一类食饵带病毒的捕食者-食饵扩散模型的稳定性

第３３卷第６期　２０１５年ｌ２月　青海大学学报（　自　然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｉｎｇｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．３３　Ｎｏ．６　

Ｄｅｃ．２０１５　

一类食饵带病毒的捕食者一食饵扩散模型的稳定性　高海燕　（兰州财经大学统计学院，甘肃兰州７３００２０）　摘要：讨论一类食饵带病毒的捕食者一食饵扩散模型整体解的存在性与一致有界性，并应用线　性化方法和Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函方法给出该模型正平衡点的局部渐近稳定条件和全局渐近条件。　关键词：捕食者一食饵模型；易感染食饵；患病食饵；稳定性　中图分类号：０１７５．２６　文献标志码：Ａ　文章编号：１００６—８９９６（２０１５）０６—００４８—０７　ＤＯＩ：１０．１３９０１／ｊ．ｃｎｋｉ．ｑｈｗｘｘｂｚｋ．２０１５．０６．００９　

Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｄｉｆｆｕｓｉｖｅ　ｐｒｅｄａｔｏｒ—ｐｒｅｙ　ｍｏｄｅｌ　ｔｈ　ｖｉｒａｌ　ｄｉｓｅａｓｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐｒｅｙ　ＧＡＯ　Ｈａｉｙａｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｌａｎｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｆｉｎａｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｌａｎｚｈｏｕ　７３００２０，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ　ｏｆ　ｇｌｏｂａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ａ　ｄｉｆｆｕｓｉｖｅ　ｐｒｅｄａｔｏｒ－—ｐｒｅｙ　ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　ｖｉｒａｌ　ｄｉｓｅａｓｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐｒｅｙ　ａｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｌｏｃａｌ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｇｌｏｂａｌ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｐｏｉｎｔ　ｔｏ　ｔｈｉｓ　ｍｏｄｅｌ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｂｙ　ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｌｙａｐｕｎｏｖ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｒｅｄａｔｏｒ—ｐｒｅｙ　ｍｏｄｅｌ；ｓｕｓｃｅｐｔｉｂｌｅ　ｐｒｅｙ；ｉｎｆｅｃｔｅｄ　ｐｒｅｙ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　

众所周知，人类的进化过程中一直伴随着各种传染病，传染病一直威胁着人类的身体健康，它可以　在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播。因此，利用科学手段对传染病流行规律进行研究和预　测，进一步发现其生成和传播机理，对促进社会公共卫生及医疗发展具有重要作用。针对传染病的生物　化学机理的研究，形成了传染病（流行病）动力学，它是利用数学模型开展科学研究，利用数学建模的思　想来模拟传染病发病机理以及传播特征等。通过对模型中描述动力学的参数的研究，相关人员可以利　用模型定性或者定量的分析，揭示某种传染病发病的原因以及传播的关键因素等，从而帮助人们制定出　预防和控制传染病的最优策略，为人们防治疾病提供理论基础和数量依据¨　。流行病动力学模型可　用来描述容易感染病毒、已经感染病毒的食饵与捕食者之间的生物相关性　。本文讨论一类食饵带　病毒的捕食者一食饵扩散模型正平衡点的稳定性。　

