＝Ｐ　一Ｐ．）．　方　

圈４　球面三自由度并联机器人　可选工作空间面积计算图解　

０　２　ｃｔａｎ　ｌ　向上的步长为△　由式（７）可辑｝　（１０）　０２—２ａｒｃｔａｎ譬　ｌ　Ｊ　＾一ｃｏｓＯ】一ｃｏｓＯ　ｚ　（】１）　

如果已知　，则球面上高为ｈ的球台侧面积　ｄａ一２　一２ｘ（ｃｏｓ０　一ｃｏｓ０２）　（１２）　这样，在Ｐ方向上按步长△ｆ进行搜索，假设搜索　结果为”△Ｐ，则高为＾的球台侧面积中有　

ｄＡ—ｄａ　（１　３）　…　

此即为可达工作空间的面积。　

令Ｐ在［Ｏ，２］之问变化，Ｐ在［０，３６０。］之间变　化，由式（１０）～式（１３）就可以求出该球面机器人　的可达工作空间面积。　４．２　可选工作空间的面积性能图谱　根据以上对可达工作空问的确定及面积汁算　方法的描述，可以计算出类似于图３所示的空间　模型（给出不同的　）内所有机器人可达工作空　间的面积，并把该性能的分布特征描绘在空问模　型的平面图（给出不同的　、　）中，从而得出可　达工作空间面积的性能图谱（见图５）。由工作空　·１１　２　·　

间面积性能图谱，可以得出以下规律　１８０。　

（　１８０。　

Ｏ　

ｄ）　—ｏ．　一９０　Ｏｒ，　７“　

０　０“　

ＯⅡ　２　

０）目　一６０。，　一６０。　（　）　一９０。．ｐ　＝９０　图５　球面三自由度并联机器人韵　可选工作空间面积性能囤谱　

（１）各图中的阴影部分为可达工作空间面积　为４　韵机器人的集合；　（２）各图谱中，可达工作空间面积关于直线　＝　２对称；　（３）可达工作空间面积为４　的机器人总是处　在空间模型的（９０。，９０。）附近；　（４）对于多数情况，当　、ａ　、　一定时，可达　工作空间面积随着　的增大而增大；　（５）对于每一个图谱，其共同的规律是，靠近　空间模型四周的机器人，其可达工作空间面积较　小，靠近（９０。，９０。）周围的机器人其可达工作空间　面积较大　

参考文献：　ｒ１　Ｈｕｎｔ　Ｋ　Ｈ．ＳｔｒｕＣｔｕｒａｌ　Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｏｆ　ｌｎ　Ｐｒａｌｌｅ】Ａｃ　ｔｕａｔｅｄ　Ｒｏｂｏｔ—Ａｒｍｓ　Ｔｔａｎｓ　ｏｆ　ＡＳＭＥ，Ｊｏｕｒｎａ１　Ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ．Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｓ．ａｎｄ　Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ　ｊｎ　Ｄｅｓｉｇｎ，１　９８３，１９５（４）：７０５￣７１　２　［２］Ｓｋｌａｒ　Ｍ，Ｔｅｓａｒ　Ｄ．Ｄｙｎａｍｉｃ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｈｙｂｒｉｄ　Ｓｅ—　ｒｉａｌ　Ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　Ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ　Ｐａｒａｌｌｅｌ　Ｍｏｄ　ｕｌｅｓ　Ｔｒａｎｓ　ｏｆ　ＡＳＭＥ．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ，　Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｓ．ａｎｄ　Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｄｒ，ｓｉｇｎ．１９８８—　１１０（２）：１０９～ｉ１５　３］Ｋｕｍａｒ　Ｖ　Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｗｏｒｋｓｐａｃｅｓ　ｏｆ　Ｐａｒａｌ—　ｌｅｌ　Ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ．ＡＳＭＥ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｄｅ—　ｓｉｇｎ，ｔ９９２，ｌ１４（１）：３６８　［４］ＧＡＯ　Ｆｅｎｇ　Ｉ　Ｉｕ　Ｘｉｎｊｕｎ，Ｇｒｕｖｅｒ　Ｗ　Ａ　Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｔｗｏ　Ｄｅｇｒｅｅｓ　ｏｆ　Ｆｒｅｅｄｏｍ　Ｐｌａｎａｒ　Ｐａｒ—　ａｌｌｅｌ　Ｒｏｂｏｔｓ．Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ａｎｄ　Ｍａｃｈｉｎｅ　Ｔｈｅｏｒｙ，　１　９９８，３３（２）：６６ｌ～６６８