第二次数学危机
第二次数学危机
第二次数学危机PB08207005 蒋晓澄第二次数学危机发生在十七世纪。
十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。
而这个理论基础问题存在于微积分的主要创始人们在推导过程中引用的一个无穷小的量。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此微积分早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。
牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？莱布尼茨也在这些问题上没有办法自圆其说。
此后微积分得以迅猛发展，虽然有人在指责微积分的不严密性，但人们看见的更多的是微积分在解决问题时的出色表现。
但这个情况并没有持续多久，贝克莱出现了。
贝克莱是一名哲学家，也是一名神职人员。
他害怕数学激发的机械论和决定论哲学信仰对宗教造成日益增大的威胁。
1734 年，他发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家，其中审查现代分析对象、原则与推断是否比起宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书。
“先除掉你自己眼睛里的障碍，你才能看得清去擦掉你兄弟眼中的灰尘”。
贝克莱抱怨数学家们的推理晦涩难懂、玄奥莫测，他们对自己的每一步既没有给出逻辑，也没有说明理由。
贝克莱批评了牛顿很多的观点，他特别指出牛顿在他的论文《求曲边形的面积》中进行的一些代数运算，也就是之前提到的关于无穷小量的矛盾。
贝克莱说，这是对矛盾律的蔑视，神学中不允许这样的推理。
他说，一阶流数（一阶导数）似乎超出了人们的理解能力，因为它们超出了有限的范围。
第二次数学危机的历史意义
第二次数学危机的历史意义第二次数学危机是20世纪初期数学领域发生的一场危机，它包含了数学的基础、发展和应用等多个方面。
其历史意义不仅在于对数学的发展造成了深远的影响和启示，同时也对于其他领域的发展产生了重要的推动作用。
下面从以下几个方面来介绍第二次数学危机的历史意义。
1.数学的基础问题第二次数学危机凸显了数学基础问题的重要性。
数学作为一门基础学科，它的发展离不开对于本质概念的明确和严谨的证明。
在危机中，数学家们发现在一些理论中，基础假设并不是真正严谨的，这些假设的不确定性最终导致了理论的崩溃。
这个问题的意义在于，它促进了数学的基础研究，提高了数学的严谨性和有效性。
2.数学的发展方向第二次数学危机揭示了数学在发展中应考虑的方向和重点。
危机中，当时的数学家认为，研究数学的细节过多，研究范围过于琐碎，造成了研究的乏味和虚假。
因此，随着对于数学实践的认识逐渐深入，数学家们把更多的注意力集中在数学的背后思想和基础问题上，从根本上探究数学现象产生的原因和规律。
这也为现代数学的创新提供了思想上的启示。
3.数学应用的深入第二次数学危机的爆发也推动了数学应用的深入研究。
在当时，数学已经在物理学和工程学等多个领域有了广泛的应用，同时也揭示了现有的数学并不足以支撑这些领域的发展。
因此，在危机中，数学家们需要深刻性地思考，将现有的数学知识和理论与实际应用相结合，提出有效的理论解决问题，这也促进了数学知识在现实生活中的更广泛应用。
4.数学研究的国际化第二次数学危机对于数学研究的国际化也产生了重要的推动作用。
危机发生时，德国在数学领域处于领先地位，但是在第一次世界大战后，德国的科学发展遭受了重大打击，这也影响了德国在数学领域的地位。
同时，其他国家开始崛起，并且在数学研究上取得了显著成果。
这也为数学研究提供了更多的国际性交流和合作机会，推动了全球数学研究水平的提高。
总之，第二次数学危机不仅对于数学的研究和发展产生了深远的影响，同时也对于现代科学研究的发展和人类文明的进步产生了积极的推动作用。
数学小讲师--三次数学危机
学
小
讲
师
三次数学危机
01
第一次数学危机
公元前六世纪，在古希腊学 术界占统治地位的毕达哥拉斯 学派，其思想在当时被认为是 绝对权威的真理。其主要奉献 之一就是证明了毕达哥拉斯定 理，也就是勾股定理。
当时，毕达哥拉斯倡导的是一 种称为“唯数论〞的哲学观点，他 们认为宇宙的本质就是数的和谐。 他们认为万物皆数〔数字神化〕， 而数只有两种，就是正整数和可通 约的数〔即分数，两个整数的比〕， 除此之外不再有别的数，即是说世 界上只有整数或分数。
有理数 无理数
02
第二次数学Байду номын сангаас机
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0.9
1
03
第三次数学危机
危机：既是危险，也是机遇。数学史上的每 一次危机都极大地推动了数学的开展。每一 次开展都是人们认识这个世界的更进一步。 数学也有着自己独特的文化与韵味。
谢谢欣赏
数学史三次危机简介
数学史三次危机简介
数学史上的三次危机，简要概括如下：
1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。
这次危机通过实数理论的建立得到解决。
2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。
微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。
最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。
3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。
这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。
至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。
第二次数学危机
三、危机的解决
进入19世纪，历史要求给微积分以 严格的基础。
终 于 在 数 学 家 们 的 共 同 努 力 下 ， 到 19世纪末，分析的严格化问题得到 了解பைடு நூலகம்。
第一个为补救第二次数学危机 提出真正有见地的意见的是达 朗贝尔。他在1754年指出，必 须用可靠的理论去代替当时使 用的粗糙的极限理论。