１　预备知识　针对流行病模型，文献［７］提出并研究了如下食饵带病毒的捕食者一食饵模型　ｄｕ＝ｒ　１一詈）　一　

面ｄｖ＝卢ｕ　一ｍ　一　（１）　ｄ　１叼ＵＷ．　。　＿＝——＋　，ｍｖｗ—Ｏｗ　

ｄｔ　ａ＋ｕ　

收稿日期：２０１５—０８—２８　基金项目：国家自然科学基金（１１３６１０５５）；甘肃省自然科学基金（１４５ＲＪＺＡ０３３）；甘肃省高等学校科研项目（２０１５Ａ一０９３）　作者简介：高海燕（１９８Ｏ一），女，甘肃金昌人，副教授，博士。研究方向：偏微分方程及其应用。　第６期　高海燕：一类食饵带病毒的捕食者一食饵扩散模型的稳定性　４９　这里　（　，　），　（　，ｔ），Ｗ（　，ｔ）分别表示易感染食饵，患病食饵和捕食者种群的密度。ｒ，Ｉｉ｝，ｍ，ｎ，ｒｌ，ｔｚ，　，　，，ｏｔ　均为正常数，ｒ是易感染食饵的内禀增长率，　是食饵的环境容纳量，卢是易感染食饵和患病　食饵间的感染率，卵是捕食者对易感染食饵的捕获率，ｍ是捕食者对患病食饵的捕获率，　和　分别是　患病食饵和捕食者的自然死亡率，ＯＬ　和Ｏｔ　是转化率，０是半饱和常数。７ｑｕ／（口＋１１，）是ＨｏｌｌｉｎｇＩＩ型功能　反应函数。关于模型（１）更详细的生态意义见文献［７］。　在生态系统中，当假设种群密度在空间均匀分布时，可用常微分方程（组），描述生物种群的演变规　律。若种群密度在空间分布不均匀时，则高密度区域的种群会向低密度区域扩散，此时需要考虑反应扩　散系统。本文将讨论一类食饵带病毒的捕食者一食饵扩散模型：　△ｕ＝ｒｕ（１一詈）一　一　；ｇ　伽）　

一　＝卢　一ｍ　一　；ｇ２（　，　）　一　３

△　：　Ｏｉｌ—ｒ

＝＿ｌＵ　Ｗ

＋Ｏｌ２ｍｖｗ一６　；ｇ３（ｕ，　，　）Ｏ　ｔ　

０＋　…　

ａ　ｕ＝ａ　＝ａ　埘＝０　ｕ（ｘ，０）＝“０（　），ｖ（ｘ，０）＝＂１３０（　），ｗ（ｘ，０）＝　０（　）　

∈Ｑ．ｔ＞０　（２）　∈ｎ．ｔ＞０　

∈ａＱ．ｔ＞０　∈Ｑ　这里Ｑ是　（１７，≥１）中具有光滑边界的有界区域，ａ　表示ａＱ上的单位外法向导数。　。（　），　。（　），　

。（　）是非负且不恒为零的光滑函数。首先讨论模型（１）整体解的存在唯一性及一致有界性。其次，应　用线性化方法和Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函方法给出该模型正平衡点的局部渐近稳定条件和全局渐近条件。注意到　（２）的常微分方程组形式（１）的解是反应扩散问题（２）的特解，因此，当常微分方程组形式（１）的正平　衡点不稳定时，问题（２）仍以该正平衡点为不稳定平衡点。　

２　一致有界性　定理１　设ｕ。（　），　（　），　。（　）是非负且不恒为零的光滑函数，则模型（２）存在唯一解：　（Ｕ（Ｘ，ｔ），　（　，ｔ），ｗ（ｘ，ｔ））∈（Ｃ（Ｑ×［０，Ｏ０））ｎ　Ｇ　，　（Ｑ　Ｘ（０，Ｏ０）））。　并满足：　Ｉｌ　Ｍ（。，ｔ）ｌＪ　ＬＯＯ（ｆ￣），ｌｌ　（‘，ｔ）＿ｌ州ｎ），ｌＩ“（・，ｔ）ｌｌ州ｎ）≤Ｃ，Ｖｔ≥０　这里Ｃ为正常数。　证明　易于验证（ｇ。，ｇ　，ｇ　）在　上充分光滑，由熟知的偏微分方程基本理论［８］知，问题（２）存　在唯一的局部古典解（“．　。　）。下面证明（２）存在非负整体解。　设ｔ。是小于最大存在时间　的任意正时刻，对（２）应用比较原理［９］知：　（　，ｔ）≥０，　（　，ｔ）≥０，ｗ（ｘ，ｔ）≥０，Ｖｔ∈［０，ｔ０］　由ｔ。的任意性，在［０，Ｔ）上ｕ（ｘ，ｔ），　（　，ｔ），ｗ（ｘ，ｔ）≥０。特别地，由强最大值原理知，当／Ｚ０（　），　（　），　Ｗｏ（　）非负且不恒为零时，对任意ｔ＞０有　（　，ｔ），ｖ（ｘ，ｔ），ｗ（ｘ，ｔ）＞０　令Ｍ１＝ｍａｘ｛ｓｕｐｕｎ，　），由比较原理知：　

