算法复习课后习题部分

树的按层次遍历：template<class T, class Func> //void LevelOrder(treenode<T> *x, Func Visit){ queue<treenode<T> *> Q;Q.push(x);while(!Q.empty()){ x = Q.front(), Q.pop();if(x == 0) continue;Visit(x); // visit x// put x's children on queueQ.push(x->first);for(x = x->first; x != 0; x = x->next) Q.push(x->next);}}图的宽度优先遍历连通图的宽度优先搜索（BFS）：// BFS.h#pragma once#include <queue>#include "Matrix.h" // 用于邻接矩阵void BFS(const Matrix <bool> &G, int v, vector <int> &Visited) { // G为图的邻接矩阵，从顶点v开始，已访问的顶点标记为// Visited[i]=访问序号，Visited各分量已经初始化为0。

int n = G.Rows(), k, w; // k为访问序号，v、w为顶点序号。

queue <int> Q;Visited[v] = k = 1, Q.push(v); // 访问v，v加入队列Qwhile(!Q.empty()){ v = Q.front(), Q.pop(); // 取出队首元素vfor(w = 0; w < n; ++w)if(!Visited[w] && G[v][w] == 1)++k, Visited[w] = k, Q.push(w);}}一般图的宽度优先遍历（BFT）：#include "Algorithm.hpp" // 用于邻接矩阵#include "BFS.h"void BFT(const Matrix <bool> &G, vector <int> &Visited) { // 从顶点0开始，已访问的顶点标记为Visited[i]=分支中的// 访问序号，Visited各分量已经初始化为0。

int n = G.Rows(); // 顶点个数for(int i = 0; i < n; ++i)if(!Visited[i]) BFS(G, i, Visited);}连通图的深度优先搜索（DFS）：#include "Algorithm.hpp"#include "Matrix.h" // 用于邻接矩阵void DFS(const Matrix <bool> &G, int v, vector<int> &Visited, int k = 1) { // 访问由v到达的所有顶点，起始下标为0int n = G.Rows();Visited[v] = k;for(int w = 0; w < n; ++w)if(Visited[w] == 0 && G[v][w] == 1)DFS(G, w, Visited, k + 1);}归并排序算法：#include "Algorithm.hpp"template <class T> // 合并两个有序组到wvoid Merge(T a[], int low, int mid, int high, T w[]){ // 将有序组a[low .. mid]和a[mid+1 .. high]合并到有序组w[low .. high] int i = low, j = mid + 1, k = low; // low组游标i，high组游标j，结果游标k for(; i <= mid && j <= high; ++k) // 当两组都未取尽时if(a[i] <= a[j]) w[k] = a[i], ++i;else w[k] = a[j], ++j;// 当low组取尽，而high组未取尽时，w[k .. high] = a[j .. high]if(i > mid) copy(a + j, a + high + 1, w + k);// 当high组取尽，而low组未取尽时，w[k .. high] = a[i .. mid]else copy(a + i, a + mid + 1, w + k);}快速排序算法// Partition.h#pragma oncetemplate <class T> // 划分程序int Partition(T a[], int low, int high){ // 待划分数组为a[low .. high]。

将<key的元素置于key左侧。

int pivot = low; // 划分位置T key = a[pivot]; // 划分元素for(int i = low + 1; i <= high; ++i)if(a[i] < key) a[pivot] = a[i], ++pivot, a[i] = a[pivot];// 将小于key的元素插入key左侧，大于key的元素向右移。

a[pivot] = key; // 划分位置的元素为key。

return pivot;}#include "Partition.h"#include "Algorithm.hpp"template <class T> //void QuickSort(T a[], int low, int high){ if(low >= high) return;int pivot = Partition(a, low, high); // 划分元素的位置QuickSort(a, low, pivot - 1);QuickSort(a, pivot + 1, high);} //采用划分的选择算法#include "Partition.h"#include "Algorithm.hpp" mtemplate <class T> //T PartSelect(T a[], int n, int k){ // 在数组a[0..(n-1)]中找第k(1≤k≤n)小元素，即a[k-1]。

// 其余元素按划分元素为a[k-1]的划分规则存放。

int low = 0, high = n - 1, m; // low为起始下标，high为终止下标for(--k;;) // 保证0≤k≤n-1{ m = Partition(a, low, high); // m是第m(0≤m≤n-1)小元素的位置if(k == m) return a[m];else if(k < m) high = m - 1; // 新的终止下标为m-1else low = m + 1; // 新的起始下标为m+1}}CH4背包问题背包问题的贪心算法template <class Tv, class Tw, class T> //void GreedyKNAP(Tv V[], Tw W[], T X[], int n, Tw rc){ // V是价值数组，W是重量数组，X是解向量，rc是剩余容量。

int i;fill(X, X + n, 0); // 解向量初始化为零mSort(V, W, n, Comp<Tv, Tw>); // 将物品按单价降序排列for(i = 0; i < n && W[i] <= rc; ++i)X[i] = 1, rc = rc - W[i]; // 可完整装包的物品完整装包if(i < n) X[i] = rc / W[i]; // 不能完整装包的物品部分装包}2 种最小生成树算法Prim 算法// Prim.h#include "Matrix.h"template <class W> //bool Prim(const Matrix<W> &G, Matrix<int> &T){ // G是邻接矩阵。

