浅谈第二次数学危机的

浅谈第二次数学危机

随着人类社会的不断发展，对于数学的要求也在一步步的提升。正是在这发展的过程中各种各样的矛盾不断出现和不断被解决，同时也推动着数学的前进。当矛盾触及到数学的根基时，便导致了一次数学危机的发生，同时也预示着数学将有新的革命性的进展。在学习了《微积分学选讲》这门课后，我便想结合课上与课下对微积分学的大致了解，谈谈第二次数学危机解决的过程给我的启示和带来的思考。

最早提出相关问题的要追溯到古希腊时期的芝诺悖论。飞矢不动，明明是运动的物体却成了静止的；阿基里斯追乌龟，无穷时间以后才能到达的一点。当时间趋于0或趋于无穷时会发生什么？这是最早的关于极限问题的思考，也是以后微积分思想最初的萌芽。可惜以当初人们的水平还无法解决这一问题，数学中代数学的地位也逐渐被几何所取代，芝诺悖论便留待后人去解决。

17世纪开始，人类逐渐步入航海时代和工业时代。为了解决实际生活中求速度，几何中求面积、体积等问题，人们需要新的数学工具。开普勒、费马等人在计算求和时提出了最初的积分思想与方法，笛卡尔、巴罗等人在求曲线切线时所用的方法也成为微分学的基础。17世纪末，牛顿、莱布尼兹在前人的基础上，将微积分完整化，以“流数法”（牛顿）解释微积分的概念与计算法则，创立通用至今的微积分计算符号（莱布尼兹），极大地推动了数学的发展，过去很多用初等数学无法解决的问题，运用微积分，这些问题往往迎刃而解。

微积分是17世纪最伟大大数学成就，它推动助学产生巨大进展，数学被融入当时最顶尖的科学问题之中。反过来，科学给数学提供了许多深奥又引人入胜的问题，开启了数学家们的巨大热情并提供了巨大动力。然而在微积分融入科学的过程中，人们逐渐发现微积分的基础概念并不明确，微分、无穷小量到底是什么？这个问题不解决，微积分就真的如同罗尔所说，是“巧妙的谬论的汇集”，近代科学也成了“用错误的方式得到的正确的结论”，此即第二次数学危机。为了解决这些问题，欧拉,拉格朗日等人进行了一些尝试，由此引出了极限理论的发展，数学分析逐渐走向严格化。19世纪，由波尔查诺，柯西起将极限完备化，给出了极限的精确定义，并用其重建微积分学，到魏尔斯特拉斯，戴德金将实数理论完备化，整个数学大厦的根基至此为止才变得牢固，足以支撑起现代科学的发展。第二次数学危机由此完全解决。

但是，真的如此吗？记得高中第一次接触微积分时，正是由于对dx的不理解使得学习异常艰难。dx是个什么样的量？在求f(x)=x2的导数时为何可以直接省略(dx)2一项？0/0为什么就叫一个未定式？虽然在进入大学系统的学习了极限的知识后，这些问题也能够自己解决，但在对前人工作仍然存在不少的困惑。为何戴德金分割确保了实数的完全定义？现有的实数完备性的准则是如何保证没有漏洞的？在完成这篇论文的过程中，查阅资料时也发现有人说第二次数学危机在现有的数学体制下是无法解决的，人们并没有明确的区分实极限与虚极限，柯西等人的论证仍有一定漏洞。作为一个非数学系的学生，大一学习的过程中并没有着重关注这些问题，只是停留在运用微积分进行计算的地步。暑期这次课才真正让我想到这些以前没有认真思考过的问题，下个学期课余时间或许我会拿一本数学分析，看看数学大厦是如何建立起来的。

产生矛盾，发现矛盾，解决矛盾，完整的数学理论，甚至于整个人类文明都是在这样的过程下建立起来的，一次大的危机往往也预言着一次根本上的革命。在发展微积分的后续过程中，除了严格化极限与实数理论外，还同时诞生了微分方程，集合论，复变函数论等数学分支，大大丰富了数学分析技术。无穷级数的收敛性与求和，微分方程的求解，变分法的运用也为科学的发展提供了更有利的工具，使科学技术有了一次次的突破。20世纪以来，现

代数学，现代科学的发展都在一定程度上由微积分理论发展而来，得益于前人的工作。在今天我们能否继续从微积分中抽取到一些新的东西，使得数学更进一步呢？

暑期的微积分学选讲课程到此就结束了，但我们需要跟随数学前进的的路还有很长。感谢宣老师带领我们领略微积分学的历史与魅力，也激发了我对于数学的兴趣和思考，在以后的学习中相信会更有益处。