《连续奇数数列之和与正方形的关系》导学案

《连续奇数数列之和与正方形的关系》导学案 《连续奇数数列之和与正方形的关系》导学案 教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第107页例1及相关练习。教学目标：1．体会数与形的联系，进一步积累数形结合数学活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识。2．体验数形结合的数学思想方法价值，激发学生用数形结合思想方法解决问题的兴趣，感受数学的魅力。3．在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想。教学重点、难点：积累数形结合数学活动经验，体验数学思想方法的价值，激发兴趣。教学准备：，不同颜色的小正方形。学具准备：不同颜色的小正方形，吸铁板，作业纸。教学过程：一、谈话导入，出示题教师：最近老师发现，我有一项非常神奇的本领。什么本领呢？我发现只要从1开始的连续奇数相加，比如，1+3,1+3+……像这样的算式，我都算得特别快。你们信吗？教师：不信也没关系，我们现场比一比。 师生比赛，看谁算得快。教师：这个方法快吗？你们想不想也像老师一样算得快呢？教师：老师给你们一点点提示，我是借助图形发现这个方法的，今天这节我们就研究──数与形（板书）。【设计意图】从谈话导入，通过设置悬念，激发学生学习兴趣，从而顺理成地引出题。 二、动手实践，以形解数1．教师：我先根据算式中的加数拿出若干个图形。比如，1+3，我就先拿一个小正方形，再拿三个小正方形（贴在黑板上），我发现这些数量的小正方形刚好可以拼成一个大正方形，那我就把它们拼成一个大的正方形。教师：接着，我观察图形和算式之间的关系，就发现了可以快速算得结果的方法，你们想不想自己试试看？教师：先两个加数的，再三个加数的。请同学们在小组内先完成第一步，再完成第二步，看看哪个小组最先发现老师的方法。2．小组动手操作，教师巡视。3．学生汇报，全班交流分析。先讨论1+3，再讨论1+3+。教师：根据同学们的汇报，大家认为1+3=22，1+3+=32。除了这两组同学的汇报，你们还有其他发现吗？学生：算式中加数的个数是几，和就等于几的平方。教师：你们认同他的方法吗？能不能举个具体的例子说一说？学生1：1+3++7+9=2。学生2：1+3++7+9+11=62。教师：那我们从头看一看。请看屏幕：1+3++7+9=（2）。教师：一个小正方形可以看成12，想要拼成一个更大的正方形，再增加1个是不够的，增加的个数要比前一个加数再多2（也就是3）；想拼成更大的正方形，再增加3个是不够的，还要比3个再多2个（也就是个），此时是1+3+；再往下去，要加7才能拼成更大的正方形，依此类推，加到了9，就能排成每行、每列的个数是的大正方形。教师：那看只要是1开始的，连续的奇数相加，就能排成每行、每列个数是几的大正方形，和也就是几的平方。4．练习。（1）1+3++7+9=（ ）2； 1+3++7+9+11+13=（ ）2；____________________________=92。教师请学生独立完成，然后全班核对答案。（2）利用规律，算一算。1+3++7++3+1=（ ）；1+3++7+9+11+13+11+9+7++3+1=（ ）。全班交流，请学生说明计算结果和原因。．小结。教师：我们同学都很细心，现在不但能很快算出从1开始的连续奇数的和，稍加一点变化，你们也照样算得很快。现在知道老师是用什么方法快速计算这些题的吧？教师：这么巧妙的方法，我们是借助什么发现的？（图形）。看，有的计算问题借助图形解决会更容易。就像这个题一样，我们借助图形发现了更巧妙、更简便的方法。【设计意图】充分让学生动手实践，感受如何将数和形结合，体会数和形之间的紧密联系，同时让学生感受到“形”可以展示“数”的特点，通过“形”使解决“数”的问题变得更加容易。三、练习巩固1．下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？学生回答，出示答案。教师：请你认真思考、观察，上边的图形和对应的数之间有什么规律？四人小组交流。教师：刚才有一个同学说，蓝色的小正方形顺次增加1个，红色的小正方形顺次增加2个。为什么蓝色的小正方形每次增加1个，而红色的小正方形每次增加2个呢？教师：我们一起看一看。第一个图形，若要增加1个蓝色小正方形，其上方、下方就要各增加1个红色小正方形；依此类推，第三个图形在第二个图形的基础上增加了1个蓝色小正方形，则红色小正方形就要增加几个？教师：如果不让你看图，照这样画下去，第6个和第10个图形各有几个红色小正方形和蓝色小正方形呢？你能写出吗？在草稿本上写一写。教师请学生介绍，说说是怎么算出的。教师：观察发现，图形中左右两侧的红色小正方形个数固定不变（为6个），在中间部分，蓝色小正方形的个数乘以2就是红色小正方形的个数。即使在蓝色小正方形个数较多的情况下，仍然可以算得很快，看图形问题确实也蕴涵着数的规律。找到了其中的规律，解决问题就清晰、容易多了。2．出示教材第109页练习二十二第2题。（1）教师：上方有图，下方有对应的数字，请你观察和思考，图和数之间有什么规律？小组交流一下。全班交流。学生：第2个图形中小圆的个数为1+2，第3个图形中小圆的个数为1+2+3，第4个图形中小圆的个数为1+2+3+4。