０＜　≤Ｍ１＝ｍａｘ｛ｓｕｐｕ０（　），后），　Ｖ　ｔ＞０　令　＝（２　２＋　１）　＋２ｃｘ２　＋Ｗ，贝０：　

：　［ｒ（２　＋仅－）（　一　）一２ｏＬ２／￣ｖ一　］　≤一　ｚ　＋Ｍ　这里　为依赖于　１，　，ｋ，ｒ，ｓｕｐＵ，０（　）的正常数。因此ｌ』　（。，ｆ）ＩＪ　Ｌｌ（ａ），『ｌ　（・，　）『ｌ　Ｌｌ（ａ），ｌｌ　（・，　）ｌｌ　Ｌｌ（ａ）　在［０，Ｏ０）上有界。应用文献［１Ｏ］可知：　ＩＩ　（’，ｔ）Ｉ　Ｊ州ｎ），ＩＩ　（・，ｔ）Ｉ　Ｊ州ｎ），ＩＩ　（・，ｔ）ｌｌ州ｎ）≤Ｃ，Ｖｔ≥０　５０　青海大学学报　第３３卷　从而定理１得证：　进一步，由文献［１１］定理Ａ　知，对某Ｏｔ∈（０，１）和任意ｔ。＞０有：　ＩＩ　（・，　）ＩＩ　ｃ　＋　（矗），ｌｌ　（。，ｔ）ｌｌ　ｃｚ＋￣（ｆｉ），ｌｌ　（。，ｔ）Ｉｌ　ｃｚ＋　（　）≤Ｃ，Ｖ　ｔ≥ｔｏ　（３）　其中Ｃ是与ｔ无关的正常数。　

３　正平衡点的稳定性　为了讨论模型（２）的正平衡点的稳定性，为此，先引入文献［７］中关于常微分方程组（１）的结果。　引理１　模型（１）有如下５个平衡点：　（１）平凡平衡点Ｕ。＝（０，０，０），既没有易感染食饵，也没有患病食饵和捕食者；　（２）边界平衡点Ｕ　＝（　，０，０），易感染食饵处于最大量，没有患病食饵和捕食者；　（３）平衡点　，０，　＝（　，０，　糍　），食饵处于易感染状态，没有　

患病食饵。当ａ１７／＞　ａｆｔ＋　时，Ｕ２是非负平衡点；　

（４）平衡点　＝（１，３，ｊ１）３　０）＝（告，　，０）只有易感染食饵和患病食饵，没有捕食者。当　＞　ｔｚ／ｋ时，　是非负平衡点；　（５）－＇￣Ａ　ｖ　＝　＝　（　一　）　＝　是　

ｒｍ　２ｕ　＋［（０一ｋ）ｒｍｃｘ２一　＋　叼（ＯＬ２一ＯＺ１）］Ｍ　＋（　一ｋａ２ｒｉｔｚ—ｋａｒｍａ２）＝０的正根。当　＜ｕ　＜　，　１＞　叼，　＜　２　＋ａｒｍｃｘ２　（４）　时，是Ｕ　唯一正平衡点。　引理２　对模型（１）的非负平衡点，有：　（１）　无条件不稳定；　（２）当０＜　＜ｍｉｎ｛　，ａ３／（ａ　７７—　）｝时，Ｕ　是局部渐近稳定的；　（３）当　“　＜ｍｗ２＋　且ａ／ｋ＞（１—２６／（　叼十６））时，　是局部渐近稳定的；　（４）当６＞Ｏｒ１ｆｌｕ３／（ａ＋　３）＋Ｏｌ２ｍｙ３时，Ｕ３是局部渐近稳定的；　（５）当　

…　＞…｛√　，　ｚ　¨　ａ＋ｕ）　㈩　

成立时，Ｕ　是局部渐近稳定的。其中：　÷一　，　ｍ２　“　＋　，　一　下面仅讨论食饵与捕食者共存时，Ｕ　的稳定性。首先源自文献［１２］或［１３］的下述引理是重要的。　引理３　设口，ｂ为正常数，　，　∈Ｃ　（［口，ｏｏ）），　（ｔ）≥０，　有下界。如果咖　（ｔ）≤一６　（ｔ），且　（ｔ）　≤Ｋ（Ｖｔ≥ａ），Ｋ为正常数，则１ｊｍ妒（ｔ）＝０。　定理２若条件（４），（５）和　冬　（０＋ｕ　）　＞Ｏｌ２ｍｒｔｗ　ａ＋　）＋』Ｂ叼ｕ　（６）　

＞—＿１２　（７）　一ｋ＞　

成立，则模型（２）的正平衡点（ｎ　，”　，　）全局渐近稳定。