T存放生成树的边，共n-1行2列。

int i, j, k, n = G.Rows();W minCost = 0; // 刚开始时最小生成树的成本值为0vector<int> near(n, 0); // 指定各顶点的初始near值near[0] = -1; // 将0加到树中for(i = 0; i < n - 1; ++i) // 循环n-1次, 添加n-1条边{ // 求树外顶点到树内顶点具有最小权值的边及顶点位置jW min = Matrix<W>::inf; // 无穷大for(j = 0, k = 1; k < n; ++k)if(near[k] >= 0 && G[near[k]][k] < min) min = G[near[k]][k], j = k;if(min >= Matrix<W>::inf) return false; // min是无穷大，没有生成树T[i][0] = near[j], T[i][1] = j; // 添加(near[j], j)，其中j是near[j]的儿子minCost += min; // 添加(near[j], j)后，树的成本值增加near[j] = -1; // 将j加到树中for(k = 1; k < n; ++k) // 更新每个顶点的near值if(near[k] >= 0 && G[j][k] < G[near[k]][k]) near[k] = j;6} //return true; // 共找到n-1条，有生成树}Kruskal算法template <class Ty> //bool Kruskal(Edge <Ty> Ed[], int n, int e, Edge <Ty> T[]){ UnionFind U(n); // 合并/查找结构，初始时表示n个不同集合sort(Ed, Ed + e); // 对边集合排序int i, k;for(i = 0, k = 0; i < e && k < n - 1; ++i){ int a = U.Find(Ed[i].u), b = U.Find(Ed[i].v); // u，v所在集合if(a != b) // 如果u、v分属不同集合，选取该边{ T[k] = Ed[i], ++k; // 将边x加入最小生成树，边数增加1U.Union(a, b); // 合并u、v分属的两个集合}}return k == n - 1; // 是否有最小生成树}Dijkstra 最短路径算法#include "Algorithm.hpp"#include "Matrix.h"template<class T> // G是有向图的邻接矩阵，v是指定顶点void Dijkstra(const Matrix<T> &G, int v, vector<T> &dist, vector<int> &Prev) ｛int i, u, w, n = G.Rows();vector<bool> S(n, 0); // 标志一个顶点是否属于S，初始化为0for(i = 0; i < n; ++i) dist[i] = G[v][i], Prev[i] = v; // 初始化dist,Prevdist[v] = 0, S[v] = 1; // v加入Sfor(i = 0; i < n - 1; ++i){ // 选取w使Dist(w)=min{Dist(u)|S(u)=0}for(w = 0; w < n && S[w] == 1; ++w) {} // 第一个满足S(w)=0的wfor(u = w; u < n; ++u) // 找到满足要求的wif(S[u] == 0 && dist[u] < dist[w])w = u;S[w] = 1; // w加入Sfor(u = 0; u < n; ++u) // 更新未选顶点的dist和Previf(S[u] == 0 && G[w][u] < dist[u] && dist[w] + G[w][u] < dist[u])dist[u] = dist[w] + G[w][u], Prev[u] = w;}} //CH5矩阵连乘问题的解法1、计算矩阵连乘的递归算法计算最优值#include "Algorithm.hpp"#include "Matrix.h"int MatrixChain1(int r[], Matrix<int> &kay, int i = 0, int j = -1){ if(j < 0) j = kay.Rows() - 1; // 初始化，j=n-1if(j <= i) return 0; // 只有一个矩阵// 有多个矩阵，从k=i开始计算最小项u，并更新kay#define C(i, j) MatrixChain1(r, kay, (i), (j))int u = C(i, i) + C(i + 1, j) + r[i] * r[i + 1] * r[j + 1];kay[i][j] = i;for(int k = i + 1; k < j; ++k){ int t = C(i, k) + C(k + 1, j) + r[i] * r[k + 1] * r[j + 1];if(t < u) u = t, kay[i][j] = k; // 找到更小的项}return u;#undef C}求矩阵连乘最优次序的备忘录方法int MatrixChain2(int r[], Matrix<int> &kay, Matrix<int> &c, int i = 0, int j = -1) { if(j < 0) j = kay.Rows() - 1, fill(c.begin(), c.end(), 0); // 初始化，j=n-1if(j <= i) return 0; // 只有一个矩阵if(c[i][j] > 0) return c[i][j]; // c[i][j]已经确定// 有多个矩阵，从k=i开始计算最小项u，并更新kay#define C(i, j) MatrixChain2(r, kay, c, (i), (j))c[i][j] = C(i, i) + C(i + 1, j) + r[i] * r[i + 1] * r[j + 1];kay[i][j] = i;for(int k = i + 1; k < j; ++k){ int t = C(i, k) + C(k + 1, j) + r[i] * r[k + 1] * r[j + 1];if(t < c[i][j]) c[i][j] = t, kay[i][j] = k; // 找到更小的项}return c[i][j];#undef c｝求矩阵连乘最优次序的动态规划算法int MatrixChain3(int