专题06由函数的单调性求参数的取值范围-2018版高人一筹之高一数学特色专题训练_解析版(20200713131610)
2018版高中数学小问题集中营专题2.4由三角函数图象和性质求参数值范围20180109357
专题 2.4 由三角函数图象和性质求参数值（范围）一、问题的提出对三角函数的图像与性质的考查，是近几年高考的热点，不仅有主观题，还有客观题。
客观题 常以选择填空题的形式出现，往往涉及参数问题。
此类问题对学生来讲，有一定难度，就此总 结几种常见做法。
． 二、问题的探源函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图像在Error!Error!(k ∈Z )在[－π＋2k π， 2k π](k ∈Z )上单调 上单调递增；在在Error!Error!(k ∈ 单调性递增；在[2k π，π＋ Error!2k π(k ∈Z )上Z )上单调递增2k π](k ∈Z )上单调单调递减递减函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x对称性对称中心：(k π，0)(k π ∈Z )；对称轴：x ＝2对称中心： π(＋k π，0)(k ∈Z )；2k π 对称中心：( ，0)2 (k ∈Z ) ＋k π(k ∈Z )对称轴：x ＝k π(k ∈Z )三、问题的佐证(一)利用奇偶性确定参数的值ππ π 例 1（1）已知函数 f (x )＝2sin(x ＋θ＋ 3)(θ ∈ [－2])是偶函数，则 θ 的值为( )， 2π ππ A ．0 B. C. D. 6 4 3 πππ ππ π 解：∵函数 f (x )为偶函数，∴θ＋ ＝k π＋ 2(k ∈Z )．又∵θ∈[－， 2]，∴θ＋＝ ， 3 23 2π解得 θ＝ ，经检验符合题意．故选 B .6π（2）若函数 y ＝3c o s(2x － ＋φ)为奇函数，则|φ|的最小值为________．3 π π5ππ 解：依题意得，－ ＋φ＝k π＋ (k ∈Z )， φ＝k π＋ (k ∈Z )，因此|φ|的最小值是 . 3 266π故填.61【评注】若f(x) A sin( x ) 是奇函数，则 k （k Z），若是偶函数，则k 2（k Z）；若f(x) A cos( x ) 是奇函数，则（k Z），若是偶函数，则 kk2（k Z）．(二)利用单调性求参数的值．例2．若函数f(x) cos 2x a sin x在区间( , )6 2是减函数，则a的取值范围是.解: 2 sin 2 cos 4 sin cos cos cos 4 sin .,f x x a x x x a x x x a x6 2时，f x 是减函数，又cos x 0，∴由f x 0得 4 sin x a 0, a 4 sin x在,6 2上恒成立，a 4 sin x x, , a2min6 2．(三)利用周期性和对称性求参数的值．例3. 若函数 4cos 3 ( )f x x x 对称，且当的图象关于直线112 127x, x , ,1 212 12x x时，f x f x ，则f x x（）1 2 1 2 1 2A. 2 2B. 2 2C. 4D. 2【答案】A25 5从而x x, f x x 4cos2 2. 1212624本题选择 A 选项.(四)利用三角函数的最值求参数的值．例 4. 函 数2sin 2 , cos 2 2 3( 0),对 任 意f xx g x m x m m36x 1 0,4,存 在x 2 0, 4,使 得 g x f x 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围1 2 是．5解：依题意可知 g x f x ，2x,,2x,，故3 3 6 6 6 3f xg xm1,2 , 3 ,33m23m3 1 m4，所以，解得2 1,33 m 2.例5.已知函数f x sin x 3cos x( 0) ，若f x，f x ，且1 2 2 0 x x 的1 23最小值为 2 ，则2f3的值为（）A.3 2B . 1 2C. 1D.1 2【答案】C∴ fx 22sin 13 6 3故选：C四、问题的解决1．若将函数 sin 3 ( )y x的图象向右平移224个单位后得到的图象关于点,0对称，则 （ ）3A.B.44C.3D.3【答案】A42. 将函数 f x 2cos2x 的图像向右平移6个单位后得到函数 g x 的图像，若函数 gxa在区间 0， 上单调递增，则正数 a 的取值范围为（）3A.3 ， B.4 8， C.6 2， D. 0，6 32【答案】D【解析】将函数 f （x ）=2cos2x 的图象向右平移 个单位后得到函数 g （x ）的图象，6得 g （x ）=2cos2（x ﹣ ）=2cos （2x ﹣ ），6 3由 2k 2x 2k ，得 k x k ，k Z ．3 3 6a当 k=0时，函数的增区间为[]，， ]．要使函数 g （x ）在区间[0， 3 6 3a则 0＜ ，解得 a ∈ 0， ．故选 D ．3 6 23. 若x为三角形中的最小内角，则函数y sin x cos x的值域是（）A.20,2B. 1, 2C.1 2,2 2D.1 2,2 2【答案】B54. 当2 6x x xx f x 2sin cos 6cos 的最小值为（）， 时，函数3 34 4 4 2A. 2B. 22 C.1 D. 2【答案】Bx x 2 x 6f x 2sin cos 6cos【解析】函数4 4 4 2=22s inx2+62（1+cosx2）﹣62= 2 （12s inx2+32c osx2）= 2 sin（x2+3），当x ，时，3 3x2+3∈[6，2]，∴sin（x2+3）∈[12，1]；∴函数f（x）= 2sin（x2﹣3）的最小值为22．故选：B．5. 已知函数fx a sin xx，且3cos x的一条对称轴为f x1 fx24,则1246x x的最小值为（）1 2A.3B.2C.23D.34【答案】C6本题选择C选项.1 1f x 3 sin x cos x，则下列说法正确的是（）6. 已知函数2 2A. 函数f x 的最小正周期为4B. 函数f x 的对称轴为x k （k Z）C. ，f xx R0 2D. 函数f x 在5 3，上单调递增2【答案】B【解析】A：最小正周期为2 ，1 1 1 1f x 2 3 sin x 2 cos x 2 3 sin x cos x f x，错误；2 2 2 2B：正确；1 1 1 1 1C：当，错误；sin 0, cos 0x x 时，f x 3sin x cos x 2sin x 22 2 2 2 2 67D ：当5x ,3 2时，x 5 3 , 2 4 2x x，， sin 0, cos 0 2 2 1 1 1f x 3sin x cos x 2sinx所以2 2 2 6，此时1 17 5x , 2 6 12 3，不单调， 错误。
专题02 直击三角函数解析式求解问题-2018版高人一筹之高一数学特色专题训练(必修4)(解析版)
一、单选题1．函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，2πϕ<）的图象过点03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，7112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，如图所示，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（）A .向右平移6π个单位长度B .向右平移12π个单位长度C .向左平移6π个单位长度D .向左平移12π个单位长度【答案】D点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min maxmin,22y y y y A B -+==.(2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.2．函数()()sin 0,0,02f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则103f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A .1-B .0C .1D .2【答案】B3．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0,0,2A πωϕ>><），且导函数()f x '的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（）A .()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B .()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .()1cos 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D .()1sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B4．