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历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
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[自读教材·填要点]
一、铁路，更多的铁路 1．地位 铁路是 交通建运设输的重点，便于国计民生，成为国民经济 发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 至开胥平各庄铁 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。
无穷小量的数学推导过程在逻 辑上自相矛盾。
也正因为他的逻辑上不严格， 而遭到责难。
牛顿(IsaccNewton,1642 —1727)英国数学家、
天 文学家和物理学
家
微积分受到攻击与责难
十八世纪的数学家对待微积分发展的态度。对这些基 础问题的讨论不感兴趣。认为所谓的严密化就是烦琐。
在微积分的发展过程中，出现了两种不荣乐观的局面。 微积分的基础问题受到一些人的批判和攻击，其中最
有名的是贝克莱主教在1734年的攻击 。
贝克莱的发难
• 他贝克指莱责，牛1顿8世纪“英依国靠哲双学重家错，误西 • 得这方代表近到使。代了得他主不数对观科学微唯学家积心却在分主正将强义确近有哲力学的20的的结0年批主果的评要”，。 • 因时在数为 间学无 里界穷 ，产小 不生量 能了在彻最牛底令顿反人震的驳撼理贝的论克撞中莱 一是的击1家7。3”会 零 责4年之儿 。 难，名说 。贝出是克版零莱了，以一一“本会渺针小对儿的微又哲积说学分不 • 因直基础此 至的， 柯书贝 西—克 创—莱 立《嘲极分笑限析无理学家穷论》小，。量才在是较
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。
数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。
于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
第二次数学危机
第二次数学危机的产生
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴 导源于微积分工具的使用 随着人们科学理论与实践认识的提高， 随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几 乎在同一时期， 乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为 牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世， 牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世， 就显示出它的非凡威力。 就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这 一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿， 一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱 布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。 布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的 理论都建立在无穷小分析之上， 理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本 概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而， 概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而， 从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。 从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其 中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
三次数学危机的产生与解决
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解决措施
针对三次数学危机，数学家们提出了各种解决措施。在第一次数学危机中， 欧多克索斯提出了实数的概念，将数学从困境中解脱出来；在第二次数学危机中， 数学家们对集合论进行严格的公理化，提出了公理化集合论；在第三次数学危机 中，
数学家们发展出了新的数学逻辑系统——模态逻辑，为数学的发展提供了更 加坚实的基础。
三次数学危机的产生与解决
目录
01 第一次数学危机
03 第三次数学危机
02 第内容
目录
06 总结
数学作为一门基础学科，是人类文明的重要组成部分。然而，在数学发展史 上，曾先后出现过三次严重的危机。本次演示将分别探讨这三次数学危机的产生 背景、原因及后果，并提出相应的解决措施。
第一次数学危机
第一次数学危机发生在公元前580年至568年之间的古希腊时期。这场危机的 起因主要在于当时数学界对无理数认识的不足。古希腊的数学家们认为，所有的 数都可以表示为整数或分数，即有理数。然而，当时希腊数学家希帕索斯发现了 一个问题：如果将
正方形的对角线进行等分，那么所得的线段长度就无法用有理数来表示。这 个发现动摇了当时数学界的基础，引发了第一次数学危机。
第二次数学危机
第二次数学危机发生在19世纪末期。这次危机源于康托尔的集合论，由于集 合论的某些基本概念含混不清，引发了数学界的恐慌。这场危机的根本原因是， 当时数学家们并未对集合论进行严格的公理化。为了解决这次危机，数学家们对 集合论进行了深入
研究，最终由策梅洛提出了公理化集合论，平息了这次危机。
发展。而在第三次数学危机时期，人们对数学的认知发生了根本性的改变， 使数学进入了一个全新的发展阶段。
总结
三次数学危机的产生与解决，是人类文明发展的重要组成部分。这些危机不 仅推动了数学的快速发展，而且也启示人们要不断深入思考和探索数学的内涵和 基础。通过了解三次数学危机的历史背景、原因、后果及解决措施，我们可以更 好地理解数学的
