2017届南通高三一模数学试卷

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普通高中2017高考高三数学第一次模拟试题精选：三角函数03含答案

三角函数0331、在ABC ∆中，若60,2,23,B AB AC =︒==∆则ABC 的面积是．【答案】32【解析】由正弦定理sin sin AC ABB C =得sin 1sin 223AB B C AC ===o ，因为AC AB >,所以C B <，所以030C =。

所以90A =o，所以112232322ABC S AB AC ∆=⋅=⨯⨯=。

32、已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+＞0，ω＞0，||ϕ＜π)2的图像与y 轴的交点为（0，1），它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +- （1）求()f x 的解析式及0x 的值；（2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)f θ 的值【答案】解：（1）由题意可得2π2,2π,=4π,4π2T A T ω===即12ω=，………………………3分1()2sin(),(0)2sin 1,2f x x f ϕϕ=+==由||ϕ＜π2,π.6ϕ∴=1π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………………………………………………………………………5分001π()2sin()2,26f x x =+=所以001ππ2π2π+,4π+(),2623x k x k k +==∈Z又Q 0x 是最小的正数，02π;3x ∴=……………………………………………………7分（2）π1(0,),cos ,sin 23θθθ∈=∴=Q27cos22cos 1,sin 22sin cos 9θθθθθ∴=-=-=………………………………10分π77(4)2sin(2)2cos26999f θθθθ=+=+=-=-．…………………14分33、在△ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且A , B , C 成等差数列．（1）若3AB BC ⋅=-u u u r u u u r，且b =，求a c +的值；（2）若sin cos AM A，求M 的取值范围．【答案】解：（1）Q A 、B 、C 成等差数列，∴2,B A C =+ 又A B C π++=，∴3B π=， …………………………2分由3AB BC ⋅=-u u u r u u u r 得，2cos 33c a π⋅=-，∴6ac = ① ………………………4分又由余弦定理得2222cos,3b ac ac π=+-∴2218a c ac =+-，∴2224a c += ② ………………………6分由①、②得，6a c += ……………………………………8分（2）sin sin cos AM A A A==-2sin()3A π=- ……………………………………11分由（1）得3B π=，∴23A C π+=，由203C A π=->且0A >，可得20,3A π<<故333A πππ-<-<，所以2sin()(3A π-∈，即M 的取值范围为(． …………………………14分34、已知c b a ,,分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边长，且c A b B a 53cos cos =-．（1）求：BAtan tan 的值；（2）若060=A ，5=c ，求a 、b ．【答案】解：（1）由正弦定理C c B b A a sin sin sin ==得C A B B A sin 53cos sin cos sin =-，2分又B A B A B A C sin cos cos sin )sin(sin +=+=，所以A B B A cos sin 58cos sin 52=， ·5分可得4cos sin cos sin tan tan ==AB BA B A ． ······························································································ 7分（2）若060=A ，则23sin =A ，21cos =A ，3tan =A ，得43tan =B ，可得19194cos =B ，19193sin ⨯=B ． ······················································································ 10分 381935sin cos cos sin )sin(sin ⨯=+=+=B A B A B A C ，由正弦定理C cB b A a sin sin sin ==得 19sin sin =⋅=A C c a ，2sin sin =⋅=B Cc b 14分35、已知)1,sin 32cos 2(x x m +=，),(cos y x n -=，满足0=⋅．（1）将y 表示为x 的函数)(x f ，并求)(x f 的最小正周期；（2）已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，若)2()(Af x f ≤对所有R x ∈恒成立，且2=a ，求c b +的取值范围．【答案】（I ）由0=⋅得0cos sin 32cos 22=-+y x x x ………2分即x x x y cos sin 32cos 22+=1)62sin(212sin 32cos ++=++=πx x x … …4分所以1)62sin(2)(++=πx x f ，其最小正周期为π． ………6分（II ）因为)2()(A f x f ≤对所有R x ∈恒成立所以3)2(=A f ，且Z k k A ∈+=+,226πππ…………8分因为A 为三角形内角，所以π<<A 0，所以3π=A ． ……………9分由正弦定理得B b sin 334=，C c sin 334=，C B c b sin 334sin 334+=+ )32sin(334sin 334B B -+=π)6sin(4π+=B ……………………………………12分 )32,0(π∈B Θ，]1,21()6sin(∈+∴πB ，]4,2(∈+c b 所以c b +的取值范围为]4,2( ………… ……………………14分36、已知函数)cos (sin cos )(x x x x f +=，R ∈x ．（1）请指出函数)(x f 的奇偶性，并给予证明；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求)(x f 的取值范围．【答案】解：2142sin 22)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f （3分）（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛±=+±≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛-8212218ππf f Θ，)(x f ∴是非奇非偶函数．（3分）注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如01)0(≠=f Θ，)(x f ∴不是奇函数．（2）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，得45424πππ≤+≤x ，142sin 22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ．（4分）所以2122142sin 220+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πx ．即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈212,0)(x f ．（2分）。

