2018年成人高考常微分方程期末试题A知识点复习考点归纳总结参考
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一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．方程
22d d y x x
y
+=满足解的存在唯一性定理条
件的区域是 ．
2. 方程组
n x x x
R Y R Y F Y
∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线.
3．),(y x f y '
连续是保证方程
),(d d y x f x
y
=初值唯一的 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x t
y y t
x
d d d d 的奇点)0,0(的类型是
5．方程2)(2
1
y y x y '+
'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是
7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程
d ()()d y
p x y q x x
+=的积分因子是（ ）． （A ）⎰
=x
x p d )(e μ （B ）⎰
=x
x q d )(e μ （C ）⎰=-x
x p d )(e μ （D ）
⎰=-x
x q d )(e μ
10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ）
（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）．
(A) 1±=x (B)1±=y (C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x
12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．
（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-=
'x y y （ ）奇解．
（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无
三、计算题（每小题8分，共48分）
。 14．求方程22
2d d x
y xy x y -=的通解
15．求方程0d )ln (
d 3=++y x y x x
y
的通解
16．求方程2
22
1)(x y x y y +'-'=的通解
17．求方程53x y y e '''-=的通解
18．求方程2(cos 7sin )x y y y e x x '''+-=-的通解
19．求方程组35,53dY
AY A dx ⎛⎫== ⎪-⎝⎭
的实基本解组
四、应用题（本小题 11 分，共11分）。 20．（1）求函数()at
f t e =的拉普拉斯变换
（2）求初值问题3322(0)0,(0)0t
x x x e x x '''⎧-+=⎨'==⎩
的解
五、证明题（本小题10分，共10分）。
21 ．证明：对任意0x 及满足条件001y 的0y ，方程
22d (1)
d 1y y y x x y
-=++的满足条件00()y x y =的解()y y x =在(,)-∞+∞上存在。
《常微分方程》复习习题集
一． 求解下列一阶微分方程
1．
3(ln )0y
dx y x dy x
++= 2．tan sec dy
y x x dx
+= 3．tan dy y x
y x dx x
-= 4．
2(cos sin )dy
y y x x dx
+=-
5．222()2dy x dy
y x dx dx
=+
+ 6．(2)0y
y
e dx y xe
dy ---+=
7．
2(cos cos 2)dy
x y dx
= 8．2dy y x dx x
=- 9．()ln dy x y x
y x y dx x
+-=+ 10．
411
(12)33
dy y x y dx +=- 11．(2)0y y e dx x xy e dy -+= 12．(1)y y y e ''=-
13．(2)(2)0x y dx x y dy ++-=
14．
dy x
y e dx =+ 15．tan dy y y dx
x
x
-=
16．2
()0ydx y x dy -+= 17．22
()1y y '+=
二． 求解下列微分方程组
1. 234dx
x y dt
dy x y dt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 3. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dt
dy y x dt
dx
232
2. 5445dx
x y dt
dy x y dt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 4. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dt
dy y x dt
dx
2543
三． 求下列微分方程的通解
1. x y y xe -''+=
2. 65x
y y y e '''++=3. 33x
y y y y xe
-''''''+++=
4. 265x
y y y e '''++=四． 叙述“皮卡存在唯一性定理”，并求下列初值问题
1. 22,(0)0dy
x y y dx =+= 2.
22, (0)0dy
x y y dx
=-=