已知函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<2π)的部分图像如图所示，则f (x )的解析式是()A .f (x )＝sin (3x ＋3π)B .f (x )＝sin (2x ＋3π)C .f (x )＝sin (x ＋3π)D .f (x )＝sin (2x ＋6π)【答案】D【解析】由图象知15-41264T πππ==，所以T π=，2ω=，又图象过点(,1)6π，代入解析式得：sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，所以6πϕ=，故选D .学科@网5．函数()()sin f x x ωφ=+（其中2πφ<）的图象如图所示，为了得到cos y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（）A .向左平移12π个单位长度B .向右平移12π个单位长度C .向左平移6π个单位长度D .向右平移6π个单位长度【答案】A2.πω=()()2,1,8,1M N -=（）A .3-B .6-C .6D .3【答案】A7．将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的点3π,(0)24M θθ⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭向右平移(0)t t >个单位长度得到点M '，若M '位于函数sin2y x =的图象上，则（）A .π12θ=，t 的最小值为π12B .π12θ=，t 的最小值为π6C .π6θ=，t 的最小值为π6D .π6θ=，t 的最小值为π12【答案】A【解析】由题意得3πππsin 2,02,6246312ππθθθθ⎛⎫+=<<∴+== ⎪⎝⎭ 由题意得()()33π2πsin 2,sin 2,22π2π(k )262633t t t k k Z ππθ⎛⎫-=+=+=++∈ ⎪⎝⎭或所以ππππ(k )124t k k Z =++∈或，因此当时，t 的最小值为π12，选A .点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.8．函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >，0ω>，2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（A .()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B .()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C .()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D .()sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A9．函数()sin y A x ωϕ=+(0,)2πωϕ>≤的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为A .4sin 84y x ππ⎛⎫=-+ ⎪B .4sin 84y x ππ⎛⎫=- ⎪C .∴2,42k k Z ππϕπ+=+∈，∵,24ππϕϕ<∴=，∴函数的表达式4sin 84y x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．故选A .10．若将函数sin 32y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度，所得的图象所对应的函数解析式是（）A .sin34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B .3sin34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C .sin312y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D .5sin312y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意知，将函数sin 32y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5sin 3sin34212y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D .点睛：此题主要考查三角函数()sin y A x ωϕ=+h 个单位时“上加”，向下平移h f （x ）的图象，则只要将g （x ）=A .C .向左平移12π个单位长度D .向左平移6π个单位长度【答案】A故将函数()cos2g x x =向右平移12π个单位长度，可得][()cos 2sin 2sin 2sin 212122623y x x x x f x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选A。
2018版高中数学专题09解密含参函数的单调性特色训练新人教A版选修1_120171128136
专题 09 解密含参函数的单调性一、选择题1f xkex 在区间 1．【湖北省重点高中联考协作体 2017年秋季高三期中考】若函数x220,单调递增，则实数k 的取值范围是（ ）A .1, eB .0,C . 1 ,eD . 0,【答案】C1]∴g xg 1。
maxe1∴k 。
选 C 。
e点睛：函数的单调性与导函数的关系（1）若在a,b内f x0(0)，则f x在a,b上单调递增（减）．（2）f x在a,b上单调递增（减）f'x0（0）在a,b上恒成立，且在a,b 的任意子区间内都不恒等于0．- 1 -（3）若函数f x 在区间a,b内存在单调递增（减）区间，则fx 0(0)在a,b上有解．2．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】“a 2”是“函数f x x22ax 2在区间,2内单调递减”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a 2时，f 'x2x 4，令2x 40x2，当函数f x x22ax 2在区间,2内单调递减时，只需f 'x2x 2a0在区间,2恒成立，故a 2即可，所以选B3．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】若函数f x kx ln x 在区间2,单调递增，则k的取值范围是（）.A . ,2B .1,2C . 2,D .,12【答案】B4．【河北省鸡泽县第一中学2017学年高一上学期第二次月考】若二次函数f（x）=x2+ax+4在区间（-∞，3）单调递减，则a的取值范围是（）A. （-6，+∞）B. [-6，+∞）C. （-∞，-6）D. （-∞，-6]【答案】D【解析】二次函数的单调区间和函数的对称轴有关系，此函数的对称轴是，函数在上是减函数，故要求故故结果为D.- 2 -二、填空题5．【2017-2018学年高中数学（苏教版）选修 1－1阶段质量检测】若函数 f (x )＝2x 2－ln x 在 其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数 k 的取值范围是________．3 【答案】 1,2【解析】∵f ′(x )＝4x －1 x＝ 4x 12，x >0，x∴当 0<x < 12 时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当 x > 1 2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，依题意得1 0 k 12 1 { k 1 2k 1 k 1 ∴1≤k < 32.答案： 3 [1， 26．【2017-2018学年高中数学（苏教版）选修 1－1 阶段质量检测】已知函数 f (x )＝－x 3＋ax 2 －x ＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数 a 的取值范围是________．【答案】3, 3【解析】由题意得 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0 在(－∞，＋∞)上恒成立， 因此 Δ＝4a 2－12≤0⇒－ 3 ≤a ≤ 3 ，所以实数 a 的取值范围是3,3．答案：3, 3k k7．【2017-2018学年高中数学（苏教版）选修 1－1 阶段质量检测】若函数 h x2xx 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数 k 的取值范围是________． 【答案】[－2，＋∞)- 3 -8．【河南省天一大联考2018届高三上学期阶段性测试】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】在上恒成立，所以最大值令，则，当时点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.三、解答题9．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第三次月考】设a为实数，函数f x x a x Re x22,.