透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分
第二次数学危机
当时牛顿对导数的定义为：
当增长为时，的立方（记为）成为的立方（记为）。即。与的增量分别为和。的增量除以的增量的结果为，然后代入h=0让增量消失，则它们的最后结果为。我们知道这个结果是正确的，但是推导过程确实存在着明显的偷换假设的错误：在论证的前一部分假设是不为0的，而在论证的后一部分又被取为0。那么到底是不是0呢？这就是著名的贝克莱悖论。，而这次危机的引发与牛顿有直接关系。历史要求给微积分以严格的基础。
其中最著名的要数最速降线问题：即最快下降的曲线的问题。这个曾经的难题用变分法的理论可以轻而易举的解决。
补救
第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。最早使微积分严格化的是拉格朗日。为了避免使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒公式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题，所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。
对分析基础做更深一步的理解的要求发生在1874年。那时的德国数学家维尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没有切线的连续曲线，这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。黎曼发现，柯西没有必要把他的定积分限制于连续函数。黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。也就是将柯西积分改进为黎曼积分。
第二次数学危机
第二次数学危机一、早期的微积分思想1.芝诺悖论早在2500年前，人类就有了微积分的思想,人们对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。
古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。
这造成数与量的长期脱离。
古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。
他们对于连续与离散的关系很有兴趣。
大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。
——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。
“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。
这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。
“操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。
从静止的c来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。
运动是矛盾的，所以运动是不可能的。
芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。
前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。
芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。
它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。
其后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。
希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。
它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。
2.早期微积分思想微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。
数学的第二次危机对积分起源所起的作用
数学的第二次危机与微积分微积分诞生于17世纪后半叶，主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。
以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。
Δt是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零？引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。
尽管德国的莱布尼茨也同时发明了微积分，但是他也没有明确给出极限的定义，没有给微积分一个准确的理论支撑。
第二次数学危机的质是数学思想的不严密，分理论缺乏逻辑基础。
尽管微积分在解决实际问题方面是成果丰硕，可是理论基础的不稳固，导致了越来越多的责难和悖论，在数学界产生了令人震撼的撞击，让数学陷入了更加矛盾的境地。
历史要求给微积分以严格的基础。
在数学家们的共同努力下，到19世纪末，分析的严格化问题得到了解决，一批杰出的数学家积极为微积分的奠基工作而努力。
第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔，他指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。
法国数学家柯西在数学分析和置换群理论方面做了开拓性的工作，详细而有系统地发展了极限理论。
他认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。
无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来。
接着，外尔斯特拉斯精确地引进了“ε－δ”语言，这样，微积分就建立在严格的极限理论的基础上了。
至此，第二次数学危机宣告彻底解决了，在微积分创建200余年后，数学家们终于赢来了胜利凯旋之日。
微积分的创立与第二次数学危机
微积分的创立与第二次数学危机微积分在数学史上的发展有着重要的地位，不仅是一种研究工具，更是引领了数学领域的新一波革命。
然而，在微积分创立的同时，数学却遭遇了第二次数学危机，为什么会出现这样的情况呢？微积分的创立微积分的创立是由牛顿和莱布尼茨两位伟大的数学家分别独立发明的。
17世纪末期，牛顿发明了微积分的基本思想，通过对同一函数在两个相邻时刻之间的差别进行极限分析，得出了微分和积分的概念。
莱布尼茨也在同一时间内独立地发明出了微积分的基本思想，但他使用的符号和牛顿有所不同。
