[K12学习]2019高考数学二轮复习专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计第二讲统计与统

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2019年高三数学(理)二轮专项检测：专项6概率与统计、算法初步、复数专项检测

2019年高三数学（理）二轮专项检测：专项6概率与统计、算法初步、复数专项检测注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

(本卷总分值150分，考试用时120分钟)【一】选择题(本大题共12小题，每题5分，共计60分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1、(2017·临沂模拟)在复平面内，复数i3－i (i 是虚数单位)对应的点在 A 、第一象限 B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限解析i 3－i ＝i 3＋i 3－i 3＋i ＝－1＋3i 4＝－14＋34i ，其对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34在第二象限、答案B2、阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A 、－1B 、2C 、3D 、4解析第一次进入循环体可得S ＝－1，n ＝2，第二次进入循环体可得S ＝12，n ＝3，第三次进入循环体可得S ＝2，n ＝4，满足条件，跳出循环体，输出的n ＝4，应选D.答案D3、一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人、为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本、那么从上述各层中依次抽取的人数分别是A、12,24,15,9B、9,12,12,7C、8,15,12,5D、8,16,10,6解析抽取比例为40800＝120.故各层中依次抽取的人数分别是16020＝8，32020＝16，20020＝10，12020＝6.应选D.答案D4、(1＋2x)6的展开式中x4的系数是A、240B、360C、480D、960解析由二项式定理得T r＋1＝C r6(2x)r＝C r62r x r，∴x4的系数为C46·24＝240.答案A5、假设把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，那么可能出现错误的种数是A、20种B、19种C、10种D、9种解析“error”由5个字母组成，其中3个相同，这相当于5个人站队，只要给e、o选定位置，其余三个相同字母r位置固定，即所有拼写方式为A25，error 拼写错误的种数为A25－1＝19.答案B6、如图是甲、乙两名篮球运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，中间的数字表示得分的十位数，据图可知A、甲运动员的最低得分为0分B、乙运动员得分的中位数是29C、甲运动员得分的众数为44D、乙运动员得分的平均值在区间(11,19)内解析据茎叶图知应选C，注意不要错选A，甲的最低得分应为10分、答案C7、某个容量为100的样本的频率分布直方图如下图，那么在区间[4,5)上的数据的频数为A、15B、20C、25D、30解析在区间[4,5)的频率/组距的数值为0.30，而样本容量为100，所以频数为100×0.30＝30.答案D8、(2017·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子那么y A 、y ＝x －1 B 、y ＝x ＋1C 、y ＝88＋12x D 、y ＝176解析因为x －＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y －＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y －)，所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 答案C9、(2017·安徽)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，那么以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于A.110B.18C.16D.15解析解法一如下图，从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A 、B ，A 、C ，A 、D ，A 、E ，A 、F ，B 、C ，B 、D ，B 、E ，B 、F ，C 、D ，C 、E ，C 、F ，D 、E ，D 、F ，E 、F ，共15种、假设要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A 、D ，B 、E ，C 、F ，共3种，故其概率为315＝15.解法二如下图，从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点，共有C 46＝15种选法，其中能够构成矩形的有FECB 、AFDC 、ABDE 三种选法，故其概率为315＝15.答案D10、一个箱子中有9张标有1、2、3、4、5、6、7、8、9的卡片，从中依次取两张，在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率是A.59B.518C.14D.12 解析设“第一张是奇数”记为事件A ，“第二张是奇数”记为事件B ，P (A )＝A 15A 18A 29＝59，P (AB )＝A 25A 29＝518，所以P (B |A )＝P AB P A ＝51859＝12. 答案D11、(2017·济南模拟)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，假设P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，那么c 等于A 、1B 、2C 、3D 、4 解析随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，这个概率分布的密度曲线关于直线x ＝2对称，根据这个对称性，当P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)时，x 1＝c ＋1，x 2＝c －1关于直线x ＝2对称，故c ＋1＋c －12＝2，即c ＝2.应选B. 答案B12、在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，那么函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为A.18B.14C.34D.78解析由题意得f ′(x )＝32x 2＋a ≥0，故f (x )在x ∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f (－1)·f (1)≤0成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－a －b ≤0，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ＋b ≥0，可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b ≥012＋a ＋b ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b ≤012＋a ＋b ≤0，由线性规划知识在直角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型知识可以知道，函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为：可行域的面积除以直线a ＝0，a ＝1，b ＝0，b ＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为78.答案D【二】填空题(本大题共4小题，每题4分，共计16分、把答案填在题中的横线上)13、箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，那么获奖、现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________、解析依题意得某人能够获奖的概率为1＋5C 26＝25(注：当摸的两个球中有标号为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况)，因此所求概率等于C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫253·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝96625.答案9662514、将一枚均匀的硬币抛掷6次，那么正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________、解析正面出现的次数比反面出现的次数多，那么正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P ＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1132.答案113215、现对某校师生关于上海世博会知晓情况进行分层抽样调查、该校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人、现抽取了一个容量为n 的样本，其中女学生有80人，那么n 的值等于________、解析根据分层抽样的等比例性，得n 200＋1 200＋1 000＝801 000，解得n ＝192. 答案19216、假设某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的k 的值是________、解析初始值：k＝2，执行“k＝k＋1”得k＝3，a＝43＝64，b＝34＝81，a＞b不成立；k＝4，a＝44＝256，b＝44＝256，a＞b不成立；k＝5，a＝45＝1024，b＝54＝625，a＞b成立，此时输出k＝5.答案5【三】解答题(本大题共6小题，共74分、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17、(12分)某市公租房的房源位于A、B、C三个片区、设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)没有人申请A片区房源的概率；(2)每个片区的房源都有人申请的概率、解析(1)解法一所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种、记“没有人申请A片区房源”为事件A，那么P(A)＝2434＝1681.解法二设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验、记“申请A片区房源”为事件A，那么P(A)＝1 3.由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式知，没有人申请A 片区房源的概率为P 4(0)＝C04⎝⎛⎭⎪⎫130⎝⎛⎭⎪⎫234＝1681.(2)所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有C24A33种、记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有P(B)＝C24A3334＝49.18、(12分)有一种旋转舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面上安装5只颜色各异的彩灯，假假设每只灯正常发光的概率为0.5.假设一个面上至少有3只灯发光，那么不需要维修，否那么需要维修这个面、(1)求恰好有两个面需要维修的概率； (2)求至少3个面需要维修的概率、解析(1)因为一个面不需要维修的概率为P 5(3)＋P 5(4)＋P 5(5)＝C 35＋C 45＋C 5525＝12，所以一个面需要维修的概率为12.因此，6个面中恰好有两个面需要维修的概率为P 6(2)＝C 2626＝1564.(2)设需要维修的面为X 个，那么X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，又P 6(0)＝C 0626＝164，P 6(1)＝C 1626＝332，P 6(2)＝C 2626＝1564，故至少有3个面需要维修的概率是1－P 6(0)－P 6(1)－P 6(2)＝1－164－332－1564＝2132.即至少3个面需要维修的概率是2132.19、(12分)对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人、女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动、(1)根据以上数据建立一个2×2列联表； (2)判断性别与休闲方式是否有关、由表中数据计算得，k ＝12443×33－27×21270×54×64×60≈6.021. 因为k ≥5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”、20、(12分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别、公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料、假设4杯都选对，那么月工资定为3500元；假设4杯选对3杯，那么月工资定为2800元；否那么月工资定为2100元、令X表示此人选对A饮料的杯数、假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力、(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望、解析(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝i)＝C i4C4－i4C48(i＝0,1,2,3,4)、即(2)令Y2100,2800,3500.那么P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝1 70，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝8 35，P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝53 70.E(Y)＝3500×170＋2800×835＋2100×5370＝2280.所以此员工月工资的期望为2280元、21、(12分)(2017·武汉模拟)某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)，现用分层抽样方法(按A类、B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)、(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如表1和表2.表1表2①先确定x②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数、(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)解析(1)甲、乙被抽到的概率均为110，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为P ＝110×110＝1100.(2)①由题意知，A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名、故4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5,6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15. 频率分布直方图如下：②x －A ＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123，x －B ＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8，x －＝25100×123＋75100×133.8＝131.1，A 类工人生产能力的平均数、B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123、133.8和131.1.22、(14分)甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为23，乙机投弹一次命中目标的概率为12，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响、(1)假设至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率； (2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望、解析设A k 表示甲机命中目标k 次，k ＝0,1,2，B l 表示乙机命中目标l 次，l ＝0,1,2，那么A k ，B l 独立、由独立重复试验中事件发生的概率公式有P (A k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－k ，P (B l )＝C l 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12l ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－l.据此算得P (A 0)＝19，P (A 1)＝49，P (A 2)＝49.P (B 0)＝14，P (B 1)＝12，P (B 2)＝14.(1)所求概率为1－P (A 0B 0＋A 0B 1＋A 1B 0)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫19×14＋19×12＋49×14＝1－736＝2936.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝P (A 0)·P (B 0)＝19×14＝136，P (ξ＝1)＝P (A 0B 1)＋P (A 1B 0)＝19×12＋49×14＝16，P (ξ＝2)＝P (A 0B 2)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 0)＝19×14＋49×12×49×14＝1336，P (ξ＝3)＝P (A 1B 2)＋P (A 2B 1)＝49×14＋49×12＝13，P (ξ＝4)＝P (A 2B 2)＝49×14＝19. 综上知，ξ从而，ξ的期望为E (ξ)＝0×36＋1×6＋2×36＋3×3＋4×19＝73. [上传人：恒谦编辑付连国，QQ:1040591891]。

