2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷(十二)
精品解析：2024年吉林省长春市中考数学试题(解析版)
2024年长春市初中学业水平考试数学本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 根据有理数加法法则，计算()23+−过程正确的是（ ）A. ()32++B. ()32+−C. ()32−+D. ()32−−【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键．根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答． 【详解】解：()()2332+−−−=． 故选D ．2. 南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）．A. 主视图B. 俯视图C. 左视图D. 右视图【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．根据三视图主视图、俯视图、左视图的定义即可解答．【详解】解：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图． 故选B ．3. 在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则α∠的大小为（ ）A. 54oB. 60C. 70D. 72【答案】D 【解析】【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键．根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】解：(52)180180725α−⨯︒∠=︒−=︒，故选：D ．4. 下列运算一定正确的是（ ） A. 236a a a ⋅= B. 236a a a ⋅=C. ()222ab a b =D. ()235a a =【答案】C 【解析】【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则计算并判断A ；根据同底数幂的乘法法则计算并判断B ；根据积的乘方运算法则计算并判断C ；根据幂的乘方运算法则计算并判断D ． 【详解】解：A ．2236a a a ⋅=，故本选项不符合题意； B ．235a a a ⋅=，故本选项不符合题意；C ．()222ab a b =，故本选项符合题意；D ．()236a a =，故本选项不符合题意；故选：C ．5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，a 、b 分别表示两位同学的身高，c 表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）A. 若a b >，则a c b c +>+B. 若a b >，b c >，则a c >C. 若a b >，0c >，则ac bc >D. 若a b >，0c >，则a b c c> 【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：a b >，由右图可知：a c b c +>+，即A 选项符合题意． 故选：A ．6. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A 时，位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的距离为a 千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL 为（ ）A. sin a θ千米B.sin aθ千米 C. cos a θ千米D.cos aθ千米 【答案】A 【解析】【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解【详解】解：由题意得：sin AL ALAR aθ== ∴sin AL a θ=千米 故选：A7. 如图，在ABC 中，O 是边AB 的中点．按下列要求作图：①以点B 为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO 于点D ，交BC 于点E ； ②以点O 为圆心、BD 长为半径画弧，交线段OA 于点F ； ③以点F圆心、DE 长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G 与点C 在直线AB 同侧；④作直线OG ，交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（ ）A. AOM B ∠=∠B. 180OMC C ∠+∠=C. AM CM =D. 12OM AB =【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出AOM B ∠=∠，根据平行线的判定得出OM BC ∥，根据平行线的性质得出180OMC C ∠+∠=，根据平行线分线段成比例得出1AM AOCM OB==，即可得出AM CM =． 【详解】解：A ．根据作图可知：AOM B ∠=∠一定成立，故A 不符合题意； B ．∵AOM B ∠=∠， ∴OM BC ∥，∴180OMC C ∠+∠=一定成立，故B 不符合题意； C ．∵O 是边AB 的中点， ∴AO BO =， ∵OM BC ∥，为∴1AM AOCM OB==， ∴AM CM =一定成立，故C 不符合题意； D ．12OM AB =不一定成立，故D 符合题意． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，点()4,2A 在函数()0,0ky k x x=>>的图象上．将直线OA 沿y 轴向上平移，平移后的直线与y 轴交于点B ，与函数()0,0ky k x x=>>的图象交于点C ．若BC =B 的坐标是（ ）A. (B. ()0,3C. ()0,4D. (【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．如图：过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，先根据点A 坐标计算出sin OAE ∠、k 值，再根据平移、平行线的性质证明DBC OAE ∠=∠，进而根据sin sin CDDBC OAE BC∠==∠求出CD ，最后代入反比例函数解析式取得点C 的坐标，进而确定2CD =,4OD =，再运用勾股定理求得BD ，进而求得OB 即可解答．【详解】解：如图，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，则AE y ∥轴，∵()4,2A ，∴4OE =，OA =∴sinOE OAE OA ∠===． ∵()4,2A 在反比例函数的图象上， ∴428k =⨯=．∴将直线OA 向上平移若干个单位长度后得到直线BC ， ∴OA BC ∥， ∴OAE BOA ∠=∠， ∵AE y ∥轴， ∴DBC BOA ∠=∠， ∴DBC OAE ∠=∠，∴sin si n CD DBC OAE BC ∠===∠=2CD =，即点C 的横坐标为2， 将2x =代入8y x=，得4y =， ∴C 点的坐标为()2,4， ∴2CD =,4OD =，∴1BD ==，∴413OB OD BD =−=−=, ∴()0,3B 故选：B ．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．9. 单项式22a b −的次数是_____． 【答案】3 【解析】【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】单项式22a b −的次数是：213+=， 故答案为：3．10.=____．【解析】【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．==【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质． 11. 若抛物线2y x x c =−+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是________． 【答案】14c > 【解析】【分析】本题主要考查了抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点问题，掌握抛物线2y ax bx c =++与x 轴没有交点与20x x c −+=没有实数根是解题的关键．由抛物线与x 轴没有交点，运用根的判别式列出关于c 的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线2y x x c =−+与x 轴没有交点， ∴20x x c −+=没有实数根，∴2141140c c ∆=−⨯⨯=−<，14c >． 故答案为：14c >． 12. 已知直线y kx b =+（k 、b 是常数）经过点()1,1，且y 随x 的增大而减小，则b 的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“0k >，y 随x 的增大而增大；0k <，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出1k b =+，由y 随x 的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出0k <，若代入1k =−，求出b 值即可．【详解】解：∵直线y kx b =+（k 、b 是常数）经过点()1,1， ∴1k b =+．∵y 随x 的增大而减小， ∴0k <，当1k =−时，11b =−+， 解得：2b =， ∴b 的值可以是2．故答案为：2（答案不唯一）13. 一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示的方式摆放，边AB 与直线l 重合，12cm AB =．现将该三角板绕点B 顺时针旋转，使点C 的对应点C '落在直线l 上，则点A 经过的路径长至少为________cm ．（结果保留π）【答案】203π【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键．由旋转的性质可得60ABC A BC '∠=∠=︒,即120A BA '∠=︒，再根据点A 经过的路径长至少为以B 为圆心，以AB 为半径的圆弧的长即可解答．【详解】解：∵将该三角板绕点B 顺时针旋转，使点C 的对应点C '落在直线l 上， ∴60ABC A BC '∠=∠=︒,即120A BA '∠=︒， ∴点A 经过的路径长至少为12010201803ππ︒⋅⋅=︒．故答案为：203π． 14. 如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①ABD DAC ∠=∠； ②AF FG =；③当2DG =，3GB =时，2FG =；④当2BD AD =，6AB =时，DFG 上述结论中，正确结论的序号有________．【答案】①②③ 【解析】【分析】如图：连接DC ，由圆周角定理可判定①；先说明BDE AGD ∠=∠、ADE DAC ∠=∠可得DF FG =、AF FD =，即AF FG =可判定②；先证明∽ADG BDA 可得AD GDBD AD=,即AD GDDG BG AD=+,代入数据可得AD =，然后运用勾股定理可得AG =AF FG =即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O ，连接,,OD CO CD ，易得60AOD DOC ∠=∠=︒，从而证明,AOD ODC 是等边三角形，即ADCO 是菱形，然后得到30DAC OAC ∠=∠=︒，再解直角三角形可得DG =ADGS =④．【详解】解：如图：连接DC ，∵D 是AC 的中点， ∴AD DC =,∴ABD DAC ∠=∠，即①正确； ∵AB 是直径， ∴90ADB ∠=︒，∴90DAC AGD ∠+∠=︒， ∵DE AB ⊥ ∴90BDE ABD??,∵ABD DAC ∠=∠， ∴BDE AGD ∠=∠， ∴DF FG =， ∵90BDE ABD??，90BDE ADE ∠+∠=︒,∴ADE ABD ∠=∠， ∵ABD DAC ∠=∠， ∴ADE DAC ∠=∠， ∴AFFD =，∴AF FG =,即②正确； 在ADG △和BDA △,90ADG BDA DAG DBA ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ∴∽ADG BDA ， ∴AD GD BD AD =,即AD GDDG BG AD=+,∴223AD AD=+，即AD =∴AG ==∵AF FG =，∴122FG AG ==，即③正确； 如图：假设半圆的圆心为O ，连接,,OD CO CD ， ∵2BD AD =，6AB =，D 是AC 的中点， ∴1,3AD DC AB ==∴60AOD DOC ∠=∠=︒， ∵OA OD OC ==，∴,AOD ODC 是等边三角形，∴6OA AD CD OC OD =====，即ADCO 是菱形， ∴1302DAC OAC DAO ∠=∠=∠=︒， ∵90ADB ∠=︒，∴tan tan 30DG DAC AD ∠=︒=，即36DG=，解得：DG =∴11622ADGSAD DG =⋅=⨯⨯= ∵AF FG = ∴1332DFGADGSS ==故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．三、解答题：本题共10小题，共78分．15. 先化简，再求值：32222x xx x−−−，其中x=【答案】2x，2【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值问题，先算分式的减法运算，再代入求值即可．【详解】解：原式()23222222x xx xx x x−−===−−∵x=，∴原式2=16. 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成A、B、C三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．【答案】1 3【解析】【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．先列表确定出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，然后再利用概率公式计算即可．【详解】解：列表如下：共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种，所以这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为31 93 =．17. 《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．【答案】共33人合伙买金，金价为9800钱 【解析】【分析】设共x 人合伙买金，金价为y 钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设共x 人合伙买金，金价为y 钱，依题意得：4003400300100x yx y −=⎧⎨−=⎩，解得：339800x y =⎧⎨=⎩．答：共33人合伙买金，金价为9800钱．【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18. 如图，在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，O 是边AB 的中点，AOD BOC ∠=∠．求证：四边形ABCD 是矩形．【答案】证明见解析． 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用SAS 可证明AOD BOC ≌△△，得出AD BC =，根据90A B ∠=∠=︒得出AD BC ∥，即可证明四边形ABCD 是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形ABCD 是矩形．【详解】证明：∵O 是边AB 的中点， ∴OA OB =，在AOD △和BOC 中，90A B OA OB AOD BOC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AOD BOC ≌△△， ∴AD BC =， ∵90A B ∠=∠=︒， ∴AD BC ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵90A B ∠=∠=︒， ∴四边形ABCD 是矩形．19. 某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取20名学生对食堂进行满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．高中部20名学生所评分数频数分布直方图如下图：（数据分成4组：67x ≤<，78x ≤<，89x ≤<，910x ≤≤）b ．高中部20名学生所评分数在89x ≤<这一组的是：8.0 8.1 8.2 8.2 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8c ．初中部、高中部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下：根据以上信息，回答下列问题：的（1）表中m 的值为________；（2）根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”．①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为a 、b ，则a ________b ；（填“>”“<”或“=”）②高中部共有800名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数． 【答案】（1）8.3（2）①>；②估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人 【解析】【分析】（1）由题意知，高中部评分的中位数为第1011，位数的平均数，即8.28.42m +=，计算求解即可；（1）①利用中位数进行决策即可；②根据4580020+⨯，计算求解即可． 【小问1详解】解：由题意知，高中部评分的中位数为第1011，位数的平均数，即8.28.48.32m +==， 故答案为：8.3； 【小问2详解】①解：由题意知，初中部评分的中位数为8.5，高中部评分的中位数为8.3， ∴a b >， 故答案为：>； ②解：∵4580036020+⨯=， ∴估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人．【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体．熟练掌握条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体是解题的关键．20. 图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD ，使其是轴对称图形且点C 、D 均在格点上．（1）在图①中，四边形ABCD面积为2；（2）在图②中，四边形ABCD面积为3；（3）在图③中，四边形ABCD面积为4．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键．（1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形ABCD即可．（2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形ABCD即可．（3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形ABCD即可．【小问1详解】解：如图①：四边形ABCD即为所求；（不唯一）．【小问2详解】解：如图②：四边形ABCD即为所求；（不唯一）．【小问3详解】解：如图③：四边形ABCD 即为所求；（不唯一）．21. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶112小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y （千米）与在此路段行驶的时间x （时）之间的函数图象如图所示．（1）a 的值为________； （2）当112x a ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】（1）15（2）11902125y x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭（3）没有超速 【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．（1）由题意可得：当以平均时速为100/千米时行驶时，a 小时路程为20千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶112小时的速度，据此即可解答． 【小问1详解】解：由题意可得：10020a =，解得：15a =． 故答案为：15． 【小问2详解】 解：设当11125x ≤≤时，y 与x 之间函数关系式为()0y kx b k =+≠， 则：11761205k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：902k b =⎧⎨=⎩，∴11902125y x x ⎛⎫=+≤≤⎪⎝⎭．【小问3详解】 解：当112x =时，19029.512y =⨯+=， ∴先匀速行驶112小时的速度为：19.5114/12÷=（千米时）， ∵114120＜，∴辆汽车减速前没有超速． 22. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边ABC 中，3AB =，点M 、N 分别在边AC 、BC 上，且AM CN =，试探究线段MN 长度的最小值．的【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：AM MP =；（2）CAP ∠的大小为 度，线段MN 长度的最小值为________． 【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，ABC 是等腰三角形，四边形BCDE 是矩形，2AB AC CD ===米，30ACB ∠=︒．MN 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M 在AC 上，点N 在DE 上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM DN =．钢丝绳MN 长度的最小值为多少米．【答案】问题解决：（1）见解析（2）30，32；方法应用：线段MN 长度的最小值为2米 【解析】【分析】（1）过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ，根据平行四边形性质证明结论即可； （2）先证明30CAPMPA ??，根据垂线段最短求出最小值；（3）过点D 、M 分别作MN 、ED 的平行线，并交于点H ，作射线AH ，连接AD ，求出15MAH ?，进而得45DAH ∠=︒，利用垂线段最短求出即可．