含根式的数列递推式的解法举隅

课外园地·　数学通讯——２Ｏｌ５年第７、８期（上半月）　１１３　

含根式的数列递推式的解法举隅　

众所周知，线性递推式问题已经有了较为成　熟的求解方法，如待定系数法、特征根法、不动点　法、母函数法、矩阵法等．而非线性递推式的求解　则是一个难点，这类递推式往往结构复杂，没有固　定的模式可套，方法多姿多彩，因此一直是各类竞　赛的热点和难点问题．其中，含根式的非线性递推　式在近几年的竞赛中频频亮相，应引起足够的重　视．本文就含根式的数列递推式的求解方法作一　些探究和分析．根据根式在递推式中的从属、主　次　位置关系，常见的处理方法有：配方法、换元　法、三角法、变形法、取对数法、平方法、先猜后证　法等．下面举例说明之．　Ｉ．配方　例１（第２３届希望杯全国数学邀请赛高一第２　试）在正项数列｛口　）中，口　一　１，ｎ计１一口　＋、／／　１　＋÷，则口ｚｏｌｚ一　（　）　（Ａ）１０１２０２５．　（Ｂ）ｌＯ１２０３６．　（Ｃ）１０１３０２５．　（Ｄ）１０１３０３６：　解析　因为ｎ　＞０，且口井　一ｎ　＋　＋÷　

（　＋　）。，所以　一　＋　．故数列　｛　｝是以　一百１为首项，以告为公差的等差　数列．所以　一　１＋（ｎ－－１）×　１一导，所以口　７１２所　口　。１２一　一１０１２０３６，故选（Ｂ）．　评注　通过观察发现，递推式右边是一个完　全平方式，故应大胆配方，开方后得到一个关于　￣／ｎ　的一阶常系数线性递推式，而这是我们非常　熟悉的问题．　‘　２．换元　例２　（２００９年高中数学联赛山东预赛）已知　数列｛口　）满足：口　：１，口井１—１＋口　＋　（　蓝云波　

（广东省兴宁市第一中学，５１４５００）　

∈Ｎ’），则数夕ＩＪ的遁项口　一解析　设６　一　Ｉ＿＝　，则　一堕　故　

口井　：　．所以口计　一１＋口　＋￣／—１＋—４ａ．　

化为　一１＋　，ｅｐ￣ｂｈ　．＝ｂ￣４－４ｂ　＋４：（６　＋２）ｚ．由６　一、／，　ｇ－￣ｈｂ　＞０，　知６　一ｂ　＋２，故数列｛ｂ　）是以　为首项，以２为　公差的等差数列，所以ｂ　一　＋２（ｎ一１）．从而　ｎ　＝　＝扣＋４４￣－（ｎ－１）＋４（ｎ＿１）ｚ　

１］一（　一１）（　＋　一１）＋１．　评注　换元法是数学中非常重要的思想方　法．此题如若直接去除根号，不利于问题的解决．　对根式进行整体换元，问题便化为＿个等差数列　问题，也就迎刃而解．　３．三角换元　例３（第３０届ＩＭＯ预选赛）数列口。，口　，　…；与数列　，６　，６　…，定义如下：ｎ。：　，ｎ　。　

＝丽，６。：：：１，　：　土鱼　，　ｚ　Ｄ　±０，１，２，…．证明不等式：２　口　＜７ｃ＜２　ｂ　．　证明　因为　＝　２　ｓｉｎ　，设　一ｓｉｎ寿，　则　√－Ｆ２二　三　

√　一　

譬　一ｃｏｓ毒　

√１一（１一．２ｓｉｎ。　）专ｓｉ　．

　１１４　数学通讯——２Ｏｌ５年第７、８期（上半月）　·课外园地·　

所以口ｎ—ｓｉｎ　２－＋ｚ·　后应用整体思想和迭代方法使问题得到解决．　５．取对数　同样地，有６　：＝＝ｔａｎ三９，ｒｋ２．　因为　∈（ｏ，要）时，ｓｉｎ　ｚ＜ｚ＜ｔａｎ　ｚ，所以　

