盘点动点轨迹问题的基本图形

盘点动点轨迹问题的基本图形
动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述，
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.归纳一下，动点轨迹为直线型的有:①平面内到定直线的距离等于定长的点的轨迹是直线(线段);②平面内与定直线的夹角为定角的点的轨迹是直线(线段).动点轨迹是圆弧型的有:①平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆(圆弧);②平面内与两定点的张角是定角的点的轨迹是圆
一、直线型类型一
例1 如图1，已知半圆⊙O 的半径为2，初始位置与直线l 相切于点C ，直径AB 与直线l 平行，将半圆⊙O 在直线l 上无滑动地滚动至直径AB 与直线l 垂直，求圆心O 在此过程中形成的轨迹的长.
简解 ∵在滚动过程中⊙O 与直线l 相切，
∴圆心O 与直线l 的距离为半径长2，
∴圆心O 的轨迹是一线段，长度为
14圆弧长， 即弧长122 4
BC ππ=⨯⨯=. 小结 此例因动点O 到定直线l 的距离为定长，所以基本图形为直线型类型一.这是动点轨迹入门级题目.
例2 如图2，已知线段6AB =，P 为线段AB 上一动点，分别以AP 、BP 为边在线段AB 的同侧作等边APC ∆和等边BPD ∆，连结CD ，取CD 得中点Q ，在点P 从A 点到B 点运动的过程中，求点Q 运动路径的长.
简解 过点C 作CM AB ⊥于M 点，过点D 作DN AB ⊥于N 点;
过点Q 作QG AB ⊥于G 点，则////QG CM DN .
则四边形CMND 是梯形，且QG 是中位线， ∴1()2
QG CM DN =+
1)2AP =
)AP BP =+
6QG =
=(定值). ∴点Q 运动路径是AB 上侧与AB 平行的一条线段.
通过点P 分别与点A 、点B 重合，运用极端法可知点Q 运动路径是以AB 为边的等边三角形的中位线，
∴Q 点轨迹的长度为132
AB =. 小结 此例因动点Q 到定直线AB 的距离为定长，所以基本图形为直线型类型一因动点较多，需抓住主动点P 对从动点Q 的制约作用以确定动点Q 的轨迹，继而运用极端法求得轨迹的长度.
二、直线型类型二
例3 如图3，已知ABC ∆是边长为6的等边三角形，角平分线AD 交BC 于D 点，P 是直线AD 上一动点，连结CP ，以CP 为边向下作等边三角形PCQ ∆，连结DQ ，求DQ 长度的最小值.
简解 连结BQ ，过点D 作DH BQ ⊥于H 点.
∵60ACB PCQ ∠=∠=︒，
∴ACP BCQ ∠=∠.
又∵CA CB =，CP CQ =，
∴ACP BCQ ∆≅∆，
∴30CBQ CAP ∠=∠=︒，
即点Q 的轨迹为过B 点且与BC 成30°角的直线.
∴当DH BQ ⊥时的垂线段DH 即为所求的DQ 长度的最小，
∴在Rt BDH ∆中求得min 1322
DQ DH BD ===. 小结 此例因动点Q 与定直线BC 的夹角为定角，所以基本图形为直线型类型二.须知当动点轨迹为直线时，定点与动点连线的最短距离为垂线段的长度.
例4 如图4，已知Rt ABC ∆中点P 是边AC 所在直线上一动点，连结BP ，以BP 为斜边作等腰直角BPQ ∆，点F 为边AC 上一定点且2CF =，连结FQ ，求FQ 长度的最小值.
简解 过点Q 作直线AC 的垂线，交AC 延长线于点N ，过点B 作BM NQ ⊥于点M .
易证得QMB PNQ ∆≅∆，
∴BM NQ CN ==.
连结CQ ，则45QCN ∠=︒
即点Q 的轨迹为过C 点且与CN 成45°角的直线，
∴当FH CQ ⊥时的FH 的长度即为所求FQ 最小值，
即min 22
FQ FH ===. 小结 此例因动点Q 与定直线AC 的夹角为定角，所以基本图形为直线型类型二.须知
图形中有等腰直角三角形存在时可运用构造全等三角形转移等量这一基本方法.
三、圆弧形类型一
例5 如图5，已知正方形ABCD 的边长为4，P 、Q 分别是边AB 、BC 上的动点，且4PQ =，M 是PQ 的中点，求DM 的最小值.
简解 连结BM . ∵114222
BM PQ =
=⨯=(定值)， ∴M 在以B 为圆心2BM =为半径的圆上， ∴当,,B M D 三点共线时DM 取最小值，
即最小值为2DM BD BM =-=.
小结 此例因动点M 与定点B 的距离为定长，所以基本图形为圆弧型类型一.须知圆外一点与圆上动点的最大距离为d r +，最小距离为d r -.
例6 如图6，正六边形ABCDEF 的边长为2，两顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上运动.求顶点D 到原点O 的距离的最大值和最小值.
简解 取AB 中点P ，连结OP ，DP . ∵112
OP AB ==(定值)， ∴点P 是在以O 为圆心，112r AB =
=为半径的圆上.
又由Rt DBP ∆，求得PD ==(定值)，
∴PD OP OD PD OP -≤≤+.
①当,,O P D 三点共线且P 在线段OD 上时，OD PD OP =+1;
②当,,O P D 三点共线且P 在线段DO 延长线上时，OD PD OP =-1. 小结 此例因动点P 与定点O 的距离为定长，所以基本图形为圆弧型类型一.须知两定长线段在共线时可求得折线最大长度为12d d +，最小值为12d d -.
四、圆弧型类型二
例7 如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满足AE DF =，连结CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H .若正方形的边长为2，求线段DH 长度的最小值.
简解 易证得BAE CDF ∆≅∆，
∴ABE DCF ∠=∠.
又GAD GCD ∆≅∆，
∴GAD DCF ∠=∠，
∴ABE GAD ∠=∠.
∵90GAD BAH ∠+∠=︒，
∴90ABE BAH ∠+∠=︒，
即90BHA ∠=︒(定角)，
∴点H 在以AB 的中点(设为O )为圆心，AB 为半径的圆(四分之一圆弧)上. 连结OD ，交⊙O 于P 点，
当点H 运动到点P 时，DH 取得最小值1OD OP -=.
小结 此例因动点H 与两定点A 、B 的张角为定角，所以基本图形为圆弧型类型二.由例5的方法可求得圆外一点与圆上动点的最小距离.
例8 如图8，以(0,1)G 为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、
D 两点，点
E 为⊙G 上一动点，C
F AE ⊥于点F ，求当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长.
简解 ∵90AFC ∠=︒ (定角)，
∴点F 在以AC 的中点(设为M )为圆心，
12
AC 为半径的圆上. 当点E 在B 点时，点F 在O 点; 当点E 在D 点时，点F 在A 点，
∴点F 所经过的路径为弧OA .
∵在Rt AOC ∆中30ACO ∠=︒，
∴260AMO ACO ∠=∠=︒，
∴弧长602360OA π=⨯=. 小结 此例因动点F 与两定点A 、C 的张角为定角，所以基本图形为圆弧型类型二.由例2的极端法确定圆弧的起点和终点，从而求得路径圆弧长.
结束语构建基本图形形成解决问题的思维模式是初中几何教学的重要方法.本文就动点轨迹的基本图形作了比较系统的分类，为学生解决此类问题提供了一个可行的途径.但在实际教学中要注意防止过于固化而禁锢学生的思维，阻碍学生创造性思维、发散性思维的形成.。