第五课时第一次数学危机
第一次数学危机
（1）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希勃索斯发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数）这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。
这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。
希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。
不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。
15世纪意大利著名画家达。
芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。
人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”同时它导致了第一次数学危机。
我觉得毕达哥拉斯是一个很矛盾的人，他有很多成就，是影响西方乃至世界的人物，是第一个注重“数”的人，发现了毕达哥拉斯定理，证明了正多面体的个数。
建设了许多较有影响的社团。
同时他允许女人进入课堂讨论，也可以帮助穷人学习，会设定一些奇奇怪怪的要求，娶了自己热心听众中的一个女子为妻……他相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体，万物都包含数，甚至万物都是数，上帝通过数来统治宇宙。
我以为他会是一个能够包容的人，海纳百川。
但是，他好像不太喜欢被人质疑，尽管他发现了黄金分割、勾股定理等，依然不能抹杀他犯的大错。
希勃索斯的死亡不能掩埋学问。
（2）约在公元前370年，柏拉图的学生攸多克萨斯(约公元前408—前355)解决了关于无理数的问题。
他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处致。
21世纪后的中国中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处。
最终数学危机得以解决，人们明白了几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。
然而数却可以由几何量表示出来。
数学危机
贝克莱还讽刺挖苦说：即然 t 和 S 都变 成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不 是 0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。 ————贝克莱悖论 对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家 提出的，但是，牛顿及他以后一百年间的数学 家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。
t 0
三、第三次数学危机
到19世纪，数学从各方面走向成熟。 人们水到渠成地思索：整个数学的基础 在哪里？ 19世纪末，集合论出现了。人们感觉到， 集合论有可能成为整个数学的基础。
元素与集合关系:
a A
a A
罗素悖论的通俗化——“理发师悖论”： 某村的一个理发师宣称，他给且只 给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。 问： 理发师是否给自己刮脸？
第一次数学危机的要害是不认识无理 数，而无理数是无限不循环小数，它可以 看成是无穷个有理数组成的数列的极限。 所以，第一次数学危机的彻底解决， 是在危机产生二千年后的19世纪，建立了 极限理论和实数理论之后。实际上，它差 不多是与第二次数学危机同时，才被彻底 解决的。
第二次数学危机的要害，是极限理论 的逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过 渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难， 也集中在“无穷小量”上。 无穷与有穷有本质的区别.
第四天 康托尔
区间 [0，1]上每一实数点都占一个房间
请提问
还会有第四次数学危机吗？
49
终极问题存在吗？
50
谢谢大家！
51
数学危机。
4． 危机的消除 危机出现以后，包括罗素本人在内的 许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。 当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃 集合论，再寻找新的理论基础，另一种是 分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨 消除悖论的可能。 人们选择了后一条路，希望在消除悖 论的同时，尽量把原有理论中有价值的东 西保留下来。
(完整版)(完整word)论第一次数学危机产生的原因和影响
论第一次数学危机产生的原因和影响目录第一次数学危机的简介 (2)第一次数学危机产生的原因 (3)第一次数学危机的解决 (4)第一次数学危机的产物：古典逻辑与欧氏几何学 (5)第一次数学危机的影响 (6)参考文献 (6)数学科学学院数学与应用数学赵文君0710120040摘要:毕达哥拉斯关于数的信条及以数为基础的宇宙模型的破产，导致了第一次数学危机。
这一危机的影响是巨大的，它不仅推动了数学及其相关学科的发展,使古希腊数学的基础发生了根本性的变化，而且推动了整个科学的发展。
本文就第一次数学危机的产生、解决到影响作了简单的介绍.关键词：第一次数学危机无理数毕达哥拉斯我们了解的数学危机有三大，如果说每次危机都把数学家们推入黑暗,但是随着危机的解决带来是更好的光明，三大数学危机带来的也是三大数学成就.从哲学的观点来看矛盾就是无处不在的，数学这么严密的学科也不例外。
纵观数学的发展，就是不断的产生冲突和危机并把它们解决的过程。
知识是人们总结出来的，人的认识是有限的，所以知识本身是应该随着社会的发展不断地突破的。
一次大的数学危机,对人们的影响是非常大的，当你一直认为理所当然的事却被指出是错的的时候，人们是很难接受的,所以危机的解除也是相当困难的事情.我们并未经历这么大的数学危机，不能体会自己的观念完全被推翻的感受。
基于对此我爱好或者说好奇，我选择了这个主题。
第一次数学危机的简介：从某种意义上来讲，现代意义下的数学来源于古希腊的毕达哥加斯学派。
这个学派兴旺的时期为公元前500年左右,它是一个违心主义流派。
他们重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。
他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。
数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。
毕达哥加斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。
历史上的三次数学危机+课件
第一次数学危机的解决
戴德金分割定义无理数
有理数集ℚ的一个分割为集合, ，满足：
• ∪=ℚ
• ∩=∅
• 对任意 ∈ , ∈ ，有 <
则对任意有理数集ℚ的一个分割, ，仅有4种可能
戴德金（1831-1916）
德国数学家
① 集合中有最大数， 中无最小数
其中, 均为整数
例： 与
= ×
=×
万物皆数！
例： 与 与
= ×
= ×
= ×
第一次数学危机的产生
1
=?