【详解】解：问题解决：（1）证明：过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ，∴四边形MNCP 是平行四边形，NC MP MN PC \==，AM NC =AM MP ∴=；（2）在等边ABC 中，60ACB ∠=︒，MP CN ∥60PMC ACB \???AM MP =30CAP MPA \???；当CP AP ⊥时，CP 最小，此时MN 最小， 在Rt ACP 中，3,30AC CAP=??13322CP \=?， ∴线段MN 长度的最小值为32； 方法应用：过点D 、M 分别作MN 、ED 的平行线，并交于点H ，作射线AH ，连接AD ，∴四边形MNDH 是平行四边形，,ND MH MN DH MH ED \==，∥AM ND =AM MH ∴=，四边形BCDE 是矩形，,90BC ED BCD \??∥ BC MH \∥ 30ACB CMH\???AM MH = 15MAH \??3m,120AC CD ACD ACB BCD ==????30DAC ∴∠=︒45DAH ∴∠=︒∴当DH AH ⊥时，DH 最小，此时MN 最小，作CR AD ⊥于点R ，在Rt ACR 中，3,30AC CAR =??13322CR \=?，2AR \=2AD AR \==在Rt ADH中，45AD DAH=??2DH AH \==∴线段MN【点睛】本题考查了平行四边形判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键．23. 如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =．点D 是边BC 上的一点（点D 不与点B 、C 重合），作射线AD ，在射线AD 上取点P ，使AP BD =，以AP 为边作正方形APMN ，使点M 和点C 在直线AD 同侧．的（1）当点D 是边BC 的中点时，求AD 的长；（2）当4BD =时，点D 到直线AC 的距离为________； （3）连结PN ，当PN AC ⊥时，求正方形APMN 的边长；（4）若点N 到直线AC 的距离是点M 到直线AC 距离的3倍，则CD 的长为________．（写出一个即可）【答案】（1）4 （2）85（3）177（4）256或259 【解析】【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设AP x =，则BD x =，6CD x =−，过点D 作DHAC ⊥于Q，根据AQ CQ AC +=，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，M ，N 在AC 异侧时，设MQ m =，3NQ m =，则4AN m =，证明CDE ANQ ∽，得到CE CDNQ AQ=，即可求解；第二种情况，当M ，N 在AC 同侧，设CD x =，则35CH x =，45DH x =，3425AH x =⨯，求得3345525x x +⨯=，解方程即可求解； 【小问1详解】 解：根据题意可知：5AB AC ==，ABC ∴为等腰三角形，故点D 是边BC 的中点时，AD BC ⊥；在Rt ADC 中，4AD ====；【小问2详解】根据题意作DH AC ⊥，如图所示；当4BD =时，则2CD =，设点D 到直线AC 的距离为DH h =，1124522ACDSh =⨯⨯=⨯⨯， 解得：85h =； 【小问3详解】如图，当NP AC ⊥时，点M 落在AC 上，设AP x =，则BD x =，6CD x =−， 过点D 作DH AC ⊥于Q 则()33655CQ CD x ==−，()44655DQ CD x ==− ()44655AQ DQ CD x ===−，AQ CQ AC +=，()()3466555x x ∴−+−= 解得：177x = 故177=AP ， 所以正方形APMN 的边长为177； 【小问4详解】如图，M ，N 在AC 异侧时；设MQ m =，3NQ m =，则4AN m =ANQ ∴三边的比值为3:4:5，AQN C ∴∠=∠，CAD C ∴∠=∠，∴CDE ANQ ∽CE CDNQ AQ= ∴5525326CD =⨯= 当M ，N 在AC 同侧设MQ m =，则3AN AP m ==，2PQ m =，APO ∴三边比为，AQD ∴三边比为设CD x =，则35CH x =，45DH x =，3425AH x =⨯3345525x x ∴+⨯= 解得：259CD x ==综上所述：CD 的长为256或259 24. 在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线22y x x c =++（c 是常数）经过点()2,2−−．点A 、B 是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m 、m −，点C 的横坐标为5m −，点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同，连结AB 、AC ．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求证：当m 取不为零的任意实数时，tan CAB ∠的值始终为2；（3）作AC 的垂直平分线交直线AB 于点D ，以AD 为边、AC 为对角线作菱形ADCE ，连结DE ． ①当DE 与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE 的面积；②当此抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时，直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）222y x x =+−（2）见详解 （3）①9ADCE S =菱形；②3m ≤−或10m −≤<或04m <≤ 【解析】【分析】（1）将()2,2−−代入22y x x c =++，解方程即可；（2）过点B 作BH AC ⊥于点H ，由题意得()()22,22,,22A m m m B m m m +−−−−，则4A B BH y y m =−=，2A B AH x x m =−=，因此tan 2BHCAB AH∠==； （3）①记,AC DE 交于点M ， ()25,22C m m m −+−，而对称轴为直线=1x −，则512m m−+=−，解得：12m =，则32AM =，3AC =，由tan 232DM DMCAB AM∠===，得3DM =，则6DE =，因此9ADCE S =菱形；②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F ，则()1,3F −−，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当0m >时，符合题意；当m 继续变大，直至当直线CD 经过点F 时，符合题意， 过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，由CAD FCQ ∠=∠，得到()()2223215m m m +−−−=−−−，解得：4m =4m =+（舍），故04m <≤，当4m >时，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当0m <时，符合题意：当m 继续变小，直至点A 与点F 重合，此时1m =−，故10m −≤<；当m 继续变小，直线AE 经过点F 时，也符合题意， 过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，同上可得，()222321m m m+−−−=−−，解得：3m =−或1m =−（舍），当m 继续变小时，仍符合题意，因此3m ≤−，故m 的取值范围为：3m ≤−或10m −≤<或04m <≤． 【小问1详解】解：将()2,2−−代入22y x x c =++， 得：442c −+=−， 解得：2x =−，∴抛物线表达式为：222y x x =+−； 【小问2详解】解：过点B 作BH AC ⊥于点H ，则90AHB ∠=︒，由题意得：()()22,22,,22A m m m B m m m +−−−−，∴4A B BH y y m =−=，2A B AH x x m =−=， ∴在Rt AHB △中，4tan 22mBH CAB AH m∠===； 【小问3详解】解：①如图，记,AC DE 交于点M ，由题意得，()25,22C m m m −+−，由2122b a −=−=−， 得：对称轴为直线：=1x − ∵四边形ADCE 是菱形，∴点A 、C 关于DE 对称，2,2AC AM DE DM ==， ∵DE 与此抛物线的对称轴重合， ∴512m m−+=−， 解得：12m =， ∴12A x =， ∴()13122AM =−−=∴3AC =， ∵tan 232DM DMCAB AM∠===， ∴3DM =，则6DE =， ∴192ADCE S DE AC =⨯=菱形； ②记抛物线顶点为点F ，把=1x −代入222y x x =+−，得：=3y −，∴()1,3F −−，∵抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大， ∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线， 当0m >时，如图，符合题意，当m 继续变大，直至当直线CD 经过点F 时，符合题意，如图：过点F 作FQ AC ⊥于点Q ， ∵四边形ADCE 是菱形， ∴DA DC =， ∴CAD FCQ ∠=∠， ∴tan tan 2FQFCQ CAD CQ∠=∠==， ∴()()2223215m m m +−−−=−−−，解得：4m =4m =+（舍），∴04m <≤，当4m >当0m <时，如图，符合题意：当m 继续变小，直至点A 与点F 重合，此时1m =−，符合题意，如图：∴10m −≤<；当m 继续变小，直至直线AE 经过点F 时，也符合题意，如图：过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，同上可得，tan 2FQFAQ AQ∠==， ∴()222321m m m+−−−=−−，解得：3m =−或1m =−（舍）， 当m 继续变小时，仍符合题意，如图：∴3m ≤−，综上所述，m 的取值范围为：3m ≤−或10m −≤<或04m <≤．【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键．。
吉林省长春市第八中学2020届高三下学期测试十二数学(理)试题参考答案
因此 f (x) f (x) ln(x 2 1 x 2) 2 2 ， 因此关于 x 的不等式 f (2x 1) f (2x) 2 ，可化为 f (2x 1) 2 f (2x) f (2x) ；
又 y 2019x 2019x 单调递增， y ln( x2 1 x) 单调递增，
∴ 3
2x
y
5
，解得
y
4
，∴
x
yi
3 4i
5 ．故选
A．
2.【答案】C
【解析】由已知得直线 Ax＋By＋C＝0 在 x 轴上的截距－C＞0，在 y 轴上的截距－ A
C＞0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选 C． B
3.【答案】C
4.【答案】A
【解析】由 x 0 时，得 x 1 2 x
F1(c, PF2
0) ， (2a
F2 (c, m,
03)m，即3Fa1)(，2a所, 0以) ，PFF12P(2Fa2,
0) ，得 PF1 (2a 4m2 6ma a 2
m, 4(m
于
m
[a,
0]
，可知当
m
3 4
a
时，
PF1 PF2
取得最小值，此时
3m 3a)2 4
3a) ， 13a 2 ，由 4
将 f(log1 (2x－5))>f(log38)化为|log1 (2x－5)|>|log38|，即 log3(2x－5)>log38 或 log3(2x
3
3
－5)<－log38＝log318，即
2x－5>8
或
0<2x－5<1，解得 8
x>13或5<x<41。故选 2 2 16
吉林省长春市中考数学试卷及答案(Word解析版)
吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）（•长春）的绝对值等于（）A．B．4C．D．﹣4考点：绝对值．分析：根据负数的绝对值等于它的相反数解答．解答：解：﹣的绝对值等于，即|﹣|=．故选A．点评：本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）（•长春）如图是由四个相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的正视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：从正面看易得第一层有1个长方形，位于左边，第二层有2个长方形．故选D．点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．（3分）（•长春）我国第一艘航空母舰辽宁航空舰的电力系统可提供14 000 000瓦的电力．14 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．14×106B．1.4×107C．1.4×108D．0.14×108考点：科学记数法—表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于14 000 000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．解答：解：14 000 000=1.4×107．故选B．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．4．（3分）（•长春）不等式2x＜﹣4的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式分析：首先解不等式求得不等式的解集，根据数轴上点的表示法即可判断．解答：解：解不等式得：x＜﹣2．故选D．点评：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．5．（3分）（•长春）如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D 在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°考点：平行线的性质；直角三角形的性质．分析：首先根据垂直定义可得∠ADE=90°，再根据∠FDE=30°，可得∠ADF=60°，然后根据两直线平行同位角相等可得∠B的大小．解答：解：∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠FDE=30°，∴∠ADF=90°﹣30°=60°，∵BC∥DF，∴∠B=∠ADF=60°，故选：C．点评：此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行同位角相等．6．（3分）（•长春）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=71°，∠CAB=53°，点D在AC 弧上，则∠ADB的大小为（）A．46°B．53°C．56°D．71°考点：圆周角定理．分析：根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据圆周角定理得出∠C，求出即可．解答：解：∵∠ABC=71°，∠CAB=53°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=56°，∵弧AB对的圆周角是∠ADB和∠ACB，∴∠ADB=∠ACB=56°，故选C．点评：本题考查了圆周角定理和三角形内角和定理的应用，关键是求出∠ACB的度数和得出∠ACB=∠ADB．7．（3分）（•长春）如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为（）A．B．C．2D．3考点：相似三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：先根据题意判断出△ABD∽△BDC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出CD的长．解答：解：∵∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，∴△ABD∽△BDC，∴=，即=，解得CD=．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．8．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x 轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点在直线y=x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为（）A．B．3C．4D．5考点：一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移分析：根据平移的性质知BB′=AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度．解答：解：如图，连接AA′、BB′．∵点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，∴点A′的纵坐标是3．又∵点A的对应点在直线y=x上一点，∴3=x，解得x=4．∴点A′的坐标是（4，3），∴AA′=4．∴根据平移的性质知BB′=AA′=4．故选C．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣﹣平移．根据平移的性质得到BB′=AA′是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）（•长春）计算：a2•5a=5a3．考点：单项式乘单项式专题：计算题．分析：利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果．解答：解：原式=5a3．故答案为：5a3．点评：此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（3分）（•长春）吉林广播电视塔“五一”假期第一天接待游客m人，第二天接待游客n人，则这2天平均每天接待游客人（用含m、n的代数式表示）．考点：列代数式分析：用两天接待的游客总人数除以天数，即可得解．解答：解：2天平均每天接待游客．故答案为：．点评：本题考查了列代数式，比较简单，熟练掌握平均数的求法是解题的关键．11．（3分）（•长春）如图，MN是⊙O的弦，正方形OABC的顶点B、C在MN上，且点B是CM的中点．若正方形OABC的边长为7，则MN的长为28．考点：垂径定理；正方形的性质．分析：根据正方形性质得出BC=7，∠OCB=90°，根据垂径定理得出CM=2BC，推出MN=4BC，代入求出即可．解答：解：∵四边形OABC是正方形，∴BC=7，∠OCB=90°，∴OC⊥MN，∴由垂径定理得：MN=2CM，∵点B是CM的中点，∴CM=2BC，∴MN=4BC=4×7=28，故答案为：28．点评：本题考查了垂径定理和正方形性质的应用，关键是推出MN=4BC．12．（3分）（•长春）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC 的大小为65度．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据作法可得AB=CD，BC=AD，然后利用“边边边”证明△ABC和△CDA全等，再根据全等三角形对应角相等解答．解答：解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，∴AB=CD，BC=AD，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA，∴∠ADC=∠B=65°．故答案为：65．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据作法得到全等三角形相等的边是解题的关键．13．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数位于第一象限的图象上，则k 的值为．考点：正多边形和圆；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：连接OB，过B作BM⊥OA于M，得出等边三角形AOB，求出OB，根据锐角三角函数求出BM和OM，即可得出B的坐标，代入即可求出答案．解答：解：连接OB，过B作BM⊥OA于M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB==60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=6，∴BM=OB•sin∠BOA=6×sin60°=3，OM=OB•COS60°=3，即B的坐标是（3，3），∵B在反比例函数位于第一象限的图象上，∴k=3×3=9，故答案为：9．点评：本题考查了正多边形性质，锐角三角函数，反比例函数的性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出B的坐标．14．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=于点B、C，则BC的长值为6．考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为（0，3），再将y=3代入y=，求出x的值，得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度．解答：解：∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，3）．当y=3时，=3，解得x=±3，∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3），∴BC=3﹣（﹣3）=6．故答案为6．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于x轴上的两点之间的距离，比较简单．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）（•长春）先化简，再求值：，其中x=．考点：分式的化简求值专题：计算题．分析：将的分子因式分解，然后约分；再将（x﹣2）2展开，合并同类项后再代入求值即可．解答：解：原式==4x+x2﹣4x+4=x2+4．当x=时，原式==11．点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及约分、通分是解题的关键．16．（6分）（•长春）甲、乙两人各有一个不透明的口袋，甲的口袋中装有1个白球和2个红球，乙的口袋中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人分别从各自口袋中随机摸出1个球，用画树状图（或列表）的方法，求两人摸出的球颜色相同的概率．考点：列表法与树状图法专题：计算题．分析：列表得出所有等可能的情况数，找出两人摸出的求颜色相同的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：列表如下：甲乙结果白红红白（白，白）（红，白）（红，白）白（白，白）（红，白）（红，白）红（白，红）（红，红）（红，红）所有等可能的情况有9种，其中颜色相同的情况有4种，则P（两人摸出的球颜色相同）=．