史上最全最完整的金融经济学答案(王江版)

max
[c0;c1a;c1b]
−e−c0
−
1 2
(e−c1a
+ e−c1b )
8
第 3 章 ARROW-DEBREU 经济
s.t. c0 + φac1a + φbc1b = w = 2φa + φb
得到最优消费为
c∗0
=
2φa + φb + φa log(2φa) + φb log(2φb) 1 + φa + φb
(e) 写出市场化支付的集合。 (f) 如果市场不允许卖空。市场化支付的集合是什么？ (g) 现在引入新的证券 3，它的支付向量为 X3 = [0; 0; 1]。写出新的市场结构矩
阵。在这个市场结构下，市场化支付集合是什么？
解.
(a) 这个经济的支付空间是 R3；
11
(b) 市场结构矩阵为 X = 1 2 = [X1, X2]；
因而 | U (c(n)) − U (c) |< ε，故 limc(n)→c U (c(n)) = U (c)。 (c) 最后证明凸性。假设 U (C) > U (C )，那么
log(c0)
+
1 2
log(c1a)
+
1 2
log(c1b)
>
log(c0)
+
1 2
log(c1a)
+
1 2
log(c1b)
对于 ∀ α ∈ (0, 1)，
U (αC + (1 − α)C)
=
log(αc0
+
(1
−
α)c0)
+
1 2
log(αc1a
+
(1
−
α)c1a)
+
1 2
log(αc1b
+
(1
−
α)c1b)
≥
α(log(c0)
+
1 2
log(c1a)
+
1 2
log(c1b))
+
(1
−
α)(log(c0)
+
1 2
log(c1a)
2
第 2 章 基本框架
(b) 现在证明连续性。令 {c(n)}∞ 1 为 R3 中一个序列，且 limn→∞ c(n) = c。对于
∀
ε
>
0, ∃
δ，当
|
ci
− ci
|≤
δ
时我们有
|
log(ci) − log(ci)
|<
ε 3
,
i
=
0, 1a, 1b；对
于 δ，∃ N 使得当 n ≥ N 时，
c(n) − c = (c0 − c(0n))2 + (c1a − c1(na))2 + (c1b − c(1nb))2 < δ
(c) 如果选择 S = 0，那么我们就得到了 U a，而我们选择最优的 S 以最大化效用 函数而得到的是 U b，因此，U b ≥ U a；
(d) 由
U
b(w
−
g)
=
log(
w 1
− +
g ρ
)
+
ρ
log(
ρ(1 1
+ +
rF ρ
)
(w
−
g))
我们可以得到
g
=
w
−
ρ−
−ρ 1+ρ
(1
+
rF
)
−ρ 1+ρ
c∗1a
=
2φa + φb + φb log(2φb) − log(2φa) − φb log(2φa) 1 + φa + φb
c∗1b
=
2φa + φb + φa log(2φa) − log(2φb) − φa log(2φb) 1 + φa + φb
2.6 在上面的练习中引入练习 2.4 中定义的证券 3，它的价格为 S3。这时，参与者的预 算集是什么（他在证券 3 上的禀赋为 0）？证明由证券 1、2、3 构成的预算集包含 仅由证券 1、2 构成的预算集。
解. 此时参与者的预算集就变成了 {C ∈ R3+ : C = α1X1 +α2X2 +α3X3, 其中 α1S1 + α2S2 + α3S3 ≤ θ1S1 + θ2S2 + θ3S3}。
金融经济学习题解答
王江
（初稿，待修改。未经作者许可请勿传阅、拷贝、转载和篡改。) 2006 年 8 月
第2章 基本框架
2.1 U (c) 和 V (c) 是两个效用函数，c ∈ Rn+，且 V (x) = f (U (x))，其中 f (·) 是一正单调 函数。证明这两个效用函数表示了相同的偏好。 解. 假设 U (c) 表示的偏好关系为 ，那么 ∀ c1, c2 ∈ RN+ 有 U (c1) ≥ U (c2) ⇔ c1 c2 而 f (·) 是正单调函数，因而
(e) 市场化的支付集合是 M = {Y ∈ R2 : Y = θ1X1 + θ2X2, θ1, θ2 ∈ R}；
(f )
这时的市场化支付集合是 M+
= {Y
∈ R2 : Y
= θ1X1 + θ2X2,
θ1,
θ2
∈ R+}；
110
(g) 新的市场结构矩阵为 X = 1 2 0 = [X1, X2, X3]，此时的市场化支付集
解.
