方向导数和偏导数的存在关系
知识点五(多元函数微分学及其应用)
（3）连续、偏导数存在和可微之间的关系在点处连续、偏导数存在、可微、存在连续的偏导数之间的关系是：在点处存在连续的偏导数在点处可微在点处连续在点处偏导数存在.3、多元复合函数求导法（1）一元函数与多元函数复合的情形如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且有．（2）多元函数与多元函数复合的情形如果函数及都在点具有对及对的偏导数．函数在对应点具有连续的偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且有，．这里有两个自变量和两个中间变量，随着自变量个数与中间变量个数的变化，链导法公式也因之而异，但如果能搞清楚复合函数结构中哪些是自变量，哪些是中间变量以及它们的个数，则就抓住了复合函数求导的关键.如果自变量只有一个，不论中间变量的个数是多少，所求得的导数就是全导数.值得注意的是，对自变量兼作中间变量的情形，求导时往往容易弄混.例如下面的情形：，则复合函数对，的偏导数为，．这里与是不同的，是将复合函数中的看成不变而对的偏导数，是把中的及都看成不变而对的偏导数．与也有类似的区别．读者如能领会此点，就不难正确理解公式中的偏导符号的意义了.4、隐函数的求导公式（1）若是由方程所确定的一元隐函数.则且．（2）若是由方程所确定的二元隐函数.则.求隐函数的一阶导数或偏导数时，首先要认清公式中或中哪个为自变量，哪个为因变量，然后套用公式，值得注意的是，求二阶偏导数不能用上面的公式.5、偏导数的应用（1）偏导数的几何应用①设空间曲线方程为 .则曲线上点处的切线方程为法平面方程为.②空间曲线的方程为.则曲线在点处的切线方程为，法平面方程为．③空间曲线为则曲线在点处切线方程为.法平面方程为．④若曲面方程为.则在点的切平面方程为法线方程为.⑤曲面方程为．则曲面在点处的切平面方程．在点处的的法线方程为．（2）偏导数在经济上的应用主要表现为求边际成本、边际利润和交叉弹性，读者应注意其内在的经济意义.6、方向导数与梯度一般地，方向导数是单侧的，偏导数是双侧的，如函数沿着方向的方向导数存在，但不存在.若在点可微，则在该点它沿任何方向的方向导数均存在，且=（其中，分别为与轴和轴正向的交角，为的方向余弦）且，.梯度是一个向量，梯度的方向是方向导数变化最快的方向，梯度的模为方向导数的最大值.7、多元函数的极值（1）多元函数极值的概念与一元函数完全一样，函数在一点取得极值的含义就是必须大于（或小于）它在的某个邻域上的所有值，只是一元函数中的邻域是一维的区间，而二元函数是二维平面区域.可导函数在取得极值的必要条件是，．由于它们仅仅是必要条件，所以满足，的点不一定是极值点，但是可以肯定，凡不满足这两个条件的点就一定不会是极值点.换句话说，即这两个条件虽然不能用来肯定极值点，但却可起到筛选极值点的作用.因此，我们又引出驻点概念，并给出判定极值点的充分条件.（2）多元函数最值与拉格朗日乘数法在实际问题中，需要我们解决的往往是求函数在特定的有界闭区域上的最大值与最小值.我们知道，在有界闭区域上连续函数必有最大值与最小值，它们既可以在闭域内部取得，也可在边界上取得.与一元函数一样，如果在闭域内取得，则它一定也是极大值或极小值.值得注意的是，函数的最大值或最小值也可在函数不可导的点处取得.例如函数在原点处不可导，但它在原点得最大值1. 因此，求连续函数在有界闭域上的最大值、最小值的方法是：①计算出函数在区域内所有驻点、不可导的点（即所有的临界点）处的值；②将①中的这些值与区域边界上函数的最值一起加以比较，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值.③在求最大、最小值的实际问题中，目标函数的各自变量之间往往还有附加的约束条件，这就形成了条件极值的概念.一般说来，条件极值问题可以化为无条件极值问题来处理，方法是利用约束条件将目标函数中多余的自变量消去，使之成为求另一个新的目标函数的无条件极值问题.但这种转化往往有一定的困难，这时我们可引入所谓拉格朗日乘数，它与目标函数及约束条件中的函数构成拉格朗日函数，把其中的乘数也看成是一个变量，然后按无条件极值写出求极值的必要条件，由此即可得到一组求解驻点的联立方程组：拉格朗日乘数法的优点在于引进了拉格朗日乘数后，可以把中的变量都当作自变量，然后按无条件极值写出形式完全对称的必要条件.因此，这个方法还便于推广到有多个约束条件的情形.。
高等数学第17章第3节方向导数与梯度
§3 方向导数与梯度在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率.这就是本节所要讨论的方向导数． 定义1 设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域30)(R P ⊂ 内有定义，l 为从点0P 出发的射线，),,(z y x P 为l 上且含于 )(0P 内的任一点，以ρ表示P 与0P 两点间的距离。