r[], Matrix<int> &kay, Matrix<int> &c){ int i, j, k, t, n = kay.Rows(); // 动态规划方法，n为矩阵个数fill(c.begin(), c.end(), 0); // 初始化for(i = n - 2; i >= 0; --i) // 计算c[i][j]和kay[i][j]，其中j>i{ for(j = i + 1; j < n; ++j) // 从k=i开始计算最小项u，并更新kay{ c[i][j] = c[i][i] + c[i + 1][j] + r[i] * r[i + 1] * r[j + 1], kay[i][j] = i;for(k = i + 1; k < j; ++k){ t = c[i][k] + c[k + 1][j] + r[i] * r[k + 1] * r[j + 1];if(t < c[i][j]) c[i][j] = t, kay[i][j] = k; // 找到更小的项}}}return c[0][n - 1];}任意顶点间最短路径#include "Algorithm.hpp"#include "Matrix.h"template <class T, class Func> // 顶点编号从0开始Matrix<T> Floyd(const Matrix<T> &Cost, Matrix<int> &Next, Func Plus) { int i, j, k, n = Cost.Rows();Matrix<T> A = Cost; // A[-1]=Costfor(i = 0; i < n; ++i)for(j = 0; j < n; ++j)Next[i][j] = j; // 建立初始Next55for(k = 0; k < n; ++k) //A[0]到A[n-1]的循环控制for(i = 0; i < n; ++i)for(j = 0; j < n; ++j){ if(i == k || j == k) continue;T x = Plus(A[i][k], A[k][j]);if(x < A[i][j]) A[i][j] = x, Next[i][j] = Next[i][k];}return A;}CH6子集问题递归方法（一）#include "Algorithm.hpp"#define legal(t) true // 检查合法性#define bound(t) true // 检查界限void Subset1(int X[], int n, int t = 0) // 递归方法（一）{ for(int i = 0; i <= 1; ++i){ X[t] = i;if(!legal(t)) continue; // not legalif(t >= n - 1) Copy(X, X + n) << endl; // answerelse if(bound(t)) Subset1(X, n, t + 1); // bound}}递归方法（二）void Subset2(int X[], int n, int t = 0) // 递归方法（二）{ if(t >= n) Copy(X, X + n) << endl; // answerelse{ X[t] = 1; // 尝试选取t，生成左儿子if(legal(t)) Subset2(X, n, t + 1); // legalX[t] = 0; // 若根t子树没有越界，生成右儿子if(bound(t)) Subset2(X, n, t + 1); // bound}}迭代方法void Subset(int X[], int n) // 迭代方法{ X[0] = - 1;for(int t = 0; t >= 0;){ ++X[t];if(X[t] > 1) --t; // 回溯else if(!legal(t)) continue; // not legalelse if(t >= n - 1) Copy(X, X + n) << endl; // answer else if(bound(t)) ++t, X[t] = - 1; // bound}}排列问题递归方法（一）#include "Perm.h"#include "Algorithm.hpp"#define legal(X, t) true // 检查合法性#define bound(X, t) true // 检查界限void Perm1(int X[], int n, int t = 0) // 生成分量的方法{ if(t <= 0) fill(X, X + n, -1); // X初始化为-1，必须while(NextValue(X, n, t))if(legal(X, t))if(t >= n - 1) Copy(X, X + n) << endl; // 已经获得一个排列else if(bound(X, t)) Perm1(X, n, t + 1); // 纵深搜索}递归方法（二）void Perm2(int X[], int n, int t = 0) // 对自然排列重新排列的方法{ if(t <= 0) InitPerm(X, n); // 初始化为0..(n-1)的自然排列，必须for(int i = t; i < n; ++i){ swap(X[t], X[i]);if(legal(X, t))if(t >= n - 1) Copy(X, X + n) << endl; // 已经获得一个排列else if(bound(X, t)) Perm2(X, n, t + 1); // 纵深搜索swap(X[t], X[i]);}}迭代方法void Perm(int X[], int n) // 用迭代方法生成各个分量{ int t = 0;X[t] = -1;while(t >= 0){ if(!NextValue(X, n, t)) --t; // 回溯else if(legal(X, t))if(t >= n - 1) Copy(X, X + n) << endl; // 已经获得一个排列else if(bound(X, t)) ++t, X[t] = -1; // 纵深搜索}}旅行商问题递归方法（一）#include "Algorithm.hpp"#include "Perm.h"#include "Matrix.h"#include "TSP.h"template <class T> // BX为最优路径，BC为最优耗费，C为当前耗费void TSP1(Matrix<T> &G, int BX[], T &BC, T C = 0, int t = 1){ static int n, *X; // n为图的顶点个数。