２　ｎ一一２＇￣２　ｓｉｎ　＜２　×寿一　，　

２　ｂ　一２ｎ－ｉ－２ｔａｎ　＞２计。×嘉一７ｃ．　故不等式２什　口　＜７ｃ＜２　ｂ　得证．　评注　根据此题递推式的特点，暗含某些三　角公式的运算形式，应用三角代换后，可去除递推　式中的根式，类比公式即可得出所要求的通项　公式．　４．变形　例４（２０１２年高中数学联赛湖北预赛）已知　正项数列｛口　｝满足￣／口　１＋ａｎａ．『ｌ＋２　—　４、　＝『而＋３　，且ａ　一１，口　一８，　求｛ａ　）的通项公式．　解析　、　干　＝＝：４　＋３￣／　两边同除以、／，　，得　√Ｈ　√Ｈ　＋ｓ，　

故√　＋　＋１：＝：４‘√　＋　＋１）．·　

又√１＋　＋１—４，故数列｛√　＋　ａ，ｒＨ＋１）　是以４为首项，以４为公比的等比数列．所以　√１＋　＋１—４　，故　Ｈ—Ｅ（４”一１）　一１３“”　于是，当　＞１时，　ｎ，　一［（４　一１）　一１］ａ，ｒ１　［（４　一１）。一１］·［（４　一１）。一１］ａ　２　ⅡＥ（４　一１）　一１］　

ⅡＥ（４　一１）　一１］，　所以通项公式　ｒ１，，ｚ　１，　一１　ｆｉ［（４　一　一１７埘≥２．　，　

评注　此题有多个根式，初看很难处理，若能　减少根式的个数，问题便显得直观一些，通过观　察，递推式两端可同除以较为简单的那个根式，然　例５（１９９１年四川Ｉ高中数学联赛高二试题）　在正项数列｛ａ　｝中，ｎ　＝１０，ａｋ＋。＝１０￣／ｎ＾．求通　项公式ａ　．　解析　因为ｎ＾“一１０￣／Ⅱ　，所以ｌｇａ川一　ｌｇ（１０　）一ｌｇ　＋ｌｇｌ０：　ｌｇ口　＋１．所以一２　＋ｌｇａ蚪ｌ一一１＋　１　１ｇ口＾一　１（２＋ｌｇａｋ），又一２＋　ｌｇａ。一一１，所以数列｛一２４－Ｉｇａ　｝是以一１为首项，　以　为公比的等比数列．所以一２＋Ｉ　＝一　，　

故。ｌｇａ　；２一　，所以通项公式口　一１０　一声．　评注　运用取对数的方法，可以将含有指数　式或根式的递推式转化为一阶线性递推式．　６．平方　例６（２０１１年高中数学联赛天津预赛）设数　列｛ｎ　｝定义为ｎ　一１，ａ　一２ａ　－＇ｒｌ－￣／３口：－－ｐ。１，　≥　１．　（１）证明：当　＞１时，口　１＋口，ｒ１—４ｄｚ　；　（２）证明　４　－１－Ｋ１１＜１－　ｆ－，／３“１　Ⅱ２　“　厶　解析　（１）由条件可知，｛ａ　｝是递增数列，ｎ。　２ａ１－－ｌｔ－、／／３ｎ　－Ｌｌ－１—４．　

ｎ　１—４ａ　＋１　ｎ　＋ｎ：一１—０　①　用　一１代换上式中的”，得　口：一ｌ一４ａ　ａ　～ｌ＋口：一１—０　②　下面用两种方法得到口计　一４ａ　一ａ　．　法１：利用因式分解　①一②，得ｎ　】一ｎ　２一】一４口　１口　＋４ｎ　口　一】一０，　故（口　＋ｌ＋ｎ—１）（ｎ　＋ｌ—ａ　一１）一４ａ　（ｎ　ｌ—ｎ　１）＝　０，所以（口计ｌ—ａ　一１）（口　１＋ｎ　～ｌ一４ａ　）一Ｏ　因为　｛ｎ　｝是递增数列，所以ｎ　～口　＞０，所以ａ　一　４ａ”一ａ　一１．　法２：利用韦达定理　由①、②可知ｎ　，ａ，ｒ　是一元二次方程ｘ　一　４ａ　ｚ＋ａ：一１—０的两不同实根，由韦达定理可得　口计１＋口　ｌ＝４ａｎ，即ｎ计１＝４ａ　一ｎ　１．　此为二阶线性递推式，其特征方程为　一４Ａ　一　