(1)求f x的单调区间与极值；(2)求证：当a ln21且x0时，e x x22ax 1.【答案】（1）见解析；（2）见解析- 4 -试题解析：（1）解：由 f xe 2x 2a , x R 知， fx e x2, x R ．x令 fx 0，得 x ln2 .于是，当 x 变化时， fx和 fx的变化情况如下表：,ln2ln2ln2,fx+f x单调递减2 2ln2 2a单调递增故 f x的单调递减区间是, ln2，单调递增区间是ln2,．f x在 xln2 处取得极小值，极小值为 f ln2 2 2ln2 2a ． （２）证明：设 g x e xx 22ax 1, xR ，于是gx e x 2x 2a , x R ，由（1） 知，对任意 x R ,都有gx 0，所以 g x在 R 内单调递增，于是，当a ln2 1时，对任 意x0,， 都 有 g xg， 而 g0， 从 而 对 任 意x0,， 都 有gx0 ，即 e x x 2 2ax 1 0,故 e x x 2 2ax 1.10．已知函数f xm x 2 x 2m ，且 m0 ． （Ⅰ）当 m 1时，求曲线 yfx在点0，0处的切线方程；（Ⅱ）求函数 f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数 f x 有最值，写出m 的取值范围．（只需写出结论） 【答案】(1) xy0 ;(2)详见解析;(3) m【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义进行求解；（Ⅱ）求导，利用分类讨论 思想讨论导函数的符号变换，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）根据前一问直接给出答案即可.- 5 -（Ⅱ）因为f xm x2xm22x m，所以2f x m2x m2.当m时，定义域为,m m,m m,.x m2且f x m22x m2故f x的单调递减区间为,m,m,m ,m,……5分当m0时，定义域为R. 当x变化时，fx，f x的变化情况如下表：x,mmm,mmm,fx—0 + 0 —f x单调减极小值单调增极大值单调减故f x的单调递减区间为,m，m,，单调递增区间为m , m．综上所述，当 m 0时， f x 的单调递减区间为, m , m , m,m ,；当 m0时，故 fx 的单调递减区间为,m，m ,，单调递增区间为m ,m．（Ⅲ） m 0- 6 -11．【河南省郑州市第一中学2018届高三上学期期中】已知函数f xxk x.ln 111（1）求函数f x的单调区间；（2）若fx0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：n N,n1n n 1ln2ln3ln4ln n*345n 14.【答案】（1）见解析；（2）k 1；（3）见解析.试题解析：（1）定义域为1,，11k kxf xkx 1x 1 1f x kx 1若k 0，，f x 在1,上单调递增若k 0，f x1kk xkx 1，所以，当fx0时，1x 11，当fx0时，x11k k综上：若k 0，f x 在1,上单调递增；若k 0，f x 在1, 11k1上单调递增，在1,k上单调递减- 7 -点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.12．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知函数f x ln x a x ax a1.22（1）证明：函数f x在区间1,上是减函数；（2）当a1时，证明：函数f x只有一个零点.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）只需证明f(x)的导函数f x0恒成立，且不恒等于0.注意定义ln分析函数的单调性及极值可知函数f(x)的图像与x轴相切于（1,0）点，其余点均在x轴下方，所以只有一个零点。
2018年 高考数学复习(文数) 函数的图象性质 例题跟踪训练题(含答案详解)
2018年高考数学复习函数的图象性质一基本函数图象二图象平移：三含|x|的函数图象：四含|y|的函数图象：五分段函数的图象：例：y=|x－1|+|x+2|考点一：由函数解析式判断函数图象：1.函数y=的图象可能是( )2.函数y=sin x2的图象是( )3.已知lg a+lg b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=a x与g(x)=-log b x的图象可能是( )考点二：根据图象判断函数单调性：4.已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.(1)求实数m的值;(2)作出函数f(x)的图象;(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间;(4)若方程f(x)=a只有一个实数根,求a的取值范围.考点三：求参数取值范围：5.已知函数f(x)的图象与函数21)(++=xx x h 的图象关于点A(0,1)对称.(1)求f(x)的解析式; (2)若xax f x g +=)()(,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a 的取值范围.跟踪训练1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x ∈[0,5]时,函数y=f(x)的图象如图所示,则满足不等式f(x)<0的x 的取值范围为( )A.(2,5)B.(-2,0)C.(-2,0)∪(2,5)D.(-5,-2)∪(2,5)2.函数f(x)=log a |x|+1(0<a<1)的图象大致为( )3.函数y=x|x|的图象大致是( )4.函数f(x)=ln x 的图象与函数g(x)=x 2-4x+4的图象的交点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.35.已知函数f(x)=log a (2x +b-1)(a>0,且a ≠1)的图象如图所示,则a,b 满足的关系是( )A.0<a -1<b<1B.0<b<a -1<1C.0<b -1<a<1D.0<a -1<b -1<16.若函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.7.(2016课标全国Ⅰ,7,5分)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( )8.函数y=log2|x+1|的单调递减区间为,单调递增区间为.9.若函数y=f(x+3)的图象经过点P(1,4),则函数y=f(x)的图象必经过点.10.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为.11.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为.12.已知函数f(x)=关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是.13.当x∈(1,2)时,函数y=(x-1)2的图象始终在函数y=log a x的图象的下方,则实数a的取值范围是.14.定义区间[x1,x2]的长度为x2-x1,已知函数f(x)=3|x|的定义域为[a,b],值域为[1,9],则区间[a,b]的长度的最大值为,最小值为.15.给定min{a,b}=已知函数f(x)=min{x,x2-4x+4}+4,若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点,则实数m的取值范围为.16.已知函数y=lo(x2-ax+a)在区间(-∞,]上是增函数,则实数a的取值范围是.17.已知函数f(x)=log a(x+1)-log a(1-x),a>0且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(3)当a>1时,解不等式f(x)>0.18.已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数,a>0,且a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的表达式;(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.参考答案1.B2.D；排除法.由y=sin x2为偶函数判断函数图象的对称性,排除A,C;当x=时,y=sin=sin≠1,排除B,故选D.3.B 因为lg a+lg b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),所以lg(ab)=0,所以ab=1,即b=,故g(x)=-log b x=-lo x=log a x,则f(x)与g(x)互为反函数,其图象关于直线y=x对称,结合选项知B正确.故选B.4.解析：(1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即m=4.(2)f(x)=x|x-4|=f(x)的图象如图所示.(3)f(x)的单调递减区间是[2,4].