学生：是第几个图形，其中就有几行小圆。教师：照这个规律往下画，你能画出吗？图形下方的数字表示的是什么？第个、第6个、第7个图形下方的数，你能不能很快写出？教师请学生独立完成在练习纸上。教师请学生汇报，说说是怎么得到结果的。教师：图形中的最后一行是第几行？含有几个小圆？教师：现在如果老师不让你画图，你能不能想象一下第10个图形，它是什么样子的？一共有多少个小圆呢？现在我们就不画图，算一算，第10个图形下方的那个数是多少？能算出吗？动笔试一试。展示学生作品，请学生介绍方法。（2）教师介绍“三角形数”“正方形数”。教师：同学们发现没有，个小圆能排成什么图形？（三角形）而且这个三角形的每一行的小圆的个数分别是从1到10。教师：回过头看看。3、6、10、1、21呢？它们是否也具有同样的特点？教师：在数学上，我们把1、3、6、10、1、21、28这样的数称为“三角形数”。请同学们想一想，28后面的下一个三角形数是多少？（36）教师：大家再看，一个图形，如果是4个小正方形可以拼成大正方形，如果是9个小正方形可以拼成大正方形，16个小正方形也可以拼成大正方形。像这样的数，我们称之为“正方形数”。【设计意图】通过两个练习，让学生进一步体会数形结合的特点，感受用形解决数的有关问题的直观性与简捷性。在练习中充分让学生动脑、动口、动手，在交流中发现特点，解决问题。四、回顾反思教师：今天这节，我们一起学习了“数与形”，说说你有什么收获？ 后反思： 形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形帮助解决，教学时，让学生通过解决问题体会到数与形的完美结合，通过数与形的对应关系，相互印证结果，发现“和”都是“平方数”，再通过图形的规律理解“平方数”（即正方形数）的含义，并让学生大胆说出自己发现的其他规律，从不同角度寻找规律，例如从第一个图到第三个图，每次增加多少个小正方形，用加法怎样列式，加数都是连续奇数，这些奇数在图中什么地方，从而对规律形式更直观的认识。 《利用图形求等比数列之和》教学设计 教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第107～108页例2及相关练习。教学目标：1．在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形解决一些有关数的问题。2．让学生经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。教学重难点：探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形解决有关数的问题。教学准备：教学。教学过程：一、直接导入，揭示题同学们，上节我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。（板书题：数与形）【设计意图】直奔主题，简洁明了，有利于学生清楚本节学习的内容和方向。二、探索发现，学习新知（一）教师与学生比赛算题1．教师：你知道等于多少吗？（学生：）教师：那等于多少呢？（学生计算需要时间）教师紧接着说：我已经算好了，是，不信你算算。2．只要按照这个分子是1，分母依次扩大2倍的规律写下去，不管有多少个分数相加，我都能立马算出结果。有的同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。谁出题？学生出题。预设：，，，，……在学生出题后，老师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。3．知道我为什么算得那么快吗？因为我有一神秘的法宝，你们也想知道吗？【设计意图】一方面，教师通过与学生比赛计算速度，且每次老师胜利，使学生产生好奇心，再通过教师幽默的语言，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和求知欲。另一方面，为接下学习例题做好铺垫。（二）借助正方形探究计算方法1．这法宝就是（师边说边出示一个正方形），让我们把它变一变，聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。2．进行演示讲解。（1）演示：用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂红），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黄）。想一想：正方形中表示的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢？（涂色部分等于“1”减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？（）那么涂色部分还可以怎么算呢？（），也就是说。（2）继续演示，谁知道除了通分，还可以怎么算？根据学生回答，板书。（3）演示：那么计算就可以得到？（）。3．看到这儿，你发现什么规律了吗？4．小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之