【江苏省南通、扬州、泰州】2017学年高考三模数学年试题

15．解：（1）设BAD ∠=，CAD ∠=，由三角函数的定义得4cos 5α=，3sin 5α=，故1cos cos(60)cos 2βααα︒=-=+即cos CAD ∠．（2）设点(,)C x y ．由（1）知13sin sin(60)sin 2210βααα︒=-=-=，因为5AC AB ==，所以5cos x β==5sin y β=-=，故点C ．16．证明：（1）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11BC B C ∥．因为BC ⊄平面11AB C ，11B C ⊂平面11AB C ，所以BC ∥平面11AB C ．（2）因为平面11A ABB ⊥底面ABCD ，平面11A ABB 底面ABCD AB =，BC ⊂底面ABCD ，且由π2ABC ∠=知AB BC ⊥，所以BC ⊥平面11A ABB ．又11BC B C ∥，故11B C ⊥平面11A ABB ．而11B C ⊂平面11AB C ，所以平面11A ABB 平面11AB C ．17．（1）由题意知AC BC ⊥，AC x =，20AB =，则22400BC x =-，所以224(020)400ky x x x =+<<-．因为当x =0.065y =，代入表达式解得9k =，所以224(020)400k y x x x =+<<-．（2）因为224(020)400ky x x x =+<<-，所以42232232289(2)188(400)(400)(400)x x x y x x x x ⨯---'=--=--．令y '，得422188(400)x x =-，所以2160x =，即x =当0x <<0y '<，所以函数2249400y x x =+-为减函数；当20x <<时，0y '>，所以函数2249400y x x =+-为增函数．所以当x =C 到城A 的距离为km 时，函数224(020)400ky x x x =+<<-有最小值．18．（1）由题意知椭圆22:1113x y C m m+=，所以2211,3a b m m==，故2a == 解得16m =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=．因为2c ，所以离心率c e a ==（2）设线段AP 的中点为D ．因为BA BP =，所以BD AP ⊥．由题意知直线BD 的斜率存在，设点P 的坐标为000(,)(0)x y y ≠，则点的坐标为003(,)22x y +，直线AP 的斜率003AP yk x =-，所以直线BD 的斜率0031BD AP x k k y -=-=，故直线BD 的方程为000033()22y x x y x y -+-=-．令0x =，得2200092x y y y +-=，故220009(0,)2x y B y +-．由2200162x y +=，得220063x y =-，化简得20023(0,)2y B y --．因此，OAP OAB OPAB S S S =+△△四边形2000233(||||)22y y y --=+32≥⨯．当且仅当0032||2||y y =时，即0[y =时等号成立．故四边形OPAB面积的最小值为19．解：（1）当0c =时，32()f x ax bx cx b a =-++-． ①若a b =，则32()f x ax ax =-，从而2()32f x ax ax '=-，故曲线()y f x =在0x x =处的切线方程为32200000()(32)()y ax ax ax ax x x --=--．将点(1,0)代入上式并整理得200000(1)(1)(32)x x x x x -=--，解得00x =或01x =．②若a b >，则令2()320f x ax bx '=-=，解得0x =或213bx a=<．（ⅰ）若0b ≤，则当[0,1]x ∈时，()0f x '≥，所以()f x 为区间[0,1]上的增函数，从而()f x 的最大值为(1)0f =．（ii ）若0b >，列表：所以()f x 的最大值为(1)0f =．综上，()f x 的最大值为0．（2）假设存在实数,,a b c ，使得11()f x x =与22()f x x =同时成立．不妨设12x x <，则12()()f x f x <．因为1x x =，1x x =为()f x 的两个极值点，所以212()323()()f x ax bx c a x x x x '=-+=--．因为0a >，所以当12[,]x x x ∈时，()0f x '≤，故()f x 为区间12[,]x x 上的减函数，从而12()()f x f x >，这与12()()f x f x <矛盾，故假设不成立．既不存在实数,,a b c ，使得11()f x x =，22()f x x =同时成立． 20．（1）由题得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为7．（2）设1a p =，其中0p ≠且1p ≠±．由111nn na a a ++=-，得211p a p +=-，31a p=-，411p a p -=+，5a p =，…．所以15a a =，25a a =，…．因此集合A 中的所有数列都具有周期性，且周期为4．所以数列{}n b 中，32a b -=，23a b -=-，112a b -=-，1()3a b k =∈*N ，数列{}n c 中，33a c -=，22a c -=-，113a c -=-，1()2a c k =∈*N ，因为1111||||k ki i i i i b c b c +==-≥-∑∑，所以项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大．因为17||3ki i i b c =-=∑，所以34564845117||||86420163iiiii i b c b c ⨯⨯==-=-=⨯=∑∑，因此，当3456m <时，1||2016mi i i b c =-<∑．故m 的最大值为3 455．（3）假设T 中的元素个数大于或等于17．因为数列{}n a 中，0n a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组（1a ，2a ，3a ）有且只有8个：(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)．