试论数学史上的第一次危机及其影响

! ! 数学的发展也和其他事物的发展一样， 它也经 历了曲折的发展过程。人们在漫长的社会实践中， 从数数最初抽象出自然数的概念， 数论就是在自然 数概念的基础上逐渐发展起来的。可以说数学便起 源于数数。那么， 何谓数学危机？数学的第一次危 机的实质是什么？数学的第一次危机的解决带来了 那些影响？这就是本文所要论述的问题。 一、 数学的第一次危机及其实质 ’/ 何谓数学危机。一般来讲， 危机是一种激化 的， 非解决不可的矛盾。从哲学上来看， 矛盾是无处 不在的、 不可避免的， 即便以确定无疑著称的数学也 不例外。数学中有大大小小的许多矛盾， 比如正与 负， 加法与减法， 微分与积分， 有理数与无理数， 实数 与虚数。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的 矛盾， 例如有穷与无穷、 连续与离散， 乃至存在与构 造、 逻辑与直观、 具体对象与抽象对象、 概念与计算 等等。在整个数学发展的历史上， 贯穿着矛盾的斗 争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学基础时就 产生数学危机。整个数学的发展史就是矛盾斗争的 历史。斗争的结果就是数学领域的发展。 "/ 数学的第一次危机产生的背景。从某种意 义上来讲， 现代意义下的数学， 也就是作为演绎系统 的纯粹数 学， 来源于古希腊毕达哥拉斯学派 （ J@% ?K-802-> 约公元前 $$# 年） ， 这个学派兴旺的时期为 公元前五百年左右。它是一个唯心主义学派。他们 重视自然及社会中不变因素的研究， 把几何、 算术、 天文学、 音乐称为 “ 四艺” ， 在其中追求宇宙的和谐 及规律性。 “ 四艺” 即 “ 数学” ， 毕达哥拉斯学派首次 使用了 “ 数学” 这个词。他们认为 “ 万物皆数” ， 数学 的知识是可靠的、 准确的， 而且可以应用于现实的世 界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得， 并不需 要观察、 直觉及日常经验。毕达哥拉斯学派从前人 所取得的数论研究成果出发开始研究所谓的毕达哥 拉斯数— — —整数。毕达哥拉斯学派在数学上的一项 重大发现是证明了毕达哥拉斯定理即我们所说的勾 股定理。就是指直角三角形三边有如下关系的一个 命题， 即： ! " " # " $ %" （’） ! 和 # 分别代表直角三角形的两条直角边， % 表示斜 式的数有无穷多个， 边。这个学派还认为满足 （’） 并提供了下述三元数组， 即若是奇数， 并且 & ’ ’ 则 有 ’ ’ ! $ &， # $ （ &" ( ’ ） ， % $ （ &" " ’ ） " " （"）
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丰富的数学思想方法会有更深刻的感受。 & ! 数学的第一次危机的实质。从第一次数学危 机的历史论述中可知， 哲学、 逻辑与数学之间有紧密 的联系， 正确的哲学思想对数学的发展具有十分重 要的指导意义； 此外， 哲学与逻辑也必须不断总结数 学的新成果来发展自己。这两方面的关系是不能偏 废的， 否则就会使人类的知识出现不必要的曲折和 危机。 数学的第一次危机的实质主要在于数学家的思 维囿于错误的哲学思想， 即主要在于数学家的思维 被错误哲学思想支配了。! 但它 ! 本来就是一个数， 的发现结果反而导致了数学的危机， 并成了 “ 数即 万物” ， 而 “ 数” 又只能是整数或整数的比这种错误 哲学观点的牺牲品。 二、 数学的第一次危机的影响 无理数的发现与确认启示我们， 数学如同其他 科学一样， 问题、 危机会随时出现， 而问题的解决， 危 机的克服都会带来数学的进一步繁荣。 % ! 无理数的发现， 对数学和哲学发展都产生了 深刻的影响。