若极限ρρρρf P f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在，则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记作)(,00P f l f l P ∂∂或).,,(000z y x f l 容易看到，若f 在点0P 存在关于x 的偏导数，则f 在点0P 沿轴正向的方向导数恰为 .00P P x f lf∂∂=∂∂ 当l 的方向为x 轴的负方向时，则有 .00P P x f l f∂∂-=∂∂ 沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出．定理17.6 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微，则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在，且,cos )(cos )(cos )()(0000γβαP f P f P f P f z y x ++= )1( 其中γβαcos ,cos ,cos 为方向l 的方向余弦．证 设),,(z y x P 为l 上任一点，于是（见图17－5）⎪⎭⎪⎬⎫=∆=-=∆=-=∆=-.cos ,cos ,cos 000γρβραρz z z y y y x x x ()2由假设f 在点0P 可微，则有 ()()=-0p f p f ()ρo z P f y P f x P f z y x .).()()(000+∆+∆+∆上式左、右两边皆除以ρ，并根据（2）式可得()ρρρρρρo z P f y P f x P f P f P f z y x +∆+∆+∆=-)()()()()(0000 ()ρργβαo P f P f P f z y x +++=cos )(cos )(cos )(000. 因为当0→ρ时，上式右边末项,0)(→ρρo ，于是左边极限存在且有()ρρ)()(lim 000P f P f P f l -=+→ .cos )(cos )(cos )(000γβαP f P f P f z y x ++= □对于二元函数),(y x f 来说，相应于)1(的结果是 (),cos ),(cos ),(00000βαy x f y x f P f y x l += 其中βα,是平面向量l 的方向角．例1 设,),,(32z y x z y x f ++=求f 在点0P )1,1,1(沿方向)1,2,2(:-l 的方向导数． 解 易见f 在点0P 可微.故由3)(,2)(,1)(000===P f P f P f z y x 及方向l 的方向余弦,321)2(22cos ,321)2(22cos 222222-=+-+-==+-+=βα grad ),3,3,1()(0--=P f g ra d .19)3()3(1222=-+-+=f □作业布置：Ｐ１２７ １；３．。
方向导数计算公式的推导
方向导数计算公式的推导方向导数是向量函数在给定方向上变化率的一种量度，其计算公式可以根据链式法则推导得出。
在本文中，我们将通过生动的例子和详细的计算过程，为读者展示如何推导方向导数的计算公式，从而帮助读者加深对该概念的理解。
在开始推导之前，我们需要先了解几个基本的概念：- 向量函数：函数的自变量是向量，因变量是标量的函数称为向量函数。
- 偏导数：函数对其中一个自变量的求导称为偏导数。
- 链式法则：对于两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，它们的复合函数$h(x)=f(g(x))$ 的导数可以用链式法则求出：$$\frac{dh}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dx}$$在此基础上，我们可以开始推导方向导数的计算公式。
假设我们有一个二元函数 $z=f(x,y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是独立变量，$z$ 是因变量。
现在，我们要求在某个特定点 $(x_0,y_0)$ 处，沿着给定方向 $\vec{u}=(u_1,u_2)$ 的方向导数。
首先，我们可以将 $\vec{u}$ 进行标准化处理，即令$\vec{v}=\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}$，其中 $\|\vec{u}\|$ 是$\vec{u}$ 的模长。
这样，$\vec{v}$ 的模长就是 1，因此它可以表示一个单位向量，表示给定方向上的变化。
接下来，我们需要求出沿着 $\vec{v}$ 方向的函数$z=f(x,y)$ 的变化率，即方向导数。
为此，我们需要先定义一个新的函数 $F(t)=f(x_0+tu_1,y_0+tu_2)$，表示在沿着 $\vec{u}$ 方向上以 $t$ 的速度运动时函数 $f(x,y)$ 的取值。