点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（6分）（•长春）某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．求第一组的人数．考点：分式方程的应用．分析：首先设第一组有x人，则第二组人数是1.5x人，根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数﹣第二组同学共带图书27本÷第二组的人数=1，根据等量关系列出方即可．解答：解：设第一组有x人．根据题意，得=，解得x=6．经检验，x=6是原方程的解，且符合题意．答：第一组有6人．点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，不要忘记检验．18．（7分）（•长春）在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：AD=BF．考点：平行四边形的性质专题：证明题．分析：根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=EF，AD∥EF，再根据两直线平行，同位角相等可得∠ACB=∠FEB，根据等边对等角求出∠ACB=∠B，从而得到∠FEB=∠B，然后根据等角对等边证明即可．解答：证明：∵四边形ADEF为平行四边形，∴AD=EF，AD∥EF，∴∠ACB=∠FEB，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠FEB=∠B，∴EF=BF，∴AD=BF．点评：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．19．（7分）（•长春）如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米，桥墩顶部点C距水面的高度CD为23.17米．从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为26°，求岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin26°=0.44，cos26°=0.90，tan26°=0.49）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：在Rt△CAE中，利用CD、DE的长和已知的角的度数，利用正弦函数可求得AC的长．解答：解：由题意知，DE=AB=2.17，∴CE=CD﹣DE=12.17﹣2.17=10．在Rt△CAE中，∠CAE=26°，sin∠CAE=，∴AC===≈22.7（米）．答：岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离约为22.7米．点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．20．（7分）（•长春）某校学生会为了解学生在学校食堂就餐剩饭情况，随机对上周在食堂就餐的n名学生进行了调查，先调查是否剩饭的情况，然后再对其中剩饭的每名学生的剩饭次数进行调查．根据调查结果绘制成如下统计图．（1）求这n名学生中剩饭学生的人数及n的值．（2）求这n名学生中剩饭2次以上的学生占这n名学生人数的百分比．（3）按上述统计结果，估计上周在学校食堂就餐的1 200名学生中剩饭2次以上的人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图专题：计算题．分析：（1）由条形统计图中的数据相加即可求出n名学生中剩饭的学生人数，除以剩饭学生所占的百分比即可求出学生的总数，即为n的值；（2）根据条形统计图得到剩饭2次以上的人数，除以n的值，即可求出结果；（3）根据（2）中求出的百分比，乘以1200即可得到结果．解答：解：（1）根据题意得：这n名学生中剩饭学生的人数为58+41+6=105（人），n的值为105÷70%=150，则这n名学生中剩饭的学生有105人，n的值为150；（2）根据题意得：6÷150×100%=4%，则剩饭2次以上的学生占这n名学生人数的4%；（3）根据题意得：1200×4%=48（人）．则估计上周在学校食堂就餐的1200名学生中剩饭2次以上的约有48人．点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．21．（8分）（•长春）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为线段OA，乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为折线BC﹣CD﹣DE，如图所示，从甲队开始工作时计时．（1）分别求线段BC、DE所在直线对应的函数关系式．（2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长．考点：一次函数的应用分析：（1）先求出乙队铺设路面的工作效率，计算出乙队完成需要的时间求出E的坐标，再由待定系数法就可以求出结论．（2）由（1）的结论求出甲队完成的时间，把时间代入乙的解析式就可以求出结论．解答：（1）设线段BC所在直线对应的函数关系式为y=k1x+b1．∵图象经过（3，0）、（5，50），∴∴线段BC所在直线对应的函数关系式为y=25x﹣75．设线段DE所在直线对应的函数关系式为y=k2x+b2．∵乙队按停工前的工作效率为：50÷（5﹣3）=25，∴乙队剩下的需要的时间为：（160﹣50）÷25=，∴E（，160），∴，解得：∴线段DE所在直线对应的函数关系式为y=25x﹣112.5．（2）由题意，得甲队每小时清理路面的长为 100÷5=20，甲队清理完路面的时间，x=160÷20=8．把x=8代入y=25x﹣112.5，得y=25×8﹣112.5=87.5．答：当甲队清理完路面时，乙队铺设完的路面长为87.5米．点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，工作总量=工作效率×工作时间的运用，解答时求出函数的解析式是关键．22．（9分）（•长春）探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E．若AE=10，求四边形ABCD的面积．应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于点E．若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为152．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质．分析：探究：过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，先判定四边形AFCE为矩形，根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB=∠EAD，再利用“角角边”证明△AFB和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到四边形AFCE是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解；应用：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，根据同角的补角相等可得∠ABC=∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=AE，再根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD列式计算即可得解．解答：探究：如图①，过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，∵AE⊥CD，∠BCD=90°，∴四边形AFCE为矩形，∴∠FAE=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°，∵∠EAD+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠EAD，∵在△AFB和△AED中，，∴△AFB≌△AED（AAS），∴AF=AE，∴四边形AFCE为正方形，∴S四边形ABCD=S正方形AFCE=AE2=102=100；应用：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，则∠ADF+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADF，∵在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AF=AE=19，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=BC•AE+CD•AF=×10×19+×6×19=95+57=152．故答案为：152．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键；（2）作辅助线构造出全等三角形并把四边形分成两个三角形是解题的关键．23．（10分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2 与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）求点C在这条抛物线上时m的值．（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值．（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（，））考点：二次函数综合题分析：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx﹣2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标为（m，2），再将C的坐标代入y=x2﹣x﹣2，即可求出m的值；（3）①先由旋转的性质得出点D的坐标为（m，﹣2），再根据二次函数的性质求出抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴为直线x=，然后根据点D在直线x=上，即可求出点D的坐标；②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE时，分别以D、N为直角顶点，在DN的两侧分别作出等腰直角三角形DNE，E点的位置分四种情况讨论．针对每一种情况，都可以先根据等腰直角三角形的性质求出点E的坐标，然后根据点E在直线x=上，列出关于m的方程，解方程即可求出m的值．解答：解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0）、B（4，0），∴解得∴抛物线所对应的函数关系式为y=x2﹣x﹣2；（2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，∴CM=MN=2，∴点C的坐标为（m，2），∵点C（m，2）在抛物线上，∴m2﹣m﹣2=2，解得m1=，m2=．∴点C在这条抛物线上时，m的值为或；（3）①∵将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN，∴∠CND=90°，DN=CN=CM=MN，∴CD=CN=2CM=2MN，∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，∴点D的坐标为（m，﹣2）．又∵抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴为直线x=，点D在这条抛物线的对称轴上，∴点D的坐标为（，﹣2）；②如图，以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，E点的位置有四种情况：如果E点在E1的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），MN=ME1=2，点N的坐标为（m+2，0），∴点E1的（m﹣2，0），∵点E1在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m﹣2=，解得m=；如果E点在E2的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0），∴点E2的（m+2，﹣4），∵点E2在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m+2=，解得m=﹣；如果E点在E3的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），∴点E3的（m，2），∵点E3在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m=；如果E点在E4的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0），∴点E4的（m+4，﹣2），∵点E4在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m+4=，解得m=﹣；综上可知，当点E在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的m的值为m=﹣或m=﹣或m=或m=．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，综合性较强，难度适中．其中（3）②要注意分析题意分情况讨论E点可能的位置，这是解题的关键．24．（12分）（•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A ﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．考点：四边形综合题．分析：（1）分情况讨论，当点P沿A﹣D运动时，当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值；（2）分类讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S 与t的函数关系式；（3）分情况讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；（4）分情况讨论当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，如图⑥，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D﹣A之间如图⑦，根据菱形的性质建立方程求出其解即可．解答：解：（1）当点P沿A﹣D运动时，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．当点P沿D﹣A运动时，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．（2分）（2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1．当点P与点D重合时，AP=AD，8t﹣8=50，t=．当0＜t＜1时，如图①．作过点Q作QE⊥AB于点E．S△ABQ==，∴QE===．∴S=﹣30t2+30t．当1＜t≤时，如图②．S==，∴S=48t﹣48；（3）当点P与点R重合时，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=．当0＜t≤1时，如图③．∵S△BPM=S△BQM，∴PM=QM．∵AB∥QR，∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，在△BPM和△RQM中，∴△BPM≌△RQM．∴BP=RQ，∵RQ=AB，∴BP=AB∴13t=13，解得：t=1当1＜t≤时，如图④．∵BR平分阴影部分面积，∴P与点R重合．∴t=．当＜t≤时，如图⑤．∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四边形BQPR．∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1或时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．（4）如图⑥，当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC 时，∴∠C′OQ=∠OQC．∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ，∴∠CQO=∠COQ，∴QC=OC，∴50﹣5t=50﹣8（t﹣1）+13，或50﹣5t=8（t﹣1）﹣50+13，解得：t=7或t=．当P在A﹣D之间或D﹣A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，∴50﹣5t+13=8（t﹣1）﹣50，解得：t=．∴当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．点评：本题考查了平行四边形的性质的运用，菱形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分类讨论的数学思想的运用，轴对称的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用动点问题的解答方法确定分界点是解答本题的关键和难点．。
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷（十）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）在2-□3的“□”中填入一个运算符号使运算结果最小() A．+B．-C．⨯D．÷2．（3分）据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338600000亿次，数字338600000用科学记数法可表示为()A．933.8610⨯D．8⨯C．7⨯B．90.3386103.38610⨯3.386103．（3分）如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体()A．主视图改变，俯视图改变B．左视图改变，俯视图改变C．俯视图不变，左视图改变D．主视图不变，左视图不变4．（3分）一元二次方程2+=的根的情况是()413x xA．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．（3分）如图，以正五边形ABCDE的边DE为边作等边三角形DEF，使点F在其内部，连结FC，则DFE∠的大小是()A．76︒B．66︒C．60︒D．48︒6．（3分）在ABCD中，AB BC<，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，若∆的周长为()ABCD的周长为20cm，则CDEA ．20cmB ．40cmC ．15cmD ．10cm7．（3分）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为1:2的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．4mB ．25mC ．833mD ．8m8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB 、AC 相交于点D ，//BE AC ，//AE OB ．函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过点E ．若点A 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,2)，则k 的值为( )A ．3B ．4C ．4.5D ．6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：24a a = ．10．（3分）关于x 的方程21x a +=的解是负数，则a 的取值范围是 ．11．（3分）如图，①以点A 为圆心2cm 长为半径画弧分别交MAN ∠的两边AM 、AN 于点B 、D ；②以点B 为圆心，AD 长为半径画弧，再以点D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点C ； ③分别连结BC 、CD 、AC ．若60MAN ∠=︒，则ACB ∠的大小为 ．12．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、AD 的中点，若8AB =，则EF = ．13．（3分）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是 ．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为3(2-，2)、5(2，2)，连结AB ，若函数21()2y x h =-与线段AB 有交点，则h 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．（6分）先化简，再求值：2(1)(3)x x x ---，其中51x =．16．（6分）一个不透明的口袋中有1个红球、1个黄球、1个篮球，这些球除颜色不同外其他完全相同，小刚同学从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀；再从口袋中随机摸出一个球记下颜色，用画树状图或列表格的方法，求小刚同学摸出的小球一次红色一次黄色的概率．17．（6分）我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．18．（7分）如图，ABP ∆是等边三角形的顶点A 、B 均在O 上，PB 与O 相切于点B ，BC 为O 直径．（1）求证：PA 是O 的切线．（2）连结OP，若4BC=，则OP的长为．19．（7分）图①、图②、图③都是66⨯的网格，每个小正方形的顶点称为格点．ABC∆顶点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．（1）在图①中画出ABC∆中BC边上的中线AD．（2）在图②中画出ABC∆的AB边上确定一点E，使2AE BE=．（3）在图③中画出BMN∆，使得BMN∆与ABC∆是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在AB、AC边上，位似比为13．20．（7分）某社区调查社区居民双休日的学习状况，采取下列调查方式：（1）下列调查方式最合理的是（填序号）．①从一幢高层住宅楼中选取200名居民；②从不同住宅楼中随机选取200名居民；③选取社区内的200名在校学生．（2）将最合理的调查方式得到的数据制成了如下扇形统计图和条形统计图．①补全条形统计图．②在这次调查中，200名居民中，在家学习的有人．（3）请估计该社区2000名居民中双休日学习时间不少于4小时的人数．21．（8分）某公司计划开发一批新产品，由甲、乙两个工厂同时加工这批产品．乙工厂先加工了两天后，维修设备，当维修完设备时，甲、乙两工厂加工的新产品数量相等，乙工厂再以原来的工作效率继续加工这批产品．