2020中考常见最值问题总结归纳微专题七函数最值二次函数最值公式法(解析版)

2020

中考常见最值问题归纳总结微专题七：二次函数最值公式法

W

O

R

K

I

N

G

P

L

A

N

微专题七：二次函数最值公式法

考法指导

二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有

①若a >0当x b a

=-2时，y 有最小值。y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a

=-2时，y 有最大值。y ac b a max =-442。 利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决实际问题之目的。

【典例精析】

例题1．

（2020·黑龙江中考真题）二次函数2(6)8y x =--+的最大值是__________． 【答案】8

【详解】

解：∵10a =-<，

∴y 有最大值，

当6x =时，y 有最大值8．

故答案为8．

例题2．

（2019·安徽中考真题）一次函数y =kx +4与二次函数y =ax 2+c 的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点

（1）求k ，a ，c 的值；

（2）过点A （0，m ）（0＜m ＜4）且垂直于y 轴的直线与二次函数y =ax 2+c 的图像相交于B ，

C 两点，点O 为坐标原点，记W =OA 2+BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值.

【答案】（1）k =-2，a =-2，c =4；（2）2(1)7W m =-+, W 取得最小值7.

【详解】

解：（1）由题意得，k+4=-2，解得k=-2，

∴一次函数解析式为：y=-2x+4

又二次函数顶点横坐标为0，

∴顶点坐标为（0,4）

∴c=4

把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2

（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x 2+4，令y=m ，得2x 2+m -4=0

∴x=±，设B ，C 两点的坐标分别为（x 1，m ）（x 2，m ），则12x x + ∴W=OA 2+BC 2=2224-m m 4=m -2m+8=m-172

+⨯+（） ∴当m=1时，W 取得最小值7

【针对训练】

1．（2017·四川中考真题）已知二次函数（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）

A．B．C．或D．或

【答案】D

【详解】

=，①若m＜﹣1，当x=﹣1时，y=1+2m=﹣2，解得：m=；

②若m＞2，当x=2时，y=4﹣4m=﹣2，解得：m=＜2（舍）；

③若﹣1≤m≤2，当x=m时，y=﹣=﹣2，解得：m=或m=﹣＜﹣1（舍），∴m的值为或，故选D．

2．（2017·四川中考真题）若一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数（）

A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣

【答案】B

【详解】

∴一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，∴a+1＞0且a＜0，∴﹣1＜a＜0，∴二次函数由有最小值﹣，故选D．

考点：二次函数的最值；最值问题；一次函数图象与系数的关系．

3．（2019·云南中考真题）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)的函数关系如下图所示：

(1)求y 与x 的函数解析式(也称关系式)；

(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.

【答案】(1)y 与x 的函数解析式为()()20022006102001012x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩

；(2)这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.

【详解】

(1)当6≤x≤10时，由题意设y ＝kx ＋b(k ＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)， ∴1000620010k b k b =+⎧⎨=+⎩

， 解得2002200

k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴当6≤x≤10时， y ＝-200x+2200，

当10＜x≤12时，y ＝200，

综上，y 与x 的函数解析式为()()20022006102001012x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨

<≤⎪⎩

； (2)设利润为w 元，

当6≤x≤10时，y ＝－200x ＋2200， w ＝(x －6)y ＝(x －6)(－200x ＋200)＝－200

2172

x -（）＋1250， ∴－200＜0，6∴x≤10，

当x ＝172

时，w 有最大值，此时w=1250； 当10＜x≤12时，y ＝200，w ＝(x －6)y ＝200(x －6)＝200x －1200，

∴200＞0，

∴w ＝200x －1200随x 增大而增大，

又∴10＜x≤12，

∴当x ＝12时，w 最大，此时w=1200，

1250＞1200，

∴w 的最大值为1250，

答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.

4．（2019·辽宁中考真题）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示．

（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？

【答案】（1）2200(3060)y x x =-+≤≤；（2）每千克60元，最大获利为1950元

【详解】

解：

（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠

由图象可得，当30x =时，140y =；50x =时，100y =

∴1403010050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得k 2b 200=-⎧⎨=⎩