那么这17个元素之中必有3个具有相同的1a ，2a ，3a ．设这3个元素分别为{}n c ：1c ，2c ，3c ，4c ，5c ，6c ，7c ；{}n d ：1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，6d ，7d ；{}n f ：1f ，2f ，3f ，4f ，5f ，6f ，7f ，其中111c d f ==，222c d f ==，333c d f ==．因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3，所以在{}n c 与{}n d 中，(4,5,6,7)i i c d i ≠=至少有3个成立．不妨设44c d ≠，55c d ≠，66c d ≠．由题意得4c ，4d 中一个等于0，另一个等于1．又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立．同理得：55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立，所以“(4,5,6)i i f c i ==中至少有两个成立”和“(4,5,6)i i f d i ==中至少有两个成立”中必有一个成立．故71||2i i i f c =-≤∑和71||2i i i f d =-≤∑中必有一个成立，这与题意矛盾．所以T 中的元素个数小于或等于16．试题2（附加题）21．【选做题】A ．解：易得90ADO ACB ︒∠=∠=，又A A ∠=∠，故Rt ADO Rt ACB △∽△，所以BC ACOD AD=．又2AC AD =，故2BC OD =．B ．解：设将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90︒所对应的矩阵为A ，则01cos90sin9010sin90cos90A ︒︒︒︒-⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵为，则，所以连续两次变换所对应的矩阵00101111010022M BA ⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C ．解：依题意知cos 1sin x y αα=-⎧⎨=⎩（α为参数），因为22sin cos 1αα+=，所以22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=，化为极坐标方程得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． D ．证明：因为0a >，0b > ，所以要证3334()()a b a b +>+，只要证2234()()()a b a ab b a b +-+>+，即要证2224()()a ab b a b -+>+，只需证23()0a b ->，而a b ≠，故23()0a b ->成立．【必做题】22．解：（1）由题意知基本事件数为39C ，而满足条件||2i j a a -≥，即取出的元素不相邻，则用插空法，有37C 种可能，故所求事件的概率3739512C P C ==．（2）分析123,,a a a 成等差数列的情况；1ξ=的情况有7种：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，{7,8,9}；2ξ=的情况有5种：{1,3,5}，{2,4,6}，{3,5,7}，{4,6,8}，{5,7,9}； 3ξ=的情况有3种：{1,4,7}，{2,5,8}，{3,6,9}； 4ξ=的情况有1种：{1,5,9}．故随机变量ξ的分布列如下：因此，()1234161616168E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=23．解：（1）213(1)122f S ==+=，4111113(2)S 23412f S =-=++=， 62111119(3)345620f S S =-=+++=．（2）由（1）知(1)1f >，(2)1f >．下面用数学归纳法证明：当3n =时，()1f n <．（i ）由（1）知当3n =时，()1f n <．（ii ）假设当(3)n k k =≥时，()1f n <，即111()112f k k k k=+++<-…，那么11111(1)1222122f k k k k k k +=+++++++++… 11111111111()1()()122212221222k k k k k k k k k k k=++++++-<+-+-++++++… 2(21)2(22)12(21)2(22)k k k k k k k k -+-+=++++ 11112(21)(22)k k k k =--<++．所以当1n k =+时，()1f n <也成立．因此，当3n ≥时，()1f n <．综上，当1n =和2n =时，()1f n >；当时，()1f n <．江苏省南通市2017届高三高考全真模拟数学试卷（一）解析1．略．2．略．3．略．4．略．5．略．6．略．7．略．8．9．10．11．12．13．14．15．16．略．17．18．19．20．21．A．B．C．D．22．23．21 / 21。

2017年江苏省南通市海安中学高考数学模拟试卷(理科)

2017年江苏省南通市海安中学高考数学模拟试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x≤1}，集合B={﹣1，1，3}，则A∩B=．2．（5分）若复数z=（i是虚数单位），则z的实部为．3．（5分）函数y=的定义域为．4．（5分）根据如图所示的伪代码知，输出的a的值为．5．（5分）欲用系统抽样的方法从1000人中抽取50人做问卷调查．为此，将他们随机编号为1，2，…，1000，分组后，已知在第一组中采用抽签法抽到的号码为8．若编号在区间[1，400]上的人做问卷A；编号在区间[401，750]上的人做问卷B，其余的人做问卷C．则做问卷C的人数是．6．（5分）从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，则取出的两个数的和为奇数的概率为．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（m＞0）的离心率为，则该双曲线的两条渐近线方程是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则g（）的值为．9．（5分）若实数x，y满足，则2x+y的最小值为．10．（5分）已知正六边形ABCDEF的边长为1，则?的值为．11．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a7+a10=15，a i=77．若a k=13，则正整数k的值为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心分别为A（14，92），B（17，76），C（19，84）的三个圆半径相同，直线l过点B，且位于l同侧的三个圆各部分的面积之和等于另一侧三个圆各部分的面积之和，则直线l的斜率的取值集合为．13．（5分）设函数f（x）=．若存在实数b，使得函数y=f（x）﹣bx 恰有2个零点，则实数a的取值范围是．14．（5分）设a＞0，b＞0，函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣a+xlnb，且?x∈[，]，使得f（x）≤g（x），则的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin=．（1）求cos（C+）的值；（2）若△ABC的面积是，且sin2A+sin2B=sin2C．求c的值．16．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，EF=AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，G为BC的中点，求证：（1）OG∥平面ABFE；（2）AC⊥平面BDE．17．（14分）如图，等腰直角三角形区域ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=1百米．现。