江苏2019高考数学二轮专项练习练习：专项六概率与统计、算法、复数

江苏2019高考数学二轮专项练习练习：专项六概率与统计、算法、复数第16讲概率与统计1.某学校为了了解学生每周在校用餐的开销情况，抽出了一个容量为500的学生样本，他们的开销都不低于20元且不超过60元，样本的频率分布直方图如下图，那么其中支出在[50,60]元的同学人数有________、(第1题)2.样本数据11,8,9,10,7的方差是________、3.把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，那么这一块至少有一面涂有红漆的概率为________、4.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 的值为________、5.全校三个年级的高度近视眼患者中，抽取假设干人组成样本进行深入研究，有关数据见下表(单位：人)：6.假设从高一与高三抽取的人选中选2人进行跟踪式家访调研，那么这2人都来自高三年级的概率是________、7.右表是某工厂1至4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x＋a ，那么a ＝________.8. 如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为________、________.9.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x 依次为1、2、3、4、5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)假设所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a 、b 、c 的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率、10.“依照《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL(不含80)之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上时，属醉酒驾车、”11.2017年5月3日晚8时开始，某市交警一队在该市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，通过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，下图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图、(1)求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；(图中每组包括左端点，不包括右端点)(2)求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；(3)将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x ，y(单位：mg/100ml)，那么事件|x －y|≤10的概率是多少？(第10题)第17讲算法、复数1.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1i 3等于________、2.复数z ＝(b 2－1)＋bi(b ∈R )是纯虚数，那么b 的值是________、3.复数z ＝2i1＋i ，那么该复数的虚部为________、4.如下图的算法流程框图中，假设输入a ＝4，b ＝48，那么最后输出的a 的值是________、(第4题)(第5题)5.如下图是一个算法流程图，那么输出的S的值为________、6.在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为________、7.程序如下：以上程序输出的结果是________.8.设复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，|z＋i＋1|的最小值等于________、9.如下图的算法流程图，假设输入的n是100，那么输出的变量S的值是________、(第9题)(第10题)10.如图给出的是计算1＋13＋15＋…＋119的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i ＞________.滚动练习(六)1.复数i －21＋2i ＝________.2.从集合{－1,0,1,2}中任取两个不同的元素a 、b ，那么事件“乘积ab ＜0”发生的概率为________、3.集合A ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且y ＝x},那么A ∩B 中的元素个数为________、4.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，那么这10天中甲、乙两人日加工零件的平均数分别为____________和____________、(第4题)5.右图是一个算法的流程图，那么输出i 的值是________.(第5题)6.假设数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋12，记f(n)＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝________.7.方程2－x －x 2＋b ＝0在[1,2]上有解，那么实数b 的取值范围是________、8.在△OAB 中，OA →＝(2cos α，2sin α)，OB →＝(5cos β，5sin β)、假设OA →·OB →＝－5，那么S △OAB ＝________.9.关于满足1≤x ≤2的实数x ，使x 2－ax ≤4x －a －3恒成立的实数a 的取值范围是________、10.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，点P(0，p)在线段AO 上(异于端点)、设a ，b ，c ，p 均为非零实数，直线BP ，CP 分别交AC ，AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p －1a y ＝0，请你求OF 的方程：(________)x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p －1a y ＝0.11.设不等式组{ 0≤x ≤60≤y ≤6表示的区域为A ，不等式组{ 0≤x ≤6x －y ≥0y ≥0表示的区域为B ，在区域A 中任意取一点P(x ，y)、(1)求点P 落在区域B 中的概率；(2)假设x 、y 分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子所得的点数，求点P 落在区域B 中的概率、12.△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sinB,1－cosB)与向量n ＝(2,0)夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)△ABC 外接圆半径为1，求a ＋c 的取值范围、13.数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数、(1)对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论、14.如图，在半径为30cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上、(1)怎么样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积；(2)假设将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎么样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积、(第14题)专题六概率与统计、算法、复数第16讲概率与统计1.150解析：支出在[50,60]元的同学在分布表中的频率为0.3，因此人数为500×0.3＝150.2.2解析：平均数为9，代入方差公式得、3.2627解析：这是一道古典概率题，n ＝27，四个面上都未涂有红漆的只有1块，用对立事件来解决，∴p ＝1－127＝2627.4.80解析：n ＝16210＝80.5.12解析：由表可知，x 18＝y 54＝218，∴x ＝1，y ＝3，设高一抽的学生为A ，高三的三个学生为B 、C 、D ，那么选取两个人有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种，其中两人都来自于高三有BC ，BD ，CD 共3种，故所求概率为12.6.15解析：这是一道几何概率，D 的测度为5，d 的测度为1，故概率p ＝15.7.5.25解析：此题考查：线性回归直线必过均值点、8.851.6解析：依照茎叶图可得这7个数据分别为：79,84,84,86,84,87,93，那么去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为x －＝15×(84×3＋86＋87)＝85，方差为s 2＝15×[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.9.点拨：本小题要紧考查概率、统计等基础知识，数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必定与或然思想、解：(1)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35，因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，因此b ＝320＝0.15，等级系数为5的恰有2件，因此c ＝220＝0.1，从而a ＝0.35－b －c ＝0.1，因此a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1.(2)从日用品x 1，x 2，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为：{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}，设事件A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其等级系数相等”，那么A 包含的差不多事件为：{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}共4个，又差不多事件的总数为10，故所求的概率P(A)＝410＝0.4.10.解：(1)依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上者，共有0.05×60＝3人、(2)由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值＝25×0.25＋35×0.15＋45×0.2＋55×0.15＋65×0.1＋75×0.1＋85×0.05＝47(mg/100mL)(3)第五组和第七组的人分别有：60×0.1＝6人，60×0.05＝3人、|x －y|≤10即选的两人只能在同一组中，设第五组中六人为a ，b ，c ，d ，e ，f ，第七组中三人为A ，B ，C.那么从9人中抽出2人的一切可能的结果组成的差不多事件如下：ab ；ac ；ad ；ae ；af ；aA ；aB ；aC ；bc ；bd ；be ；bf ；bA ；bB ；bC ；cd ；ce ；cf ；cA ；cB ；cC ；de ；df ；dA ；dB ；dC ；ef ；eA ；eB ；eC ；fA ；fB ；fC ；AB ；AC ；BC ，共36种、其中两人只能在同一组中的事件有18种，用M 表示|x －y|≤10这一事件，那么概率P(M)＝1836＝12.第17讲算法、复数 1.－8i 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1i 3＝(2i)3＝－8i.2.±1解析：⎩⎪⎨⎪⎧ b 2－1＝0b ≠0b ＝±1.3.1解析：z ＝2i 1＋i ＝2i1－i 2＝1＋i.4.965.－96.25解析：|(－3＋i)－(1－i)|＝|－4＋2i|＝－42＋22＝2 5.7.248.1解析：满足|z＋i|＋|z－i|＝2的复数z在复平面内对应的点到(0,1)、(0，－1)两点距离之和等于2，因此复数z在复平面内对应点的轨迹是连结(0,1)、(0，－1)的线段，|z＋i＋1|表示复数z对应的点到点(－1，－1)的距离，结合图形可知，最小值是1.9.504910.10滚动练习(六)1.i 解析：i －21＋2i ＝i ＋2i 21＋2i ＝i.2.13解析：这是一道古典概率题，P ＝m n ＝26＝13.3.2解析：集合A 表示由圆x 2＋y 2＝1上的所有点组成的集合，集合B 表示直线y ＝x 上的所有点组成的集合，由于直线通过圆内的点O(0,0)，那么直线与圆有两个交点、4.24235.5解析：0＋log 221＋log 232＋log 243＋log 254＝log 25>2.∴在第4个循环时T>2.如今i ＝1＋4＝5.6.n ＋2n ＋1解析：f(1)＝2(1－a 1)＝32＝1＋21＋1，f(2)＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝43＝2＋22＋1，f(3)＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝54＝3＋23＋1，可猜测f(n)＝n ＋2n ＋1.7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，154解析：由2－x －x 2＋b ＝0得b ＝x 2－2－x ，函数y ＝x 2－2－x 在[1,2]上单调增，故b ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，154. 8.532解析：在△ABC 中OA ＝2，OB ＝5，cos 〈OA →，OB →〉＝－52×5＝－12，∴S △OAB ＝12×2×5×sin120°＝532.9.[－1，＋∞)解析：运用函数与方程、不等式的思想、∵x 2－ax ≤4x －a －3，∴a(x －1)≥x 2－4x ＋3.显然当x ＝1时，不等式恒成立；当x ∈(1,2]时，a ≥x －3.函数y ＝x －3在x ∈(1,2]上单调增，y ≤－1，∴a ≥－1.10.1c －1b解析：(解法1，类比法)E 在AC 上，OE 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p －1a y ＝0.F 在AB 上，它们的区别在于B 、C 互换、因而OF 的方程应为⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1b x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p －1a y ＝0.∴括号内应填：1c －1b .(解法2)画草图如右，由对称性可猜想填1c －1b .事实上，由截距式可得直线AB ：x b ＋y a ＝1，直线CP ：x c ＋y p ＝1，两式相减得⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1b x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p －1a y ＝0，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程、11.解：(1)设区域A 中任意一点P(x ，y)∈B 为事件M.因为区域A 的面积为S 1＝36，区域B 在区域A 中的面积为S 2＝18.故P(M)＝1836＝12.(2)设点P(x ，y)落在区域B 中为事件N.甲、乙两人各掷一次骰子所得的点P(x ，y)的个数为36，其中在区域B 中的点P(x ，y)有21个、故P(N)＝2136＝712.12.解：(1)∵m ＝2sin B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B 2，sin B 2，n ＝2(1,0)，∴m ·n ＝4sin B 2cos B 2，|m|＝2sin B 2，|n|＝2，∴cos θ＝m ·n |m|·|n|＝cos B 2.由cos B 2＝12，0＜B ＜π，得B 2＝π3，即B ＝2π3.(2)∵B ＝2π3，∴A ＋C ＝π3.∴sinA ＋sinC ＝sinA ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A＝sinA ＋sin π3cosA －cos π3sinA＝12sinA ＋32cosA ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A . 又0＜A ＜π3，∴π3＜π3＋A ＜2π3， ∴32＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A ≤1，∴sinA ＋sinC ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1.又a ＋c ＝2RsinA ＋2RsinC ＝2(sinA ＋sinC)，∴a ＋c ∈(3，2]、13.(1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，那么有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－449λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ9＝0，矛盾、因此{a n }不是等比数列、(2)解：因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14 ＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，因此当λ＝－18时，b n ＝0(n ∈N *)，如今{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由b n ＋1＝－23b n ，可知b n ≠0，因此b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)、故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列；综上知，当λ＝－18时，数列{b n }构不成等比数列；当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列、14.解：(1)(解法1)连结OC.设BC ＝x ，矩形ABCD 的面积为S.那么AB ＝2900－x 2，其中0＜x ＜30. 因此S ＝2x 900－x 2＝2x 2900－x 2≤x 2＋(900－x 2)＝900.当且仅当x 2＝900－x 2，即x ＝152时，S 取最大值为900cm 2.答：取BC 为152cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900cm 2. (解法2)连结OC.设∠BOC ＝θ，矩形ABCD 的面积为S.那么BC ＝30sin θ，OB ＝30cos θ，其中0＜θ＜π2.因此S ＝AB ·BC ＝2OB ·BC ＝900sin2θ.因此当sin2θ＝1，即θ＝π4时，S 取最大值为900cm 2，如今BC ＝15 2. 答：取BC 为152cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900cm 2.(2)(解法1)设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V.由AB ＝2900－x 2＝2πr ，得r ＝900－x 2π，因此V ＝πr 2h ＝1π(900x －x 3)，其中0＜x ＜30. 由V ′＝1π(900－3x 2)＝0，得x ＝10 3.因此V ＝1π(900x －x 3)在(0,103)上是增函数，在(103，30)上是减函数、因此当x ＝103时，V 的最大值为6 0003π.答：取BC 为103cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为6 0003πcm 3.(解法2)连结OC ，设∠BOC ＝θ，圆柱底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么圆柱的底面半径为r ＝30cos θπ，高h ＝30sin θ，其中0＜θ＜π2.因此V ＝πr 2h ＝27 000πsin θcos 2θ＝27 000π(sin θ－sin 3θ)、设t ＝sin θ，那么V ＝27 000π(t －t 3)、由V ′＝27 000π·(1－3t 2)＝0，得t ＝33.因此V ＝27 000π(t －t 3)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1上是减函数、因此当t ＝33时，即sin θ＝33，如今BC ＝103时，V 的最大值为6 0003π.答：取BC 为103cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为6 0003πcm 3.。

2019年高考数学二轮复习专题08：复数、推理与证明

的元素个数为，把
的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第 17行由左向右数第 10个
数为
．
+
15. （ 2018?浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题： “今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？ ”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则
下列判断正确的是（）
A、甲是公务员，乙是教师，丙是医生 B、甲是教师，乙是公务员，丙是医生
C、甲是教师，乙是医生，丙是公务员 D、甲是医生，乙是教师，丙是公务员
+
8.设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，若等于（）
A、4i B 、 C、2 D、
+
，则
9.复数 z满足 A、 B、 2 C、 D、 +
当
时，
，
．
+ 16.已知
，用数学归纳法证明：
”左边需增加的代数式是
.
+
时,从“到
17.（2018?天津） i是虚数单位，复数 =
．
+
三、解答题
18.设，数列满足
，
.
（ Ⅰ）当时，求证：数列为等差数列并求；
（ Ⅱ）证明：对于一切正整数，
．
+
19.已知函数
.
(1)、求函数的单调区间；
(2)、若函数有两个零点
，若
，则
B、平面内的三条直线
，若
.类比推出：空间中的三条向量
，则，若
，则
C、在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为
.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为