甲、乙两工厂加工新产品的数量y（件)、甲（件)与加工新产品的时间x（天)的函数图象如图所示．y乙（1）甲工厂每天加工件新产品；（2）乙工厂维修设备的时间是多少天；（件)与加工新产品的时间x（天)的函数（3）求乙工厂维修设备后加工新产品的数量y乙关系式，并写出自变量x的取值范围．22．（9分）【问题情境】如图①，在Rt ABC=，点D为AB中点，连结CD，点E为CB∠=︒，AC BCACB∆中，90上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE CF=．（不需要证明）【探索发现】如图②，在Rt ABC=，点D为AB中点，连结CD，点E为CB∠=︒，AC BC∆中，90ACB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边ABC∆中，4AB=，点D是AB中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C 重合），将射线DE 绕点D 逆时针旋转60︒交BC 于点F ．当2CF CE =时，CE = ．23．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，3AC =．动点P 从点C 出发以每秒1个单位的速度沿CA 匀速向终点A 运动，同时点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB 匀速向终点B 运动，以PC 、PQ 为邻边构造平行四边形PQMC ，当点P 到达点A 时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求线段AB 的长．（2）当PQ 与ABC ∆的边平行或垂直时，求t 的值．（3）设平行四边形PQMC 与ABC ∆重叠部分图形的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．（4）以PC 为边向左侧做正方形PCEF ，当正方形PCEF 和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出t 的取值范围．24．（12分）定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”． 例如：2(1)2y x =--的“同轴对称抛物线”为2(1)2y x =--+．（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合： ．（2）求抛物线2112y x x =-++的“同轴对称抛物线”． （3）如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线2:41L y ax ax =-+上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B '、C '，连接BC 、CC '、B C ''、BB '，设四边形BB C C ''的面积为(0)S S>．①当四边形BB C C''为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷（十）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）在2-□3的“□”中填入一个运算符号使运算结果最小() A．+B．-C．⨯D．÷【解答】解：231-+=，235--=-，236-⨯=-，2 233-÷=-，26513-<-<-<，∴在2-□3的“□”中填入一个运算符号“⨯”使运算结果最小，故选：C．2．（3分）据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338600000亿次，数字338600000用科学记数法可表示为()A．93.38610⨯B．90.338610⨯C．733.8610⨯D．83.38610⨯【解答】解：将338600000用科学记数法表示为：83.38610⨯．故选：D．3．（3分）如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体()A．主视图改变，俯视图改变B．左视图改变，俯视图改变C．俯视图不变，左视图改变D．主视图不变，左视图不变【解答】解：几何体由上下两层组成，将正方体①移走前的主视图为：上层有一个正方形，下层有四个正方形，正方体①移走后的主视图为：上层有一个正方形，下层有四个正方形，没有改变；将正方体①移走前的左视图为：上层有一个正方形，下层有两个正方形，正方体①移走后的左视图为：上层有一个正方形，下层有两个正方形，没有发生改变；将正方体①移走前的俯视图为：前面有两个正方形，后面有四个正方形，正方体①移走后的俯视图为：前面有一个正方形，后面有四个正方形，发生改变，4．（3分）一元二次方程2413x x +=的根的情况是( )A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解答】解：原方程可变形为24310x x -+=，△2(3)44170=--⨯⨯=-<，∴一元二次方程2413x x +=没有实数根． 故选：A ．5．（3分）如图，以正五边形ABCDE 的边DE 为边作等边三角形DEF ，使点F 在其内部，连结FC ，则DFE ∠的大小是( )A ．76︒B ．66︒C ．60︒D ．48︒【解答】解：因为DEF ∆是等边三角形，所以60DFE ∠=︒，故选：C ．6．（3分）在ABCD 中，AB BC <，对角线AC 的垂直平分线交AD 于点E ，连结CE ，若ABCD 的周长为20cm ，则CDE ∆的周长为( )A ．20cmB ．40cmC ．15cmD ．10cm【解答】解：对角线AC 的垂直平分线交AD 于点E ，AE CE ∴=， ABCD 的周长为20cm ，10AD DC cm ∴+=，CDE ∴∆的周长10DE CE CD AE DE CD AD CD cm =++=++=+=，7．（3分）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为1:2的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．4mB ．25mC ．833mD ．8m 【解答】解：如图，AB 的坡度为1:2， ∴12AC BC =，即142AC =， 解得，2AC =， 由勾股定理得，22224225()AB BC AC m =+=+=，故选：B ．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB 、AC 相交于点D ，//BE AC ，//AE OB ．函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过点E ．若点A 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,2)，则k 的值为( )A ．3B ．4C ．4.5D ．6【解答】解：//BE AC ，//AE OB ，∴四边形AEBD 是平行四边形，四边形OABC 是矩形，C 的坐标为(0,2)，12DA AC ∴=，12DB OB =，AC OB =，2AB OC ==， DA DB ∴=，∴四边形AEBD 是菱形；连接DE ，交AB 于F ，如图所示： 四边形AEBD 是菱形，AB ∴与DE 互相垂直平分，3OA =，2OC =，1322EF DF OA ∴===，112AF AB ==，39322+=，∴点E 坐标为：9(2，1)．函数(0,0)ky k x x =>>的图象经过点E ，99122k ∴=⨯=．故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（3分）计算：24a a = 6a ． 【解答】解：24246a a a a +==． 故答案为：6a ．10．（3分）关于x 的方程21x a +=的解是负数，则a 的取值范围是 0.5a > ． 【解答】解：21x a +=的解为12x a =-，120a ∴-<，则0.5a >， 故答案为：0.5a >．11．（3分）如图，①以点A 为圆心2cm 长为半径画弧分别交MAN ∠的两边AM 、AN 于点B 、D ；②以点B 为圆心，AD 长为半径画弧，再以点D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点C ； ③分别连结BC 、CD 、AC ．若60MAN ∠=︒，则ACB ∠的大小为 30︒ ．【解答】解：由题意可得：2AB BC CD AD cm ====， ∴四边形ABCD 是菱形，//BC DA ∴，1302CAB CAD MAN ∠=∠=∠=︒，30ACB CAD ∴∠=∠=︒，故答案为：30︒．12．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、AD 的中点，若8AB =，则EF = 2 ．【解答】解：在Rt ABC ∆中，D 是AB 的中点，且8AB =， AD BD ∴=，142CD AB ∴==， AF DF =，AE EC =，122EF CD ∴==．故答案为：2．13．（3分）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是 2210+ ．【解答】解：根据题意，三角形的底边为2(1024)2÷-=，腰的平方为223110+=， 因此等腰三角形的腰为10， 因此等腰三角形的周长为：2210+． 答：展开后等腰三角形的周长为2210+．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为3(2-，2)、5(2，2)，连结AB ，若函数21()2y x h =-与线段AB 有交点，则h 的取值范围是 7922h- ．【解答】解：函数21()2y x h =-，∴对称轴为x h =，当32h <-时，点3(2-，2)在函数图象上，则有2132()22h =--，解得72h =-或12h =（舍)，当52h >时，点5(2，2)在函数图象上， 则有则有2152()22h =-，解得12h =（舍)或92h =， 7922h∴-时函数与线段AB 有交点， 故答案为7922h-． 三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(1)(3)x x x ---，其中51x =． 【解答】解：原式22213x x x x =-+-+1x =+，当51x =时，原式11=+=．16．（6分）一个不透明的口袋中有1个红球、1个黄球、1个篮球，这些球除颜色不同外其他完全相同，小刚同学从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀；再从口袋中随机摸出一个球记下颜色，用画树状图或列表格的方法，求小刚同学摸出的小球一次红色一次黄色的概率．【解答】解：列表如下：所有等可能的情况有9种，其中摸出的小球一次红色一次黄色的情况有2种，所以摸出的小球一次红色一次黄色的概率为29．17．（6分）我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．【解答】解：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机(150%)x+万部，根据题意得：3003005(150%)x x-=+，解得：20x=，经检验，20x=是原方程的解，且符合题意，(150%)30x∴+=．答：每月实际生产智能手机30万部．18．（7分）如图，ABP∆是等边三角形的顶点A、B均在O上，PB与O相切于点B，BC为O直径．（1）求证：PA是O的切线．（2）连结OP，若4BC=，则OP的长为4．【解答】证明：（1）如图，连接OA ，OP ，AC ，PB 与O 相切于点B ，90PBO ∴∠=︒， ABP ∆是等边三角形，AB PB ∴=，60PAB PBA APB ∠=∠=︒=∠， 30OBA ∴∠=︒， OA OB =，30OAB OBA ∴∠=∠=︒， 90OAP ∴∠=︒，且OA 是半径，PA ∴是O 的切线；（2）PA 是O 的切线，PB 是O 的切线，OP ∴平分APB ∠，1302OPB APB ABC ∴∠=∠=︒=∠，BC 是直径，90BAC PBO ∴∠=︒=∠，且AB PB =，OPB ABC ∠=∠，()ABC BPO ASA ∴∆≅∆4BC PB ∴==，故答案为：4．19．（7分）图①、图②、图③都是66⨯的网格，每个小正方形的顶点称为格点．ABC ∆顶点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．（1）在图①中画出ABC∆中BC边上的中线AD．（2）在图②中画出ABC∆的AB边上确定一点E，使2AE BE=．（3）在图③中画出BMN∆，使得BMN∆与ABC∆是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在AB、AC边上，位似比为13．【解答】解：（1）如图①所示，AD即为所求；（2）如图②所示，点E即为所求；（3）如图③所示，MN即为所求．20．（7分）某社区调查社区居民双休日的学习状况，采取下列调查方式：（1）下列调查方式最合理的是②（填序号）．①从一幢高层住宅楼中选取200名居民；②从不同住宅楼中随机选取200名居民；③选取社区内的200名在校学生．（2）将最合理的调查方式得到的数据制成了如下扇形统计图和条形统计图．①补全条形统计图．②在这次调查中，200名居民中，在家学习的有人．（3）请估计该社区2000名居民中双休日学习时间不少于4小时的人数．【解答】解：（1）下列调查方式最合理的是②从不同住宅楼中随机选取200名居民，故答案为：②；（2）①在图书馆学习的有：200(160%10%)60⨯--=（人)，在图书馆学习4h的有：60(14166)603624-++=-=（人)，补全的条形统计图，如右图所示；②在这次调查中，200名居民中，在家学习的有：20060%120⨯=（人)，故答案为：120；（3）2450163661020001420200+++++⨯=（人)，答：该社区2000名居民中双休日学习时间不少于4小时的有1420人．21．（8分）某公司计划开发一批新产品，由甲、乙两个工厂同时加工这批产品．乙工厂先加工了两天后，维修设备，当维修完设备时，甲、乙两工厂加工的新产品数量相等，乙工厂再以原来的工作效率继续加工这批产品．甲、乙两工厂加工新产品的数量y甲（件)、y乙（件)与加工新产品的时间x（天)的函数图象如图所示．（1）甲工厂每天加工20件新产品；（2）乙工厂维修设备的时间是多少天；（3）求乙工厂维修设备后加工新产品的数量y乙（件)与加工新产品的时间x（天)的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【解答】解：（1）160820÷=（件)；故答案为：20；（2）方法一：80204÷=，422-=，答：乙工厂维修设备的时间是2天；方法二：设y甲与x的函数关系式为y mx=甲，由题意，得8160m=，解得20m=，y 甲与x的函数关系式为20y x=甲，当80y=时，4x=，422-=（天)，答：乙工厂维修设备的时间是2天；（3）乙工厂第8天共加工了(82)40240-⨯=件，设y乙与x的函数关系式为y kx b=+乙，由题意，得480 8240k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得4080kb=⎧⎨=-⎩，y ∴乙与x 的函数关系式为4080y x =-乙．22．（9分）【问题情境】如图①，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 为AB 中点，连结CD ，点E 为CB 上一点，过点E 且垂直于DE 的直线交AC 于点F ．易知：BE CF =．（不需要证明） 【探索发现】如图②，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 为AB 中点，连结CD ，点E 为CB 的延长线上一点，过点E 且垂直于DE 的直线交AC 的延长线于点F ． 【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由． 【类比迁移】如图③，在等边ABC ∆中，4AB =，点D 是AB 中点，点E 是射线AC 上一点（不与点A 、C 重合），将射线DE 绕点D 逆时针旋转60︒交BC 于点F ．当2CF CE =时，CE =33-或17-+ ．【解答】解：【问题情境】证明：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 为AB 中点，CD AB ∴⊥，12CD BD AD AB ===，45BCD B ∠=∠=︒， 90BDC ∴∠=︒， 90EDF ∠=︒， CDF BDE ∴∠=∠，在BDE ∆与CDF ∆中，B DCF BD CD BDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BDE CDF ASA ∴∆≅∆，BE CF ∴=；【探索发现】成立， 理由：在Rt ABC ∆中，D 为AB 中点，CD BD ∴=，又AC BC =，DC AB ∴⊥，45DBC DCB ∴∠=∠=︒， DE DF ⊥，90EDF ∴∠=︒，90EDB BDF CDF BDF ∴∠+∠=∠+∠=︒， CDF BDE ∴∠=∠， ADF CDE ∴∠=∠， AF CE ∴=， CF BE ∴=；【类比迁移】ABC ∆是等边三角形，60A B ∴∠=∠=︒， 60FDE ∠=︒，120BDF ADE ∴∠=︒-∠，120AED ADE ∠=︒-∠， BDF AED ∴∠=∠， ADE BDF ∴∆∆∽，∴AD AEBF BD=， 点D 为AB 中点，4AB =，2AD BD ∴==，4AC BC ==， 2CF CE =，∴设CE x =，则2CF x =，当点E 在线段AC 上时，4AE x ∴=-，42BF x =-，∴24422x x -=-， 解得：33x =-，33x =+（不合题意，舍去），33CE ∴=-，如图④，当点E 在AC 的延长线上时，4AE x =+，42BF x =-，∴24422x x +=-， 解得：17x =-+，（负值舍去），17CE ∴=-+．综上所述，33CE =-或17-+，故答案为：33-或17-+．23．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，3AC =．动点P 从点C 出发以每秒1个单位的速度沿CA 匀速向终点A 运动，同时点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB 匀速向终点B 运动，以PC 、PQ 为邻边构造平行四边形PQMC ，当点P 到达点A 时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求线段AB 的长．（2）当PQ 与ABC ∆的边平行或垂直时，求t 的值．（3）设平行四边形PQMC 与ABC ∆重叠部分图形的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．（4）以PC 为边向左侧做正方形PCEF ，当正方形PCEF 和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，3AC =，26AB AC ∴==；（2）当PQ AB ⊥时，9060BAC ABC ∠=︒-∠=︒，9030APQ BAC ∴∠=︒-∠=︒，2AP AQ ∴=，由题意得：2AQ t =，PC t =，3AP t ∴=-，322t t ∴-=⨯， 解得：35t =； 当//PQ BC 时，30AQP ABC ∠=∠=︒，90APQ ACB ∠=∠=︒，2AQ AP ∴=，22(3)t t ∴=-， 解得：32t =； 综上所述，当PQ 与ABC ∆的边平行或垂直时，t 的值为35秒或32秒； （3）分两种情况：①当302t <时，作QG AC ⊥于G ，如图1所示：则12AG AQ t ==，33QG AG t ==， S ∴=平行四边形233PQMC PC QG t t t =⨯=；即23S t =（当30)2t< ②当332t <时，如图2所示：四边形PQMC 是平行四边形，//QM PC ∴，PC BC ⊥，QM BC ∴⊥，30ABC ∠=︒， 11(62)322QH BQ t t ∴==-=-， S ∴=直角梯形PCHQ 的面积133(3)32t t t t =-+⨯=； 即333(3)2S t t =<； （4）分两种情况：①当//PQ BC 时，正方形PCEF 和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是正方形PCEF ，轴对称图形，如图3所示：则30AQP ABC ∠=∠=︒，90APQ ACB ∠=∠=︒，2AQ AP =，22(3)t t ∴=-，解得：32t =； ②当正方形PCEF 和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是等腰直角CPF ∆时，是轴对称图形； 则45CPF ∠=︒，作QD AC ⊥于D ，如图4所示：则12AD AQ t ==，33QD t ==， //PQ CM ，45QPD ∴∠=︒，QPD ∴∆是等腰直角三角形，3PD QD t ∴==，AD PD PC AC ++∠=，33t t t ∴+=， 解得：633t =-综上所述，当正方形PCEF 和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是轴对称图形时，t 的取值为32或633- 24．（12分）定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”． 例如：2(1)2y x =--的“同轴对称抛物线”为2(1)2y x =--+．（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合： 顶点在x 轴上 ．（2）求抛物线2112y x x =-++的“同轴对称抛物线”． （3）如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线2:41L y ax ax =-+上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B '、C '，连接BC 、CC '、B C ''、BB '，设四边形BB C C ''的面积为(0)S S >．①当四边形BB C C ''为正方形时，求a 的值．②当抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a 的取值范围．【解答】解：（1） “同轴对称抛物线”的顶点重合， ∴顶点关于x 轴对称且重合，∴顶点在x 轴上，故答案为：顶点在x 轴上；（2）221131(1)222y x x x =-++=--+， ∴ “同轴对称抛物线”的顶点坐标为3(1,)2-， 213(1)22y x ∴=--； （3）①由题可知，(1,13)B a -，(1,31)C a ∴-，抛物线241y ax ax =-+的对称轴为2x =，(3,13)B a '∴-，(3,31)C a '-，2BB CC ''∴==，26BC a ∴=-或62BC a =-， 262a ∴-=或622a -=，0a ∴=（舍去）或23a =； ②函数的对称轴为2x =，函数L 的顶点坐标为(2,14)a -， L 与“同轴对称抛物线”是关于x 轴对称的，所以整数点也是对称的出现， 抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内，在x 轴上的整数点可以是3个或5个，L ∴与x 轴围城的区域的整数点为4个或3个； 当0a >时，当1x =时，2131a --<-，∴213a <， 当2x =时，142a -<-，34a ∴>， ∴314a <； 当0a <时， 当2x =时，142a -，14a ∴-， 当1x =-时，510a +<，15a ∴<-，1145a ∴-<-； 综上所述：314a <或1145a -<-．。