1
希帕索斯，毕达哥拉斯的学生
第一次数学危机的产生
希帕索斯发现： 与 无法公度！
本质原因： 是无理数
② 集合中无最大数， 中有最小数
③ 集合中无最大数， 中无最小数
④ 集合中有最大数， 中有最小数
第一次数学危机的解决
对任意有理数集ℚ的一个分割, ，仅有4种可能
①集合中有最大数， 中无最小数
②集合中无最大数， 中有最小数
③集合中无最大数， 中无最小数
④集合中有最大数， 中有最小数
情况④不可能出现（为什么）
情况③可能出现，此时就称该切割确定了一个无理数
第一次数学危机的解决
总结：
• 有理数之间存在“空隙”，那些空隙就对应了无理数
• 实数集=有理数集∪无理数集
• 可以继续由戴德金分割证明，实数间不存在空隙，从
第一次数学危机的内容及其对数学发展的影响1000字
第一次数学危机的内容及其对数学发展的影响1000字1. 引言1.1 概述数学作为一门古老而又重要的学科，对人类文明的发展起到了至关重要的作用。
然而，在数学发展的过程中，曾经出现过一次被称为“第一次数学危机”的事件，给数学领域带来了巨大的冲击。
本文将以此事件为切入点，探讨第一次数学危机的内容及其对数学发展产生的深远影响。
1.2 研究背景在人类历史上，数学始终是不断发展和演进的。
然而，随着数学领域日益扩大和专业化，各个分支之间相互联系日渐复杂。
第一次数学危机是在这样一个背景下爆发出来的，它凸显了数学领域中存在的问题并引起了广泛关注。
1.3 目的和意义通过深入研究第一次数学危机所涉及的内容以及其对整个数学领域发展所产生的影响，可以更好地理解数学研究面临的困境和挑战，并寻找解决方法和改进策略。
此外，也可以从中得到宝贵的启示和教训，促进学术界对数学研究的反思，不断推动数学的创新与发展。
以上是对文章“1. 引言”部分的详细清晰撰写。
2. 第一次数学危机的发生2.1 背景介绍在数学发展的历史长河中，曾经出现过多次危机和困境。
其中，第一次数学危机是指发生在19世纪末20世纪初的一场重大危机。
这场危机源于欧洲各国数学界对基础数学概念和定理的混乱和不统一认知，导致了数学领域的分歧与混乱。
2.2 事件概述第一次数学危机的事件始于19世纪末期，当时欧洲各国的数学家们在研究中逐渐发现了一些矛盾和争议。
这些矛盾主要集中在基础数学概念和定理方面，例如无限集合论、实数体系、连续性等问题。
各国的数学家们对这些问题有不同的见解和解释，没有达成共识。
在此期间，德国著名数学家康托尔提出了集合论及其应用，在推动了数学发展的同时也引起了更大范围内对基本理论与公理体系正确性的怀疑。
他从集合论角度来看待一些传统数学概念，如连续性和无理数等，与传统观点存在分歧。
这引起了数学界的大规模争议。
同时，在法国和德国的数学家之间也存在着对于连续性的不同看法。
三次数学危机及其影响ppt课件
一. 第一次数学危机
一. 第一次数学危机
1.危机的起因：
第一次数学危机是由 不 能写成两个整数 2 之比引发的。
毕达哥拉斯（约公元前580-前500） 古希腊哲学家、数学家、天文学家
例：如边长为1的正方形，对角线的 长度就不能以整数之比表示。
危机的实质： 是无理 2
数，全体整数之构成的
最后，这些既属于自己而又不属于自己
的集合 (Set)，便成了集合论的矛盾， 引发起第三次数学危机。
危机的消除
危机出现以后，包括罗素本人在内的许多 数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消 除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论， 再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产 生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可 能。
到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使 几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现 使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算 术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索： 整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现 了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。
1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了
由7条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。 1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还 把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再 后来，还有改进的ZFC-系统。
这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过
是有理数系，有理数系
需要扩充，需要添加无
理数.