江苏十三市2017届高三一模(第一学期期末)试卷好题分享

泰州、南通2017—11．在△ABC 中，若BC BA 2AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin Asin C 的值为． 2．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，(0,)2x π∈相交于点P ，若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a 的值为．3．已知函数()4f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知B 、C 为圆224x y +=上两点，点A （1，1），且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ + 的值．6．如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪．（1）当∠EFP ＝4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．7．已知函数2()ln f x ax x x =--，a R ∈．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点；（3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．8．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…（12n k k k <<<<）成等比数列，公比为q ．（1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值；（2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列；（3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n N *∈，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a的取值范围．南京、盐城2017—11．在△ABC 中，已知AB C ＝3π，则CA CB ⋅的最大值为．2．如图所示，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线1)y x =+上从左向右依次取点A k 、B k ，1,2,,k =其中1A 是坐标原点，使△1A B A k k k +都是等边三角形，则△101011A B A 的边长是．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图像与圆M ：222(3)x y r -+= 的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图像经过点O 、P 、M ，则()y f x =的最大值为．4．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22228a b c ++=，则△ABC 面积的最大值为．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：222x y b +=经过椭圆E ：2221(02)4x y b b+=<<的焦点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线l ：y kx m =+交椭圆E 于P 、Q 两点，T 为弦PQ 的中点，M （﹣1，0），N （1，0），记直线TM 、TN 的斜率分别为1k 、2k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值．6．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中AE ＝30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=．（1）若设计AB ＝18米，AD ＝6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大（注：计算中π取3）？7．设函数()ln f x x =，1()3()a g x ax a R x-=+-∈．（1）当2a =时，解关于x 的方程()0xg e =（其中e 为自然对数的底数）；（2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由（参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈）．8．若存在常数k （k ∈N *，k ≥2）、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d N k a n qa N k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{}n b 为“段比差数列”．（1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3． ①当q ＝0时，求2016b ；②当q ＝1时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由．镇江2017—1 1．定义在（0，2π）的函数()8sin tan f x x x =-的最大值为． 2．不等式2log ln 4a x x -<（a >0，且a ≠1）对任意(1,100)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为．3．已知函数1221x x y +=+与函数1x y x+=的图象共有k （k N *∈）个公共点，A 1（1x ，1y ），A 2（2x ，2y ），…，A k （k x ，k y ），则1()kiii x y =+=∑ ．4．已知不等式22()(ln )2m n m n λ-+-+≥对任意m ∈R ，n ∈（0，+∞）恒成立，则实数λ的取值范围为．