微积分的诞生极大地推动了物理学和其他领域的发展。
在物理学中，微积分被用来描述质点的位置变化随时间的导数和加速度，以及力的积分表示功。
微积分也被广泛应用于工程学、经济学、天文学等领域。
第一次数学危机发生在19世纪初期，当时的探究重点是不确定性原理。
卡尔·根特洛克和海森堡等物理学家的研究表明，存在一些物理量的值是无法同时确定的。
这种不确定性引导着波动力学的诞生，而不是经典力学。
然而，第二次数学危机与第一次危机的背景截然不同。
在20世纪初期，一些数学家意识到了基于无穷集合的微积分理论中存在一些悖论。
G·卡扎活、B·罗素和A·怀特海等数学家通过数学的逻辑分析，发现了使得微积分理论变得自相矛盾的问题。
其中一个最著名的问题是伯努利悖论。
伯努利悖论指出如果意像无穷多次抛硬币，每次都有1/2的概率正面朝上，那么这样的尝试会有无穷大的概率得到全部正面或全部反面。
这个问题看着很奇怪，但是仍然能够被证明它是正确的。
结果是，微积分中的传统定义中对于无穷小量，极限和集合的性质并不十分明确。
为了解决这些问题，数学家扩展了微积分的公理化定义，并利用了另一种数学逻辑系统——ZFC公理集合论。
这就意味着微积分和其他数学学科的基础被彻底地改变了。
结语微积分的发明是数学史上的一个里程碑，极大地推动了现代科学的发展。
然而，微积分的诞生也在一定程度上暴露了基于无穷集合的微积分理论的局限性。
浅谈第二次数学危机的
浅谈第二次数学危机随着人类社会的不断发展，对于数学的要求也在一步步的提升。
正是在这发展的过程中各种各样的矛盾不断出现和不断被解决，同时也推动着数学的前进。
当矛盾触及到数学的根基时，便导致了一次数学危机的发生，同时也预示着数学将有新的革命性的进展。
在学习了《微积分学选讲》这门课后，我便想结合课上与课下对微积分学的大致了解，谈谈第二次数学危机解决的过程给我的启示和带来的思考。
最早提出相关问题的要追溯到古希腊时期的芝诺悖论。
飞矢不动，明明是运动的物体却成了静止的；阿基里斯追乌龟，无穷时间以后才能到达的一点。
当时间趋于0 或趋于无穷时会发生什么？这是最早的关于极限问题的思考，也是以后微积分思想最初的萌芽。
可惜以当初人们的水平还无法解决这一问题，数学中代数学的地位也逐渐被几何所取代，芝诺悖论便留待后人去解决。
17世纪开始，人类逐渐步入航海时代和工业时代。
为了解决实际生活中求速度，几何中求面积、体积等问题，人们需要新的数学工具。
开普勒、费马等人在计算求和时提出了最初的积分思想与方法，笛卡尔、巴罗等人在求曲线切线时所用的方法也成为微分学的基础。
17 世纪末，牛顿、莱布尼兹在前人的基础上，将微积分完整化，以“流数法” （牛顿）解释微积分的概念与计算法则，创立通用至今的微积分计算符号（莱布尼兹），极大地推动了数学的发展，过去很多用初等数学无法解决的问题，运用微积分，这些问题往往迎刃而解。
微积分是17 世纪最伟大大数学成就，它推动助学产生巨大进展，数学被融入当时最顶尖的科学问题之中。
反过来，科学给数学提供了许多深奥又引人入胜的问题，开启了数学家们的巨大热情并提供了巨大动力。
然而在微积分融入科学的过程中，人们逐渐发现微积分的基础概念并不明确，微分、无穷小量到底是什么？这个问题不解决，微积分就真的如同罗尔所说，是“巧妙的谬论的汇集” ，近代科学也成了“用错误的方式得到的正确的结论” ，此即第二次数学危机。
为了解决这些问题，欧拉 , 拉格朗日等人进行了一些尝试，由此引出了极限理论的发展，数学分析逐渐走向严格化。
微积分的创立与第二次数学危机
微积分的创立与第二次数学危机微积分是数学的一个分支，也是现代数学的基础之一。
它的诞生与第二次数学危机有着密切的关系。
第二次数学危机是指19世纪末20世纪初发生在欧洲的一场重大数学危机，其核心问题是如何建立数学的基础理论。
在此之前，数学的基础是欧几里得几何学和代数学，在这个框架下数学可以进行许多研究，但是它们无法处理一些特殊的问题，比如无理数的性质和实数的连续性等等。
在这个时期，数学家们为了解决数学的基础问题纷纷开始探索新的方向。
有人试图通过公理系统来建立数学的基础，有人试图通过集合论来解决问题。
但是这些尝试都没有得到满意的结果。
微积分的创立在这个时期成为了解决数学危机的一个重要路径。
微积分是研究函数的变化和积分的运算规则，并且通过极限的概念来进行定义的。
而极限概念的引入正是为了解决无理数连续性的问题。
微积分的创立在很大程度上改变了人们对数学问题的思考方式，使得数学的发展进入了一个全新的阶段。
微积分的创立对于数学的发展产生了巨大的影响。
它在解决实际问题和理论问题中都具有重要的作用。
在实际问题中，微积分可以描述物体的运动、变化和变化率等等。
在理论问题中，微积分可以用来解决曲线的切线、求解最值、求解微分方程等等。
这使得微积分成为了研究自然现象和科学问题的一把利刃。
第二次数学危机的解决是一个漫长而曲折的过程，需要数学家们的共同努力和不断探索。
微积分的创立仅仅是众多数学家贡献中的一部分，但它却是解决数学危机的一个重大里程碑。
微积分的引入不仅解决了数学中一些核心问题，而且为数学的发展开拓了新的方向，使得数学的应用范围和研究深度都得到了极大的拓展。
微积分的创立与第二次数学危机密不可分。
微积分的引入不仅解决了数学中的一些核心问题，还为数学的发展开拓了新的方向。
微积分的应用领域广泛，对于现代科学的发展也具有重要的作用。
微积分的创立可以说是数学史上的一大里程碑。
浅谈数学发展史中的三次危机
浅谈数学发展史中的三次危机摘要：在数学发展的历史长河中，危机与发展是并存的。
在数学发展史中出现了三次危机，人们通过对危机的探索，最终消除了它，并促进了数学的不断发展和进步。
第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现进而度过了把第一次数学危机。
第二次数学危机是人们对无穷小的误解，而微积分的出现产生了一种新的方法——分析法，分析法是算和证的结合，是通过无穷趋近而确定某一结果。
罗素悖论的发现，导致了数学史上的第三次危机。
为了探求其根源和解决难题的途径，数学界、逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。
归根结底，导致三次危机的原因，是由于人的认识。
关键词：危机；万物皆数；无穷小；分析方法；集合一、前言历史上，数学的发展又顺利也有曲折。
打的挫折也可以叫做危机。
危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。
所以，危机往往是数学发展的先导。
数学发展史上有三次数学危机。
每一次危机，都是数学的基本部分受到质疑。
实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。
二、无理数的发现---第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
第二次数学危机
第二次数学危机的产生