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷(十)(含答案解析)
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷(十)一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列各式，运算结果为负数的是()A. −(−2)−(−3)B. (−2)×(−3)C. −|−2−3|D. −2÷(−3)2.太阳中心的温度达到了19200000℃，用科学记数法表示数据19200000，正确的是A. 1.92×108B. 19.2×107C. 192×105D. 1.92×1073.如图几何体的左视图是()A.B.C.D.4.方程x2−6x+10=0的根的情况是()A. 两个实根和为6B. 两个实根之积为10C. 没有实数根D. 有两个相等的实数根5.如图，正五边形ABCDE中，以BC为一边，在五边形内部作等边△BCF，连结AF，则∠AFB的度数是()A. 72°B. 66°C. 65°D. 60°6.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是()A. 7B. 10C. 11D. 127.如图，在坡度为1：2的山坡上种树，如果相邻两树之间的水平距离是4米，那么斜坡上相邻两树的坡面距离是()A. 4√5米B. 2√5米C. 4米D. 2√3米8.如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=k+1的图象上．若点A的坐标为(−2,−2)，x则k的值为()A. 3B. 4C. −4D. −5二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.a2⋅a3=______ ．10.若关于x的方程2x−m+1=5x−1的解是负数，则m的取值范围是__________．11.如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC.若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2.则OC的长为______cm．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．若EF=5，则线段CD的长是________．13.如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，剪下阴影部分，再把它展开，得到△ABC，则AB AC，所以△ABC是三角形．14.点A(x1,y1)、B(x2,y2)在抛物线y=x2+2mx+2上．当2<x1<x2时，满足y1<y2，则m的取值范围为______．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.(1)化简：a2b(a+b)−(2a−3ab)(a2b−ab)(2)先化简，再求值：(3x+2)(3x−2)−7x(x−1)−2(x−1)2，其中x=−1．316.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其他完全相同.从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球.用画树状图(或列表)的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．17.在创建文明城市的进程中，我市为美化城市环境，计划种植树木60万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少万棵？18.如图，点P是等边三角形ABC内部一个动点，∠APB=120°，⊙O是△APB的外接圆．AP，BP的延长线分别交BC，AC于D，E．(1)求证：CA，CB是⊙O的切线；(2)已知AB=6，G在BC上，BG=2，当PG取得最小值时，求PG的长及∠BGP的度数．19.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)(2)若点C的坐标为(2,4)，则点A′的坐标为(______，______)，点C′的坐标为(______，______)，S△A′B′C′：S△ABC=______．20.某校为了解九年级学生艺术测试情况，以九年级(1)班学生的艺术测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：(说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下)(1)此次抽样共调查了多少名学生？(2)请求出样本中D级的学生人数，并补全条形统计图；(3)若该校九年级有1000名学生，请你用此样本估计艺术测试中分数不低于75分的学生人数．21.甲、乙两车间同时开始加工一批零件，加工一段时间后，甲车间的设备出现故障停产维修设备，乙车间继续加工，甲车间维修好设备后提高了工作效率，每小时比出现故障前多加工10个零件，从开始加工到加工完这批零件乙车间的工作效率不变且工作10小时．甲、乙两车间加工这批零件的总数量y(件)与加工时间x(时)之间的函数图象如图所示：(1)甲车间每小时加工零件______个．(2)求甲车间维修完设备后，y与x之间的函数关系式．(3)求加工完这批零件总数量的2时所用的时间．322.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，M为BC边上一动点(M不与B、C重合)(1)如图1，若∠MAC=45°，求BM；CM(2)如图2，将CM绕点C顺时针旋转60°至CN，连接BN，T为BN的中点，连接AT．①求证：AM=2AT；②当AB=AC=2时，直接写出CM+4AT的最小值为______．23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着AB向点B运动，以P为顶点，在AB的上方做正方形PQMN，且PQ//AC，PQ=1.设P点运动的时间为t(秒)，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(平方单位)．(1)用含t的代数式表示PB=_________．(2)点M落在△ABC的边上时t的值为________________．(3)求S与t之间的函数关系式．24.对称轴为直线x=−1的抛物线y=x2+bx+c，与x轴相交与A，B两点，其中点A的坐标为(−3,0)．(1)点B的坐标________；(2)求出抛物线的解析式，并求出抛物线的顶点坐标；(3)抛物线向右平移m个单位后，与图中阴影部分的正方形有公共点，请直接写出m的取值范围________．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A、原式=2+3=5，不符合题意；B、原式=6，不符合题意；C、原式=−5，符合题意；D、原式=2，不符合题意，3故选：C．各式计算得到结果，即可作出判断．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2.答案：D解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：将19200000用科学记数法表示为：1.92×107．故选D．3.答案：D解析：解：从左边看去，左边是两个正方形，右边是一个正方形．故选：D．细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，关键是掌握几何体的三视图及空间想象能力．4.答案：C。
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷(十三)(含答案解析)
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷(十三)一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.−66的相反数是()A. −66B. 66C. 166D. −1662.人体中红细胞的直径约为0.0000077米，将0.0000077用科学记数法表示为()A. 7.7×10−6B. 7.7×10−5C. 0.77×10−6D. 0.77×10−53.如图，将长方体的表面展开，得到的平面图形不可能是()A. B.C. ．D. ．4.下列计算正确的是()A. x2+3x2=3x4B. (a−b)2=a2−b2C. (a3b2)3=a9b6D. (−a+b)(−a−b)=b2−a25.如果式子√x+3有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是()A. B.C. D.6.如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为()A. 2B. 4C. √2D. 2√27.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√5，AC=√15，则∠A=()A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°8.如图，▱ABCD的顶点A的坐标为(−32,0)，顶点B在y轴上，顶点C、D在双曲线y=kx(x>0)上，AD交y轴于点E(0,2)，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的3倍，则▱ABCD面积为()A. 8B. 10C. 12D. 16二、填空题（本大题共7小题，共25.0分）9.比较大小：−√2______−√3，√5______2.10.因式分解：ab2−a=__________．11.完成作图语言：(1)如图(1)，以O为圆心，以为半径作弧，交OA于，交于;(2)如图(2)，作射线，使平分．12.若一个多边形的内角和为900°，则其对角线的总条数为条．13.如图，将长AB=5cm，宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF，则AE长为______ cm．14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x+32)2+k(a,k为常数)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，CD//x轴交抛物线于点D.若点A的坐标为(12,0)，则线段OB与CD的长度和为______．15.某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，共结西瓜600个，在西瓜上市前该瓜农随机摘下了10个成熟的西瓜，称重如下：西瓜质量/千克 5.4 5.3 5.0 4.8 4.4 4.0西瓜数量/个123211(1)这10个西瓜质量的众数和中位数分别是__________和__________；(2)计算这10个西瓜的平均质量，并根据计算结果估计这亩地共可收获西瓜多少千克．三、解答题（本大题共9小题，共71.0分）16.先化简，再求值：m2−1m2+m ÷(m−2m−1m)，其中m=1+√2．17.从一副扑克牌中取出方块3、红心6、黑桃10共三张牌，洗匀后正面朝下放在桌面上，小明和小丽玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小明随机摸出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小丽随机摸出一张牌，记下牌面数字，这样记为一次游戏．当两人摸出的牌面数字不同时，牌面数字大的获胜；当两人摸出的牌面数字相同时，则视为平局．(1)用画树状图或列表法，表示出小明、小丽两人一次游戏的所有可能的结果；(2)求小明获胜的概率．18.《九章算术》中有这样道题，原文如下：今有共买豕，人出一百，盈一百，人出九十，适足，问人数、豕价各几何？大意为：今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适，问合伙的人数、猪价各是多少？19.如图，AC是⊙O的直径，点B为⊙O上一点，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠APB．∠CAB=12(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)当sinM=2，OA=2时，求MB，AB的长．320.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、点B、点C均落在格点上．(1)计算△ABC的边AC的长为_____．(2)点P、Q分别为边AB、AC上的动点，连接PQ、QB.当PQ+QB取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ、QB，并简要说明点P、Q的位置是如何找到的_____(不要求证明)．21.甲乙两地相距400km，一辆轿车从甲地出发，以一定的速度匀速驶往乙地.0.5ℎ后，一辆货车从乙地出发匀速驶往甲地(轿车的速度大于货车的速度)，与轿车在途中相遇。
2020年中考数学全真模拟试卷13套附答案(适用于吉林省长春市)
中考数学模拟试卷题号得分一二三总分一、选择题（本大题共8 小题，共24.0 分）1.-2019 的相反数是（）A. B. - C. 2019 D. -20192.据不完全统计，长春市2018 年中考人数只有47000 多人，比2017 年减少1.2 万余人，创史新低．数据47000 用科学记数法表示为（）A. 4.7×104B. 47×103C. 4.7×10-4D. 0.47×1053.图中的几何体是由4 个完全相同的小正方体搭成的，则下列说法正确的是（）A. 主视图的面积最小小B. 左视图的面积最D. 三个视图的面积相等C. 俯视图的面积最小4.若关于x的一元二次方程x2-x+a=0 有实数根，则a的取值范围是（）A. a＞B. a≥C. a＜D. a≤5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=33°，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转∠BAC的大小，得到△AB′C′，延长BC交B′C′于点D，则∠BDC′等于（）A. 147°B. 143°C. 157°D. 153°6.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于D，连结AD．若AD=AC，∠B=25°，则∠C=（）A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°7.如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3 m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A. 3mB.C. m mD. 4m8.如图，反比例函数y= （k＞0．x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC上的点M，且CM= AM，若△ABC的面积为18，则k的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题（本大题共6 小题，共18.0 分）9.24°18′=______°．10.分解因式：2x2-4x+2=______．11.不等式组的解集是______．12.如图，⊙O的半径为4cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为______cm2．（结果保留π）13.如图，在▱ABCD中，AB=AC=10，点E为CD边上一点．将▱ABCD沿围AE翻折，点D恰好与BC边的中点F重合，则边BC的长为______．14.如图，在平面直角坐标系中，过点P（m，0）作x轴的垂线，分别交抛物线y=x2+ x+2 与直线y=- x-2 于点A和点C，以线段AC为对角线作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积最小值为______．三、解答题（本大题共10 小题，共78.0 分）15.先化简，再求值：（1- ）÷，其中x=- ．16.苏宇为帮助同桌李蕾巩固“平面直角坐标系中点的坐标特点”这基础知识，在三张完全相同且不透明的卡片止面分别写上了-3，0，2 三个数字，背面向上洗匀后随机抽取一张，将卡片上的数字记为a，放回该卡片重新洗匀，再从三张卡片中随机取出一张，将卡片上的数字记为b，然后让李蕾在平直角坐标系中找出点M（a，b）的位置．请你用画树状图或列表的方式帮李蕾求点M落在第二象限的概率．17.甲、乙两火车站相距1200 千米，采用“和谐号”动车组提速后，列车行驶的速度是原来的2.5 倍，从甲站到乙站的时间缩短了6 小时，求列车提速前的速度．18.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长均为1 线段AB的端点均在格点上．（1）在图中画出等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，则△ABC面积为______．（2）在图中找一点D，并连结AD、BD，使△ABD的面积为．（要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不写作法）19.如图，在半圆中，点O是圆心，AB是直径，点C是的中点，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E．（1）求证：CE是半圆的切线．（2）若∠ABC=30°，AB=4，则的长为______．20.为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40 名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两校40 名学生成绩的频数分布统计表如下：成绩x50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100学校甲乙461131315101422（说明：成绩80 分及以上为优秀，70～79 分为良好，60～69 分为合格，60 分以下为不合格）b．甲校成绩在70≤x＜80 这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78 c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：学校甲平均分74.2中位数众数85n乙73.5 76 84根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74 分，在他所属学校排在前20 名，由表中数据可知该学生是______校的学生（填“甲”或“乙”），理由是______；（3）假设乙校800 名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．21.在长春创建文明堿区的活动中，需铺设两段长度相等的彩色道砖，分别交给甲、乙两个施队同时进行施工，甲、乙两队所铺设彩色道砖的长度y（米）与施工时间（x）时之间的部分函数图象如图所示．请解答下列问题：（1）甲队的速度是______米/时．（2）当2≤x≤6时，求乙队铺设彩色道砖的长度y与x之间的函数关系式．（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6 小时后，施工速度增加到12 米/时，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度．22.【感知】“如图①，∠MON=90°，OC平分∠MON，作∠ACB=90°，CA、CB分别交射线OM、ON于A、B两点，连结AB，求∠ABC的度数”．为了求解问题，某同学做了如下的分析，“过点C作CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点E，”进而求解，则∠ABC=______．【拓展】如图②，一般地，设∠MON=α（0°＜α＜180°），OC平分∠MON，作∠ACB=180°-α，CA、CB分别交射线OM、ON于A、B两点，连结AB．（1）求∠ABC的度数．（用含a的代数式表示）（2）若a=60°，OA=6，OB=4，则OC=______．23.如图，在△ABC中，AB=AC= ，BC=4．动点P从点B出发，沿BC以每秒2 个单位长度的速度向终点C运动．当点P与点B、C不重合时，过点P作PQ⊥BC交折线BA-AC于点Q，以PQ为边向左作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示PQ的长；（2）直接写出点M在△ABC内部时t的取值范围．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）直接写出点M落在△ABC的中位线所在直线上时t的值．24.在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B在x轴上，以点B为直角顶点作等腰直角△ABC，当点C落在某函数的图象上时，称点C为该函数的“悬垂点”，△ABC 为该函数的“悬垂等腰直角三角形”．（1）若点C是函数y= x+3 的悬垂点，直接写出点C的横坐标为______；（2）若反比例函数y= （k＞0）的悬垂等腰直角三角形面积是2，求k的值．（3）对于函数y=x2-5x+7，当l≤x≤n（n＞1）时，该函数的悬垂点只有一个，求n 的取值范围．（4）若函数y=x2-2ax+a2+a-3 的悬垂等腰直角△ABC的面积范围为2≤S△ABC≤，且点C在第一象限，直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：-2019 的相反数是2019．故选：C．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．2.【答案】A【解析】解：将47000 用科学记数法表示为：4.7×104．故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n是正数；当原数的绝对值＜1 时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】B【解析】解：主视图的面积与俯视图的面积相同，是3 个小正方形的面积之和，而左视图的面积是2 个小正方形的面积之和，所以左视图的面积最小．故选：B．根据该几何体的三视图可逐一判断．本题主要考查了几何体的三种视图面积的求法及比较，关键是掌握三视图的画法．4.【答案】D【解析】解：根据题意得△=（-1）2-4a≥0，解得a≤．故选：D．利用判别式的意义得到△=（-1）2-4a≥0，然后解不等式即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根．5.【答案】A【解析】解：∵把△ABC绕点A按顺时针方向旋转∠BAC的大小，∴∠BAC=∠CAC'=33°，∠ACB=∠AC'B'=90°∵∠CAC'+∠ACD+∠BDC'+∠AC'B'=360°∴∠BDC'=360°-90°-90°-33°=147°故选：A．