乘法公式之平方差公式
人教版平方差公式(23)
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
4.下列各式哪些能用平方差公式计算？ 怎样用？
1) (a-b+c)(a-b-c)
解： 1) (a-b+c)(a-b-c) = [ (a-b)+c] [ (a-b)-c ] = (a-b)2 – c2 = (a2-2ab+b2) –c2 = a2-2ab+b2 –c2
[(-5b)+(3a-2c)] [(-5b)-(3a-2c)] 6) (x+y+m+n)(x+y-m-n)
[(x+y)+(m+n)][(x+y)-(m+n)]
4.下列各式哪些能用平方差公式计算？ 怎样用？
1) (a-b+c)(a-b-c) 2) (a+2b-3)(a-2b+3) 3) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5) 4) (a-b+c-d)(-a-b-c-d)
4)
(x+
1 3
2
)(x2+
1 9
2
)(x-
1 3
)
解：4)
(x+
1 3
)(x2+
1 9
)(x-
1 3
)
= [(x+13
)(x-
1 3
)](x2+
1 9
)
=
(x2-
1 9
)(x2+
1 9
)
=
x4-
1 81
1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)
2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)
八年级数学乘法公式3
ac
甲
ad bc 丙 bd 丁 d
用（甲+ 乙+ 丙+ 丁）的面 積來算 （甲+ 乙+ 丙+ 丁）的面積 ＝ ac + ad + bc + bd
c
用原長方形的長×寬來算 長×寬＝ （a+b）（c+d）
乙
（a+b）（c+d）= ac + ad + bc + bd
二項式乘積公式：
由乘法對加法的分配律，我們可以得到以下的式子
乘法公式
二項式乘積公式：
(a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd 和的完全平方公式：
（a+b) = a + 2ab +b 差的完全平方公式： 2 2 2 （a-b) = a - 2ab +b 平方差公式：
2
2
2
(a+b)(a-b) = a - b
2
2
二項式乘積公式：
（a+b)(c+d）= ac + ad + bc + bd a b 我們可以用兩種方式來 這個公式是怎麼來的呢？ 表示大長方形的面積： 讓我們用以下的圖形來說明：
同樣的，我們也用代數的方式來證明一次
(a-b)(a-b) = a - ab - ba + b = a - 2ab + b 瞭解了嗎？
2
2
2
2
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a - b
a+b
a
2
2 b
這個公式是怎麼來的呢？ 讓我們用以下的圖形來說明：
完全平方公式和平方差公式
完全平方公式和平方差公式
平方差公式：
a²-b²=(a+b)(a-b)平方差：一个平方数或正方形，减去另一个平方数或正方形得来的乘法公式。
例句：6²-4²=(6+4)x(6-4)=10x2=20
完全平方差公式：
(a-b)²=a²-2ab+b²完全平方差：两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍即完全平方公式。
例句：(6-4)²=6²-2x6x4+4²=36-48+16=4
完全平方公式平方差公式区别：
计算具体数据结果不同（若a=2，b=1）完全平方差公式：（a-b）²=a²-2ab+b²=1。
平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）=3。
完全平方公式是三项：a²-2ab+b²，平方差公式是两项：a²-b²。
平方差可利用因式分解及分配律来验证。
先设a及b。
ba-ab=0那即是ab=ba，同时运用了环的原理。
把这公式代入：a²-ab+ba-b²若上列公式是a²-b²就得到以下公式：a²-ab+ba-b²-(a²-b²)=0以上运用了r-r=0，也即是两方是相等，就得到：a²-ab+ba-b²=a²-b²注：a2-ab+ba-b2=(a-b)(a+b)。
平方差公式
平方差公式一、学习目标二、学习要求1、知道乘法公式是一种特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式相乘的结果写成公式形式并加以运用。
2.理解五个乘法公式，掌握这五个公式的结构特点，并能运用这五个公式进行运算。
3、会用这五个公式使计算简便，会简捷地计算某些数的积。
4.能灵活运用公式进行计算，提高计算能力。
三、例题分析第一步[例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a-ab+ab-b=a-b,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（1+2a）（1-2a）（3）（2x+5y）（2x-5y）（4）（a-b）（b-a）3232222提示：在开始使用公式时，操作格式可分为两个步骤。
第一步是根据公式的特点写一个“框架”，如（1）（2x+3Y）（2x-3Y）=（）2-（）。
第二步是分析公式中哪个项目相当于a，哪个项目相当于B，并在“框架”中填入数字进行计算。
二参考答案：（1）（2x+3y）（2x-3y）=（2x）-（3y）=4x-9y2222(2)(1+2a)(1-2a)=12-(2a)=1-4a22（3）（2x+5y）（2x-5y）=（2x）-（5y）=4x-25y3232322264(4)(-a-b)(b-a)=(-a-b)(-a+b)=(-a)-(b)=a-b22222222222244解释：平方差公式（a+b）(a-b)=a-b的特征是：22（1）左边是两个二项式的乘法，其中一个是完全相同的，另一个是相反的。
（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意：① 公式中的A和B可以是具体的数字、单项式或多项式②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。
【例2】计算（a+b）和（a-b），你可以看到（a+b）222=(a+b)(a+b)=a+ab+ab+b=a+2ab+b(a-b)=(a-b)(a-b)=a-ab-ab+b=a-2ab+b,即（a±b）=a±2ab+b，这就是说，222222222222两个数的和（或差）的平方等于它们的平方和，加（或减）两倍于它们的乘积。
