二次函数根的分布和值
一元二次方程根的分布情况归纳总结
一元二次方程根的分布情况归纳总结一元二次方程ax+bx+c=0的根的分布情况可以通过二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标来确定。
设方程的不等两根为x1和x2，且x1<x2.下面分别讨论根的分布情况。
表一：两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0)分布情况两个负根即x1<x2<0 两个正根即0<x1<x2 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象结论Δ>0，b0，b>0 f(x)>0 x1和x2都是正数f(0)>0 x1<0<x2表二：两根与k的大小比较(a>0)分布情况两根都小于k即x1x2>k 一个根小于k，一个大于k即x1<k<x2大致图象结论Δ>0，b0 x1<k<x2Δ>0，b>k f(k)>0 x1>x2>kf(k)>0 x1<k<x2表三：根在区间上的分布(a>0)分布情况两根都在(m,n)内一根在(m,n)内，另一根在(p,q)内两根有且仅有一根在(m,n)内，m<n<p<q（图象有两种情况，只画了一种）大致图象结论Δ>0，f(m)>0，f(n)>0 m<n<x1<x2<p<qΔ>0，f(m)>0，f(n)0 x1<m<n<x2<p<qΔ>0，f(m)0，f(p)>0，f(q)<0 m<n<x1<p<q<x2 或x1<m<n<q<p<x2函数与方程思想：1) 方程f(x)=0有根⇔y=f(x)与x轴有交点x⇔函数y=f(x)有零点x2) 若y=f(x)与y=g(x)有交点(x,y)⇔f(x)=g(x)有解x根的分布练题例1、已知二次方程(2m+1)x^2-2mx+(m-1)=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。
二次函数根的分布问题
二次函数零点的分布问题
复习：
1.函数的零点
2.一元二次方程根的情况
新知引入：
一元二次方程 在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。
例1：关于x 的方程在区间(-2,2)内有实数根，求实数k 的取值范围.
研究一元二次方程的根的分布问题，一般情况下需要考虑四个方面：
(1)开口方向
(2)一元二次方程根的个数； (3)相应二次函数区间端点正负；
（4）相应二次函数图象的对称轴位置．
设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两根，则x 1，x 2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下表所示.
20(0)
ax bx c a ++=≠2-2-k 0x x =
例1：关于x 的方程在区间(-2,2)内有实数根，求实数k 的取值范围.
例2：m 为何实数值时，关于x 的方程
有两个大于1的根
.
2(3)0x mx m -++=2-2-k 0x x =
练习:
1：已知函数f(x)＝x2－(2a－1)x＋a2－2的图象与x轴的非负半轴至少有一个交点，求a 的取值范围
2：已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1在原点右侧至少有一个零点，求实数m的取值范围．
3若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围.
4.若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200axbx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
二次函数实根分布
b2 4ac 0 （）在（m, n）右侧 a f (n) 0
n
b
2a
注：前提 m,n 不是方程（1）
b2 4ac 0
（）在（m,
n）左侧
a
f
(m)
0
的根.
m
b
2a
课时小结：
紧紧以函数图像为中心，将方程的根用 图像直观的画出来，或数形结合或等价转 化，将函数、方程、不等式视为一个统一 整体，另外，要重视参数的分类讨论对图 形的影响。
（1） 两个正根
(m 3)2 4m 0
3 m 0
m 0 m 1
m 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 （2）有两个负根
(m 3)2 4m 0
3 m 0
m m 9
m 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
（1）有实根 （2）有两正根 （3）一正一负
(1) m2 4(3 m) 0 ，m2 4m 12 0
得：m 6或m 2.
0
m 6或m 2
(2)
x1
x2
0
得
m 0
得：m 6
x1x2 0
m 3 0
(3)
0
x1x2
0
得
m 6或m 2 m 3 0
得：m 3.