2019-2020年高考数学二轮复习第一部分专题六算法复数推理与证明概率与统计第一讲算法复数推理与证明习题

2019-2020年高考数学二轮复习第一部分专题六算法复数推理与证明概率与统计第一讲算法复数推理与证明习题一、选择题1．(xx·高考全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )A.12B.22C. 2 D．2解析：法一：由(1＋i)z＝2i得z＝2i1＋i＝1＋i，∴|z|＝ 2.故选C.法二：∵2i＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝ 2.故选C.答案：C2．(xx·高考全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：当K＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝2；当K＝2时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝3；当K＝3时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝4；当K＝4时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝5；当K＝5时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝6；当K＝6时，S＝－3＋1×6＝3，执行K＝K＋1后，K＝7＞6.输出S＝3.结束循环．故选B.答案：B3．(xx·高考山东卷)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3i，z·z＝4，则a＝( ) A．1或－1 B.7或－7C ．－ 3D. 3解析：∵z ·z ＝4，∴|z |2＝4，即|z |＝2.∵z ＝a ＋3i ，∴|z |＝a 2＋3，∴a 2＋3＝2，∴a ＝±1.故选A. 答案：A4．(xx·高考全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：假设N ＝2，程序执行过程如下：t ＝1，M ＝100，S ＝0，1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2，2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，3＞2，输出S ＝90＜91.符合题意． ∴N ＝2成立．显然2是最小值．故选D. 答案：D5．(xx·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R.其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R)，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R)．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/ a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B. 答案：B6．(xx·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )A ．x ＞3B ．x ＞4C ．x ≤4D ．x ≤5解析：输入x ＝4，若满足条件，则y ＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y ＝log 24＝2，符合题意，结合选项可知应填x ＞4.故选B. 答案：B7．(xx·高考全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n＞1 000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．A ＞1 000和n ＝n ＋1B ．A ＞1 000和n ＝n ＋2C ．A ≤1 000和n ＝n ＋1D ．A ≤1 000和n ＝n ＋2解析：因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n ”，所以n 的叠加值为2，所以内填入“n ＝n ＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n ，所以内填入“A ≤1 000”．故选D. 答案：D8．(xx·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D. 答案：D 二、填空题9．(xx·高考天津卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．解析：∵a ∈R ，a －i2＋i＝a －i2－i 2＋i 2－i ＝2a －1－a ＋2i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2. 答案：－210．(xx·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为________．解析：第一次循环：S ＝2－1,1＜3，i ＝2；第二次循环：S ＝3－1,2＜3，i ＝3；第三次循环：S ＝4－1＝1,3≥3，输出S ＝1.答案：111．已知数列{a n }是等比数列，a 1，a 2，a 3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a 1，a 2，a 3中任何两个都不在同一列，则a n ＝________(n ∈N *).第一列第二列第三列第一行 1 10 2 第二行 6 14 4 第三行9188解析：观察题中的表格可知a 1，a 2，a 3分别为2,6,18，即{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＝2·3n －1. 答案：2·3n －112．(xx·高考全国卷Ⅰ改编)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是________．解析：设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n 1＋n2.由题意知，N ＞100，令n 1＋n2＞100⇒n ≥14且n ∈N *，即N 出现在第13组之后．第n 组的各项和为1－2n1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为21－2n1－2－n ＝2n ＋1－2－n .设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则N －n 1＋n2项的和即第n ＋1组的前k 项的和2k－1应与－2－n 互为相反数，即2k－1＝2＋n (k ∈N *，n ≥14)，k ＝log 2(n ＋3)⇒n 最小为29，此时k ＝5，则N ＝29×1＋292＋5＝440.答案：440 三、解答题13．(xx·高考全国卷Ⅱ)已知a ＞0，b ＞0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2) a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3a ＋b24(a ＋b )＝2＋3a ＋b34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.14．(xx·高考山东卷)由四棱柱ABCD A1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD.又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD.因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM.又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.15．(xx·高考江苏卷)对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n－k＋a n－k＋1＋…＋a n－1＋a n＋1＋…＋a n＋k－1＋a n＋k＝2ka n，对任意正整数n(n＞k)总成立，则称数列{a n}是“P(k)数列”．(1)证明：等差数列{a n}是“P(3)数列”；(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a n}是等差数列．证明：(1)因为{a n}是等差数列，设其公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d，从而，当n≥4时，a n－k＋a n＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2a n，k＝1,2,3.所以a n－3＋a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＋a n＋3＝6a n，因此等差数列{a n}是“P(3)数列”．(2)数列{a n}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n≥3时，a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＝4a n，①当n≥4时，a n－3＋a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＋a n＋3＝6a n.②由①知，a n－3＋a n－2＝4a n－1－(a n＋a n＋1)，③a n＋2＋a n＋3＝4a n＋1－(a n－1＋a n)．④将③④代入②，得a n－1＋a n＋1＝2a n，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′，在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′，所以数列{a n}是等差数列．。