(4)从f(x)的图象可知,当a>4或a<0时, f(x)的图象与直线y=a只有一个交点,即方程f(x)=a只有一个实数根,所以a的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).5.解析：(1)设f(x)图象上的任一点的坐标为(x,y),则点(x,y)关于点A(0,1)的对称点(-x,2-y)在h(x)的图象上,∴2-y=-x++2,即y=x+,∴f(x)=x+.(2)g(x)=f(x)+=x+,则g'(x)=1-.∵g(x)在(0,2]上递减,∴g'(x)≤0在(0,2]上恒成立,即a≥x2-1在(0,2]上恒成立,∴a≥(x2-1)max,x∈(0,2],可得a≥3.跟踪训练参考答案1.C2.A3.A y=x|x|=为奇函数,奇函数的图象关于原点对称.4.C;在同一直角坐标系中作出函数f(x)=ln x与g(x)=x2-4x+4=(x-2)2的图象,如图所示.由图知f(x)与g(x)的图象的交点个数为2,故选C.5.A 由函数图象可知, f(x)为单调递增函数,故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,log a b),由函数图象可知-1<log a b<0,解得<b<1.综上,有0<<b<1.6.C7.D 当x∈(0,2]时,y=f(x)=2x2-e x, f '(x)=4x-e x. f '(x)在(0,2)上只有一个零点x0,且当0<x<x0时, f '(x)<0;当x0<x≤2时, f '(x)>0.故f(x)在(0,2]上先减后增,又f(2)-1=7-e2<0,所以f(2)<1.故选D.8.答案：(-∞,-1);(-1,+∞)9.答案:(4,4);解析:解法一:函数y=f(x)的图象是由y=f(x+3)的图象向右平移3个单位长度而得到的,故y=f(x)的图象经过点(4,4).解法二:由题意得f(4)=4,故函数y=f(x)的图象必经过点(4,4).10.答案：f(x)=解析：当-1≤x≤0时,设解析式为f(x)=kx+b(k≠0),则得∴当-1≤x≤0时, f(x)=x+1.当x>0时,设解析式为f(x)=a(x-2)2-1,∵图象过点(4,0),∴0=a(4-2)2-1,∴a=0.25.故函数f(x)的解析式为f(x)=11.答案:(-1,0)∪(0,1);解析因为f(x)为奇函数,所以不等式<0可化为<0,即xf(x)<0, f(x)的大致图象如图所示,所以xf(x)<0的解集为(-1,0)∪(0,1).12.答案(1,+∞);解析:问题等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图象有且只有一个交点,结合函数图象可知a>1.13.答案：1,2]；解析：如图,在同一平面直角坐标系中画出函数y=(x-1)2和y=log a x的图象,由于当x∈(1,2)时,函数y=(x-1)2的图象恒在函数y=log a x的图象的下方,则解得1<a≤2.14.答案:4;2;解析:由3|x|=1得x=0,由3|x|=9得x=±2,故满足题意的定义域为[-2,m](0≤m≤2)或[n,2](-2≤n≤0),故区间[a,b]的最大长度为4,最小长度为2.15.答案:(4,5);解析由题意知f(x)=作出函数f(x)的图象,如图,由于直线y=m与y=f(x)的图象有3个交点,数形结合可得m的取值范围为(4,5).16.答案：[2,2+2)；解析：设g(x)=x2-ax+a,由于y=lo g(x)在区间(-∞,]上是增函数,故在区间(-∞,]上,g(x)应是减函数,且g(x)>0.故有即解得∴2≤a<2+2.17.解析：(1)要使函数f(x)有意义则有解得-1<x<1.故所求函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)f(x)为奇函数.证明:由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,且f(-x)=log a(-x+1)-log a(1+x)=-[log a(x+1)-log a(1-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数.(3)因为当a>1时, f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,所以f(x)>0⇔>1,解得0<x<1.所以不等式f(x)>0的解集是(0,1).18.解析：(1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),所以解得a2=4,又a>0,所以a=2,则b=3.所以f(x)=3·2x.(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,+-m≥0恒成立,即m≤+在x∈(-∞,1]时恒成立.因为y=与y=均为减函数,所以y=+也是减函数,所以当x=1时,y=+在(-∞,1]上取得最小值,且最小值为.所以m≤,即m的取值范围是.。
2024届高考数学复习：专项(已知函数的单调区间求参数的范围)练习(附答案)
2024届高考数学复习：专项（已知函数的单调区间求参数的范围）练习一、单选题 1．若函数sin ()cos x a f x x+=在区间(0,)2π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．2a ≤C ．1a ≥-D ．1a ≤2．已知函数()()()21=)1ln 2(,1+f x x a x a a b x -+->，函数2x b y +=的图象过定点0,1（），对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则实数a 的范围为（ ）A ．15a <≤B ．25a <≤C ．25a ≤≤D ．35a <≤3．已知函数()()2xf x x a e =-在区间[]1,2上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(]3,-∞B ．(],8-∞C ．[)3,+∞D ．[)8,+∞4．函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则m 的范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞5．已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫--⎪⎝⎭6．函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞B ．(,0)(0,1]-∞C ．(0,1]D ．(,0)[1,)-∞⋃+∞7．对任意的0a b t <<<，都有ln ln b a a b <，则t 的最大值为（ ） A ．1B ．eC ．2eD ．1e8．函数()()2122ln 2f x ax a x x =-++单调递增的必要不充分条件有（ ） A ．2a ≥ B ．2a =C ．1a ≥D ．2a >9．设函数21()9ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．(]0,3C ．[)4,+∞D ．(],2-∞10．已知函数3211()(,,,)32f x ax bx cx d a b c d =+++∈R 的单调递增区间是(3,1)-，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a c b <<11．已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f x '，若函数()y f x ='没有零点，且()2019xf f x -⎡⎤⎣⎦2019=，当()sin cos g x x x kx =--在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．(],2-∞C．⎡-⎣D．)+∞12．若函数()24ln f x x x b x =-++在()0,∞+上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞-B ．(),2-∞-C ．()2,-+∞D ．[)2,-+∞13．已知函数2(3))(x f x ae x a R =-∈，若[0,2]x ∈时，()f x 在0x =处取得最大值，则a 的取值范围为（ ）A ．0a ≤B ．212a e ≥C ．6a e<D ．2126a e e<< 14．已知函数()3244,0(),0x x a x a x f x a x ⎧+-+->⎪=⎨≤⎪⎩，是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(1,3]C ．[2,3]D ．[3,)+∞15．已知函数()3ln f x x m x =+在区间[]1,2上不是单调函数，则m 的取值范围是（ ） A ．(),3∞--B ．[]24,3--C ．()24,3--D ．()24,-+∞16．若函数()(cos )x f x e x a =-在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）.A．()+∞B ．(1,)+∞C ．