1、当x为全体实数时，方程的根与 有关
(1)当 b2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
(2)当 b2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根
(3)当 b2 4ac 0时， 方程没有实数根
二次函数根的分布
第四节 二次函数【考纲解读】结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性几根的个数.【命题趋势】对于二次函数，高考中主要考察二次的性质及其应用，尤其是二次函数，一元二次方程及一元二次不等式的综合运用。
对与二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间有着密切的联系。
在高中数学中的应用十分广泛，并对考察学生的数学能力有重要意义，所以二次函数的命题仍将是一个重点。
【知识点精讲】一、二次函数解析式的三种形式及图像 1．三种解析式：(1)一般式：()()20f x ax bx x a =++≠(2)顶点式：()()()20f x a x m n a =-+≠(3)零点式：()()()()120f x a x x x x a =--≠2．二次函数的图像(1)单调性与最值①当0a >时，如图2-8所示②当0a <时如图2-9所示(2)与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点A ()1,0x ，B ()2,0x ，12||||||AB x x a =-==二、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数取得最值一定是在区间端点或者定点处 对于二次函数()()20f x ax bx c a =++≠当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令02p qx +=①若()(),,M 2bp m f p f q a-≤== ②若()0x ,,M 22b b p m f f q a a ⎛⎫<-<=-= ⎪⎝⎭③()0,,M 22b b x q m f f p a a ⎛⎫≤-<=-= ⎪⎝⎭④ ()()q,,M 2bm f q f p a-≥==三、一元二次方程与二次函数的转化1． 实系数一元二次方程()()20f x ax bx c a =++≠的实数根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根有一负根，设两根为12,x x ，则120cx x a=< 2.一元二次方程()()20f x ax bx c a =++≠的根的分布问题从以下四个方面考虑 （1）开口方向 （2）判别式（3）对称轴与区间的位置关系 （4）区间端点值的正负设12,x x 为实系数方程()()20f x ax bx c a =++>的两根，则一元二次方程()()20f x ax bx c a =++≠根的分布如图所示四、二次不等式转化策略 1.二次不等式的解集与系数的关系若二次不等式()20f x ax bx c =++≤ 的解集是0(,][,)b a c a ααβαβαβ⎧⎪<⎪⎪-∞+∞⇔+=-⎨⎪⎪=⎪⎩2.二次函数恒大于零或者恒小于零的转化策略 已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩ ()0f x <恒成立0a <⎧⇔⎨∆<⎩ 注：若表述为“已知函数()2f x ax bx c =++”并未注明为二次函数，则应有：()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩ 或0a b c ==⎧⇔⎨>⎩ ()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩或0a b c ==⎧⇔⎨<⎩五、二次函数有关问题的求解方法与技巧 有关二次函数的问题，关键是利用图像（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题---动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间的两个端点和区间的中点，一轴指的是对称轴。
二次函数根的分布
【定理6】
【定理7】
推论1 推论2 【定理8】有且仅有（或）
【定理9】或 【定理10】或
三、例题精析
【例题1】
【题干】若一元二次方程有两个正根，则的取值范围为
【答案】
【解析】依题意有 解得：
【例题2】
【题干】若一元二次方程的两根都是负数，则的取值范围为
【答案】或
【解析】依题意有
解得：或
二次函数根的分布
适用学科
适用年级
适用区域 全国通用新课标版
课时时长 60 （分钟）
知识点 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系
学习目标
熟练掌握二次函数根的分布；
会根据公式进行正确的运算、变形和数据处理能根
据问题的条件寻求与设计合理简捷的运算途径；
会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对
研究问题有用的信息，并作出判断.