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微分和积 分 (即求切线 与求面积) 是互逆的 两 种运算。 这是微积 分
建立的关 键 所在。
牛顿
牛顿在1671年写了《流数 术和无穷级数》，这本书直到 1736年才出版，它在这本书里 指出，变量是由点、线、面的 连续运动产生的，否定了以前 自己认为的变量是无穷小元素 的静止集合。他把连续变量叫 做流动量，把这些流动量的导 数叫做流数。牛顿在流数术中 所提出的中心问题是：已知连 续运动的路径，求给定时刻的 速度（微分法）；已知运动的 速度求给定时间内经过的路程 （积分法）。
例如：对于 y x 言，根据牛顿的流数计算法，有：
2
y y ( x x)2
（1-1） （1-2）
x2 y x2 2xx (x)2
y 2 xx (x)2
y 2 x x x y 2x x
（1-3）
（1-4）
（1-5）
在上面的推导过程中，从式（1-3）到式（1-4）要求 x 不等于零。 从而式（1-4）到式（1-5），又要求 x 等于零。
二、微积分的产生
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就 成了促使微积分产生的因素。四种主要类型的问题： • 第一类是研究运动的时候直 接出现的，也就是求即时速度 的问题； • 第二类问题是求曲线的切线 的问题； •第三类问题是求函数的最大值 和最小值问题； • 第四类问题是求曲线长、曲 线围成的面积、曲面围成的体 积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上 的引力
阿基米德（公元前287-前212），数学之神，通过一 条迂回之路，独辟蹊径，创立新法，是早期微积分思想的 发现者，微积分是奠基于他的工作之上才最终产生的。 阿基米德在公元前200多 年就已经将积分运算广泛应 用于处理图形的面积、物体 体积等问题中，如阿基米德 在求球体和球缺的表面 （《球体和圆柱体》）、旋 转双曲弓形体体积（《锥形 体和椭球体》）、阿基米德 螺线面积（《论螺线》）等 问题中都进行了微积分运算。 我们可以认为阿基米德已经 掌握了我们后世称之为积分 学的精髓。
早期工作
在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的 大量知识已经积累起来了。十七世纪的许多著名的数学 家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大 量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙 格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡 瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创 立做出了贡献。 例如费马、巴罗、笛卡尔都对求曲 线的切线以及曲线围成的面积问题有过 深入的研究，并且得到了一些结果，但 是他们都没有意识到它的重要性。
• 希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面 积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓 “穷竭法”。它依靠间接的证明方法，证明了许多重 要而难证的定理。
早期的微积分思想
——早在2500多年前，人类就已有了微积分的思想
• 微分: 速度、切线、极值
• 积分: 距离、面积、体积
古希腊早期的微积分思想
莱布尼茨
德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了 现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且 很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分 式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一 篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微 分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学 的文献。
芝诺 (约公元前490-前430年)
芝诺悖论
芝诺悖论:阿基里斯追龟说
运动是不存在的
芝诺悖论: 飞 矢不动
s, t
时刻t
首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位） 里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一 个距离单位。
初始状态: □□□□□□□□ 观众席A ■■■■■■■■队列B向右移动 ●●●●●●●● 队列C向左移动 移动后： □□□□□□□□ ■■■■■■■■ A B
第二次数学危机
报告人：沈岑
目录
第二次数学危机 微积分的产生 早期的微积分思想
危机的化解及其影响
一、早期的微积分思想
芝诺悖论 古希腊早期的微积分思想 中国早期的微积分思想
芝诺悖论
芝诺悖论：二分法说
伊 利 亚 学 派
——运动不存在
位移事物在达到目的地之前必 须先抵达一半处，而要通过这一 半处就要抵达一半的一半处， 即不可能在有限的时间内 通过无限多个点。 要通过有限长度就必须通过无穷 多的点，这就意味着必须到达没 有终点的某种东西的终点．
B、C两个 列队开始 移动，如 下图所示 相对于观 众席A，B 和 C 分别向 右和左各 移动了一 个距离单 位。
●●●●●●●●
C
• 芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难 了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点， 后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运 动是间断的观点。