初中数学公式：平方差公式
初中数学公式：平方差公式表达式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式公式运用可用于某些分母含有根号的分式：1/（3-4倍根号2）化简：1×（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2)^2；=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2）/-23[解方程]x^2-y^2=1991[思路分析]利用平方差公式求解[解题过程]x^2-y^2=1991(x+y)(x-y)=1991因为1991可以分成1×1991，11×181所以如果x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995如果x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也可以是负数所以解有x=996，y=995，或x=996，y=-995，或x=-996，y=995或x=-996，y=-995或x=96，y=85，或x=96，y=-85或x=-96，y=85或x=-96，y=-85有时应注意加减的过程。
常见错误平方差公式中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难以掌握。
三角平方差公式三角函数公式中，有一组公式被称为三角平方差公式：(sinA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(cosA)^2=sin(A+B)sin(A-B)(cosA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(sinA)^2=cos(A+B)sin(A-B)这组公式是化积公式的一种，由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形。
注意事项1、公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2、右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
3、公式中的a.b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
例题一，利用公式计算(1)103×97解：(100+3)×(100-3)=（100）^2-（3）^2=100×100-3×3=10000-9=9991(2)(5+6x)(5-6x) 解：5^2-（6x)^2 =25-36x^2。
八年级数学乘法公式3
（a-b) = a - 2ab +b 2 2 這個公式是怎麼來的呢？ a -ab +b -ab 讓我們用以下的圖形來說明： 2 2 2 (請注意看圖形中淺黃色部分的面積變化 =a -2ab )+b （a-b）
ab
2
2
b
2
a
b
ab
2
b
2
b
2
（a-b) = a - 2ab +b
2
差的(完全)平方公式：
乘法公式
二項式乘積公式：
(a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd 和的完全平方公式：
（a+b) = a + 2ab +b 差的完全平方公式： 2 2 2 （a-b) = a - 2ab +b 平方差公式：
2
2
2
(a+b)(a-b) = a - b
2
2
二項式乘積公式：
（a+b)(c+d）= ac + ad + bc + bd a b 我們可以用兩種方式來 這個公式是怎麼來的呢？ 表示大長方形的面積： 讓我們用以下的圖形來說明：
同樣的，我們也用代數的方式來證明一次
(a-b)(a-b) = a - ab - ba + b = a - 2ab + b 瞭解了嗎？
2
2
2
2
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a - b
a+b
a
2
2 b
這個公式是怎麼來的呢？ 讓我們用以下的圖形來說明：
a-b
a
2a - b
《平方差公式》教学课件
（第1课时）
• 内容分析： 本课是在学生学习了多项式乘法与合并同类项知识 的基础上，对特殊形式的乘法运算概括出了乘法公 式——平方差公式，平方差公式也是因式分解中公 式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用．
• 学习目标： 1．理解平方差公式，能运用公式进行计算． 2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象 地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中， 感知数形结合思想． • 学习重点： 平方差公式．
【思路点拨】 先观察式子，是否符合平方差的结构特征．
探究三：平方差公式的应用
活动2 针对练习 (b+2a)(2a－b) 【解题过程】 解：（b+2a）（2a-b）=（2a）²-b²=4a²-b² 【思路点拨】
先观察式子，是否符合平方差的结构特征，需要用加法
交换律对式子进行变形，然后运用平方差公式计算．
2 2
2
2
总结经验 从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？ （1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征； （2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b； （3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差．
理解平方差公式
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
Ａ
a
Ｆ Ｇ
a- b
a M B D C bb
E H
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（ 1） ； （3 x+ 2） （3 x- 2）
（ 2） ． （-x+ 2 y） （-x- 2 y）
变形，巩固平方差公式的运用.