四、课堂运用
【基础】
【题干】在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？
【答案】
【解析】
【巩固】
【题干】已知关于x的二次方程
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)
内，则m的取值范围为
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，则的取值范围为
【答案】
【解析】
【拔高】
学习重点 二次函数根的分布
学习难点 二次函数根的分布
高中数学 高中三年级
学习过程 一、复习预习
回顾二次函数的图像以及根存在的条件
二、知识讲解
考点
设一元二次方程（）的两个实根为，，且，为常数。 【定理1】，(两个正根)， 推论：，或
上述推论结合二次函数图象不难得到。
二次函数中根的分布问题
一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m ，由213m<<得223m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
高一数学必修一二次方程根的分布
一元二次方程 在开区间 上有根应分下列情况讨论
或 或 或
一元二次方程 在闭区间 上有根应分下列情况讨论
1）若 ，解出参数
2）若 ，解出参数
3）
4）
二．例题选讲
（1）两个根在实数 的同一侧
例1．已知方程 有两个负根，求 的取值范围．
解：由 即 ，从而得 即为所求的范围。
变式1：已知二次函数 与 轴有两个交点，一个大于 ，一个小于 ，求实数 的取值范围。
解：由 即 即为所求的范围。
变式2：求实数 的范围，使关于 的方程 ．
（1）有两个实根，且一个比 大，一个比 小．
（2）有两个实根 ，且满足 ．
（3）至少有一个正根．
解：设 ．
（1）依题意有 ，即 ，得 ．
（2）依题意有
解得： ．
（3）方程至少有一个正根，则有三种可能：
①有两个正根，此时可得 ，即 ．
②有一个正根，一个负根，此时可得 ，得 ．
③有一个正根，另一根为 ，此时可得 ．
综上所述，得 ．
（3）在区间 有两个实根
例3： 已知关于 的二次方程 .若方程两根均在区间 内，求 的范围.
解：据抛物线 与 轴交点落在区间 内，列不等式组 ,
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况
两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0
大致图象（ ）
得出的结论
得出的结论
表二：（两根与 的大小比较）
分布情况
两根都小于 即
两根都大于 即
一个根小于 ，一个大于 即
二次函数根的分布专题
一元二次方程根的分布专题一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x①方程有两个不等正根 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+>-=∆>>00040,02121221a c x x a b x x ac b x x②方程两根一正一负 ：0021<<<acx x ，则③方程有两个不等负根：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+>-=∆<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用：(1)若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。
(2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？二、一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两不等实根为1x ，2x ， k 为常数。
则一元二次方k 1x 2x k即时应用：(1) 若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则求m 的取值范围.(2) 方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围.kkk2k 1k 2k 1k 3k 2k 1k二、典型例题例1 若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？例2若方程2(2)40x k x -++=有两负根，求k 的取值范围.例3..若关于x 的方程2(2)210x k x k +-+-=的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围例4.已知关于x 的方程223230x x m -+-=的两根都在［－1，1］上.求实数m 的取值范围.例5.方程mx 2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m 的取值范围一元二次方程根的分布巩固作业1．对于二次函数x x y 822+-=，下列结论正确的是（ ）Ａ．当2=x 时，y 有最大值8 Ｂ．当2-=x 时，y 有最大值8 Ｃ．当2=x 时，y 有最小值8 Ｄ．当2-=x 时，y 有最小值8-2．二次函数12--=ax x y 在区间[0，3]上有最小值－2，则实数a 的值为（ ）A ．－2B ．4C ．310-D ．23．设函数∈++=a x a ax x x f ,(232)(2R ）的最小值为m （a ），当m （a ）有最大值时a 的值为（ ）A ．34 B ．43 C ．98 D ．89 4．函数1)3(2)(2+-+=x a ax x f 在区间[)+∞-,2上递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－3，0]B ．(]3,-∞-C ．[)0,3-D ．[－2，0]5．设二次函数)1(,0)(,)(2+<-+-=m f m f a x x x f 则若的值为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．正、负不定，与m 有关 D ．正、负不定，与a 有关6．已知0)53()2(,2221=+++--k k x k x x x 是方程（k 为实数）的两实数根，则2221x x +的最大值为（ ）A ．19B ．18C ．955D ．不存在7．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，则函数值)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是（ ）A ．f (－1)B ．f (1)C ．f (2)D ．f (5)8．一元二次方程0)2()1(22=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是9．函数1)(2-+=ax ax x f ，若0)(<x f 在R 上恒成立，则a 的取值范围是10．函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。
经典例题二次函数根的分布(供参考)
二次函数根的分布一、知识点二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）表二：（两根与k 的大小比较）论论论论表三：（根在区间上的分布）二、经典例题例1：（实根与分布条件）已知βα,是方程024)12(2=-+-+m x m x 的两个根，且βα<<2 ，求实数m 的取值范围。