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴 导源于微积分工具的使用 随着人们科学理论与实践认识的提高， 随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几 乎在同一时期， 乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为 牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世， 牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世， 就显示出它的非凡威力。 就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这 一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿， 一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱 布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。 布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的 理论都建立在无穷小分析之上， 理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本 概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而， 概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而， 从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。 从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其 中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
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透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分作 者：华中师范大学 计算机科学系2010级 郑舒月 学号2010213877内容摘要：基于大家在学习微积分的过程中的困惑，本文试图透过第二次数学危机谈一谈这位既神秘又可恨可怜的“消失了的量的鬼魂”，以“贝克莱悖论（Berkeley paradox ）”、“芝诺悖论（Zeno paradox ）”等悖论了解牛顿和莱布尼兹关于微积分的理论及公式。
由于18世纪的微积分的理论并不严谨，这就有悖于数学这一学科的首要特点。
关于“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。
但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。
从而掀起了第二次数学危机。
关 键 词：第二次数学危机 微积分Abstract ：Based on most of students have the confusion in the process of studying calculus, from the second mathematical crisis,this paper tries to talk about this mysterious,hateful and poor "disappeared quantity of ghosts", with "Berkeley paradox ", "Zeno paradox" and so on, to know about the theories and formulas of Newton and Leibnitz. Because of calculus theori es were not rigorous in the 18th century, this is contrary to the primary feature of math.As the question-- " whether infinitely small quantity is zero" :as infinitely small quantity is concerned in practical application at that time, it must be zero, and is not zero at the same time. But from the view of the form logic , there is no doubt that this is a contradiction. Thus the second mathematical crisis broke out.Key words ：The second mathematical crisis calculus前言大家知道，在公元前5世纪出现了数学基础的第一次灾难性危机，这就是无理数的诞生。
这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。
初次接触微积分时，大家都被弄迷糊了，基本学完教材微积分的知识，仍是无数个疑问让大家百思不得其解，比如：无穷小量似乎有时是0，有时又非零；dydx =f'(t)是否可以看做普通的除式或一个比式，有时候它似乎可以作为除式，可是有时候它却并非如此；导数与微积分之间千丝万缕的关系似乎永远也说不全，道不明。
后来了解到微积分的发展，从古希腊数学家认识到数在比例论上有不足之处所陷入的困惑，渐渐孕育了无穷小的概念，再到基本攻破第二次数学危机，特别是著名数学家柯西（Cauchy）的出现，加之前人的成果，建立了微积分的严密逻辑理论基础。
成为严密的数学王国中一颗璀璨明珠。
21世纪，微积分已应用于解决很多实际问题，跨越物理、计算机等多个领域，解决矩阵等计算，求近似问题，并广发应用于经济管理与农业上；在Mathematics等系列软件的诞生后，对于微积分的发展和学习更是有极大地促进作用，这也从另一个方面提醒现今学习好微积分是必不可少的。
本文基于以上的困惑及考虑，从第二次数学危机认识牛顿和莱布尼兹的理论及公式，希望对大家有所帮助。
正文我们知道，没有一门新的科学是某个人的单独成果，它往往要经历无数前人的努力，还甚至面临质疑与诽谤。
古希腊人虽然没有明确的极限概念，它们将无穷小排除在几何证明之外，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。
它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理，但却十分麻烦。
在17世纪下半叶，像费马、巴罗等数学家在微积分的研究上，还没有能将无穷小分析涉及的观点、方法和发现组成一门有着独特算法的新的数学分支。