[1,)+∞D．)+∞17．若函数()2()af x x a R x=+∈在[1,)+∞是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,2] B ．[0,4]C ．(,2]-∞D ．(,4]-∞二、解答题18．已知函数()()3exf x xx a =-+，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值； （2）若()f x 在()1,+∞上单调，求a 的取值范围.19．设函数()ln ()x f x e a x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数.（1）若()f x 在定义域上是增函数，求a 的取值范围； （2）若直线y e =是函数()f x 的切线，求实数a 的值； 20．已知a ＞0，函数21()ln (1)2f x x x x a x =-+-． （1）若f （x ）为减函数，求实数a 的取值范围；（2）当x ＞1时，求证：2e ()e 2aa f x <-．（e ＝2.718…） 21．已知函数()()sin 1ln f x a x x =-+，a R ∈.（1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求a 的取值范围； （2）证明：()222111sinsin sin ln 2231n +++<+ . 22．已知函数32()()f x ax bx x R =+∈的图象过点(1,2)P -，且在P 处的切线恰好与直线30x y -=垂直．（1）求()f x 的解析式；（2）若()()3g x mf x x =-在[1,0]-上是减函数，求m 的取值范围． 23．已知a R ∈，函数3211()(1)332f x x a x ax =----. （1）当1a =时，求函数()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间(2,4)上是减函数，求a 的取值范围.24．已知函数432()f x ax x bx =++(),a b ∈R ，()()()g x f x f x '=+是偶函数．（1）求函数()g x 的极值以及对应的极值点． （2）若函数43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++，且()h x 在[]2,5上单调递增，求实数c 的取值范围．25．已知函数321()23f x x x ax =-++，21()42g x x =-. （1）若函数()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；（2）设()()()G x f x g x =-.若02a <<，()G x 在[]1,3上的最小值为13-，求()G x 在[]1,3上取得最大值时，对应的x 值.26．已知三次函数32()324f x ax ax a =-++.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间(,3)a a +上具有单调性，求a 的取值范围； （3）当0a >时，若122x x +>，求12()()f x f x +的取值范围.27．设函数32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f --的切线方程为123y x =+，求a ，b 的值； （2）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值； （3）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围.28．已知函数()2()13xe f x ax a -=++，其中a R ∈. （1）若()f x 在[1,2]内为减函数，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在[1,2]上的最大值.29．已知函数()ln f x x =． （1）令()()1axg x f x x =-+，若函数()g x 在其定义域上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）求证：()2xf x e <-．30．已知：函数()(1)ln()f x ax x ax =+-. （1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.31．已知函数32121()332a f x ax x x +=++， （1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间与极值；（2）是否存在正实数a ，使得函数()f x 在区间[1,1]-上为减函数？若存在，请求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.32．设函数()()2ln 1f x x a x =++（a 为常数）．（1）若函数()y f x =在区间[)1,+∞上是单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()y f x =有两个极值点1x 、2x ，且12x x <，求证：()2110ln 22f x x <<-+．33．已知函数()(),sin xf x eg x x ax ==-.（1）若()()()h x f x g x =+在[)0+∞，单调递增，求a 的取值范围： （2）若12a =，证明：当0x >时，()()2112g x f x ->⎡⎤⎣⎦. 34．已知函数()22ln f x x a x =+（1）若函数()f x 的图象在()()22f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值；并求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()()2g x f x x=+在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围. 35．已知函数()ln f x x a x =+在1x =的切线与直线20x y +=垂直，函数()()212g x f x x bx =+-． （1）求实数a 的值；（2）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；36．设函数()()()32211233f x x k x k k x =+-+--，x ∈R ，k ∈R . （1）若函数()f x 为奇函数，求函数()f x 在区间[]3,3-上的单调性； （2）若函数()f x 在区间()0,2内不单调，求实数k 的取值范围.37．已知函数2()af x x x=+（0x ≠，常数a ∈R ）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在[2,)+∞上为增函数，求a 的取值范围.38．已知a ∈R ，函数()2()()xf x x ax e x =+∈R . （1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()1,1-上单调递减，求a 的取值范围.39．已知函数1()ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，设函数()eg x x=，若在[1,e]上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.40．已知函数()2ln f x x a x =+（1）若函数()f x 的图象在点 (2, (2) ) f 处的切线与直线210x y +-=垂直，求实数a 的值； （2）若函数2()()g x f x x=+在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题 1．若函数sin ()cos x a f x x+=在区间(0,)2π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．2a ≤C ．1a ≥-D ．1a ≤【答案】C 【要点分析】利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数a 的取值范围． 【答案详解】 解：函数sin ()cos x af x x+=则2cos cos sin (sin )()x x x x a f x cos x++'=(0,)2x π∈ 上，2cos 0x ∴>要使函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2π上单调递增，22cos sin sin 0x x a x ∴++≥在(0,2x π∈上恒成立，即：sin 10a x +≥在(0,)2x π∈上恒成立，(0,)2x π∈ 上，sin (0,1)x ∈1a ∴-…故选：C ． 【名师点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2．