变式：关于x 的方程012)1(22=-+-mx x m 的两个根，一个小于0，一个大于1，求m 的取值范围。
例2：（动轴定区间）函数32)(2--=ax x x f 在区间[]2,1上是单调函数，则a 的取值范围是？变式2：函数32)(2+-=kx x x f 在[]+∞-,1上是增函数，求实数k 的取值范围。
列3：（定轴动区间）求函数12)(2--=ax x x f 在[]2,0上的值域。
变式3：已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上有最小值3，求实数a 的取值范围。
例4：（定轴动区间）已知二次函数32)(2--=x x x f ，若)(x f 在[]1,+t t 上的最小值为)(t g ，求)(t g 的表达式。
变式4：已知二次函数)(x f 满足)1()1(x f x f -=+，且1)1(,0)0(==f f ，若)(x f 在区间[]n m ,上的值域是[]n m ,，求n m ,的值。
例5：（恒成立问题）已知函数1)(2-+=mx x x f ，若对于任意[]1,+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，求实数m 的取值范围。
变式5：已知函数1)(2+-=mx x x f 在)2,21(上恒大于0，求实数m 的取值范围。
三、课后练习1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
2、函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数根的分布和最值
2
———————————————————————————————— 作者： ———————————————————————————————— 日期：
3
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02cbxax根的分布情况 设方程200axbxca的不等两根为12,xx且12xx，相应的二次函数为20fxaxbxc，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况
两个负根即两根都小于0 120,0xx 两个正根即两根都大于0 120,0xx 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0120xx
大致图象（0a）
得出的结论 00200baf
00200baf
00f
大致图象（0a）
得出的结论 00200baf
00200baf
00f
综合结论（不讨论a
）
00200baaf
00200baaf
00fa
4
表二：（两根与k的大小比较） 分布情况
两根都小于k即 kxkx21, 两根都大于k即 kxkx21, 一个根小于k，一个大于k即
21xkx
大致图象（0a）
得出的结论 020bkafk
020bkafk
0kf
大致图象（0a）
得出的结论 020bkafk
020bkafk
0kf
综合结论（
不讨论a
）
020bkaafk
020bkaafk
0kfa
kkk
5
表三：（根在区间上的分布） 分布情况
两根都在nm,内
两根有且仅有一根在nm,内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在nm,内，另一根在qp,
内，qpnm
大致图象（0a）
得出的结论
0002fmfnbmna
0nfmf
0000fmfnfpfq
或00fmfnfpfq
大致图象（0a）
得出的结论
0002fmfnbmna
0nfmf
0000fmfnfpfq
或00fmfnfpfq
综合结论（不讨论a
）
—————— 0nfmf
00qfpfnfmf
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间nm,外，即在区间两侧12,xmxn，（图形分别如下）需满足的条件是
6
（1）0a时，00fmfn； （2）0a时，00fmfn 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况：
1 若0fm或0fn，则此时0fmfng不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，
可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间nm,内，从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx
在区间1,3上有一根，因为10f，所以22212mxmxxmx，另一根为2m，由213m
得223m即为所求； 2 方程有且只有一根，且这个根在区间nm,内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数
的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程24260xmxm
有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：①由300ffg即
141530mm得出15314m；②由0即2164260mm
得出1m或32m，当
1m时，根23,0x，即1m满足题意；当32m时，根33,0x，故32m不满足题意；
综上分析，得出15314m或1m
根的分布练习题 例1、已知二次方程221210mxmxm有一正根和一负根，求实数m的取值范围。 解：由 2100mfg 即 2110mm，从而得112m即为所求的范围。
例2、已知方程2210xmxm有两个不等正实根，求实数m的取值范围。
7
解：由
0102200mf
g 218010mmmm 3223220mmm或
0322m或322m即为所求的范围。
例3、已知二次函数222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。 解：由 210mfg 即 2210mmg 122m即为所求的范围。
例4、已知二次方程22340mxmx只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。 解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则010ffg 4310mg 13m即为所求范围。 （注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）
1．二次函数及图象 设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式Δ=b2-4ac，当Δ＞0时y=f(x)与x轴有二交点；当Δ=0时，y=f(x)与x轴仅有一交点；当Δ＜0时，y=f(x)与x轴无交点．
当Δ＞0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x1＜x2．一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1，x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根． 观察图象不难知道．