2019版高考数学二轮复习课件+训练：自测过关卷(二)平面向量、复数、算法、推理与证明理

自测过关卷(二)　平面向量、复数、算法、推理与证明组——高考题点全面练A (对应配套卷P 163)1．(2019届高三·惠州调研)若＝2－i (i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应z1＋i的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 由题意知z ＝(1＋i )(2－i )＝3＋i ，其在复平面内对应的点的坐标为(3,1)，在第一象限．2．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( )A ．(－3,4) B ．(3,4)C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b ＝(－6,8)＝(－3,4)．123．(2018·开封模拟)复数z ＝，则( )2－1＋iA ．z 的共轭复数为1＋iB ．z 的实部为1C ．|z |＝2D ．z 的虚部为－1解析：选D 因为z ＝＝＝－1－i ，所以复数z 的实部和2－1＋i 2 －1－i－1＋i －1－i虚部均为－1，＝－1＋i ，|z |＝，故选D.z 24.(2018·石家庄质检)当n ＝4时，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．9B ．15C ．31D ．63解析：选C 由程序框图可知，k ＝1，S ＝1，S ＝1＋2＝3，k ＝2；S ＝3＋22＝7，k ＝3；S ＝7＋23＝15，k ＝4；S ＝15＋24＝31，k ＝5，退出循环，输出的S 的值为31，故选C.5．已知在平面直角坐标系中，点A (0,1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，AB ―→ BC ―→则点C 的坐标为( )A ．(11,8)B ．(3,2)C ．(－11，－6)D ．(－3,0)解析：选C 设C (x ，y )，∵在平面直角坐标系中，点A (0,1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，AB ―→ BC ―→∴＝＋＝(－11，－7)，AC ―→ AB ―→ BC ―→∴Error!解得x ＝－11，y ＝－6，故C (－11，－6)．6.(2018·益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3,3，则输出v 的值为( )A ．15B ．16C ．47D ．48解析：选D 执行程序框图，n ＝3，x ＝3，v ＝1，i ＝2≥0，v ＝1×3＋2＝5，i ＝1≥0，v ＝5×3＋1＝16，i ＝0≥0，v ＝16×3＋0＝48，i ＝－1<0，退出循环，输出v 的值为48.7.(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框1213141991100图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4解析：选B 由题意可将S 变形为S ＝－，则由S ＝N －T ，得N ＝1＋(1＋＋…＋)(＋＋…＋)＋…＋，T ＝＋＋…＋.据此，结合N ＝N ＋，T ＝T ＋易知在空白框中应填入i ＝i 13199121411001i 1i ＋1＋2.故选B.8．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则＝( )EB ―→A.－B.－34AB ―→ 14AC ―→14AB ―→ 34AC ―→C.＋D.＋34AB ―→ 14AC ―→14AB ―→ 34AC ―→解析：选A 法一：作出示意图如图所示．＝＋＝＋EB ―→ ED ―→ DB ―→ 12AD ―→ 12CB―→＝×(＋)＋(－)＝－.故选A.1212AB ―→ AC ―→ 12AB ―→ AC ―→ 34AB ―→ 14AC ―→法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，且∠A ＝，AB ＝AC ＝1.建立π2如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D ，E .故＝(1,0)，＝(0,1)，(12，12)(14，14)AB ―→ AC ―→＝(1,0)－＝，EB ―→(14，14)(34，－14)即＝－.EB ―→ 34AB ―→ 14AC ―→9．(2018·茂名一模)甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是( )A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了解析：选C 假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立．故选C.10．在△ABC 中，|＋|＝|－|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→则·＝( )AE ―→ AF ―→A. B.89109C. D.259269解析：选B 由|＋|＝|－|知⊥，以A 为坐标原点，，AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC―→的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,1)，不妨设E ，F ，则·＝·＝＋＝.(43，13)(23，23)AE ―→ AF ―→ (43，13)(23，23)892910911．(2018·昆明适应性检测)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面面积，“势”是几何体的高．意思是：若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D (如图1所示)，它是由抛物线y ＝x 2(x ≥0)，直线y ＝4及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周形成的几何体，旋转体D 的参照体的三视图如图2所示，利用祖暅原理，则旋转体D 的体积是( )A.B ．6π16π3C ．8πD ．16π解析：选C 由三视图知参照体是一个直三棱柱，其体积V ＝×4×4×π＝8π，故旋12转体D 的体积为8π，故选C.12．(2018·南昌调研)已知A ，B ，C 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的动点，且AC ⊥BC ，若点M的坐标是(1,1)，则| ＋＋|的最大值为( )MA ―→ MB ―→ MC ―→A ．3B ．4C ．3－1D ．3＋122解析：选D 法一：∵A ，B ，C 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的动点，且AC ⊥BC ，∴设A (cos θ，sin θ)，B (－cos θ，－sin θ)，C (cos α，sin α)，其中0≤θ<2π，0≤α<2π，∵M (1,1)，∴＋＋＝(cos θ－1，sin θ－1)＋(－cos θ－1，－sin θ－1)MA ―→ MB ―→ MC ―→＋(cos α－1，sin α－1)＝(cos α－3，sin α－3)，∴|＋＋|＝MA ―→ MB ―→ MC ―→cos α－3 2＋ sin α－3 2＝cos 2α－6cos α＋9＋sin 2α－6sin α＋9＝，19－62sin (α＋π4)当且仅当sin ＝－1时，|＋＋|取得最大值，最大值为＝3(α＋π4)MA ―→ MB ―→ MC ―→ 19＋62＋1.2法二：连接AB ，∵AC ⊥BC ，∴AB 为圆O 的直径，∴＋＝2，MA ―→ MB ―→ MO ―→∴|＋＋|＝|2＋|≤|2|＋||＝2＋||，MA ―→ MB ―→ MC ―→ MO ―→ MC ―→ MO ―→ MC ―→ 2MC ―→ 易知点M 与圆上动点C ＋1，2∴||≤＋1，∴|＋＋|≤3＋1，故选 D.MC ―→ 2MA ―→ MB ―→ MC ―→213．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.解析：∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，a ，b ∈R ，∴Error!⇒Error!⇒Error!∴a 2＋b 2＝2a 2－3＝5，ab ＝2.答案：5　214．(2018·潍坊统一考试)已知单位向量e 1，e 2，且〈e 1，e 2〉＝，若向量a ＝e 1－2e 2，π3则|a|＝________.解析：因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝，所以|a|2＝|e 1－2e 2|2＝1－4|e 1|·|e 2|cos π3＋4＝1－4×1×1×＋4＝3，即|a|＝.π3123答案：315．(2018·南昌模拟)已知13＋23＝2,13＋23＋33＝2,13＋23＋33＋43＝2，…，(62)(122)(202)若13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，则n ＝________.解析：13＋23＝2＝2，(62)(2×32)13＋23＋33＝2＝2，(122)(3×42)13＋23＋33＋43＝2＝2，(202)(4×52)…由此归纳可得13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝2，[n n ＋1 2]因为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，所以2＝3 025，[n n ＋1 2]即n 2(n ＋1)2＝(2×55)2，解得n ＝10.答案：1016．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1.边DC 上的动点P (包含点D ，C )与CB 延长线上的动点Q (包含点B )满足| |＝||，则·的最小值为________．DP ―→ BQ ―→ PA ―→ PQ ―→解析：以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x,1)，Q (2，y )，由题意知0≤x ≤2，－2≤y ≤0.∵||＝||，∴|x |＝|y |，∴x ＝－y .DP ―→ BQ ―→∵＝(－x ，－1)，＝(2－x ，y －1)，PA ―→ PQ ―→∴·＝－x (2－x )－(y －1)＝x 2－2x －y ＋1＝x 2－x ＋1＝2＋，PA ―→ PQ ―→ (x －12)34∴当x ＝时，·取得最小值，为.12PA ―→ PQ ―→34答案：34组——高考达标提速练B (对应配套卷P164)1．(2018·福州模拟)若复数的模为，则实数a ＝( )a1＋i22A ．1B ．－1C ．±1D ．±2解析：选C 法一：＝＝－i ，a1＋ia 1－i 1＋i 1－i a 2a2∵＝，a1＋i22∴＝，(a 2)2＋(－a 2)222解得a ＝±1.故选C .法二：∵＝，∴＝，∴|a|＝1，|a1＋i |22|a |222解得a ＝±1.故选C .2．