在数学方面， 使人们认识到直观、 经验 乃至实验都不是绝对可靠的 （ 例如用任何实验都不 能得出一切量均可用有理数表示这个结果） ， 今后 必须依靠证明用理性思维思考自然界。首先， 它使 古希腊数学研究的重点由算术转向几何， 打破了在 这之前毕达哥拉斯学派把数和几何问题等同起来的 看法， 即几何学的某些真理与算术无关， 几何量不能 完全由整数及整数的比来表示， 反之数却可以由几 何量表示出来， 可以说这次发现对古希腊的数学观 点有极大的冲击， 整数的尊崇地位受到了挑战； 其 次， 它使古希腊数学研究方法由计算转向推理， 促使 公理方法的产生， 从此希腊人开始由 “ 自明的” 公理 出发， 经过演绎推理而建立起几何学体系。在哲学 方面， 首先， 动摇了其数本说的基础， 其次， 推动着哲 学转向崇尚理性。 ! ! 在无理数发现之前的各种数学， 都是提供算 法， 进行 “ 算” 的数学。即使在古希腊， 数学也是从 实际出发， 应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预 测日食， 利用影子距离计算金字塔的高度等等都是 属于计算范围的。虽然泰勒斯也提出了圆的直径把 圆分成相等的两部分， 等腰三角形的两个底角相等， 两条直线相交后对顶角相等， 有两角和一边相等的 两个三角形全等， 但他都是通过直观经验来证明的。 至于埃及、 巴比伦、 中国、 印度等国的数学， 并没有经 历过这样 的 危 机 革 命， 也就是只停留在 “ 算 术” 阶 段， 而希腊的数学则走上了完全不同的道路， 形成亚 里士多德的逻辑体系和欧几里得 《 几何原本》 公理 体系， 从而成为现代西方数学的始祖。
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李春兰 3 试论数学史上的第一次危机及其影响 ! ! 无理数的出现使实数系统得到进一步的完 善。从而使直线上的点与实数一一对应起来。我们 知道有理数 " 是对四则运算封闭 （ 除数不为零） 的， 又是实数的忠实代表， 即任何一个实数都可以近似 的用一个有理数去表示， 而且这种近似的精确度要 多高就有多高 （ # 设是任一实数， 如果 # 已经是一个 有理数了， 那么就是其自身的代表； 如果 # 是无理 数， 比如 # 是圆周率 ! 那么 ! ， !! "， ! ! "# ， ! ! "#$ ， !! "#"% ， ! ! "#&’ ， …， 就都是 ! 在 " 中的近似代表， 越 靠后精确度越高） 。但是， 有理数 " 也有其不足之 处， 比如在 " 中一般不能开方。特别是 " 对极限运 算不封闭是个很大的缺陷， 例如： " " " （" ( ， ) ( ) …） ! $# ! & * " " " % $" ) & & & …） ， "！ $！ !！ 在有理数 " 上就无法研究数学分析， 这是因为 " 在 数轴上分布得虽然是紧密的， 但却又是个千疮百孔 的， 像! % 等等都是孔。所以， 无理数的发现 $， !， !， ! 使数轴没有那些孔， 即数轴上任一点， 如果不对应有 理数， 那么就对应无理数， 真可谓是 “ 有理” 、 “ 无理” 相对立， 却与数轴共安居。无理数的出现最重要的 是使实数具备了连续性， 从而使有条件研究连续性 等理论。由于实数具有连续性， 所以是适合在其上 建立分析学的。在 ’ 中可进行极限运算， 因此， 实 数的连续性是极限理论的基础。 # ! 在我们的日常生活中会经常用到无理数， 它 的出现给我们带来了许多方便。例如， 数 % 是对银 行家最有帮助的一个数， 假如没有 % 的出现， 银行家 要计算今天的利息就要花费大量的时间。所幸的 是， % 的出现助了一臂之力。 总之， 虽然无理数的出现， 导致了毕达哥拉斯学 派的瓦解， 但它的出现对后来的科学研究的影响是 不可言喻的。给我们的学习生活带来的方便是有目 共睹的。 