已知函数()()()21=)1ln 2(,1+f x x a x a a b x -+->，函数2x b y +=的图象过定点0,1（），对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则实数a 的范围为（ ）A ．15a <≤B ．25a <≤C ．25a ≤≤D ．35a <≤【答案】A 【要点分析】由图象过定点可得0b =，设()()F x f x x =+，结合已知条件可得()F x 在()0,∞+递增，求()F x 的导数，令()()211g x x a x a =--+-，由二次函数的性质可得102a g -⎛⎫≥⎪⎝⎭，从而可求出实数a 的范围. 【答案详解】解：因为2x b y +=的图象过定点0,1（），所以21b =，解得0b =，所以()()()21=1ln ,12f x x ax a x a -+->，因为对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>， 有()()1221f x f x x x ->-，则()()1122f x x x f x +>+，设()()F x f x x =+， 即()()()()()22111ln =11ln 22F x ax a x x x f x x x a x a x =+=-+-+--+-， 所以()()()21111x a x a a F x x a x x--+--'=--+=，令()()211g x x a x a =--+-， 因为1a >，则102a x -=>，所以要使()0F x '≥在()0,∞+恒成立，只需102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 故()21111022a a a a --⎛⎫⎛⎫--+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()()150a a --≤，解得15a <≤，故选:A. 【名师点睛】 关键名师点睛：本题的关键是由已知条件构造新函数()()F x f x x =+，并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等式.3．已知函数()()2xf x x a e =-在区间[]1,2上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(]3,-∞B ．(],8-∞C ．[)3,+∞D ．[)8,+∞【答案】A【要点分析】由函数的单调性与导数的关系得出220x x a +-≥在区间[]1,2上恒成立，将问题转化为求()2min2x x+，即可得出答案. 【答案详解】()()220x f x x x a e '=+-≥在区间[]1,2上恒成立，则220x x a +-≥在区间[]1,2上恒成立即()22min2123a x x ≤+=+=故选：A4．函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则m 的范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D【要点分析】函数在R 上时单调函数，等价于导函数大于等于0或小于等于0恒成立，列不等式求出m 的范围即可． 【答案详解】 函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，即220y x x m '=++≥或220y x x m '=++≤(舍)在R 上恒成立440m ∴∆=-≤，解得m 1≥故选：D 【名师点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题．5．已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B 【要点分析】求导得到2()21'=++f x x ax ，然后根据()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解. 【答案详解】 已知函数321()13f x x ax x =+++， 则2()21'=++f x x ax ，因为()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩，解得 5534a -≤≤-， 所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B 【名师点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.6．函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,0)(0,1]-∞C ．(0,1]D ．(,0)[1,)-∞⋃+∞【答案】D 【要点分析】 函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增，所以()'0f x ≥在(,1)-∞-上恒成立，求函数()f x 的导函数，参变分离求最值即可. 【答案详解】解：因为函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增，所以()'0f x ≥在(,1)-∞-上恒成立，即21'()10f x ax =-≥在(,1)-∞-上恒成立. 即2min 1()x a≤，即11a ≤，解得：1a ≥或0a <. 检验，当1a =时，()f x 不是常函数，所以1a =成立.故选：D【名师点睛】本题考查已知函数的单调性求参数的范围，属于中档题.方法名师点睛：（1）已知在区间上单调递增，则导函数大于等于0恒成立；（2）分类讨论或参变分离，求出最值即可.易错名师点睛：必须检验等号成立的条件，有可能取等号的时候是常函数，所以需要检验取等时是否是常函数. 7．对任意的0a b t <<<，都有ln ln b a a b <，则t 的最大值为（ ）A ．1B ．eC ．2eD ．1e 【答案】B【要点分析】 令ln x y x=，问题转化为函数在(0,)t 递增，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出t 的最大值即可．【答案详解】0a b t <<< ，ln ln b a a b <， ∴ln ln a b a b<，()a b <， 令ln x y x =，则函数在(0,)t 递增， 故21ln 0x y x -'=>， 解得：0x e <<，所以(0,)t 是(0,)e 的子集，可得0t e <≤，故t 的最大值是e ，故选：B ．【名师点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围． 8．函数()()2122ln 2f x ax a x x =-++单调递增的必要不充分条件有（ ） A ．2a ≥B ．2a =C ．1a ≥D ．2a >【答案】A【要点分析】 求导，把问题转化为()2220ax a x -++≥在区间()0,∞+恒成立，a 分三种情况讨论即可得出结论。
2018版高考数学一轮复习 专题：04 利用三角函数的图象求参数范围特色训练
四、利用三角函数的图象求参数范围一、选择题1．【2018届河南省漯河市高级中学高三上第二次模拟】已知函数在上至少取得2 次最大值，则正整数的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B2．已知向量()()sin ,1,0,cos ,,22a b ππθθθ⎡⎤==∈-⎢⎥⎣⎦v v ，则a b +的取值范围是（ ）A. 0,2⎡⎤⎣⎦B. []0,2C. []1,2 D. 2,2⎡⎤⎣⎦【答案】D【解析】()222222?sin 12cos cos 22cos a b a ba ab b θθθθ+=+=++=+++=+vv v v v v v v ,,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,则[]cos 0,1θ∈,22cos θ+∈ 2,2⎡⎤⎣⎦,故选D. 3．【2018届安徽省六安市第一中学高三上第二次月考】已知函数，其中，若的值域是，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】∵的值域是，∴由函数的图象和性质可知≤≤，可解得a ∈．故选：D ． 4．函数的图象在轴的上方，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】函数的图象在轴的上方，即,又∴,即.故选：C.5．【2018届河北省衡水中学高三上学期二调】已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++（1ω>，2πϕ≤），其图像与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A. ,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C由题意得“()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭恒成立”等价于“()sin 20x ϕ+>对于任意的,123x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭恒成立”.∵123x ππ-<<，∴2263x ππϕϕϕ-+<+<+， ∴()2,2,2,63k k k Z ππϕϕπππ⎛⎫-++⊆+∈ ⎪⎝⎭，∴22,63k k k Z πππϕπ+≤≤+∈。