当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一
危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个 量之比”的新说法，回避了它是无理数的实 质，而是用几何的方法去处理不可公度比。 这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何 从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《几何 原本》中也采用了这一说法，以致在以后的 近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数 学的基础。
第一次数学危机
第一次数学危机1.1 背景第一次危机发生在公元前580—568年之间的古希腊，当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知。
数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派是一个宗教、政治、学术合一且组织严密，带有浓厚宗教色彩的学派，这个学派进行了大量的教学研究，并取得了众多的数学发现。
在当时他们一致认为“数”的中心地位随时可见，他们还提出了“万物皆数”这一论断。
后期毕达哥拉斯学派成员费洛罗斯将这一观点清晰表达为：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。
”世界上的万物和现象都只能通过数才能加以解释，唯有通过数和形，才能把握宇宙的本性，他们还指出“万物都可以归结为整数之比”并且相信宇宙的本质就在于这种“数的和谐”。
1.2起源1.2.1“万物都可以归结为整数之比”比较两条线段a与b的长度，当b恰好是a的正整数r倍时，我们可以直接用a作为这两条线段的共同度量单位。
当b不是a的正整数倍时，我们就要去找第三条线段d，使得a可以正好分成d的正整数倍，同时b也可以分成d的正整数倍，我们可以假设a的长度是d的m倍，b的长度是d的n倍，这时，我们说d就是a与b的度量单位，并说线段a与b是可公约或可公度的。
这个过程相当于用比较短的线段当尺子去量长的，如果一次量尽，则度量结束；如果一次量不尽，就用余下的那段线段作为新的尺子去量那个比较短的线段，如果量尽，度量结束，且度量单位就是那段余下的线段；如果还是量不尽，就用再余下的那段线段作为新的尺子去量之前余下的那一段…如此下去，直到量尽，度量结束，且度量单位就是最后余下的那段线段。
对于任意两条线段，毕达哥拉斯学派的成员相信上面的操作过程总会在进行了有限步之后结束，他们相信，只要有耐心总能找到那个度量单位的。
所以，任何两个同类量都是可通约的，即万物都归结为整数之比1.2.2希帕索斯悖论希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。
数学史上的三次危机PPT课件
2
们要求物体在
t0
的瞬时速度，先求
S t
。
SS(t1)S(t0)12gt12 12gt02 12g[(t0 t)2 t02]12g[2t0t(t)2]
∴
S
1
t
gt0
g(t) 2
（*）
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9
当 t 变成无穷小时，右端的
1 g (t) 2
也变成无穷小，因而上式右端就可以认为
是 gt 0 ，这就是物体在 t 0 时的瞬时速度，
时的极限，即
物体在
t
0
时刻的瞬时速度= lim t 0
S t
。
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39
下边我们对（*）式的等号两边同时取
极限 t0 ，根据“两个相等的函数取 极
限后瞬仍时相速等度”=，得ltim 0(g0t
1g(t)) 2
再根据“两个函数和的极限等于极限的 和” lt ，i0 (g 得m 0 t1 2g ( t) ) lt i0g m 0 t lt i01 2 m g ( t)
2021
3
一、第一次数学危机
第一次数学危机是由 2 不能写成两 个整数之比引发的，我们在第一章已专 门讨论过，现再简要回顾一下。
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4
这一危机发生在公元前5世纪，危机 来源于：当时认为所有的数都能表示为整 数比，但突然发现 2 不能表为整数比。
其实质是： 2 是无理数，全体整数之比
构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需 要添加无理数。
正因为如此，此后近二百年间的数学家， 都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。
所以，由“无穷小”引发的第二次数学 危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限 理论作为微积分学的基础。
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第一次数学危机
教学目标：通过讲解，使学生了解第一次数学危机增强对数学史文化的了解
教学过程：教师介绍，历史上，数学的发展有顺利也有曲折。
大的挫折叫做危机。
危机意味着挑战，危机的解决就意味着进步。
所以，危机往往是数学发展的先导。
数学发展史上有三次数学危机。
每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。
实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。
一、什么是数学危机
危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。
从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。
人类最早认识的是自然数。
从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；
引进分数使乘法有了逆运算——除法。
接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。
方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。
可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。
几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学。
二、毕达哥拉斯学派和他们的“万物皆数”
1.毕达哥拉斯Pythagoras
(约前570年—前500年）
毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。
毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，也致力于哲学与数学的研究，促进了数学、哲学发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。
相传“哲学”（希腊原词意为“智力爱好”）和“数学”（希腊词意为“可学到的知识”）这两个词是毕达哥拉斯本人所创。