(a) Arrow-Debreu 证券的支付向量是 Xa = [1; 0], Xb = [0, 1]； (b) 2Xa + Xb； (c) 参与者的金融财富是 w = 2φa+φb，他的预算集是 {c ∈ R3+ : c0+φac1a+φbc1b =
w}；
(d) 由于不考虑非负约束，参与者的优化问题就变成了
2.7* 考虑一个在 1 期只有一个可能状态的经济。（在这种情况下不存在不确定性。）参 与者 1 的 0 期禀赋为 100 而 1 期禀赋为 1，即他的禀赋向量为 [100; 1]。他的偏好可
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第 2 章 基本框架
以表示成如下形式：
U (c0, c1) = log c0 + ρ log c1.
5
因而相应的效用为
Ub
=
log( 1
w +
ρ)
+
ρ
log(
ρ(1 1
+ +
rF ρ
) w)
我们可以看到，c0（c1）随着 rF , ρ 的上升而下降（上升），当 rF 上升时，储 蓄的收益率增加，因而参与者会减少当前的消费以增加储蓄，同时也就增加了 1 期消费了；当 ρ 上升时，1 期消费带来效用的权重增加，因此参与者会减少 0 期消费以增加 1 期消费。
U (c)
=
log
c0
+
1 2
(log
c1a
+
log
c1b)
U (c)
=
1 1−γ
c10−γ
+
1 2
1 1−γ
c11−a γ
Fra Baidu bibliotek
+
1 1−γ
c11−b γ
U (c)
=
−e−ac0
−
1 2
e−ac0 + e−ac0
证明它们满足：不满足性、连续性和凸性。
解. 在这里只证明第一个效用函数，可以类似地证明第二、第三个效用函数的性 质。
V (c1) = f (U (c1)) ≥ f (U (c2)) = V (c2) ⇔ U (c1) ≥ U (c2) 因此 V (c1) ≥ V (c2) ⇔ c1 c2，即 V (c) 表示的偏好也是 。
2.2* 在 1 期，经济有两个可能状态 a 和 b，它们的发生概率相等： a b
考虑定义在消费计划 c = [c0; c1a; c1b] 上的效用函数：
(c) 证明 U b ≥ U a。 (d) 令 g 为参与者由于能够在证券市场上交易而获得的益处。它的定义为
U b(w − g) = U a.
计算 g。讨论 g 如何依赖于 ρ？g 如何依赖于 rF ？给出解释。 解.
(a) 如果不能交易，那么参与者只能消费自己的初始禀赋，即
c0 = 100, c1 = 1, U a = log(100) + ρ log(1) = log(100)
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第 2 章 基本框架
c 王江
金融经济学
第3章 Arrow-Debreu 经济
3.1* 考虑如下经济，在 1 期有两个可能状态 a 和 b：
a b
(a) 描述所有 Arrow-Debreu 证券的支付向量。记这些证券的价格向量为 φ。 (b) 考虑一个拥有如下禀赋的参与者：
0
2 1
+
1 2
log(c1b))
= αU (C ) + (1 − α)U (C) > U (C )
故凸性成立。
2.3
U
(c)
=
c
−
1 2
a
c2
是一可能的效用函数，其中
c
∈
R+，a
是非负的系数。U
(c)
具有不
满足性吗？如果不，那么 a 取什么值和/或 c 在什么范围内时 U (c) 具有不满足性？
解.