2018高考数学(文)大一轮复习习题 升级增分训练 利用导数探究含参数函数的性质 Word版含答案
升级增分训练 利用导数探究含参数函数的性质1．已知函数f (x )＝x －12ax 2－ln(1＋x )(a ＞0)．(1)若x ＝2是f (x )的极值点，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：f ′(x )＝x－a －ax x ＋1，x ∈(－1，＋∞)．(1)依题意，得f ′(2)＝0，即－a －2a 2＋1＝0，解得a ＝13．经检验，a ＝13符合题意，故a 的值为13．(2)令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1a－1．①当0＜a ＜1时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：∴f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，a －1，单调减区间是(－1,0)和⎝⎛⎭⎪⎫a－1，＋∞．②当a ＝1时，f (x )的单调减区间是(－1，＋∞)．③当a ＞1时，－1＜x 2＜0，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：∴f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1，0，单调减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－1，a－1和(0，＋∞)．综上，当0＜a ＜1时，f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1a－1，单调减区间是(－1,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1，＋∞；当a ＝1时，f (x )的单调减区间是(－1，＋∞)；当a ＞1时，f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0，单调减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a－1和(0，＋∞)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x ＜1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在(e 为自然对数的底数)上的最大值．解：(1)当x ＜1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：＝3．(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在和⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递增．因为f (－1)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在上单调递增， 则f (x )在上的最大值为f (e)＝a ．综上所述，当a ≥2时，f (x )在上的最大值为a ； 当a ＜2时，f (x )在上的最大值为2． 3．已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R)． (1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x(x ＞0)．当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点． 当a ＞0时，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1a，由f ′(x )＞0，得x ＞1a，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，即f (x )在x ＝1a处有极小值．∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点， 当a ＞0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点．(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，解得a ＝1，∴f (x )≥bx －2⇒1＋1x －ln xx≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln x x ，则g ′(x )＝ln x －2x2， 令g ′(x )＝0，得x ＝e 2．则g (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即b ≤1－1e 2，故实数b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－1e 2．4．已知方程f (x )·x 2－2ax ＋f (x )－a 2＋1＝0，其中a ∈R ，x ∈R ． (1)求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在．当a ＜0时，由(1)得，f (x )在(0，－a )上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )在．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪(0,1]． 5．设函数f (x )＝x 2－ax ＋b ．(1)讨论函数f (sin x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； (2)记f 0(x )＝x 2－a 0x ＋b 0，求函数|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值D ；(3)在(2)中，取a 0＝b 0＝0，求z ＝b －a 24满足条件D ≤1时的最大值．解：(1)由题意，f (sin x )＝sin 2x －a sin x ＋b ＝sin x (sin x －a )＋b ，则f ′(sin x )＝(2sin x －a )cos x ， 因为－π2＜x ＜π2，所以cos x ＞0，－2＜2sin x ＜2． ①a ≤－2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递增，无极值； ②a ≥2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递减，无极值；③对于－2＜a ＜2，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内存在唯一的x 0，使得2sin x 0＝a ． －π2＜x ≤x 0时，函数f (sin x )单调递减； x 0≤x ＜π2时，函数f (sin x )单调递增．因此，－2＜a ＜2，b ∈R 时，函数f (sin x )在x 0处有极小值f (sin x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝b －a 24． (2)当－π2≤x ≤π2时，|f (sin x )－f 0(sin x )|＝|(a 0－a )sin x ＋b －b 0|≤|a －a 0|＋|b－b 0|，当(a 0－a )(b －b 0)≥0，x ＝π2时等号成立，当(a 0－a )(b －b 0)＜0时，x ＝－π2时等号成立． 由此可知，|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值为D ＝|a －a 0|＋|b －b 0|．(3)D ≤1即为|a |＋|b |≤1，此时0≤a 2≤1，－1≤b ≤1，从而z ＝b －a 24≤1．取a ＝0，b ＝1，则|a |＋|b |≤1，并且z ＝b －a 24＝1．由此可知，z ＝b －a 24满足条件D ≤1的最大值为1．6．已知函数f (x )＝x －1x，g (x )＝a ln x (a ∈R)．(1)当a ≥－2时，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )有两个极值点为x 1，x 2，其中x 1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，求h (x 1)－h (x 2)的最小值．解：(1)由题意得F (x )＝x －1x－a ln x (x ＞0)，则F ′(x )＝x 2－ax ＋1x2，令m (x )＝x 2－ax ＋1，则Δ＝a 2－4． ①当－2≤a ≤2时，Δ≤0，从而F ′(x )≥0， 所以F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a ＞2时，Δ＞0，设F ′(x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42，所以F (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞，F (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42．