根据链式法则，我们可以得到：$$\frac{dF}{dt}=\frac{\partial f}{\partialx}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partialy}\cdot\frac{dy}{dt}$$将 $x=x_0+tu_1$ 和 $y=y_0+tu_2$ 代入上式，得到：$$\frac{dF}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdotu_1+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot u_2$$当 $t=0$ 时，$F(0)=f(x_0,y_0)$，因此方向导数可以表示为：$$D_{\vec{v}}f(x_0,y_0)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{F(t)-F(0)}{t}=\frac{dF}{dt}\Bigg|_{t=0}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot u_1+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot u_2$$这就是方向导数的计算公式。
2.2 方向导数与梯度
从方向导数的表达式可以看到，方向s的方向余弦 表示了所取的方向，而三个偏导数则由数量场唯 一确定。
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2.2 数量场的方向导数和梯度 u u u u cos cos cos l x y z
在直角坐标系中，令
l cos i cos j cos k
2 cos 2 2 2 3 1 2 2
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2.2 数量场的方向导数和梯度
而
u 2 x u 2 y u ( x 2 y 2 ) , , x z y z z z2
数量场在l方向的方向导数为
u u u u cos cos cos l x y z 2 2 1 2x 2 2 y 2 x y 3 z 3 z 3 z2
当
趋于零时对上式取极限，可得
u u u u cos cos cos l x y z
实际应用：计算函数u(M)在给定点处沿某个方 向的变化率（定点且定向）．
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2.2 数量场的方向导数和梯度
若方向导数存在，则偏 导数未必存在 . 方向导数与偏导数有什么关系 ? 2 2 例如，z x y 在O 0,0 处沿l i 方向的 z f 而 偏 导 数 0 , 0 不 存 在 . 方向导数 1 ， 0 0， x l z f ( x , y ) f (0,0) ( 0 , 0 ) lim 原因： 0 l 方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限 . ( x ) 2 ( y ) 2 lim 1 2 2 0 ( x ) ( y ) 函数可微是方向导数存在的充分条件，
高等数学难点总结及课后习题解读
高等数学难点总结及课后习题解读这三篇总结文章，来自于我五一给学生的几堂总结课，当时没有做书面材料，后来才想到把它们整理成文。
考虑到大多数人仍处于第一轮复习阶段，即基础阶段，所以首先介绍他们对高等数学知识点的总结，希望对您有所帮助。
未来可能还会有一份线路生成和概率的总结。
上册除了空间解析几何基本都涉及了，这是数一数二数三数四的共通内容。
下册（一）是关于多元微积分和级数的，其中数二数四的就不用看级数了。
下册（二）是关于线面积分的，数一专题。
上册：函数（高等数学的主要研究对象）极限：数列的极限（特殊）――函数的极限（一般）极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势可以从极限推导出的一些性质：局部有界性、局部符号保持性？？应该注意的是，从极限中获得的特性通常仅在局部范围内有效在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续性：函数在某一点上的极限等于该点上函数的值。
连续性的本质：自变量是无限接近的，因变量是无限接近的导数的概念本质上，当自变量增量接近零时，它是函数增量与自变量增量之比的极限。
更简单地说，这是变化的速度微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了不定积分：导数的逆运算。
什么函数有不定积分定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确什么样的函数有定积分解不定积分（定积分）的几种典型方法：代换法和除法。
整数后面的部分在除法积分中考虑。