5．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且点（12）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 交于点P 、Q ，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点且OH ＝1，求△POQ 面积的最大值．6．已知n N *∈，数列{}n a 的各项为正数，前n 项的和为n S ，且11a =，22a =，设212n n n b a a -=+．（1）如果数列{}n b 是公比为3的等比数列，求2n S ；（2）如果对任意n N *∈，22n n a nS +=恒成立，求数列{}n a 的通项公式；（3）如果23(21)n n S =-，数列1{}n n a a +也为等比数列，求数列{}n a 的通项公式．7．已知函数()ln f x x x =，2()(1)g x x λ=-（λ为常数）．（1）已知函数()y f x =与()y g x =在1x =处有相同的切线，求实数λ的值；（2）如果12λ=，且1x ≥，证明()()f x g x ≤；（3）若对任意[1,)x ∈+∞，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数λ的取值范围．苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017—1 1．若实数x 、y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为．2．已知非零向量a ，b 满足a b a b ==+，则a 与2a b -夹角的余弦值为．3．已知A 、B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +的取值范围为．4．已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++≥⎩，若函数()f x 的图象与直线y x =有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为．5．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线的距离为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N ．（i ）当直线PA 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程；（ii ）设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．6．已知函数2()2x f x ax e=-，()ln g x x ax =-，a R ∈．（1）解关于x （x ∈R ）的不等式()0f x ≤；（2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数a 、b ，使得()()f x ax b g x ≥+≥对任意的x >0恒成立？若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．7．已知正项数列{n a }的前n 项和为n S ，且1a a =，1(1)(1)6()n n n a a S n +++=+，n N *∈．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）若对于任意n N *∈，都有(31)n S n n ≤+成立，求实数a 的取值范围；（3）当a ＝2时，将数列{n a }中的部分项按原来的顺序构成数列{n b }，且12b a =，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{n b }．。

江苏省南通2017届高三数学小题一轮总复习

第1练集合的概念与运算一、填空题1. (2015·盐城三模)已知集合A ＝{x|x 2－1＝0}，集合B ＝[0，2]，则A ∩B ＝________．2. (2015·镇江)设全集U ＝Z ，集合M ＝{1，2}，P ＝{－2，－1，0，1，2}，则P ∩(∁U M )＝________．3. (2015·苏锡常三模)已知集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{2，2a －1}，A ∩B ＝{1}，则实数a ＝________．4. (2015·南通三模)已知集合A ＝{3，m}，B ＝{3m ，3}，且A ＝B ，则实数m ＝________．5. (2014·湖北改编)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝⎛⎭⎫12x ≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩(∁R B )＝________．6. (2015·南通二模)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，3，B ＝{x|x 2≥1}，则A ∩B ＝________． 7. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5}，右图中阴影部分所表示的集合为________．8. 设a>1，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －13－x >0，B ＝{x|x 2－(1＋a)x ＋a<0}．若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．9. 已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且y ＝x}，则A ∩B 的元素个数为________．10. 已知集合A ＝{0，1}，B ＝{a 2，2a}，其中a ∈R ，我们把集合{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }记作A ×B ，若集合A ×B 中的最大元素是2a ＋1，则实数a 的取值范围是________．11. 已知集合A ＝{x|(x －2)(x －3a －1)<0}，函数y ＝lg 2a －x x －（a 2＋1）的定义域为集合B. (1) 若a ＝2，求集合B ；(2) 若A ＝B ，求实数a 的值．12. 已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫log 12（x ＋2）>－3x 2≤2x ＋15，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}． (1) 求集合A ；(2) 若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．第2练常用逻辑用语一、填空题1. 命题“∃x ∈R ，使得x sin x －1≤0”的否定是________．2. 