综上所述， 危机是随时可能出现的。危机的出 现激发了富于追求精神的科学家的热情， 促进了多 种理论例如数学基础理论， 逻辑理论等的形成和发 展。因此， 从某种意义上来说， 危机并不是什么坏 事， 它预示着更新的创造和光明， 推进了科学的进 程。我们应持辩证的观点看待它， 看待数学， 不能因 为危机就指责数学一无用处， 担心数学的大厦会倾 倒。在数学大厦的基础上存在这小小缝隙， 数学大 厦不致于倾倒。 注( 释： 正五边形的边与对角线之比 （! * $ 是最先被 & ) "） "( 据说， +・伊夫斯著， 《 数学史概 发现的无理数。请参见： ［ 美］ 论》 ， 山西经济出版社， "’+& 年， 第 %! 页。 第二次数学危机是随 #( 在数学发展史上经历了三次危机， 着微积分的数学方法的发明而产生的。微积分的核心 是无穷小的分析， 但微积分的创建者牛顿和莱布尼兹对 微积分的基本概念是模糊的， 始终没有找到从有限量过 渡到无穷小量的桥梁。所以当时的数学家竭力攻击微 积分， 把它看作是一种神秘的东西。这就形成了第二次 数学危机。罗素悖论 （ 以 , 表示是其自身成员的集合 - 表示不是其自身成员的集合的集合。然后 的集合， 问： 集合 - 是否是它自身的成员？若 - 是它自身的成 员， 则 - 属于 , 而不属于 -， 也就是说 - 不是它自身的 成员； 另一方面， 若 - 不是它自身的成员， 则 - 属于 而不属于 ,， 也就是说 - 是它自身的成员， 无论出现哪 一种情况， 都将导出矛盾的结论。 ） 的发现不仅触及整个 集合论的最根本的概念： 集合及类分子的从属关系， 而 且触及逻辑和语义学的问题。因而引起西方著名数学 家和逻辑学家极大的震惊， 从而使数学基础出现第三次 危机。
收稿日期： ! "##$%#&%’# 作者简介： ! 李春兰 （ ’&()%） ， 女， 内蒙古师范大学数学科学学院田家炳书院 "##* 级硕士研究生。
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李春兰 * 试论数学史上的第一次危机及其影响 矛盾。此外， ! 是否是个数？对于毕达哥拉斯学派 ! 来说， 这确实是一个可怕的问题。因为如果承认它 是数， 就要与 “ 数即万物” 中所说的整数发生不可调 和的矛盾。相传当时毕达哥拉斯学派的人正在海 上， 就因这一发现把希帕苏斯投到海里， 因为他在宇 宙中搞出这样一个东西否定了毕达哥拉斯学派的信 条— — —宇宙中的一切现象都归结为正整数或正整数 之比。等式 （" ） 所引出的 ! ! 对于毕达哥拉斯学派是 一个致命的打击。 “ 数即万物” 的世界观被彻底地 动摇了。由此引发了数学的第一次危机 ! 。 毕达哥拉斯学派把那些能用整数之比表达的比 称作可公度比， 意即相比两量可用公度单位量尽， 而 把不能这样表达的比称作不可公度比。 " ! 数学的第一次危机的解决。数学的第一次危 才华横溢的希腊数 机的解决大约在公元前 "#$ 年， 学家毕达哥拉斯的学生阿契塔和欧多克索斯以及柏 拉图给出两个相等的定义从而消除了这次危机。他 们给出的定义与所涉及的量是否有公度无关， 其实 这也是自然的， 因为两个线段的比本来与第三个线 段无关。 毕达哥拉斯学派首先给出了以单位长为边的正 方形的对角线的长度不能用整数之比来表示的证明 方法， 证明过程如下： # 假设： 设! # 均为自然数， ! 是有理数， ! " （ $， ! $ 且 （ $， # ）" % ） ， % & ! !$ " # 两边平方得& ! $! " #! & （ % ） ， % & # 必是 ! 的倍数， % & #! 也是 ! 的倍数， ’ & （ $， # ）" % ， % $ 为奇数， % & ! #( （ #(是自然数） ， $ " ! $( ) % （ $(是自然数） ， 将上面两个式子代入 （%） 得