不同类型的功能有不同的优先级，并按相反的三次幂顺序存储定积分的几何应用和物理应用高等数学中最重要的数学思想方法：微积分微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性微分中值定理可以从几何意义上进一步理解泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。
方向导数讲解
三■三元函数方向导数的定义
对于三元函数u = f (x, y, z),它在空间一点
-
P (x, y, z )沿着方向 e = (cosa,cos 四cos/)
的方向导数，可定义为
= lim f (x +1 cos a, y +1 cos p, z +1 cos y)f (x，y，z)
所以方向导数是偏导数的推广。
定理 如果函数z = f (旳y)在点P (旳y)是可微分的，
那末对于任意单位向量et = (cosa,cos0),函数 z = f(X,
y)在该点方向l的方向导数都存在，且有 f _切 f
= cos a H--cos p o
dl dx dy
证明 由于函数可微，则增量可表示为
处的偏导数是否存在？方向导数是否存在?
思考题解答
Q
f (Ax ,0) - f (0,0)
z
(o,o)=Axmo—&—
Q
=lim1^1.
x
x Ax—0 A
同理等
（oo）= lim
， 匀项Ay
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向，={x, y, z}的方向导数,
dz
lim f（歐, 颂）一 f
瓦(0,0) （0,0）
A,
f (x + Ax, y + Ay) 一 f (x, y) = ： Ax v'^y + o(p)
ox oy
取Ax = t cos a, Ay = t cos 0,两边同除以t,得到
f (x +1 cos a, y +1 cos 月)一 f (x, y)
方向导数讲解
方向导数一、问题的提出实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．讨论函数在一点P 沿某一方向的变化率问题．),(y x f z =（如图）它的参数方程为⎩⎨⎧+=+=βαcos cos 00t y y t x x +∞<<∞-t 方向向量的有向直线，为且以面上通过点是为一单位向量，设→→→→e y x P xoy l j βi αe ),(cos +cos =00o y xαl Q ∙x ∆y ∆∙∙Pβ二、定义上任意一点，则有是设l y x Q ),(,)cos ,cos (),(00→→==--=e t t t y y x x PQ βα,t PQ =→的有向距离。
到点为点称Q P t ),()(P f Q f z -=∆当沿着趋于时，Q P l ty x f t y t x f t ),()cos ,cos (lim 00000-++→βα,t z Δ考虑是否存在？.),()cos ,cos (lim 00000),(00ty x f t y t x f l ft y x -++=∂∂→βα记为定义 设函数 z=f(x,y) 在点P(00,y x )的某个邻域内有定义，l 是一非零向量，)cos ,(cos βα=→l e 是与l 同方向的单位向量，如果极限 ty x f t y t x f t ),()cos ,cos (lim 00000-++→βα存在，则称此极限为函数),(y x f z =在P 点处沿l 方向的方向导数(directional derivative)，依定义，函数),(y x f 在点P 沿着x 轴正向}0,1{1=e 、y 轴正向}1,0{2=e 的方向导数分别为y x f f ,；沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 y x f f --,.所以方向导数是偏导数的推广。
第6章 多元函数微分学4-8导学解答(6.1.6 方向导数6.1.7 梯度)
6.1 多元函数微分的基本概念6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度一、相关问题1.一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ (问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．)2.假设你在攀登一座形状满足方程2210000.010.02z x y =--的山峰，且正处在坐标为（60，100，764）的位置。
（1）为了最快到达山顶，此时你应选择哪个方向进行？（2）如果沿上所确定的方向进行，初始的上升角度是多少？二、相关知识1.函数的方向导数有什么几何意义？2.函数的方向导数与函数的连续、可导、可微之间有什么关系？3.函数的梯度有何几何意义？4.函数的梯度与方向导数有什么区别和联系？三、练习题1.求函数xyz u =在点)2,1,5(处沿从点)2,1,5(到点)14,4,9(的方向的方向导数。