由旋转的性质可得∠BAC=∠CAC'=33°，∠ACB=∠AC'B'=90°，由四边形内角和定理可求∠BDC′的度数．本题考查了旋转的性质，四边形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．6.【答案】C【解析】解：由作法得MN垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=25°，∴∠CDA=∠DAB+∠B=50°，∵AD=AC，∴∠C=∠CDA=50°．故选：C．利用基本作图得到MN垂直平分AB，则DA=DB，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质求出∠CDA的度数，然后利用AD=AC得到∠C的度数．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．7.【答案】B【解析】解：∵sin∠CAB= = ，∴∠CAB=45°．∵∠C′AC=15°，∴∠C′AB′=60°．∴sin60°== ，解得：B′C′=3故选：B．．因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．8.【答案】B【解析】解：过点M作ME∥OC，MF∥OA，∵四边形OABC是矩形，∴OC=AB，OA=BC．设MF=x，ME=y，则，即，即，则AB= x；，则BC=3y．所以xy=AB×BC．因为△ABC的面积为18，∴AB×BC=36．所以xy=36，即xy=8．所以反比例函数y= （k＞0，x＞0）中k=8．故选：B．过点M作ME∥OC，MF∥OA，设MF=x，ME=y，根据相似三角形的性质可得AB= x，BC=3y ，则xy=AB×BC，从而可解xy值，即k值．本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，难度中等，解决这类问题一般是从反比例函数图象上的点分别向x轴、y轴作垂线段，两垂线段的长度的乘积即为k值的绝对值．9.【答案】24.3【解析】解：24°18′=24.3°．故答案为：24.3．将18′换算为0.3°，再加上24°即可求解．考查了度分秒的换算，度、分、秒是常用的角的度量单位．1 度=60 分，即1°=60′，1 分=60 秒，即1′=60″．10.【答案】2（x-1）2【解析】解：2x2-4x+2，=2（x2-2x+1），=2（x-1）2．先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．11.【答案】-1＜x＜2【解析】解：解不等式3x+3＞0，得：x＞-1，解不等式2x＜4，得：x＜2，则不等式组的解集为-1＜x＜2，故答案为：-1＜x＜2．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．12.【答案】【解析】解：如图所示：连接BO，CO，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CO=4，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形，∴CO∥AB，在△COW和△ABW中，∴△COW≌△ABW（AAS），∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC= = ．故答案为：．根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S是解题扇形OBC关键．13.【答案】4【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，∵AB=AC=10，点F是BC的中点，∴BF=CF= BC，AF⊥BC∵将▱ABCD沿围AE翻折，点D恰好与BC边的中点F重合，∴AD=AF，∴AF=BC=2BF，∵AB2=AF2+BF2，∴100=BF2+4BF2，∴BF=2∴BC=2BF=4故答案为：4由等腰三角形的性质可得BF=CF= BC，AF⊥BC，由折叠的性质和平行四边形的性质可得AD=AF=BC，由勾股定理可求BF的长，即可求BC的长．本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，利用勾股定理求出BF的长是本题的关键．14.【答案】【解析】解：由题可知，A（m，m2+ m+2），C（m，- m-2），∴AC=m2+2m+4，当m=-1 时，AC min=3，∴S min= ，故答案为.根据点P（m，0）得到点A，C的坐标，求得线段AC的长度，当线段AC最短时，正方形面积最小．本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的最小值是解答本题的关键.15.【答案】解：原式=（- ）•= •=x-1，当x=- 时，原式=- -1=- ．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．16.【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果数：共有9 种可能出现的结果，其中落在第二象限的有2 种，∴点M（a，b）落在第二象限的概率为P= ．【解析】用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出符合（a，b），在第二象限的结果数，从而求出点M落在第二象限的概率．考查列表法、树状图法求随机事件的概率，根据题意用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．17.【答案】解：设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为2.5x千米/小时，依题意，得：- =6，解得：x=120，经检验，x=120 是原方程的解，且符合题意．答：列车提速前的速度为120 千米/小时．【解析】设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为2.5x千米/小时，根据时间=路程÷速度结合提速后比提速前节省6 小时到达，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18.【答案】6.5【解析】解：（1）如图所示：△ABC面积= ×÷2=6.5；（2）点D在直线l上即可，答案不唯一．故答案为：6.5．（1）作出格点直角三角形，再根据三角形面积公式计算即可求解；（2）作出与AB距离的平行线，找到格点，再连结即可求解．此题主要考查了作图-应用与设计，以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积求法是解题关键．19.【答案】π【解析】证明：（1）如图，连接OC，∵点C是中点∴∴∠ABC=∠CBD∵OB=OC∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBD∴OC∥BD，且CE⊥BE∴CE⊥OC，且OC是半径，∴CE是半圆O的切线．（2）∵∠ABC=30°，且∠OCB=∠ABC，∴∠OCB=∠ABC=30°∴∠AOC=60°∵AB=4∴OA=2∴的长= = π故答案为：（1）连接OC，由C为弧AD的中点，可得∴∠ABC=∠CBD，又知∠OCB=∠OBC，即证得∠OCB=∠CBE，进而证明出OC∥BE，最后即可证明出CE是⊙O的切线；（2）由弧长公式可求解．本题考查了切线的判定和性质，弧长计算公式，解答本题的关键是证明BE∥OC，此题难度不大．20.【答案】（1）这组数据的中位数是第20、21 个数据的平均数，所以中位数n= =72.5；（2）甲甲这名学生的成绩为74 分，大于甲校样本数据的中位数72.5 分，小于乙校样本数据的中位数76 分，（3）在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为14+2=16．假设乙校800 名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为．【解析】解：（1）见答案（2）甲这名学生的成绩为74 分，大于甲校样本数据的中位数72.5 分，小于乙校样本数据的中位数76 分，所以该学生在甲校排在前20 名，在乙校排在后20 名，而这名学生在所属学校排在前20 名，说明这名学生是甲校的学生．故答案为：甲，甲这名学生的成绩为74 分，大于甲校样本数据的中位数72.5 分，小于乙校样本数据的中位数76 分．（3）见答案【分析】（1）根据中位数的定义求解可得；（2）根据甲这名学生的成绩为74 分，大于甲校样本数据的中位数72.5 分，小于乙校样本数据的中位数76 分可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．21.【答案】10【解析】解：（1）甲队的速度：60÷6=10米/时．故答案为：10；（2）设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由图可知，函数图象过点（2，30），（6，50），∴，解得，∴y=5x+20；（3）由图可知，甲队速度是：60÷6=10（米/时），设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为m米，依题意，得，解得m=110，答：甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为110 米．（1）根据速度=路程÷时间，即可解答；（2）设函数关系式为y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）先求出甲队的速度，然后设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为m米，再根据6 小时后两队的施工时间相等列出方程求解即可．本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，难点在于（3）根据6 小时后的施工时间相等列出方程．22.【答案】45°【解析】解：【感知】如图①，∵CD⊥OM，CE⊥ON∴∠CDO=∠CEO=∠MON=90°，∴四边形ODCE是矩形∴∠DCE=∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE∴∠DCA=∠BCE∵OC平分∠MON，∴CD=CE∴△CAD≌△CBE（ASA）∴AC=BC∴∠CAB=∠CBA∵∠CAB+∠CBA=90°∴∠CAB=∠CBA=45°故答案为：45°【拓展】（1）如图②，过点C作CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点E，∴∠ADC=∠BEC=90°∵OC平分∠MON，∴CD=CE∵∠DCE=180°-α，∠ACB=180°-α∴∠DCE=∠ACB∴∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE即∠DCA=∠ECB∴△ACD≌△BCE（ASA）∴CA=CB∴∠ABC=∠BAC= = ；（2）如图③，过点C作CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点E，由（1）知：△ACD≌△BCE（ASA），△OCD≌△OCE（HL）∴AD=BE，OD=OE∵OD+OE=OA-AD+OB+BE=OA+OB=6+4=10∴OD=OE=5∵OC平分∠MON，∴∠AOC= ∠MON=30°∵=cos∠AOC∴OC= = = ．【感知】先证明四边形ODCE是矩形，得∠DCA=∠BCE，再证明△CAD≌△CBE（ASA），得AC=BC，进而可求得∠ABC；【拓展】（1）过点C作CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点E，证明△ACD≌△BCE（ASA），即可求得∠ABC；（2）过点C作CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点E，证明：△ACD≌△BCE（ASA），△OCD≌△OCE（HL），可求得OD=OE=5，再利用特殊角三角函数值即可．本题考查了四边形内角和，全等三角形判定和性质，角平分线性质等知识点，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．23.【答案】解：（1）由题意得：BP=2t如图1，过A作AD⊥BC于D，∵AB=AC= ，BC=4．∴BD=CD= BC=2，∴AD= = =1，∴tan∠B= = ，分两种情况：①当点Q在线段AB上时，即0＜t≤1时，如图2，∴tan∠B= ，∴PQ=t；②当点Q在线段AC上时，即1＜t＜2 时，如图3，∴tan∠C=tan∠B= =∴PQ= PC= =2-t；（2）当M在边AB上时，如图4，由（1）知：MN=PQ=2-t=PN，tan∠B= = ，∴BN=2MN，∵BP=BN+PN，∴2t=3MN=3（2-t），t= ，∴点M在△ABC内部时t的取值范围是＜t＜2；（3）分三种情况：①0＜t≤1时，如图5，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形DNPQ，BP=2t，PQ=PN=MD=t，∴BN=2t-t=t，∴DN= t=DM，∴S=S正方形MNPQ-S△MDQ== ；②当1＜t＜时，如图6，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是五边形ODNPQ，∵PQ=PN=MN=2-t，∴BN=BP-PN=2t-（2-t）=3t-2，∵tan∠B= ，DN= BN= ，∴DM=MN-DN=2-t- =3- t，∵tan∠MOD=tan∠B= =∴OM=2MD，，∴S=S正方形MNPQ-S△MDO=（2-t）2- =（2-t）2- =- +11t-5；③当≤t＜2 时，如图7，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是正方形MNPQ，S=PQ2=（2-t）2=t2-4t+4；综上，S与t之间的函数关系式为：S= ；（4）存在四种情况：①如图8，M在中位线MQ上，则Q是AB的中点，BQ= ，∴BP=1=2t，t= ；②如图9，M在中位线MT上，则T是BC的中点，BT=2，∴MT∥AC，∴∠C=∠BTM，∴tan∠BTM= = = ，∴NT=BP，∵BP+TN-BT=PN，∴2t+2t-2=t，t= ；③如图10，M在中位线MQ上，∴Q是AC的中点，同理得CP=1=4-2t，t= ；④如图11，M在中位线MT上，T是BC的中点，CP=TN=4-2t，PQ=PN=2-t，∵CT=TN+PN+PC，∴2=2（4-2t）+2-t，t= ；综上，t的值是秒或秒或秒或秒．【解析】（1）分两种情况讨论：当点Q在线段AB上时，当点Q在线段AC上时．（2）先计算M在边AB上时t的值，根据点M在△ABC内部时两个边界点即可解答；（3）分三种情况：①0＜t≤1时，如图5，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形DNPQ，②当1＜t＜时，如图6，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是五边形ODNPQ，③当≤t＜2 时，如图7，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是正方形MNPQ，分别计算面积即可；（4）点M落在△ABC的中位线所在直线上时，存在四种情况，画图可解答．本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、几何动点问题、勾股定理和重叠部分的面积，比较复杂，此类题要先求特殊位置时对应的t值，做到不重不漏，利用数形结合的思想，先确定重叠部分图形的形状，再求其面积．24.【答案】8 或-【解析】解：以点B为直角顶点作等腰直角△ABC，点A（1，0），∴直线CA的解析式为：y=x-1 或y=-x+1，（1）当直线CA的解析式为y=x-1 时，，解得：；即C点为（8，9），当直线CA的解析式为y=-x+1 时，，解得：；即C点为（，），故答案为：8 或- ；（2）设点C的横坐标为m，则点C的纵坐标为m-1，∵S△ABC= （m-1）2=2，∴m=-1，m=3，1 2∴点C的坐标为（-1，-2）或（3，2），∵点C在反比例函数y= （k＞0）的图象上，∴k=2 或k=6；（3）设点C（m，m-1），∵点C在函数y=x2-5x+7 的图象上，∴m2-5m+7=m-1，解得：m=2，m=41 2∵当1≤x≤n（n＞1）时，该函数的悬垂点只有一个，∴2≤n＜4．（4）∵点C在第一象限，2≤S△ABC≤，∴2≤AB≤3，∵点A（1，0），∴3≤m≤4∵m2-2am+a2+a-3=m-1，∴a=m-2 或a=m+11 2当a=m-2 时，可得1≤a≤2，当a=m+1 时，可得4≤a≤5，综上所述，a的取值范围为：1≤a≤2或4≤a≤5．（1）设C（m，m+3），根据“悬垂等腰直角三角形”的定义可知∠CAB=45°，求出直线CA的解析式，C点即函数的图象与直线CA的交点，列方程求解即可；（2）先根据“悬垂等腰直角三角形”定义及悬垂等腰直角三角形面积是2，求得点C的坐标，再根据反比例函数概念求k的值；（3）设点C（m，m-1），根据“悬垂等腰直角三角形”定义可列方程m2-5m+7=m-1，求解后再根据“该函数的悬垂点只有一个，”即可求得结论；（4）根据“点C在第一象限，2≤S△ABC≤”，可得2≤AB≤3，进而得到：3≤m≤4，再由“悬垂等腰直角三角形”定义可得：m2-2am+a2+a-3=m-1，解得：a=m-2 或a=m+1，即可1 2得到结论．本题考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，三角形面积等，解题关键是对新定义“悬垂等腰直角三角形”的正确理解和运用．中考数学模拟试卷题号得分一二三总分一、选择题（本大题共8 小题，共24.0 分）1.如图，点A从数轴上的原点开始，向左移动2 个单位长度到点B，则点B表示的数为（）A. -2B. 2C. -1D. 12.下列物体的长度最接近于8×102mm的是（）A. 一张A4 纸的厚度C. 一张课桌的高度B. 一本数学课本的厚度D. 三层楼房的高度3.由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图，各小方格内的数字表示叠在该层位置的小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）A. B. C. D.4.《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50 钱；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也为50 钱．问甲、乙各有多少钱？”设甲、乙原有钱数分别为x、y，下列所列方程组正确的是（）A.C.B.D.5.如图，点D、E分别在∠BAC的边AB、AC上，沿DE将△ADE折叠到△A'DE的位置．若A'D⊥AC，∠BAC=28°，则∠ADE的大小为（）A. 28°B. 31°C. 36°D. 62°6.如图，在△ABC中，∠C=90°．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（）A.C.B.D.7.当地时间2019 年4 月15 日下午，法国巴黎圣母院发生火灾，大火烧毁了巴黎圣母院后塔的塔顶．烧毁前，为测量此塔顶B的高度，在地面选取了与塔底D共线的两点A、C，A、C在D的同侧，在A处测量塔顶B的仰角为27°，在C处测量塔顶B的仰角为45°，A到C的距离是89.5 米．设BD的长为x米，则下列关系式正确的是（）A. tan27°=C. sin27°=B. cos27°=D. tan27°=8.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点B在第一象限，函数y= （x＞0）的图象经过对角线OB上的一点D．若DB=2OD，则矩形OABC的面积为（）A. 6B. 8C. 9D. 18二、填空题（本大题共6 小题，共18.0 分）9.计算：=______．10.因式分解：ab-a=______．11.若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0 有实数根，则k的值可以是______．（写出一个即可）12.如图是某运算程序，根据该程序的指令，首先输入x的值为4，则输出的值为2，记作第一次操作；将第一次的输出值再次输入，则输出的值为3，记作第二次操作；…，如此循环操作，则第2019 次操作输出的值为______．13.将两块含30°角的全等的直角三角形纸片按如图①的方式摆放在一起，较长的直角边AC长为cm．将△DEF沿射线AB的方向平移，如图②．当四边形ADFC是菱形时，平移距离为______cm．14.如图，一款落地灯的灯柱AB垂直于水平地面MN，高度为1.6 米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C距灯柱AB的水平距离为0.8 米，距地面的高度为2.4 米，灯罩顶端D距灯柱AB的水平距离为1.4 米，则灯罩顶端D距地面的高度为______米．三、解答题（本大题共10 小题，共78.0 分）15.马小虎在解不等式的过程中出现了错误，解答过程如下：（1）马小虎的解答过程是从第______步开始出现错误的．（2）请写出此题正确的解答过程．16.现有三张不透明的卡片A、B、C，其中卡片的正面图案分别是佩奇、乔治、佩奇妈妈，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求恰好抽到佩奇和乔治的概率．17.目前，步行已成为人们最喜爱的健身方式之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现，小明步行消耗330000 卡能量的步数与小红步行消耗300000 卡能量的步数相同．已知小明平均每步消耗的能量比小红平均每步消耗的能量多3 卡，求小红平均每步消耗能量的卡数．18.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在边AB上，以O为圆心，OA为半径作圆，与边AC的另一个交点为D，BD恰好为⊙O的切线．（1）求证：∠A=∠CBD．（2）若∠CBD=36°，⊙O的半径为2，则的长为______．（结果保留π）19.图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画△ABC的高线AD．（2）在图②中，画△ABC的中线CE．（3）在图③中，画△ABC的角平分线BF．要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．20.某校七年级计划成立学生社团，要求每一位学生都选择一个社团而且只能选择一个社团．为了解学生对不同社团的选择意向，随机抽取了七年级部分学生进行“我最喜爱的社团”问卷调查，并将调查结果绘制成如下两个不完整的统计图表．七年级部分学生“我最喜爱的社团”调查结果统计表社团名称文学社团创客社团书法社团绘画社团体育社团音乐社团美食社团数学社团人数49a6 10 5b2请解答下列问题：（1）a=______，b=______．（2）在扇形统计图中，“绘画社团”所对应的扇形圆心角为______度．（3）该校七年级共有350 名学生，每个社团人数不低于30 人才可以开展．试通过计算估计该校七年级有哪些社团可以开展．21.甲、乙两人分别加工100 个零件，甲第1 个小时加工了10 个零件，之后每小时加工30 个零件．乙在甲加工前已经加工了40 个零件，在甲加工3 小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务．设甲、乙两人各自加工的零件数为y（个），甲加工零件的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．（1）在乙追赶甲的过程中，求乙每小时加工零件的个数．（2）求甲提高加工速度后甲加工的零件数y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两人相差12 个零件时，直接写出甲加工零件的时间．22.教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96 页的部分内容．请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．。