• 芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专 门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场 轩然大被。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与 “很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其 后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。
贝克莱悖论
1734 年，大主教乔治 · 贝克莱 (George Berkeley) “渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分 析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审 查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教 的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推 理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击 贝克莱认为这是“依靠双重错误得到了不科学却正 确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说 是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱攻击流数 （导数）“是消失了的量的鬼魂 ……能消化得了二阶、 三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”
贝克莱
英国主观唯心主义哲学家、主教。1685年3月12日 出生于爱尔兰基尔肯尼郡，1753 年1月14日卒于牛津。 少年早熟， 15 岁考进都柏林三一学院， 1704 年获 学士学位， 1707 年获硕士学位 ,留校担任讲师、初级 研究员。 1709年刊行《视觉新论》,1710年发表《人类知识 原理》 ,1713 年出版《海拉斯和斐洛诺斯的对话三 篇》，均成为当时英国各大学热烈讨论的问题。 1734年被任命为爱尔兰基尔肯尼地区主教 ,任职18 年 ,仍致力于哲学的思辨。 1752 年移居牛津附近的新 学院。
• 古希腊的数学的特质：具有了演绎推理过程和高度的抽象性。 • 毕达哥拉斯学派——“不可公度”问题
• 德谟克利特——物质世界是由“小到无法被感觉印象所感知”的原 子构成，并且将“原子论”引入几何学。
• 柏拉图——批判了这种将数学依赖于感性经验的做法，并隐约暗示 了无穷小量和连续性的抽象化路线 • 欧多克斯——提出了“穷竭法”的过程：在一个量中减去比其一半 还大的量，不断重复这个过程，可以使得剩下的量变的任意小（阿基 米德引理）
贝克莱对微积分基础的批评是一针见血，击中要害的， 他揭示了早期微积分的逻辑漏洞。然而在当时，微积分 理论由于在实践与数学中取得了成功，已使大部分数学 家对它的可靠性表示信赖，相信建立在无穷小之上的微 积分理论是正确的。因此贝克莱所阐述的问题被认为是 悖论，即著名的贝克莱悖论。
由于这一悖论，十分有效地揭示出微积分基础中 包含着逻辑矛盾，因而在当时的数学界引起了一 定的混乱，一场新的风波由此掀起，于是导致了 数学史中的第二次数学危机。
他是历史上最伟大的符号学者之一，他 所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号， 这对微积分的发展有极大的影响。现今我们 使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精 心选用的。
达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把 基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是烦 琐。 但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻 辑基础，这在初创时期是不可避免的。他们需要做的事情太 多了，他们急于去攫取新的成果。基本问题只好先放一放。 正如达朗贝尔所说的：“向前进，你就会产生信心！”数学 史的发展一再证明自由创造总是领先于形式化和逻辑基础。 于是在微积分的发展过程中，出现了 这样的局面：一方面是微积分创立之后 立即在科学技术上获得应用，从而迅速 地发展；另一方面是微积分学的理论在 当时是不严密的，出现了越来越多的悖 论和谬论。数学的发展又遇到了深刻的 令人不安的危机。
• 牛顿（1642—1727）是英国伟大 的数学家、物理学家、天文 学家和自然哲学家。 • 牛顿是：从物理学出发，运 用集合方法，结合运动学来 研究微积分。 • 莱布尼茨（1646—1716）德国最 重要的数学家、物理学家、 历史学家和哲学家。 • 莱布尼茨却是：从几何问题 出发，运用分析学方法研究 微积分。
中国早期微积分思想
微积分思想在古代中国早有萌芽，公元前7世纪 老庄哲学中就有无限可分性和极限思想 ；公元前4 世纪《墨经》中就有了有穷、无穷、无限小（最小 无内）、无穷大（最大无外）等思想。 刘徽（约公元225年—295年）， 一项杰出的创见是对微积分思想的认 识与应用。刘徽的微积分思想，是中 国古代数学园地里一株璀璨的奇葩。 其极限思想之深刻，是前无古人的， 并在极长的时间内也后无来者。
危机的实质
• 其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小 距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说法 本身就是不明确的，是含糊的。 • 当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的 比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比，它
不是“最终的量的比”，而是“比所趋近的极限”
。 • 他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但并没 有明确说清这个词的意思。
极限思想
割圆术
割之弥细，所 失弥少，割之 又割，以至于 不可割，则与 圆合体而无所 失矣.
刘徽计算到192边形， 求得3.14
割圆术
从刘徽割圆术看出，他 明确地多次使用了极限思想 ，并采取了对面积进行无穷 小分割，然后用求其极限状 态的和的方式解决圆面积问 题.