已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”；命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则p 是q 的________．(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”)3. 方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线的充要条件是k ∈________． 4. (2015·南京)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg (x －a)的定义域为集合B ，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围是________．5. (2014·无锡改编)已知命题：p ：x 2－2x －3<0；q ：1x －2<0，若p ∧(綈q)为真，则实数x 的取值范围为________．6. (2015·盐城)若函数f(x)＝2x －(k 2－3)·2－x ，则“k ＝2”是“函数f(x)为奇函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)7. (2014·南通)设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)8. (2015·南通三模)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a >3b ”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f(x)＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为________．9. 已知命题p ：|x －a|<4；q ：(x －2)(3－x)>0.若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．10. 已知命题p ：“a ＝1”是“x ＞0，x ＋a x≥2”的充要条件；命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0－2＝0，则下列命题正确的是________．(填序号)①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“(綈p )∧q ”是真命题；③命题“p ∧(綈q )”是真命题； ④命题“(綈p )∧(綈q )”是真命题．11. 已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0；q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．(1) 若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2) 若m＝5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．12. 已知数列{a n}的前n项和S n＝p n＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{a n}为等比数列的充要条件为q＝－1.第3练函数及其表示一、填空题1. (2014·如皋)定义域为R 的函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝2 014的公共点个数为________．2. (2015·苏北四市)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，4x ， x ≤0，则f[f(－1)]＝________． 3. 已知函数f(x)＝1＋f ⎝⎛⎭⎫12log 2x ，则f(2)＝________．4. 若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有________种．5. 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝________．6. 已知下列四组函数：①f(x)＝lg x 2，g(x)＝2lg x ； ②f(x)＝x －2，g(x)＝x 2－4x ＋4；③f(x)＝1x －1，g(x)＝x ＋1x 2－1； ④f(x)＝x ，g(x)＝log a a x (a>0且a ≠1)．其中表示同一个函数的为________．(填序号)7. 已知函数f(1－cos x)＝sin 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．8. 已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝|x |12.若对实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素x 使得f ：x →k ，则实数k 的取值范围是________．9. (2015·苏北四市)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2， x ≥0，x 2＋2x ， x<0，则不等式f(f(x))≤3的解集为________．10. 已知实数a ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x<1，－x －2a ， x ≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则实数a ＝________．11. 已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图象过点(0，－3)，且f (x )＞0的解集为(1，3)．(1) 求f (x )的解析式；(2) 求函数y ＝f (sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最值．12. 为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD 上规划出一块矩形地面建造公园，公园一边落在CD 上，但不得越过文物保护区△AEF 的EF.问如何设计才能使公园占地面积最大？并求最大面积．(其中AB ＝200m ，BC ＝160m ，AE ＝60m ，AF ＝40m )第4练函数的定义域与值域一、填空题1. (2015·南通一模)函数f(x)＝lg (－x 2＋2x ＋3)的定义域为________．2. 函数y ＝2x －x 2的定义域是________．3. (2014·通州)若函数y ＝x 2－2x －1的定义域为{0，1，2，3}，则其值域为________．4. (2015·常州)已知函数f(x)＝|2x －2|(x ∈(－1，2))，则函数y ＝f(x －1)的值域为________．5. 已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为________．6. 函数y ＝x －x(x ≥0)的值域为________．