【精品】2018届高三数学 第75练 古典概型与几何概型练习

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第75练 古典概型与几何概型
训练目标 (1)理解古典概型的概念、会求古典概型的概率；(2)会利用几何概型的计算
公式求几何概型的概率．
训练题型 (1)求简单古典概型的概率；(2)与其他知识交汇求古典概型的概率及古典概
型的应用；(3)长度型、面积型、体积型几何概型；(4)几何概型的应用．

解题策
略

对于古典概型：读懂题目，抓住解决问题的实质，即确定基本事件个数及所

求事件包含基本事件的个数．对于几何概型：(1)理解并会应用计算公式；(2)
利用图形的几何性质求面积、体积，复杂图形可利用分割法、补形法.
一、选择题
1．(2017·亳州质检)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中
任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是( )

A.12 B.13

C.14 D.18
2．(2016·青岛一模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长
为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷
一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是( )

A.2－32 B.32
C.14 D.12
3.(2017·长沙调研)如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sin x(x∈(0，π))及
直线x＝a(a∈(0，π))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若该点落在阴影部分

的概率为316，则a的值为( )
2

A.7π12 B.2π3
C.3π4 D.5π6
4．已知椭圆x24＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作
A1A
2

的垂线交椭圆的于点P，则使得PF1→·PF2→<0的点M的概率为( )
A.12 B.23

C.263 D.63
5．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线xa＋yb＝1的斜率k≥－12的概
率为( )
A.12 B.13

C.34 D.14
6．我们把日均收看体育节目的时间超过50分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超
级体育迷”中有2名女性，若从中任选2名，则至少有1名女性的概率为( )

A.710 B.15

C.14 D.12
7.如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)

＝ x＋1，x≥0，－12x＋1，x<0的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的
概率等于( )

A.16 B.14
C.38 D.12
8．(2016·昆明一模)小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，
3

物理1本．若将这5本书随机排并摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概
率是( )

A.15 B.25

C.35 D.45
二、填空题
9．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为
________．
10．正月十六登高是“中国石刻艺术之乡”、“中国民间文化艺术之乡”四川省巴中市沿
袭千年的独特民俗．登高节前夕，李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯
的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4
秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概
率是________．
11．已知平面区域D1＝{(x，y)||x|<2，|y|<2}，D2＝{(x，y)|kx－y＋2<0}．在区域
D
1

内随机选取一点M，若点M恰好取自区域D2的概率为p，且0______________．
12.如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)，则点P到原点O的距离小
于1的概率是__________.
4

答案精析
1．C [易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的情况无需考虑)，集
合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4

个，由古典概型知概率为416＝14.]
2．A [易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S1＝(3－1)2＝4－23，大
正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝S1S＝4－234＝2－32.]
3．B [由题意知，阴影部分的面积为


0
a
sin xdx＝(－cosx)0|a＝－cosa＋cos 0＝1－cosa，根据几何概型的概率计算公式知

1－cos aa·8a＝316，即cosa＝－12，而a∈(0，π)，故a＝2π
3
，故选B.]

4．D [设P(x，y)，则PF1→·PF2→<0⇒(－3－x，－y)·(3－x，－y)<0⇒x2－3＋y2<0⇒
x
2
－3＋1－x24<0⇒|x|<263，故所求的概率为4634＝63.]
5．D [记a，b的取值为数对(a，b)，由题意知(a，b)的所有可能的取值有36种．由直
线xa＋yb＝1的斜率k＝－ba≥－12，知ba≤12，那么满足题意的(a，b)可能的取值为(2,1)，
(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共9种，所以所求概率为
936＝1
4
.]

6．A [用ai表示男性，其中i＝1,2,3，bj表示女性，其中j＝1,2.记“选出的2名全都
是男性”为事件A，“选出的2名有1名男性1名女性”为事件B，“选出的2名全都是
女性”为事件C，则事件A包含(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共3个基本事件，事件
B
包含(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6个基本事件，事
件C包含(b1，b2)，共1个基本事件．事件A，B，C彼此互斥，事件至少有1名女性包含

事件B和C，所以所求事件的概率为6＋13＋6＋1＝710.]
7．B [依题意得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面
积S矩形ABCD＝3×2＝6，阴影部分的面积S阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，
5

得所求的概率P＝S阴影S矩形ABCD＝326＝14，故选B.]
8．B [语文、数学只有一科的两本书相邻，有2A22A22A23＝48(种)摆放方法；语文、数学两
科的两本书都相邻，有A22A22A33＝24(种)摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A55＝

120(种)摆放方法．故所求概率为1－48＋24120＝25.故选B.]

9.16
解析 十个数中任取七个不同的数共有C710种情况，七个数的中位数为6，那么6只能处在
中间位置，有C36种情况，于是所求概率P＝C36C710＝16.

10.34
解析 设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，∴全部基本事件构成的区域为






0≤x≤4，
0≤y≤4，

符合题意的区域为 0≤x≤4，0≤y≤4，－2≤y－x≤2，

如图所示，由几何概型可知，所求概率为P＝1－2×12×2×216＝34.

11．[－1,0)∪(0,1]
解析 如图所示，平面区域D1是由边长等于4的正方形内部的点构成的，其面积为16，
直线kx－y＋2＝0恒过定点P(0,2)．由于原点必在区域D2外，且图中每个阴影三角形的

面积与大正方形的面积之比均为18，故当k>0时，k∈(0,1]；当k<0时，k∈[－1,0)．从
而k的取值范围为[－1,0)∪(0,1]．
6

12.π4
解析 若点P到原点的距离小于1，则 0

如图中阴影部分所示，所以点P到原点的距离小于1的概率为14×π×1212＝π4.