2023届高三数学一轮复习专题 数列累加法构造等比等递推公式求通项及常用求和方法 讲义 (解析版)

数列求解通项的方法总结
方法一、公式法
当已知数列的类型（如已知数列为等差或等比数列）时，可以设出首项和公差（公比），列式计算。

1、等差数列通项公式： d
n a a n )1(1-+=
2、等比数列通项公式：
例1、设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100．
（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式 （2）当d ＞1时，记c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．
变式1、已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1=b 1=1，b 2+b 3=2a 3，a 5﹣3b 2=7．
（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；
（Ⅱ）设c n =a n b n ，n ∈N *
，求数列{c n }的前n 项和．
1
1-=n n q a a
方法二、利用前n 项和与通项的关系
已知数列{ a n }前n 项和S n ，求通项公式，利用 a n ＝
{
)1()
2(11=≥--n S n S S n n 特别地，当n=1的值与S 1
的值相同时，合并为一个通项公式，否则写成分段的形式。

例2、（1）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n
+3．求{a n }的通项公式；
（2）S n 为数列{a n }的前n 项和，己知a n ＞0，a n 2+2a n =4S n +3 （I ）求{a n }的通项公式.（Ⅱ）设b n =
，求数列{b n }的前n 项和．
变式2、（2015·四川）数列{a n }（n=1，2，3…）的前n 项和S n ，满足S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列
的前n 项和为T n ，求T n ．
方法三、利用递推关系式与通项的关系
类型1、累加法 形如)(1n f a a n n +=+
例3、（2014·全国卷）数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.
（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.
变式3、已知数列{}n a 满足1121
1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

类型2、累乘法 形如n n a n f a )(1=+ 例4、已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 1
1+=
+，求n a 。

类型3、构造法（待定系数法）形如)(1n f pa a n n +=+
例5、（1）（2014·全国卷Ⅱ）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.求{}n a 的通项公式；
变式4、已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=4a n +2．求{a n }的通项公式；
例6、（1）已知数列{}n a 中，11=a ,11)2
1
(21+++=n n n a a ，求{}n a 的通项公式。

（2）已知数列{}n a 中，11=a ,11)2
1
(31+++=n n n a a ，求{}n a 的通项公式。

例7、在数列{}n a 中，1a =12，1n a +=33
n n a a +（n N +
∈），求数列{}n a 通项公式.
变式5、（2014·安徽）数列{}n a 满足*
111,(1)(1),n n a na n a n n n N +==+++∈.证明：数
列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
第三课时：数列求解前n 项和方法总结
方法一、公式法（包括分组求和法）
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n
n
例1、（2014·北京）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，
420b =，且{}n n b a -是等比数列.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和.
变式1、（2013·四川）在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.
方法二、错位相减法
错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。

需要我们的学生认真掌握好这种方法。

这种方法是在推导等比数列的前n
项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。

例2、（2014·全国Ⅰ）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.
变式2、（2012·浙江）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =22n n +，n ∈N ，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N.
（1）求a n ，b n ； （2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .
方法三、裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 例3、（1）（2013·江西）正项数列{a n }满足2
(21)20n n a n a n ---=. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n ; （Ⅱ）令1
(1)n n
b n a =+,求数列{b n }的前n 项和T n .
（2）已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4=9，a 2a 3=8． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．
变式3、（2013·新课标Ⅰ）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =,55S =-. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列2121
1
{}n n a a -+的前n 项和.
高考真题
1、（2014·四川）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x
f x =的图象上（*n N ∈）.若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ；
2、（2014•湖南）已知数列{a n }的前n 项和S n =
，n ∈N *
．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．
3、已知数列{a n}和{b n}满足a1=2，b1=1，a n+1=2a n（n∈N*），b1+b2+b3+…+b n=b n+1﹣1（n ∈N*）.求:（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．
4、（2014•成都模拟）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．
5、（2014•安徽）数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n=3n•，求数列{b n}的前n项和S n。