7. (2015·苏锡常)已知常数a>0，函数f(x)＝x ＋a x －1(x>1)的最小值为3，则a ＝________． 8. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥0，－2－x ， x ＜0的值域是________． 9. 函数f(x)＝2x －12x ＋1，x ∈R 的值域是________． 10. 函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．11. 设a 为实数，函数f(x)＝x 2＋|x －a|＋1，x ∈R .(1) 若f (x )是偶函数，求实数a 的值；(2) 在(1)的条件下，求f (x )的最小值．12. 已知f(x)是定义在集合M 上的函数．若区间D ⊆M ，且对任意x 0∈D ，均有f(x 0)∈D ，则称函数f(x)在区间D 上封闭．(1) 判断函数f(x)＝x －1在区间[－2，1]上是否封闭？并说明理由；(2) 若函数g(x)＝3x ＋a x ＋1在区间[3，10]上封闭，求实数a 的取值范围．第5练函数的奇偶性与单调性(1)一、填空题1. 若函数f(x)＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2]上单调递减，则f(1)＝________．2. 定义在R 上的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是________．3. 对于定义在R 上的函数f (x )，给出下列三个命题：①若f (－2)＝f (2)，则f (x )为偶函数；②若f (－2)≠f (2)，则f (x )不是偶函数；③若f (－2)＝f (2)，则f (x )一定不是奇函数．其中正确命题的序号为________．4. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x>0，0， x ＝0，－1， x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．5. 设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________． 6. 若f(x)＝－x 2＋2ax 与g(x)＝a x ＋1在区间[2，＋∞)上都是单调减函数，则实数a 的取值范围是________．7. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ， x>1.若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．8. (2014·南通)已知函数f(x)对任意的x ∈R 满足f (－x )＝f (x )，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－ax ＋1，若f (x )有4个零点，则实数a 的取值范围为________．9. 设函数y ＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的实数k ，定义函数f k (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤k ，k ， f （x ）>k.取函数f(x)＝2－|x|，当k ＝12时，函数f k (x)的单调递增区间为________． 10. 已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝1，若f (x ＋a )≤1对x ∈[－1，1]恒成立，则实数a 的取值范围是________．11. 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )．(1) 若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求实数a ，b 的值；(2) 在(1)的条件下，当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．12. 已知函数f(x)对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. (1) 求证：f (x )在R 上是减函数；(2) 求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值．第6练函数的奇偶性与单调性(2)一、填空题1. 若函数f(x)＝x （2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则实数a ＝________． 2. 函数f(x)＝|x －2|x 的单调减区间是________．3. 设函数f(x)＝a sin x ＋x 2，若f(1)＝0，则f(－1)＝________．4. 若函数f(x)＝log a (6－ax)在[0，2]上为减函数，则实数a 的取值范围是________．5. 设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 6. 已知函数f(x)＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则满足f(x 0)＞f ⎝⎛⎭⎫π3时x 0的取值范围为________．7. (2015·泰州)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋sin x ， x ≥0，－x 2＋cos （x ＋α）， x<0是奇函数，则sin α＝________．8. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x<0，（a －3）x ＋4a ， x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围是________．9. (2015·金陵中学)已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(x －1)，则关于m 的不等式f(1－m)＋f(1－m 2)<0的解集为________．10. (2015·镇江)若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集为________．11. 已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x .(1) 求f (x )的解析式；(2) 若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．12. 设函数f(x)＝a x －(k －1)a －x (a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1) 求实数k 的值；(2) 若f (1)＜0，试判断函数单调性并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0对任意实数x 恒成立的实数t 的取值范围；(3) 若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求实数m 的值．