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷(十三)
中考数学评价检测试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.2020的相反数是（）A. 2020B. -2020C.D.2.人体中红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是（）A. 0.77×10-5mB. 0.77×10-6mC. 7.7×10-5mD. 7.7×10-6m3.如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（）A. 三棱柱B. 四棱锥C. 长方体D. 正方体4.下列运算正确的是（）A. （m+n）2=m2+n2B. （x3）2=x5C. 5x-2x=3D. （a+b）（a-b）=a2-b25.如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示为（）A. B.C. D.6.如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为（）A. B. C. D. 17.图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A. cmB. cmC. 64 cmD. 54cm8.如图，四边形OABF中，∠OAB=∠B=90°，点A在x轴上，双曲线y=过点F，交AB于点E，连接EF．若，S△BEF=4，则k的值为（）A. 6B. 8C. 12D. 16二、填空题（本大题共7小题，共25.0分）9.比较大小：-3______-2．10.因式分解：mn2-9m=______．11.下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图1，∠MON．求作：射线OP，使它平分∠MON．作法：如图2，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（2）连结AB；（3）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P；（4）作射线OP．所以，射线OP即为所求作的射线．请回答：该尺规作图的依据是______．12.如果从某个多边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，则这个多边形的内角和是______．13.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使得点A和点C重合，折痕是EF，连结EC．若AB=2，BC=4，则CE的长为______．14.如图，抛物线y=x2+bx+c（c＞0）与y轴交于点C，顶点为A，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点D，tan∠AOE=．直线OA与抛物线的另一个交点为B．当OC=2AD时，c的值是______．15.某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：甲78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77乙93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70-79分为生产技能良好，60-69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）部门平均数中位数众数甲78.377.575乙7880.581得出结论：a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为_____；b．可以推断出_____部门员工的生产技能水平较高，理由为_____．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）三、解答题（本大题共9小题，共71.0分）16.先化简，再求值：+，其中x=-1．17.甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人各出一张牌，若两人出的牌相同，则为平局；若两人出的牌不同，则A胜B，B 胜C，C胜A.（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；（2）求出现平局的概率.18.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗，价格是50钱；普通酒一斗，价格是10钱．现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、普通酒各多少？请你建立适当的数学模型，解决上面问题．19.如图，已知Rt△ACE中，∠AEC=90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若cos∠A=，AE=8，则⊙O的半径长为______．20.如图，在6×7的网格图中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均为格点（1）在图①中，借助网格和无刻度的直尺画出△ABC的高CM；（2）在图②中，连结点B与格点D．点P是BC的中点，点Q为BD上的一动点，当△CPQ的周长最小时，请利用网格和无刻度的直尺确定点P、Q的位置，并画出△CPQ．21.甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，40min后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示（1）a的值是______，甲的速度是______km/h．（2）求乙车距A地的路程y与x之间的函数关系式；（3）若甲乙两车距离不超过10km时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为多少小时？22.已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点F为CE中点，连结DF、BF．【感知】如图①，当点D在AC上，点E在AB上时，易证：DF=BF，DF⊥BF．【探究】如图②，将△ADE从图①中的位置绕着点A逆时针旋转45°，此时【感知】中的结论还是否成立？说明理由．【应用】如图③，将△ADE从图①中的位置绕着点A逆时针旋转90°，过点F作FG⊥BD于点G，若AB=6，AD=2，则线段FG的长为______．23.如图，BD是菱形ABCD的对角线，AB=BD=2cm．动点P从点A出发，沿折线AB-BC以1cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，且不与点B重合时，过点P作PQ∥BD交折线AD-DC于点Q．以PQ为边作正三角形PQE，且点E与BD始终在PQ的同侧．设正三角形PQE与△ABD重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）．（1）当点E落在BD上时，求t的值．（2）当点P在AB边上时，求S与t之间的函数关系式．（3）当点E落在∠BDC的平分线上时，直接写出t的值．24.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，2）（其中m为常数），点B与点A关于y轴对称．在实数范围内定义函数y=（其中m为常数）的图象为G．（1）当点（-1，2）在G上时，求m的值；（2）当点B在G上时，求m的值；（3）m≠0时，连结AB，当G与线段AB恰好有两个公共点时，m=______．（4）当y最小值的取值范围是-2≤y最小值≤-1时，直接写出m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：2020的相反数是：-2020．故选：B．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：0.000 0077=7.7×10-6m．故选D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】A【解析】解：由图得，这个几何体为三棱柱．故选：A．由展开图得这个几何体为棱柱，底面为三边形，则为三棱柱．考查了几何体的展开图，有两个底面的为柱体，有一个底面的为锥体．4.【答案】D【解析】解：A、（m+n）2=m2+2mn+n2，故本选项错误；B、（x3）2=x6，故本选项错误；C、5x-2x=3x，故本选项错误；D、（a+b）（a-b）=a2-b2，故本选项正确；故选：D．根据完全平方公式，幂的乘方，合并同类项法则，平方差公式分别求出每个式子的值，再判断即可．本题考查了对完全平方公式，幂的乘方，合并同类项法则，平方差公式的应用，注意：完全平方公式有（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2，题目比较好，难度适中．5.【答案】A【解析】解：由题意可知：2x+4≥0，∴x≥-2，故选：A．根据二次根式有意义的条件即可求出答案．本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：连接AQ，BQ，∵∠P=45°，∴∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，∴△ABQ是等腰直角三角形．∵AB=2，∴2BQ2=4，∴BQ=．故选：A．连接AQ，BQ，根据圆周角定理可得出∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，故△ABQ是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．过A作AE⊥CP 于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），同理可得，BF=27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），故选：C．8.【答案】A【解析】解：如图，过F作FC⊥OA于C，∵，∴OA=3OC，BF=2OC∴若设F（m，n）则OA=3m，BF=2m∵S△BEF=4∴BE=则E（3m，n-）∵E在双曲线y=上∴mn=3m（n-）∴mn=6即k=6．故选：A．由于，可以设F（m，n）则OA=3m，BF=2m，由于S△BEF=4，则BE=，然后即可求出E（3m，n-），依据mn=3m（n-）可求mn=6，即求出k的值．此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E 点坐标是解题关键．9.【答案】＜【解析】解：∵（3）2=18，（2）2=12，∴-3＜-2．故答案为：＜．先把两数平方，再根据实数比较大小的方法即可比较大小．此题主要考查了实数的大小的比较，实数大小比较法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．10.【答案】m（n-3）（n+3）【解析】解：原式=m（n2-9）=m（n-3）（n+3）．故答案为：m（n-3）（n+3）．首先提取公因式m，再利用平方差公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．11.【答案】等腰三角形三线合一【解析】解：利用作图可得到OA=OB，PA=PB，利用等腰三角形的性质可判定OP平分∠AOB．故答案为：等腰三角形的三线合一．【分析】利用基本作图得到△OAB为等腰三角形，OP垂直平分AB，然后根据等腰三角形的性质可判定射线OP平分∠MON．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．12.【答案】540°【解析】解：∵多边形从一个顶点出发可引出2条对角线，∴n-3=2，解得n=5，∴内角和=（5-2）•180°=540°．故答案为：540°．根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n-3）求出边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）•180°列式进行计算即可得解．本题考查了多边形的内角和公式．能够利用多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键．13.【答案】2.5【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，∵将矩形纸片ABCD折叠，使得点A和点C重合，∴AE=CE，∴DE=AD-AE=4-CE，∵CE2=DE2+CD2，即CE2=（4-CE）2+22，∴CE=2.5，故答案为2.5．由四边形ABCD是矩形，得到CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，根据折叠的性质得到AE=CE，根据勾股定理列方程即可得到结论．该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，矩形的性质，灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．14.【答案】或【解析】解：由tan∠AOE=，可设A、B点坐标分别为（2m，3m）、（2n，3n），∵AD∥OC，∴∠ADB=∠OCB，∠DAB=∠COA，∴△BAD∽△BOC．①当点A在线段OB上时，如图1所示．∵OC=2AD，∴D点为线段BC的中点，∵C（0，c），B（2n，3n），∴D点横坐标为=n，由题意知A、D点均在抛物线的对称轴上，∴n=2m，∴B点坐标为（4m，6m），∵A，B在抛物线上，且抛物线对称轴为x=2m，∴有，解得：，或，∵c＞0，∴c=；②当点B在线段OA上时，如图2所示．∵OC=2AD，∴OB=2AB．∵C（0，c），B（2n，3n），∴D点横坐标为×2n=3n，由题意知A、D点均在抛物线的对称轴上，∴n=m，∴B点坐标为（m，2m），∵A，B在抛物线上，且抛物线对称轴为x=2m，∴有，解得：，或．∵c＞0，∴c=．综上所述：c的值为或．故答案为：或．设A（2m，3m）、B（2n，3n），分点A在线段OB上及点B在线段OA上两种情况，由OC=2AD，利用相似三角形的性质可得出m、n间的关系，将A、B点坐标代入抛物线与抛物线对称轴x=2m联立方程组，解方程组即可求得c的值．本题考查了三角形的相似以及二次函数的性质，解题的关键是根据OC=2AD找到A、B 点坐标的关系．15.【答案】解：（1）填表如下：a.240b.乙；①乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；②乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高．③乙部门生产技能测试中，优秀的员工人数为12多于甲8人，表示乙部门员工的生产技能水平较高．【解析】本题考查了数据分析的应用和用样本估计总体，属于中档题．根据收集的数据按分数段填表即可；a.用乙部门优秀员工人数除以20乘以400即可得出答案；b.根据情况进行讨论分析，理由合理即可．16.【答案】解：原式=-==x+1，当x=-1时，原式=．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17.【答案】解：（1）画树状图得：则共有9种等可能的结果；（2）∵出现平局的有3种情况，∴出现平局的概率为：=.【解析】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得出现平局的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.18.【答案】解：设买美酒x斗，普通酒y斗，依题意，得：，解得：．答：买美酒0.25斗，普通酒1.75斗．【解析】设买美酒x斗，普通酒y斗，根据现在买两种酒2斗共付30钱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．19.【答案】【解析】（1）证明：连接OB，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵CB平分∠ACE，∴∠OCB=∠BCF，∴∠OBC=∠BCF，∴∠ABO=∠AEC=90°，∴OB⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（2）∵∠AEC=90°，cos∠A=，AE=8，∴AC=10，CE=6，∵OB∥CE，∴△AOB∽△ACE，∴，∴，∴OB=，∴⊙O的半径长为，故答案为：．（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC，根据角平分线的定义得到∠OCB=∠BCF，得到∠OBC=∠BCF，求得∠ABO=∠AEC=90°，于是得到结论；（2）解直角三角形得到AC=10，CE=6，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．20.【答案】解：如图所示，（1）CM即为所求；（2）△CPQ即为所求．【解析】（1）在图①网格中，根据勾股定理画出△ABC的高CM即可；（2）在图②网格中，根据平行四边形的对角线相等且互相平分线找到点P，连接AP交BD于点Q，即可画出△CPQ．本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．21.【答案】4.5 60【解析】解：（1）∵线段DE代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，∴a=4+0.5=4.5（小时），甲车的速度==60（千米/小时）；故答案为：4.5；60；（2）设乙开始的速度为v千米/小时，则4v+（7-4.5）（v-50）=460，解得v=90（千米/小时），4v=360，则D（4，360），E（4.5，360），∴线段OD的函数关系式为y=90x（0≤x≤4），设直线EF的解析式为y=kx+b，，解得，所以线段EF所表示的y与x的函数关系式为y=40x+180（4.5≤x≤7）；综上所述，乙车距A地的路程y与x之间的函数关系式为：y=；（3）易知C（0，40），设线段CF的解析式为y=kx+40，根据题意得，7k+40=460，解得k=60，∴线段CF的解析式为y=60x+40，∵甲乙两车距离不超过10km时，车载通话机可以进行通话，∴，解得，，解得，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为：（小时）．（1）由乙在途中的货站装货耗时半小时易得a=4.5，甲从A到B共用了（+7）小时，然后利用速度公式计算甲的速度；（2）分段函数；设乙开始的速度为v千米/小时，利用乙两段时间内的路程和为460列方程4v+（7-4.5）（v-50）=460，解得v=90（千米/小时），计算出4v=360，则可得到D（4，360），E（4.5，360），然后利用待定系数法求出线段EF所表示的y与x的函数关系式为y=40x+180（4.5≤x≤7）；（3）求出线段CF的解析式，再根据题意列不等式组解答即可．本题考查了一次函数的应用：学会从函数图象中获取信息，特别注意自变量取值范围的变化．22.【答案】【解析】解：（1）DF=BF，DF⊥BF理由如下：如图①中，∵∠ABC=∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=CF=EF=CE，BF=CF=EF=CE，∴DF=BF，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∵DF=CF，∴∠DCF=∠CDF，∴∠DFE=∠DCF+∠CDF=2∠DCF，∵BF=CF，∴∠FCB=∠FBC，∴∠BFE=∠FBC+∠FCB=2∠BCF，∴∠DFB=∠EFD+∠EFB=2（∠DCF+∠BCF）=2∠ACB=90°，∴DF=BF．（2）（1）中的结论仍然成立如图②中，过点C作CM∥DE，交DF的延长线于M，连接DB，BM．∵DE∥CM，∴==，∠DEC=∠MCE，∵F是CE的中点，∴CF=EF，∴DF=FM，CM=DE，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AD，BC=AB，∠DEA=∠DAE=∠CAB=∠ACB=45°，∴∠DEC=135°=∠ECM，∠DAB=90°，∴∠BCM=∠ECM-∠ACB=90°，∴∠DAB=∠BCM，且AB=BC，CM=DE=AD，∴△ADB≌△BCM（SAS），∴DB=BM，∠ABD=∠MBC，∵∠ABD+∠DBC=90°，∴∠MBC+∠DBC=90°=∠DBM，且DB=BM，∴△DBM是等腰直角三角形，又∵DF=FM，∴BF=DF，BF⊥DF．（3）如图③中，延长DF，AC交于M，连接BF，BM．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠EDA=∠ABC=90°，AD=DE，AB=BC，∵∠DAC=90°，∴DE∥AC，∴==，∵F是EC中点，∴EF=CF，∴DF=FM，DE=CM，∵∠ACB=∠BAC=45°，∴∠DAB=135°=∠BCM，且AB=BC，AD=DE=CM，∴△ADB≌△CMB（SAS），∴BD=BM，∠ABD=∠CBM，∵∠ABD+∠DBC=90°，∴∠CBM+∠DBC=90°，∴∠DBM=90°且BD=BM，∴△DBM是等腰直角三角形，又∵DF=FM∴BF=DF，BF⊥DF，∴△DFB是等腰直角三角形，又∵FG⊥BD，∴FG=BD，作DN⊥AB交BA的延长线于N，∵∠DAB=135°，∴∠DAN=45°且DN⊥AB，∴DN=AN，∵AN2+DN2=AD2=8，∴AN=DN=2，∴BN=AB+AN=8，在Rt△ADB中，DB==2，∴FG=BD=．故答案为（1）如图①中，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠ACB=90°，DF⊥BF．（2）如图②中，过点C作CM∥DE，交DF的延长线于M，连接DB，BM，易得DF=FM，CM=DE，可证明△ADB≌△BCM，可得BD=BM，BD⊥BM，即△DBM是等腰直角三角形，且DF=FM，则结论成立（3）如图③中，连接DF并延长交AC的延长线于M，连接BM，BF，易得DF=FM，CM=DE，可证明△ADB≌△BCM，可得BD=BM，BD⊥BM，即△DBM是等腰直角三角形，且DF=FM，可得△DBF是等腰直角三角形，且FG⊥BD，则FG=BD，作DN⊥AB，根据勾股定理依次可得AN，DN，BD长度，则FG的长度也求出了．本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．23.