乘法公式(2)——平方差公式
a
a
b
a
a
b b
方法（3）：可以拼成长方形，则未
被盖住的部分的面积为 (a b)(a b)
(a b)(a b) a 2 b2
你能用多项式乘法运算法则推导所得到的公式吗？
解:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2 = a2-b2 一般地，对于任意的a、b，
(a b)(a b) a2 b2
(4)(xn＋yn)( _______)＝x2n－y2n．
(5) (m2－5n)(5n＋m2)＝(_______)．
5．请运用乘法公式计算：
(1)(1＋2x)(1－2x)；
(2)(－3m＋2n)(－3m－2n)；
(3)(a＋3b)(a－3b)；
(4)(－4a－1)(4a－1)；
(5)( 1 y＋2x)(－ 1 y＋2x)；
(4) 已知(x-ay)(x+ay)=x2-16y2， 那么a=_±__4_
拓展与延伸
1.若x2-y2=8, y-x=4,求x+y. 解：∵(x+y)(x-y)=x2-y2
又x2-y2=8, y-x=4 ∴(x+y) ×(-4)=8 ∴x+y=-2
2、计算(x+3)(x-3)(x2+9) 原式=(x2-32)(x2+9) =(x2-9)(x2+9) =(x2)2-92 =x4-81
情境创设
边长为b 的小正方形纸片放置在边长为a
的大正方形纸片上，如右图，你能用多种
方法求出阴影部分的面积吗？
a
方法（1）未被盖住
的部分的面积为 a 2 b 2
a b
bБайду номын сангаас
乘法公式(2)全面版
用 乘
(3)
(2a5)2
法 解:原式(2a)22(2a)(5)(5)2
公
4a220a25
式 算算看：(2a 5) 2
计
算 结论：(2a5)2(2a5)2
：
建湖县实验初中
填空: 1.(2x-y)(_2_x_+_y_)=4x2-y2 2.(b-a)(_-_a_-_b_)=a2-b2 3.4x2-12xy+(_9_y_2_)=(_2_x_-_3_y_)2 4.(-3x-2)(_-2_+__3_x)=4-9x2
= a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bcƻb+c）2是多少吗？ 面积法：通过图形的拼合
ab c
a b
c
所以有：（面图a+积形b（+c1））2 = 图面形积（2） =a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 建湖县实验初中
试试看！
计算： 1、（m+n-t）2 2、（-2s+3t-h）2 练习：书P82 练一练 3、4
建湖县实验初中
1、已知（a+b）2=7， （a-b）2=3，求：
（1）a2+b2（2）ab的值.
拓展与 延伸
2、观察下面各式规律：
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
课题：乘法公式（2） 初一数学备课组
平方差公式知识点归纳总结
平方差公式知识点归纳总结平方差公式是数学中常用的公式之一，用于计算两个数的平方之差。
在代数学和几何学中都有广泛的应用。
本文将对平方差公式的定义、原理、应用以及相关例题进行全面的总结和归纳。
一、平方差公式的定义和原理平方差公式是指对于任意实数a和b，有：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2这个公式也可以写成：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)平方差公式的原理是基于多项式的乘法公式进行推导，通过展开和合并同类项的方法，可以得到上述等式。
二、平方差公式的应用1. 因式分解平方差公式在因式分解中经常被使用。
对于二次三项式或含有平方项的多项式，可以利用平方差公式将其分解为两个因式的乘积。
例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以将其分解为(x + 2)(x - 2)。
2. 数列求和平方差公式在数列求和中也有应用。
考虑一个等差数列：a, a + d, a + 2d, ..., a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差，n为项数。
当我们计算这个数列的平方和时，可以利用平方差公式简化计算。
例如，要求等差数列1, 3, 5, 7的平方和，可以利用平方差公式将其化简为：(1^2 + 7^2) + (3^2 + 5^2) = 503. 平方差法求根平方差公式还可以在求解方程中使用。
特别是在二次方程的解法中，通过巧妙地运用平方差公式，可以简化求解的过程。
例如，对于二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以利用平方差公式将其化简为：(x - 2)(x - 3) = 0从而得到方程的两个根x = 2和x = 3。
三、平方差公式的例题1. 例题一：计算(7 + 3)(7 - 3)的值。
解：根据平方差公式，我们有：(7 + 3)(7 - 3) = 7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 402. 例题二：分解多项式x^2 - 9y^2。
解：利用平方差公式，我们可以得到：x^2 - 9y^2 = (x + 3y)(x - 3y)通过展开乘法，可以验证这个分解是正确的。