不一定。比如当
100
1 1+ρ
(1
+
ρ)
g 随着 ρ、rF 的增加而增加。g 表示的是参与者能够在证券市场上交易而获 得的益处，参与者是为了在当前消费和未来消费之间进行消费转移而进行交 易的，如果他进行消费转移的动力越大，那么他从交易中获得益处越大，而 ρ、rF 增加时，参与者都希望增加未来消费，他进行消费转移的动力也增大， 因而 g 增加。
(a) 先证明不满足性。假设 c ≥ c ，那么有
c0 ≥ c0, c1a ≥ c1a, c1b ≥ c1b 而 log(·) 是单调增函数，因此有
log(c0) ≥ log(c0), log(c1a) ≥ log(c1a), log(c1b) ≥ log(c1b) 因而 U (c) ≥ U (c )，即 c c 。
系数 ρ 为反映参与者在当前消费和未来消费之间相对偏好的参数。有一只证券，它 的 0 期价格为 1、1 期支付为 1 + rF 。这里，rF 是利率。
(a) 如果这个参与者不能在市场上进行交易，那么他的消费计划以及相应的效用 U a 是什么？
(b) 现在假设他可以在市场上进行交易。 • 他的预算集是什么？以当前消费为单位，他的总财富 w 是多少？ • 写出参与者的优化问题。令 c0 为参与者的当前（即 0 期）最优消费、s 为 最优储蓄以及 U b 为在最优策略下得到的效用。求解他的最优消费/储蓄选 择以及相应的效用。把 U b 表示成财富 w、利率 rF 和偏好系数 ρ 的函数。 • 讨论参与者的最优选择如何依赖于利率 rF 和偏好系数 ρ 。给出解释。
(a) 描述这个经济的支付空间。 (b) 写出这个经济的市场结构矩阵 X。 (c) 考虑含有 θ1 单位的证券 1 和 θ2 单位的证券 2 的组合。写出这个组合的支付向
量。这个组合的价格是多少？
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金融经济学
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(d) 假设这个市场中总共有 K 个参与者。每个参与者的禀赋是 1 单位的证券 1 和 2 单位的证券 2。这时的市场组合是什么？市场组合的支付向量是什么？市场组 合的总价值是多少？
S
我们求得最优储蓄
S
=
100ρ(1 + rF ) − 1 (1 + ρ)(1 + rF )
最优消费为
c0
=
100(1 + rF ) (1 + ρ)(1 +
+1 rF )
=
1
1 +
ρ w,
c1
=
ρ(100(1 + rF ) + 1) (1 + ρ)(1 + rF )
=
ρ(1 1
+ +
rF ρ
)
w
金融经济学
(b) 参与者的预算集是 {C ∈ R2+ : c0 = 100 − S, c1 = 1 + S(1 + rF ), S ∈ R}，如果
以当前消费为单位，他的总财富是
w
=
100
+
1 1+rF
。参与者的优化问题就是
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max log(100 − S) + ρ log(1 + S(1 + rF ))
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合为 M = {Y ∈ R3 : Y = θ1X1 + θ2X2 + θ3X3, θ1, θ2, θ3 ∈ R}。
2.5 在练习 2.4 中定义的只存在证券 1 和 2 的经济中。考虑一个禀赋为 θ1 单位的证券 1 和 θ2 单位的证券 2 的参与者。写出他的预算集。
解. 参与者的预算集是 {C ∈ R3+ : C = α1X1 + α2X2, 其中 α1S1 + α2S2 ≤ θ1S1 + θ2S2}。
13
(c) 组合的支付向量为 θ1X1 + θ2X2 = [θ1 + θ2; θ1 + 2θ2; θ1 + 3θ2]，组合的价格是 θ1S1 + θ2S2；
(d) 市 场 组 合 是 K 单 位 的 证 券 1 和 2K 单 位 的 证 券 2， 组 合 的 支 付 向 量 为
[3K; 5K; 7K]，组合的总价值是 KS1 + 2KS2；
a
=
1
时，U
(
1 2
)
=
3 8
< U (1) =
1 2
> U (3) = −1.5。U (c) 不具有
不满足性。当
a
=
0
时，U
(c)
=
c
具有不满足性；当
a
>
0
时，当
c
∈
[0,
1 a
]
时
U
(c)
具有不满足性。
2.4 考虑一个经济，它在 1 期有三个可能状态：a，b 和 c：
a b c
证券市场包括证券 1 和 2，它们具有如下的支付向量：X1 = [1; 1; 1] 以及 X2 = [1; 2; 3]。它们的价格分别为 S1 和 S2。
把他的禀赋表示成 Arrow-Debreu 证券的组合。 (c) 计算他的金融财富。写出他的预算集。 (d) 假设参与者的效用函数如下：
U (c0,
c1a,
c1b)
=
−e−c0
−
1 2
e−c1a + e−c1b
.
不考虑消费的非负约束，写出他的优化问题。求解他的最优消费选择。 (e) 讨论他的消费如何依赖于Arrow-Debreu 证券的价格向量 φ。 (f) 证明在某些价格下，他（在某些时期/状态下）的消费可能是负的。