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=BD，∴∠A=∠C=60°，△ABD与△BCD是等边三角形，∵PQ∥BD，以PQ为边作正三角形PQE，且点E与BD始终在PQ的同侧，∴点P在AB上时，四边形APEQ是菱形，且△APQ与△EPQ是全等的等边三角形；点P在BC上时，四边形CPEQ是菱形，且△CPQ与△EPQ是全等的等边三角形；∴当AP=PE=PB时或CP=PE=PB时，点E落在BD上，即点P在AB中点或BC中点时，点E落在BD上，∴t==1（s）或t==3（s），∴当点E落在BD上时，求t的值为1s或3s；（2）∵△APQ是等边三角形，∴三角形各边的高为边长的，当0＜t≤1时，S=S△PQE=S△APQ=AP•AP=t×t=t2；当1＜t＜2时，如图1所示：过点E作EH⊥PQ于H，交BD于O，∵PQ∥BD，∴△EMN与△EPQ都是等边三角形，AP=PQ=PE=t，∴==，∵∠APE=120°，∴∠BPN=60°，∵∠PBN=60°，∴△BPN是等边三角形，∴PN=PB=2-t，EN=PE-PN=t-2+t=2t-2，∴MN===2t-2，OE=EN=（t-1），∴S=t2-MN•OE=t2-×（2t-2）×（t-1）=-t2+2t-；（3）①当点P在AB上时，点E落在∠BDC的平分线上，如图2所示：∵△BCD是等边三角形，∴∠BDM=30°，∵△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∴∠QDE=90°，∵△APQ与△EPQ是全等的等边三角形，∴∠AQE=120°，∴∠EQD=60°，∴∠QED=30°，∴DQ=QE，∵PQ∥BD，∴DQ=PB，∵四边形APEQ是菱形，∴PB=AP，∵AB=2，∴AP=×2=，∴t=s；②当点P在BC上时，点E落在∠BDC的平分线上，如图3所示：∵△BCD是等边三角形，∴∠DMC=90°，BM=CM=1，同①得：∠EPM=60°，∴∠PEM=30°，∴PM=PE，∵四边形CPEQ是菱形，∴PM=PC，∴PM=CM，∴BP=，∴t==（s）；综上所述，当点E落在∠BDC的平分线上时，t的值为s或s．【解析】（1）证出点P在AB中点或BC中点时，点E落在BD上，得出t=1或t=3；（2）分两种情况，当0＜t≤1时，当1＜t＜2时，由等边三角形的性质和三角形面积公式即可得出答案；（3）①当点P在AB上时，点E落在∠BDC的平分线上，由直角三角形的性质得出DQ=QE，由菱形的性质得出PB=AP，进而得出答案；②当点P在BC上时，点E落在∠BDC的平分线上，证出∠DMC=90°，BM=CM=1，由直角三角形的性质得出PM=PE，由菱形的性质得出PM=PC，求出BP=，进而得出答案．本题是四边形综合题，主要考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线定义、含30°角直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质以及等边三角形的性质是解题的关键．24.【答案】【解析】解：（1）把点（-1，2）代入y=x2+x+m，则1-1+m=2，∴m=2；（2）∵点A的坐标为（m，2）（其中m为常数），点B与点A关于y轴对称，∴点B的坐标为（-m，2），当-m≥1时，即m≤-1时，把点（-m，2）代入y=x2+x-m，则m2-m-m=2，解得m=1±，（舍去）当-m＜1时，即m＞-1时，把点（-m，2）代入y=x2+x+m，则m2-m+m=2，解得m=±，（负值舍去），综上，m=；（3）当m＜0时不存在两个交点，当m＞0时存在两个交点，此时只有一种情况成立，即y=x2+x+m=2时，且△=1-4（m-2）=0，解得m=符合题意，故答案为：；（4）当图形G上最低点落在函数y=x2+x-m（x≥1）的图象上时，则最低点坐标为（1，2-m），∴-2≤2-m≤-1，解得：3≤m≤4；当图形G上最低点落在函数y=x2+x-m（x＜2）的图象上时，同理：-≤m≤-；综上所述，m的取值范围为：3≤m≤4或-≤m≤-．（1）直接代入求值即可；（2）求得B点的坐标，分两种求得代入求值即可；（3）当m≠0时，两个公共点只能分别在G1，G2上，分别求解即可；（4）分两种情况：①图形G上最低点落在左侧函数部分的图象上，根据题意解不等式组即可，②图形G上最低点落在右侧部分的图象上时，解不等式组即可．本题考查的是二次函数综合运用，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，其中（3）要确定临界点的情况，进而求解．。
吉林省长春市2020年中考数学试卷B卷
吉林省长春市2020年中考数学试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）下列各数中，是负数的是（）A . -（-3）B . -|-3|C . （-3）2D . |-3|2. （2分） (2019七上·惠山期中) 已知水星的半径约为24000000米，用科学记数法表示为米（）A .B .C .D .3. （2分） (2018八上·鄂城期中) 下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·福田模拟) 下列计算正确的是（）A . 3x-2x=1B . （-a3）2=-a6C . x6÷x2=x3D . x3·x2=x55. （2分）期中、期末两次成绩分别按40%、60%的比例计入学期学科总成绩。
小明期中数学成绩是85分，期末数学成绩是90分，那么他的学期数学成绩为（）分。
A . 85B . 87.5C . 88D . 906. （2分） (2018九上·硚口期中) 如图，AB，AC，BC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，若MN＝1，则BC的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）(2016·贵港) 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A . x＜1B . x≤1C . x＞1D . x≥18. （2分） (2016七上·揭阳期末) 如下图所示几何体的俯视图是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017九上·萝北期中) 你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A . （1+x）2=B . x+2x=C . （1+x）2=D . 1+2x=10. （2分）关于x的不等式组只有6个整数解，则a的取值范围是（）A . -≤a≤-4B . -＜a≤-4C . -≤a＜-4D . -＜a＜-411. （2分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论中正确结论的个数是（）①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分） (2016九上·博白期中) 如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x= ，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（﹣3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2 ，其中说法正确的是（）A . ①②④B . ③④C . ①③④D . ①②二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019七上·柯桥月考) 4的平方根与-27的立方根的和为________14. （1分）(2019·铁岭模拟) 分解因式： =________.15. （1分）(2017·浙江模拟) 如图,在平面直角坐标系中，点A（8,0），点P（0，m），将线段PA绕着点P 逆时针旋转90°，得到线段PB，连接AB，OB，则BO+BA的最小值为________．16. （1分）(2017·崇左) 我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如 = + ； = + ； = + ；…根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数（n是不小于2的正整数）= ，那么a+b=________．（用含n的式子表示）三、解答题 (共8题；共81分)17. （5分）(2017·中原模拟) 先化简（﹣x）÷（1+x﹣），再选一个你喜欢的整数值，代入求值．18. （5分）在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O 处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC或其延长线于E，F两点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况．（1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长）；若不能，请说明理由；（2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图①或②加以证明；（3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处（如图③），当AP:AC=1:4时，PE和PF有怎样的数量关系？证明你发现的结论．19. （16分） (2018九下·江阴期中) 江阴市教育局为了解今年九年级学生体育测试情况，随机抽查了某班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下（1）样本中D级的学生人数占全班学生人数的百分比是________；（2）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是________；（3）请把条形统计图补充完整；（4）若该校九年级有500名学生，请你用此样本估计体育测试中A级和B级的学生人数之和．20. （5分）(2017·荆门) 金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB 的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）21. （10分） (2016九上·萧山月考) 如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4： 3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC·CD=PC·BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。
2023年吉林省长春市中考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年吉林省长春市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是( )A. aB. bC. cD. d2.长春龙嘉国际机场T3A航站楼设计创意为“鹤舞长春”.如图所示.航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景.本期工程是按照满足2030年旅客吞吐量38000000人次目标设计的，其中38000000这个数用科学记数法表示为( )A. 0.38×108B. 38×106C. 3.8×108D. 3.8×1073. 下列运算正确的是( )A. a3−a2=aB. a2⋅a=a3C. (a2)3=a5D. a6÷a2=a34.如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字.若多面体的底面是面③，则多面体的上面是( )A. 面①B. 面②C. 面⑤D. 面⑥5.如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是( )A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例D. 两点之间线段最短6.学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示.已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC=25°)，彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32米)，则彩旗绳AB的长度为( )A. 32sin25°米B. 32cos25°米C. 32sin25∘米 D. 32cos25∘米7.如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是( )A. AD=AEB. AD=DFC. DF=EFD. AF⊥DE8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与y轴相切、⊙B与x轴相切时，连接AB，AB=3√ 2，则k的值为( )A. 3B. 3√ 2C. 4D. 6第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9. 分解因式：m2−1=______．10. 若关于x的方程x2−2x+c=0有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是______ ．11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为______ 公里.(用含x的代数式表示)12.如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上.若OA：AA′=1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为______ ．13. 如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为______ 度.14. 2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民就商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪).如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇.此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H′距地面______ 米.三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。
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2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷（十二）
一．选择题（共8小题）
1．在0、﹣1.5、﹣2、这四个数中，属于负分数的是（ ）
A．0 B． C．﹣1.5 D．﹣2
2．“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149 600 000千米，149
600 000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．1 496×105 B．1 496×108 C．1.496×105 D．1.496×108
3．下面几何体中，主视图与俯视图都是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．x2+x2＝2x4
C．（﹣3a3）•（﹣5a5）＝15a8 D．（﹣2x）2＝﹣4x2
5．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中
记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，
算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图表所示：表示一个多位数时，像阿拉伯数字一样，
把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位
数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：
，则5288用算筹式可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，以小于BC的长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线BG，交AC边于点D，若BC＝4，AB＝5，则S
△
ABD
（ ）
A．3 B． C．6 D．
8．如图，函数y＝（k＞0）的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若
四边形ODBC的面积为6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二．填空题（共6小题）
9．分解因式：8a3﹣2a＝ ．
10．如果关于x的方程2x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ．
11．如图，在山坡AB上种树，已知∠C＝90°，∠A＝α，相邻两树的坡面距离AB为m米，
则相邻两树的水平距离AC＝ 米．
12．如图，过点N（0，﹣1）的直线y＝kx+b与图中的四边形ABCD有不少于两个交点，其
A（﹣2，3）、B（﹣1，1）、C（﹣4，1）、D（﹣4，3），则k的值可以是 ．（写出
一个满足条件的值即可）．
13．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠
FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝ ．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+3（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y
轴于点B，将抛物线向下平移3个单位，若抛物线上A、B两点间的部分在平移过程中扫
过的面积为9，则a的值为 ．
三．解答题（共10小题）
15．先化简，再求值：﹣，其中a＝﹣5．
16．在一个不透明的箱子里装有3个小球，分别标有数字1，﹣2，3，这些小球除所标数字
不同外其余均相同，先从里随机摸出一个球，记下数字后将它放回并搅匀；再从箱子里
随机摸出一个小球并记下数字，请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球所
标数字乘积是负数的概率．
17．为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行
车，小红家距单位的路程是20千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度
的4倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，
求小红骑自行车的速度．
18．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂
线EF交直线AD于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若∠CAB＝36°，⊙O的半径为12，求的长．
19．长春地铁一号线于2017年6月30日正式开通．运营公司根据乘车距离制定了不同的票
价类别（见对照表）．为了解乘客的乘车距离，运营公司随机选取了一部分经常需要乘车
的市民进行了调查统计，绘制了两幅不完整的统计图．请你根据图表中提供的信息解答
以下问题：
（1）本次抽样调查的人数是 人．
（2）补全条形统计图．
（3）运营公司估计这条地铁专线通车后每天的客流量约为10万人，请你估算运营公司
的日营业额．
票价类别与乘车距离对照表
类别 乘车距离d（公里） 票价
A 0＜d≤7 2
B 7＜d≤13 3
C 13＜d≤19 4
D 19＜d≤27 5
E 27＜d≤35 6
20．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O、M均在格点上，P为线段OM上的
一个动点．
（1）OM的长等于 ；
（2）当点P在线段OM上运动，OP＝时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的
网格中画出点P的位置（保留作图的痕迹）
21．甲、乙两名同学从学校去图书馆．甲骑自行车，乙步行，甲比乙早出发5分钟，甲到达
图书馆查阅资料，一段时间后离开图书馆返回学校，乙到达图书馆还书后立即返回学校
（还书时间忽略不计）．甲往返的速度均为250米/分，乙往返的速度均为80米/分．如图
是两人距学校的距离y（米）与甲出发时间x（分）之间的函数图象，请结合图象回答下
列问题：
（1）从学校到图书馆的距离是 米，甲到达图书馆后 分钟乙也到达图书馆．
（2）求甲离开图书馆后y（米）与出发时间x（分）之间的函数关系式．
（3）请直接写出甲从图书馆返回后经过多少分钟，甲、乙两人相距300米．
22．如图1，等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连
接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，
判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝8，AB＝20，请直接写出
△PMN面积的最大值．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发，沿AB以
每秒4cm的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB交射线
BC于点Q，以PQ为一边向上作正方形PQMN，设点P的运动时间为t（秒）．
（1）求线段PQ的长．（用含t的代数式表示）
（2）求点Q与点C重合时t的值．
（3）设正方形PQMN与△ABC的重叠部分周长为1（cm），求l与t之间的函数关系式．
（4）作点C关于直线QM的对称点C'，连结PC'．当PC′与△ABC的边垂直或重合时，
直接写出t的值．
24．已知：在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是某函数图象上任意两
点（x1＜x2），将函数图象中x＜x1的部分沿直线y＝y1作轴对称，x＞x2的部分沿直线y
＝y2作轴对称，与原函数图象中x1≤x≤x2的部分组成了一个新函数的图象，称这个新函
数为原函数关于点A、B的“双对称函数”．
例如：如图①，点A（﹣2，﹣1）、B（1，2）是一次函数y＝x+1图象上的两个点，则函
数y＝x+1关于点A、B的“双对称函数”的图象如图②所示．
（1）点A（t，y1）、B（t+3，y2）是函数y＝图象上的两点，y＝关于点A、B的“双
对称函数”的图象记作G，若G是中心对称图形，直接写出t的值．
（2）点P（，y1），Q（+t，y2）是二次函数y＝（x﹣t）2+2t图象上的两点，该二次
函数关于点P、Q的“双对称函数”记作f．
①求P、Q两点的坐标（用含t的代数式表示）．
②当t＝﹣2时，求出函数f的解析式；
③若﹣1≤x≤1时，函数f的最小值为y
min，求﹣2≤ymin
≤﹣1时，t的取值范围．