已知a ∈R ，复数z ＝，若＝z ，则a ＝( )a －i 1＋iiz A ．1 B ．－1C ．2D ．－2解析：选B ∵z ＝＝＝＋a －1＝(a －1)－(a ＋a －i 1＋i i a ＋1＋ a －1 i i a ＋1i1)i ，∴＝(a －1)＋(a ＋1)i.z 又∵＝z ，∴a ＋1＝0，得a ＝－1.z 3．已知向量m ＝(t ＋1,1)，n ＝(t ＋2,2)，若(m ＋n)⊥(m －n)，则t ＝( )A ．0 B ．－3C ．3D ．－1解析：选B 法一：由(m ＋n)⊥(m －n)可得(m ＋n)·(m －n)＝0，即m 2＝n 2，故(t ＋1)2＋1＝(t ＋2)2＋4，解得t ＝－3.法二：m ＋n ＝(2t ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n)⊥(m －n)，∴－(2t ＋3)－3＝0，解得t ＝－3.4．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，点D 在边AC 上，且2＝，则·AD ―→ DC ―→ BA ―→ BD―→的值是( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 法一：由题意得，·＝0，·＝·(－)＝|BA ―→ BC ―→ BA ―→ CA ―→ BA ―→ BA ―→ BC ―→|2＝36，∴·＝·(＋)＝·＝0＋×36＝24. BA ―→ BA ―→ BD ―→ BA ―→ BC ―→ CD ―→ BA ―→(＋23)23法二：(特例法)若△ABC 为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (6,0)，C (0,6)．由2＝，得D (4,2)．AD ―→ DC ―→∴·＝(6,0)·(4,2)＝24.BA ―→ BD ―→5．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足∈R ，则z ∈R ；1z p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝2；z p 4：若复数z ∈R ，则∈R.z 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选B 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，对于p 1，∵＝＝∈R ，1z1a ＋b i a －b i a 2＋b 2∴b ＝0，∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题；对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)，则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ，∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠2，z ∴p 3不是真命题；对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ，∴b ＝0，∴＝a －b i ＝a ∈R ，z ∴p 4是真命题．6.(2018·郑州第一次质量预测)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30,42]B ．(30,42)C ．(42,56]D ．(42,56)解析：选A k ＝1，S ＝2，k ＝2；S ＝2＋4＝6，k ＝3；S ＝6＋6＝12，k ＝4；S ＝12＋8＝20，k ＝5；S ＝20＋10＝30，k ＝6；S ＝30＋12＝42，k ＝7，此时不满足S ＝42<m ，退出循环，所以30<m ≤42，故选A.7.(2018·开封一模)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．i <7？，s ＝s －，i ＝2i1iB ．i ≤7？，s ＝s －，i ＝2i1iC ．i <7？，s ＝，i ＝i ＋1s2D ．i ≤7？，s ＝，i ＝i ＋1s2解析：选D 由题意及程序框图可知第一次剩下，第二次剩下，…，由此得出第712122次剩下，可得①为i ≤7？，②s ＝，③i ＝i ＋1.故选D.127s28．(2019届高三·南宁摸底联考)已知O 是△ABC 内一点，＋＋＝0，·OA ―→ OB ―→ OC ―→ AB ―→ ＝2且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( )AC ―→A. B.333C.D.3223解析：选A ∵＋＋＝0，∴O 是△ABC 的重心，于是S △OBC ＝S △ABC .∵·OA ―→ OB ―→ OC ―→ 13AB ―→＝2，∴||·||·cos ∠BAC ＝2，∵∠BAC ＝60°，∴||·||＝4.∴S △ABC ＝AC ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→||·||sin ∠BAC ＝，∴△OBC 的面积为.12AB ―→AC ―→3339．(2019届高三·广元调研)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3，应43用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝( )A ．2πr 4B ．3πr 4C ．4πr 4D ．6πr 4解析：选A 对于二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，(πr 2)′＝2πr .三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3，′＝43(43πr 3)4πr 2.四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，∵(2πr 4)′＝8πr 3，∴“超球”的四维测度W ＝2πr 4.10.如图，直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交其对角线于K ，其中，＝，＝，＝λAE ―→ 25AB ―→ AF ―→ 12AD ―→ AK ―→ AC―→，则λ的值为( )A. B.2927C. D.2523解析：选A 因为＝，＝，AE ―→ 25AB ―→ AF ―→ 12AD ―→则＝，＝2，AB ―→ 52AE ―→AD ―→ AF ―→由向量加法的平行四边形法则可知＝＋，AC ―→ AB ―→ AD ―→所以＝λ＝λ(＋)＝λ＝λ＋2λ，由E ，F ，K 三点共AK ―→ AC ―→ AB ―→ AD ―→ (52＋2)52AE ―→ AF ―→线可得λ＋2λ＝1，52所以λ＝.2912．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝·，I 2＝·，I 3＝·，则( )OA ―→OB ―→ OB ―→ OC ―→ OC ―→ OD ―→A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3解析：选C 法一：如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝·－·＝·(－)＝·＝|OA ―→ OB ―→ OB ―→ OC ―→ OB ―→ OA ―→ OC ―→ OB ―→ CA ―→ OB―→|·||cos ∠AOB <0，CA ―→∴I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴||·||<||·||，OA ―→ OB ―→ OC ―→ OD ―→ 而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，∴·>·，即I 1>I 3，OA ―→ OB ―→ OC ―→ OD ―→∴I 3<I 1<I 2.法二：如图，建立平面直角坐标系，则B (0,0)，A (0,2)，C (2，0)．设D (m ，n )，由AD ＝2和CD ＝3，得Error!从而有n －m ＝>0，∴n >m .54从而∠DBC >45°，又∠BCO ＝45°，∴∠BOC 为锐角．从而∠AOB 为钝角．故I 1<0，I 3<0，I 2>0.又OA <OC ，OB <OD ，故可设＝－λ1 (λ1>1)，＝－λ2 (λ2>1)，OD ―→ OB ―→ OC ―→ OA ―→从而I 3＝·＝λ1λ2·＝λ1λ2I 1，OC ―→ OD ―→ OA ―→ OB ―→又λ1λ2>1，I 1<0，I 3<0，∴I 3<I 1，∴I 3<I 1<I 2.13．已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝________.解析：设z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋＝3＋i ，由a 2＋b 2复数相等可得Error!解得Error!故z ＝＋i.43答案：＋i4314.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S ＝1.5(单位：升)，则输入k 的值为________．解析：模拟程序的运行，可得n ＝1，S ＝k ，满足条件n <4，执行循环体，n ＝2，S ＝k －＝；k 2k 2满足条件n <4，执行循环体，n ＝3，S ＝－＝；k 2k23k3满足条件n <4，执行循环体，n ＝4，S ＝－＝，k 3k34k4此时，不满足条件n <4，退出循环，输出S 的值为，k4由题意可得＝1.5，解得k ＝6.k4答案：615．(2018·长春质检)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n 日，张老师把m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．答案：8月4日16．(2018·郑州质检)已知△ABC 中，点D 满足2＋＝0，过D 的直线l 与直线AB ，ACBD ―→ CD ―→分别交于点E ，F ，＝λ，＝μ.若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为AE ―→ AB ―→ AF ―→ AC ―→________．解析：因为2＋＝0，所以＝，所以＝＋＝＋＝BD ―→ CD ―→ BD ―→ 13BC ―→ AD ―→ AB ―→ BD ―→ AB ―→ 13BC ―→＋(－)＝＋.因为D ，E ，F 三点共线，所以可设＝x ＋(1－x )AB ―→ 13AC ―→ AB ―→ 23AB ―→ 13AC ―→ AD ―→ AE ―→＝xλ＋(1－x )μ，所以xλ＋(1－x )μ＝＋，根据平面向AF ―→ AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→ 23AB ―→ 13AC ―→量基本定理，得xλ＝，(1－x )μ＝，所以x ＝，1－x ＝，所以＋＝1，所以λ＋μ＝231323λ13μ23λ13μ(λ＋μ)＝3＋＋≥，当且仅当λ＝μ＝时等号成立．故λ＋13(2λ＋1μ)132μλλμ3＋22322＋23μ的最小值为.3＋223答案：.3＋223。