解 {}{},12,3,4214,14,59=---=→l.131691234||222==++=→l 1312cos ,133cos ,134cos ===γβα 1312133134cos cos cos xy xz yz z u y u x u l u +⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα 所以 ()1398513121013321342,1,5=⨯+⨯+⨯=∂∂l u . 2.已知函数(,)f x y 在000(,)P x y 点的偏导数存在，且00(,)x f x y m '=，求(,)f x y 在0P点沿x 轴负方向的方向导数。
解 过0P 点沿x 轴负方向作射线L ，在0P 点的邻域内射线L 上取一点00(,)P x x y +∆，则000000(,)(,)l i m P P f x x y f x y PP →+∆-00000(,)(,)l i m x f x x y f x y x∆→+∆-=∆ 0000000(,)(,)lim (,)x x f x x y f x y f x y m x∆→+∆-'==-=--∆ 所以(,)f x y 在0P 点沿x 轴负方向的方向导数为m -．3.问函数2u xy z =在点(1,1,2)P -处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值．解 {}{}22,,,2,x y z gradu u u u y z xyz xy '''=={}2,4,1M gradu=-是方向导数在点P 取最大值的方向， {}2,4,1M gradu =-=4.问函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。
第九章多元函数微分学(方向导数在前)总结
E
若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ; 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心 邻域
E
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
当函数在此点可微时那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在且有coscoscos设方向l的方向角为定义设函数内具有一阶连续偏导数则对于每一点最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题sincossincos上的单位向量由方向导数公式知函数在某点的梯度是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一致而它的模为方向导数的最大值
x
y
图形为
空间中的超曲面.
三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数 f ( P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一 切 P D U ( P0 ,δ ) , 都有
则称 A 为函数
记作
P P0
lim f ( P) A (也称为 n 重极限)
方向导数的几何意义
方向导数的几何意义
方向导数是一个向量函数的变量在给定方向上的变化率。
在几何上，方向导数可以理解为一个函数在给定方向上的斜率或者变化速率。
它表示在某一点上沿着给定方向的变化幅度。
具体来说，方向导数可以用来刻画一个函数在某一点上的局部变化情况。
对于一个多变量函数，我们可以通过计算函数在某一点上沿着给定方向的偏导数来得到这个方向上的方向导数。
偏导数表示了函数在某一点上某个方向上的变化速率。
在几何上，方向导数可以用来描述一个函数在某一点上的切线方向上的变化程度。
通过计算函数在某一点的方向导数，我们可以了解函数在这个点上沿着给定方向的变化趋势。
如果一个函数在某一点上的方向导数为正，表示函数在这个点上沿着给定方向上增加；如果方向导数为负，表示函数在这个点上沿着给定方向上减小。
总之，方向导数可以帮助我们理解一个函数在某一点上的变化趋势，并且在几何上表示了函数在给定方向上的变化速率。
它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
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方向导数和偏导数的存在关系
方向导数和偏导数的存在关系是方向导数是偏导数的一个特例。
偏导数是多元函数在某一点沿着坐标轴方向上的变化率，它衡量的是函数沿某一坐标轴的变化情况。
而方向导数是多元函数在某一点沿着任意方向的变化率，它衡量的是函数在某一方向上的变化情况。
偏导数是方向导数的特例，当函数的方向与坐标轴方向重合时，方向导数就是偏导数。
因此，方向导数是偏导数的一种推广，在特定方向上的变化率。