我们现在所熟悉的公式——牛顿-莱布尼茨公式。
显然，人们将微积分的发明还是归功于这两位著名的数学家——艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·冯·莱布尼茨，撇开无聊的关于优先权的问题不谈，只论他们所研究出的成果看，他们的功绩主要在于：1，把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；2，有明确的计算微分法的步骤；3．微分法和积分法互为逆运算。
其实牛顿当初陈述的并不是像我们现在这样从算术的角度看数列极限，这些数代表了相关几何量的（算术）长度变得无穷小的时候它们之间的比，牛顿在《原理》中这样阐述“严格地说，消失量的最终比不是最终量之比，而是这些无限减少的量之比的极限，尽管这些极限可以比任何给定都要接近它，但在这些量无限减少之前，它们既不能超过也不能达到这个极限。
”这段话表明，牛顿意识到了无穷小概念中包含的困难。
如此就缺乏算术明确性，才在第二次数学危机中有激烈的争论。
他由于运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具。
同时关于微积分基础的问题也越来越严重。
以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。
Δt是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零。
这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。
十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题，数学也迎来了一次空前的繁荣时期。
十八世纪被称为数学史上的英雄世纪，这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了众多的科学领域。
它们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。
人们用微分学的理论发现了哈蕾彗星，用积分学的理论可以计算任意平面图形的面积，只要知道包围这个图形的曲线方程。
在数学本身它们又发展了微分方程的理论，无穷级数的理论，大大地扩展了数学研究的范围。
因此有些人就对基础问题的讨论不感兴趣。
如达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固”。
更有许多人认为所谓的严密化就是烦琐。
但也因此，微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击，其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击。
贝克莱是一位著名的唯心主义哲学家，不仅如此，他还精通数学，他对于牛顿、莱布尼茨理论中不严格的地方大肆攻击，在他的《分析学者》中他这样指出“Δx一会不等于零，一会儿又等于零，可以说是消失了的增量，就像漂泊不定的鬼魂；由此得到的导数作为Δy与Δx消失了的增量之比，“既不是有限量也不是无穷小量，但又不是无”，从而就不过是消失了的量的鬼魂不具有任何意义”。
十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分、积分等概念不清楚；对无穷大的概念也不清楚；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。
对无穷级数的收敛、发散含糊不清的情况，L.G.格兰迪（Grandi，1671－1742）提出悖论“从虚无创造万有”，对无穷级数x=1 -1+1-1+……的求和问题，一方面，无穷级数x=（1-1）+（1-1）+……=0；另一方面，x=1-（1-1）-（1-1）-……=1，由上得出0=1；在等式两边同乘任何数，就可得0=任何数，这就是被格兰迪称为的“从虚无（0）创造万有（任何数）”。
又有人指出因为0和1是等可能的，所以级数的和应为平均数1/2。
这样的悖论日益增多，数学家们在研究无穷级数的时候，作出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。
第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。
他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。
但是他本人未能提供这样的理论。
拉格朗日为了避免使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念，曾试图把整个微积分建立在泰勒展式的基础上。
但是，这样一来，考虑的函数的范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题，所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。
到了19世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基工作而努力。
首先要提到的是捷克的哲学家和数学家波尔查诺，他开始将严格的论证引入到数学分析中。
1816年，他在二项展开公式的证明中，明确提出了级数收敛的概念，同时对极限、连续和变量有了较深入的理解。
特别是著名数学家柯西的出现，他在数学分析和置换群理论方面作了开拓性的工作。
柯西在1821～1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作，在那里，他给出了数学分析一系列基本概念的精确定义。
例如，他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性。
接着，魏尔斯特拉斯引进了精确的极限定义。
这样，微积分就建立在严格的极限理论的基础上了。
今天我们微积分课本中使用的定义，基本上就是柯西的，不过现在写得更加严格一点。
一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。
它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。
波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。
柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。
他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。
在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。
十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。