2019高考数学二轮复习专题一集合、常用逻辑用语等 2.1.2 算法、复数、推理与证明课件理

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名师微课导学 M
技巧点拨升华素养
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热点课题 2 数学归纳法的应用
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[感悟体验] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－an＋4 3，数列{bn}满足 bn ＝an＋1 1(n∈N*)． (1)求数列{bn}的通项公式； (2)证明：b121＋b122＋…＋b12n<7.
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第
二
专题整合、突破篇
篇
1
专集合、常用逻辑用语、算法、题一复数、推理与证明、不等式
2
第二讲
算法、复数、推理与证明
3
4
核心考点突破H
典例精析题型突破
5
考点一复数的概念与运算 1．复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类项，不含 i 的看作另一类项，分别合并同类项即可． 2．复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把 i 的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．
[解] (1)由 a1＝1，得 b1＝12；由 a1＝1，得 a2＝0，b2＝1；由 a2＝0，得 a3＝－13，b3＝32；由 a3＝－13，得 a4＝－12，b4＝2，由此猜想 bn＝n2. 下面用数学归纳法加以证明： ①当 n＝1 时，b1＝12符合通项公式 bn＝n2；
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②假设当 n＝k(k∈N，k≥1)时猜想成立，即 bk＝ak＋1 1＝2k，ak＝2k－1，那么当 n＝k＋1 时 ak＋1＝aakk－＋13＝22kk－－11－＋13＝11－＋kk， bk＋1＝ak＋11＋1＝11－＋1kk＋1＝k＋2 1，即 n＝k＋1 时猜想也能成立，综合①②可知，对任意的 n∈ N*都有 bn＝n2.