由　课外园地·　数学通讯——２Ｏｌ５年第７、８期（上半月）　１１５　

＋１＝０，可解得特征根为　一２＋　，　。一２一　所以其通项公式可设为ａ　：＝：Ａ　（２＋　）”＋Ａ　（２　）　．　因为口１—１，ｎ２—４，所以Ａ　（２＋　）　＋Ａ２（２　）　一１，Ａ　（２　＋　）　十Ａ２（２一√　）　一４，解得　Ａ　：’　Ａ２一　

所以ａ　一　［（２＋√　）　一（２一　）”］。　（２）设Ｓ　：　＋　＋…Ｉ＋　，因为　。＞１＞　２＞０，且　１　２：１，所以　（　｛——Ａ５）＞Ａ１（　——　）一＿１（　｛一　——Ａ｛一　），　ｋ≥２　故可得　＜　，ｋ≥２．所以，当　＞１时，　“　“　一１　ｓ　一去＋骞ａ　ｋ＜　ａｌ＋　ｋ￣２　

＋　（ｓ　一　）＜　＋　。Ｓ　，　

所以ｓ　＜　＝　．　当　：１时，Ｓ　：一１—１＜　

所以上＋１＋…＋１＜—１　ｔ　４３

评注　处理根式的最直接的方式其实就是平　方，此题很好的体现了这一点．去除根号后，可用　因式分解或韦达定理化为二阶常系数线性递推　式，这一过程是升阶思想．化为二阶常系数线性递　推式后可用特征根法求出通项公式．　７．先猜后证　例７（２０１２年高中数学联赛辽宁省预赛）设　递增数列｛口　｝满足“ｌ一１，４ａ州：＝：５ａ　－－ｔ。－　￣／９口：＋１６（ｎ≥１，　∈Ｎ　）．　（１）求数列｛ｎ　｝的通项公式‘；　（２）证明：１－４－１＋１＋…＋１＜２

解析　’（１）由口１—１，４口外ｌ：５ａ　＋　而（　≥１，ｎ∈Ｎ　），得ａ　一－耋－，口。一　２１，　ｎ　一　８５由于　５一　２１８５

猜想口　一　一　号（２　一　）．下面用数学归纳法证　明之．　、　Ｏ　１　证明　①当７ｌ—ｌ时，口　＝号（２　一　）一１，　命题成立；．　②彼设　一志时，口　一导（２　一１－ｒ），则当　，ｚ＝　愚＋１时，　４ａ抖１—５ａ＾＋　碡而　（２　一　１）＋√４（２　一　＋１６　

警（２　一　１）＋２√（２　＋　）ｚ　

竽（２　一刍）＋２（２　＋　）　

萼×２　一　４×　１＝詈（２　一　），　

所以口抖１一鲁（２　一　１干『），即靠一ｋ＋１时，　命题成立．　由①、②可知数列｛ｎ　）的通项公式ａ　一　９　１、　号（２～方　·　‘　（２）类似例６第二问的方法可证明之，此处　从略．　评注　本题和例６是同类型题，可用例６的方　法解答．这里给出数列通项公式的另外一种求法．　通过猜想归纳得出通项公式，然后用数学归纳法　严格证明，这是解数列递推式问题的一种惯用手　法，也是探究新知的重要手段．　通过对以上几道竞赛题的分析，我们发现，对　含有根式的数列递推式的通项公式的求解，关键　在于通过恰当的数学变换，使问题化归为我们熟　悉的数列问题．　因此，在探究问题的过程中，我们　要认真细致观察，大胆探索，并找出恰当的方法，　使问题得到圆满的解决．　

（收稿日期：２０１５—０２—１Ｏ）