综上，当－2≤a ≤2时，F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a ＞2时，F (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞，F (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42．(2)对h (x )＝x －1x＋a ln x ，x ∈(0，＋∞)求导得，h ′(x )＝1＋1x 2＋a x ＝x 2＋ax ＋1x 2，h ′(x )＝0的两根分别为x 1，x 2，则有x 1·x 2＝1，x 1＋x 2＝－a ，所以x 2＝1x 1，从而有a ＝－x 1－1x 1．令H (x )＝h (x )－h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x －1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ln x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x －x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ·ln 1x＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ln x ＋x －1x ，即H ′(x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫1x2－1ln x ＝－x ＋x xx2(x ＞0)．当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，H ′(x )＜0，所以H (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减， 又H (x 1)＝h (x 1)－h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x1＝h (x 1)－h (x 2)，所以min ＝H ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝5ln 2－3．。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：如何求不等式中参数取值范围(下)
1 或 x ＞ 10 2 。 10
（2）设 y=lgx，则原不等式可化为 y2－（2+m）y+m－1＞0，∴y2－2y－my+m－1＞0。 ∴（1－y）m+（y2－2y－1）＞0。 当 y=1 时，不等式不成立。 设 f（m）=（1－y）m+（y2－2y－1），则 f（x）是 m 的一次函数，且一次函数为单调 函数。 当－1≤m≤1 时，若要 f （ m ）＞ 0 ，只要 解得
a 3 1 1 1 （1）当 a 1 时， x a ，则问题转化为 ,3 , a 1 1 a 3 a 3 a a 3 1 a 1 1 1 1 3 （2） 当 0 a 1时，a x ， 则问题转化为 ,3 a, 0 a a 3 3 a 1 3 a 1 综上可得： 0 a 或 a 3 。 3 1 答案： 0 a 或 a 3 3
2
B. a<－2
2Leabharlann C. －2<a<2
2
D. a<－2 或 a>2
2. 直线 y＝kx＋3 与圆（x－3） ＋（y－2） ＝4 相交于 M，N 两点，MN≥2 3，则 k 的取
3 A. [－ ，0] 4 3 3 C. [－ ， ] 3 3 的 x 也满足③，则 m 应满足的条件是（ A. m＞9 B. m＝9
1 B. 最小值 和最大值 1 2 1 D. 最小值 ，无最大值 2
5. 二次函数 f（x）＝ax2＋bx＋c（a<0）对一切 x∈R 都有 f（2＋x）＝f（2－x） ，解不等 1 5 式 f[ log 1 （x2＋x＋ ）]<f[ log 1 （2x2－x＋ ）]。 2 8
专题02 直击三角函数解析式求解问题-2018版高人一筹之高一数学特色专题训练(必修4)(原卷版)
的部分图象如图所示． 的解析式；
的图象做怎样的平移变换可以得到函数 的图象； 在 上有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
23．已知函数
的最小正周期是 ，若将函数 向左平移 个单位后得到的
函数是奇函数。 （1）求函数 的解析式，写出函数 的对称轴和单调区间；
（2）若
，求 的值域；
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2
f
12
的值为
（）
A. 1 2
B. 1 2
C. 3 2
D. 3 2
15．已知函数
y
sin x
0,
π 2
的部分图象如图所示，则（
）
A. π ， π
2
4
B. π ， π
2
4
C. π ， π 4
D. π ， π 4
二、填空题
16．若函数
f
x sin x (
0，
2
)
的图象相邻的两个对称中心为
5 6
，0
，
1 6
，0
，将
f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 ，得到 g x 的图象，则 g x __________．
2
17．已知函数 f x 2sin x ( 0, 0) 的图象如图所示，则 __________．
2
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18．已知函数
f
x
sin
1
x
（其中
0
，
）的部分图象如图所示，则 ________， 2
________．
三、解答题
19．已知函数 f x Asin x ( A 0, 0, ) 的部分图象如图所示.
2
（1）求函数 f x 的解析式；
2018版高考数学(理)一轮复习题库：第二章第2讲函数的单调性与最值含解析
第2讲函数的单调性与最值一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞)内单调递减的函数是（）．A．y＝x2B．y＝｜x|＋1C．y＝－lg｜x| D．y＝2|x|解析对于C中函数，当x〉0时，y＝－lg x，故为(0,＋∞）上的减函数，且y＝－lg |x｜为偶函数．答案C2．已知函数f(x）为R上的减函数，则满足f（｜x｜)＜f（1)的实数x的取值范围是（）A．（－1，1）B．(0,1）C．(－1,0)∪(0，1) D．(－∞，－1)∪（1，＋∞）解析∵f(x）在R上为减函数且f(｜x|)＜f（1），∴|x｜＞1,解得x＞1或x＜－1.答案D3．若函数y＝ax与y＝－错误!在（0,＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是（）A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析∵y＝ax与y＝－错误!在(0，＋∞)上都是减函数，∴a〈0，b〈0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－错误!〈0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞）上为减函数．答案B4．设函数f(x）＝错误!g(x)＝x2f(x－1)，则函数g（x）的递减区间是（)．A．（－∞，0］B．[0，1)C．[1，＋∞）D．［－1，0］解析g(x）＝错误!如图所示，其递减区间是[0，1)．故选B。
答案B5．函数y＝－x2＋2x－3(x＜0）的单调增区间是( ）A．（0，＋∞) B．（－∞,1］C．（－∞，0）D．（－∞，－1］解析二次函数的对称轴为x＝1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞,0）．答案C6．设函数y＝f（x）在(－∞,＋∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数f K(x）＝错误!取函数f（x)＝2－｜x｜,当K＝错误!时，函数f K(x）的单调递增区间 为 ( ）．A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞）C ．（－∞，－1)D ．（1，＋∞)解析 f 错误!（x )＝错误!⇔ f 12（x )＝错误! f 错误!(x )的图象如右图所示，因此f 错误!（x ）的单调递增区间为(－∞，－1）．答案 C二、填空题7．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ］，若函数的最小值为g (a )，则g （a )＝________.解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝（x －1）2－1，∴对称轴为直线x ＝1。