2019高考数学二轮专项练习精品--推理证明、复数、算法框图

2019高考数学二轮专项练习精品--推理证明、复数、算法框图【考纲解读】1.理解复数的基本概念;理解复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义、2.会进行复数代数形式的四那么运算、② 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义、3.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用、4.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理、5.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异、6.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点、7.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点、9.了解算法的含义，了解算法的思想;理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环、10.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义、【考点预测】今年高考对本部分知识的命题主要有以下两个方面： 1.复数与算法框图是历年高考的热点内容，考查方式主要在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查复数的基础知识、算法框图以循环结构为主，难度较低。

2.推理证明也是高考的一个重点内容，考查方式多样，在客观题中主要考查合情推理中的归纳与类比，证明题目多以解答题的一个分支出现，常与数列、导数、不等式等知识结合，理科可能考查数学归纳法，难度较高，将继续强调考查逻辑推理、归纳等能力。

【要点梳理】1.合情推理与演绎推理：合情推理包括归纳与类比，明确演绎推理的三个模式〔大前提、小前提、结论〕.2.直接证明与间接证明:直接证明包括分析法(执果索因)与综合法(执因索果);常用的间接证明方法是反证法,反证法主要用于证明唯一性与否定性命题,其主要步骤是否定结论、证明、得出矛盾、肯定结论.3.(理科)数学归纳法:用来证明与自然数有关的等式、不等式、整除及几何等问题。

证明时，特别注意第二步，要弄清式子的构成规律，充分利用题目中的条件和假设，适当变形。

2019届高三数学(理)二轮复习课时作业：第1部分专题6 第1讲算法、复数、推理与证明

[限时规范训练] 单独成册一、选择题1．(2019·高考全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C. 2D ．2 解析：法一：由(1＋i)z ＝2i 得z ＝2i1＋i＝1＋i ， ∴|z |＝ 2. 故选C.法二：∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ， ∴|z |＝ 2. 故选C. 答案：C2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．－2B ．0C ．－1D ．－3解析：第一次循环：x ＝2×1＝2，y ＝1－1＝0，满足条件继续循环；第二次循环：x ＝2×2＝4，y ＝0－1＝－1，满足条件继续循环；第三次循环：x ＝2×4＝8，y ＝－1－1＝－2，不满足条件，跳出循环体，输出的y ＝－2，故选A. 答案：A3．(2019·高考山东卷)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3i，z·z＝4，则a ＝( )A．1或－1 B.7或－7C．－ 3 D. 3解析：∵z·z＝4，∴|z|2＝4，即|z|＝2.∵z＝a＋3i，∴|z|＝a2＋3，∴a2＋3＝2，∴a＝±1.故选A.答案：A4．(2019·高考全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )A．5 B．4C．3 D．2解析：假设N＝2，程序执行过程如下：t＝1，M＝100，S＝0，1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－10010＝－10，t＝2，2≤2，S＝100－10＝90，M＝－－1010＝1，t＝3，3＞2，输出S＝90＜91.符合题意．∴N ＝2成立．显然2是最小值．故选D. 答案：D5．(2019·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R. 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R)，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R)．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B. 答案：B6．(2019·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )A．x＞3 B．x＞4C．x≤4 D．x≤5解析：输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x＞4.故选B.答案：B7．(2019·高考全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n＞1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A．A＞1 000和n＝n＋1B．A＞1 000和n＝n＋2C．A≤1 000和n＝n＋1D．A≤1 000和n＝n＋2解析：因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n ，所以内填入“A ≤1 000”．故选D. 答案：D8．(2019·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D. 答案：D 二、填空题9．(2019·高考天津卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．解析：∵a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.答案：－210．(2019·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为________．解析：第一次循环：S ＝2－1,1＜3，i ＝2；第二次循环：S ＝3－1,2＜3，i ＝3；第三次循环：S ＝4－1＝1,3≥3，输出S ＝1. 答案：111．(2019·河南三市联考)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3.观察上述结果，按照上面规律，可推测f (128)＞________. 解析：观察f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3可知，等式及不等式右边的数构成首项为32，公差为12的等差数列，故f (128)＞32＋6×12＝92.答案：9212．(2019·高考全国卷Ⅰ改编)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是________．解析：设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (1＋n )2.由题意知，N ＞100，令n (1＋n )2＞100⇒n ≥14且n ∈N *，即N 出现在第13组之后．第n 组的各项和为1－2n 1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则N －n (1＋n )2项的和即第n ＋1组的前k 项的和2k －1应与－2－n 互为相反数，即2k －1＝2＋n (k ∈N *，n ≥14)，k ＝log 2(n ＋3)⇒n 最小为29，此时k ＝5，则N ＝29×(1＋29)2＋5＝440. 答案：440 三、解答题13．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知a ＞0，b ＞0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2) a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.14．(2019·高考山东卷)由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1-B 1CD 1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E ⊥平面ABCD .(1)证明：A 1O ∥平面B 1CD 1；(2)设M 是OD 的中点，证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1. 证明：(1)取B 1D 1的中点O 1，连接CO 1，A 1O 1，由于ABCD A 1B 1C 1D 1是四棱柱，所以A 1O 1∥OC ，A 1O 1＝OC ，因此四边形A 1OCO 1为平行四边形，所以A 1O ∥O 1C . 又O 1C ⊂平面B 1CD 1，A 1O ⊄平面B 1CD 1，所以A 1O ∥平面B 1CD 1.(2)因为AC ⊥BD ，E ，M 分别为AD 和OD 的中点，所以EM ⊥BD .又A 1E ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以A 1E ⊥BD . 因为B 1D 1∥BD ，所以EM ⊥B 1D 1，A 1E ⊥B 1D 1.又A 1E ，EM ⊂平面A 1EM ，A 1E ∩EM ＝E ，所以B 1D 1⊥平面A 1EM . 又B 1D 1⊂平面B 1CD 1，所以平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.15．(2019·高考浙江卷)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)(n ∈N *)．证明：当n ∈N *时，(1)0＜x n ＋1＜x n ； (2)2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12； (3)12n －1≤x n ≤12n －2. 证明：(1)用数学归纳法证明：x n ＞0. 当n ＝1时，x 1＝1＞0. 假设n ＝k 时，x k ＞0，那么n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0＜x k ＝x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1＞0.因此x n ＞0(n ∈N *)．所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)＞x n ＋1. 因此0＜x n ＋1＜x n (n ∈N *)． (2)由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)得x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)．记函数f (x )＝x 2－2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0)， f ′(x )＝2x 2＋x x ＋1＋ln(1＋x )＞0(x ＞0)，函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0，因此x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0，故2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12(n ∈N *)．(3)因为x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1 ＝2x n ＋1，所以x n ≥12n －1. 由x n x n ＋12≥2x n ＋1－x n 得1x n ＋1－12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －12＞0，所以1x n －12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －1－12≥…≥2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－12＝2n －2，故x n ≤12n －2.综上，12n －1≤x n ≤12n －2(n ∈N *)．。

高考数学二轮复习第一部分专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计第一讲算法、复数、推理与证

第一讲算法、复数、推理与证明[考情分析]1．程序框图是每年高考的必考内容，主要考查循环结构的程序框图的输出功能以及判断框内循环体结束条件的填充，多为选择题或填空题，试题难度不大；2.对复数的考查，难度一般为容易，常在选择题或填空题的前两题的位置呈现．一般考查三个方面：一是复数的概念，如实部、虚部、模、共轭复数等；二是复数的四则运算；三是复数的几何意义；3.推理与证明考查频次较低.[真题自检]1．(2016·高考全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( ) A．－3 B．－2C．2 D．3解析：由题意知(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，则a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.答案：A2．(2016·高考全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i解析：由z ＋i ＝3－i 得z ＝3－2i ，∴z ＝3＋2i ，故选C. 答案：C3．(2016·高考全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i 解析：∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5，∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i. 答案：D4．(2016·高考全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x解析：输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，运行第一次，x ＝0，y ＝1，不满足x 2＋y 2≥36；运行第二次，x ＝12，y ＝2，不满足x 2＋y 2≥36；运行第三次，x ＝32，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36，输出x ＝32，y ＝6.由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在直线y ＝4x 上，故选C. 答案：C5．(2016·高考全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3. 答案：1和3算法与程序框图[方法结论]算法的两种基本逻辑结构(1)循环结构分为当型和直到型两种．(2)当型循环在每次执行循环体前对控制循环的条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足时则停止．(3)直到型循环在执行了一次循环体后，对控制循环的条件进行判断，当条件不满足时执行循环体，满足则停止．[题组突破]1．(2017·合肥模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的n 为( )A ．9B ．11C ．13D ．15解析：由程序框图可知，S 是对1n 进行累乘，直到S ＜12 017时停止运算，即当S ＝1×13×15×17×19×111＜12 017时循环终止，此时输出的n ＝13，故选C. 答案：C2．(2017·昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S 的值为1，则判断框内为( )A ．i ＞6?B ．i ＞5?C ．i ≥3?D ．i ≥4?解析：依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S ＝1×(3－1)＋1＝3，i ＝1＋1＝2；进行第二次循环时，S ＝3×(3－2)＋1＝4，i ＝2＋1＝3；进行第三次循环时，S ＝4×(3－3)＋1＝1，i ＝4，因此当输出的S 的值为1时，判断框内为“i ≥4？”，选D. 答案：D [误区警示]程序框图中的填充框图问题，最常见的要求补充循环结构的判断条件，求解时最易出现失误，解决此类问题的方法：创造函数的判断条件为“i >n ？”或“i <n ？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．复数[方法结论]1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 (1)z 是实数⇔b ＝0； (2)z 是虚数⇔b ≠0； (3)z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. 2．共轭复数复数a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数是a －b i(a ，b ∈R )． 3．复数的四则运算法则(1)(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (2)(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ； (3)(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R )．提醒：记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i ；(4)a ＋b i i＝b －a i ；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N )．[题组突破]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．3＋3i解析：依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B. 答案：B2．(2017·长沙模拟)在复平面内，复数3i1－i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：3i1－i ＝3＋－＋＝－3＋3i2，故其对应的点在第二象限，选B. 答案：B3．(2017·西安模拟)设(a ＋i)2＝b i ，其中a ，b 均为实数．若z ＝a ＋b i ，则|z |＝( ) A ．5B. 5C ．3D. 3解析：由(a ＋i)2＝b i 得a 2－1＋2a i ＝b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝02a ＝b，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2＝1＋4＝5，选B. 答案：B4．(2017·惠州模拟)若复数z 满足z ·i＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数是________．解析：由z i ＝1＋i 可得z ＝1＋ii＝＋－－＝1－i ，所以z 的共轭复数是1＋i.答案：1＋i [误区警示]1．混淆复数的实部和虚部；2．计算(a ＋i)2，|z |时，错用运算法则．推理与证明[方法结论]1．推理(1)归纳是由特殊到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正确． (3)演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程．数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理． 2．证明的两种方法(1)直接证明：①综合法；②分析法． (2)间接证明：反证法． 3．与反证法有关的命题题型(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)“至少”“至多”型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等．[典例] (1)用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数解析：(1)“至少有一个”反面应为“没有一个”，也就是说本题应假设a ，b ，c 都不是偶数．答案：B(2)(2017·安徽江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2＋ 2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12 B.5－12 C.1＋52D.1－52解析：1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C. 答案：C(3)(2017·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中．”乙说：“我没有作案，是丙偷的．”丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷．”丁说：“乙说的是事实．”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．答案：B [类题通法]推理问题多以选择题或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，而其他的主要是渗透到数学问题的求解之中；常涉及特殊、一般、部分、整体及归纳思想、类比思想等数学思想方法．[演练冲关]1．法国数学家费马观察到212＋1＝5,222＋1＝17,232＋1＝257,242＋1＝65 537都是质数，于是他提出猜想：任何形如22n ＋1(n ∈N *)的数都是质数，这就是著名的费马猜想．半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第5个费马数252＋1＝4 294 967 297＝641×6 700 417不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明( ) A ．归纳推理的结果一定不正确B ．归纳推理的结果不一定正确C ．类比推理的结果一定不正确D ．类比推理的结果不一定正确解析：法国数学家费马观察到212＋1＝5,222＋1＝17,232＋1＝257,242＋1＝65 537都是质数，于是他提出猜想；任何形如22n＋1(n ∈N *)的数都是质数，这是归纳推理，由特殊到一般，但由于没有验证，结果不一定正确．答案：B2．(2017·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：答案：D3．(2017·贵阳模拟)已知不等式1＋14＜32，1＋14＋19＜53，1＋14＋19＋116＜74，照此规律总结出第n个不等式为________．解析：由已知，三个不等式可以写成1＋122＜2×2－12，1＋122＋132＜2×3－13，1＋122＋132＋142＜2×4－14，所以照此规律可得到第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2＋1n ＋2＜n ＋－1n ＋1＝2n ＋1n ＋1.答案：1＋122＋132＋…＋1n 2＋1n ＋2＜2n ＋1n ＋1算法中的交汇问题算法是高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮点，这类问题常常背景新颖，并与函数、数列、不等式、统计等交汇，考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问题的能力．[典例] 执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－2,2]，则输出的S 属于( )A．[－6，－2] B．[－5，－1]C．[－4,5] D．[－3,6]解析：由程序框图可知其值域为(－2,6]∪[－3，－1]＝[－3,6]，故选D.答案：D[类题通法]解决算法的交汇性问题的方法(1)读懂算法框图，明确交汇知识；(2)根据给出问题与算法框图处理问题；(3)注意框图中结构的判断．[演练冲关]1．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是( )A．a n＝2n B．a n＝2(n－1)C．a n＝2n D．a n＝2n－1解析：由程序框图可知：a1＝2×1＝2，a2＝2×2＝4，a3＝2×4＝8，a4＝2×8＝16，归纳可得：a n＝2n，故选C.答案：C2．已知函数f(x)＝x2－ax的图象在点A(1，f(1))处的切线与直线x＋3y＋2＝0垂直，执行如图所示的程序框图，输出的k值是________．解析：因为f (x )＝x 2－ax ，所以f ′(x )＝2x －a ，根据导数的几何意义，y ＝f (x )的图象在点A (1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝2－a ，因为函数f (x )＝x 2－ax 的图象在点A (1，f (1))处的切线与直线x ＋3y ＋2＝0垂直，所以(2－a )×(－13)＝－1，所以a ＝－1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以1f x ＝1x 2＋x ＝1x －1x ＋1，从而可知程序框图的功能是求S ＝12＋16＋112＋…＋1k 2＋k ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1k －1k ＋1)＝1－1k ＋1＝k k ＋1＞1415时k 的最小值，故k ＝15.答案：15。

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