第7练二次函数一、填空题1. 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集为(1，m)，则实数a ＝________．2. 函数f(x)＝2x 2－4x －3，x ∈[2，3]的值域为________．3. (2015·苏北四市)已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________．4. 若关于x 的方程3x 2－6x ＋a ＝0的一根大于1，另一根小于1，则实数a 的取值范围为________．5. 已知函数f(x)＝x 2－2x ，x ∈[a ，b]的值域为[－1，3]，则b －a 的取值范围是________．6. 若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x ＋2)<5的解集是________．7. 若函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a ＝________．8. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c为实数，a ≠0)的图象过点C(t ，2)，且与x 轴交于A ，B 两点，若AC ⊥BC ，则实数a ＝________.9. 设函数f(x)＝x|x －a|，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．10. 已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x)＝max {f(x)，g(x)}，H 2(x)＝min {f(x)，g(x)}．记H 1(x)的最小值为A ，H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝________．11. 已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)满足f(1)＝0.(1) 若关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b的取值范围；(2) 若函数F(x)＝log3f(x)在区间(－2，－1)上具有单调性，求实数b的取值范围．12. (2015·南通二模改编)设a∈R，函数f(x)＝x|x－a|－a.(1) 若f(x)为奇函数，求实数a的值；(2) 若对任意的x∈[2，3]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．第8练指数式与对数式一、填空题1. 化简：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5＝________．2. 已知m 12＋m －12＝4，则m 32－m －32m 12－m －12＝________． 3. 化简：(a 23b 12)·(－3a 12b 13)÷(13a 16b 56)＝________. 4. 计算：lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40＝________． 5. 计算：log 29·log 34＝________．6. 已知2lg x －y 2＝lg x ＋lg y ，则x y＝________． 7. (2014·张家港)计算：22＋log 23＝________．8. 设a ＝⎝⎛⎭⎫340.5，b ＝⎝⎛⎭⎫430.4，c ＝log 34(log 34)，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“<”连接)9. 已知函数f(x)＝a log 2x －b log 3x ＋2，若f ⎝⎛⎭⎫12 016＝4，则f(2 016)＝________．10. 对于函数f(x)定义域中的任意x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f(x 1＋x 2)＝f(x 1)f(x 2)； ②f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)；③f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2； ④f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0； ⑤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2. 当f(x)＝10x 时，上述结论中正确的序号是________；当f(x)＝lg x 时，上述结论中正确的序号是________．11. 已知2(log12x)2＋5log12x－3≤0，求函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫log2x8·⎝⎛⎭⎪⎫log124x的值域．12. 已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(x∈R)是偶函数．(1) 求实数k的值；(2) 若方程f(x)－m＝0有解，求实数m的取值范围．第9练幂函数、指数函数与对数函数(1)一、填空题1. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________. 2. (2015·苏州)函数f(x)＝ln x 4－2x的定义域为________． 3. 若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－3，13，2，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且在(－∞，0)上单调递增的实数a ＝________．4. (2015·江苏)不等式2x 2－x<4的解集为________．5. (2015·苏州)已知函数f(x)＝lg ⎝⎛⎭⎫1－a 2x 的定义域为⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则实数a ＝________． 6. 函数f(x)＝|ln (2－x)|的单调增区间为________．7. (2014·南通改编)若log a 12a ＋1<1，则实数a 的取值范围为________． 8. (2015·扬州)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x>2，x ＋a 2， x ≤2.若f(x)的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ∈[0，1]，92－32x ， x ∈（1，3].当t ∈[0，1]时，f(f(t))∈[0，1]，则实数t 的取值范围是________．10. 给出下列四个结论：①函数y ＝a x (a>0且a ≠1)与函数y ＝log a a x (a>0且a ≠1)的定义域相同；②函数y ＝k3x (k>0，k 为常数)的图象可由函数y ＝3x 的图象经过平移得到；③函数y ＝12＋12x －1(k ≠0)是奇函数且函数y ＝x ⎝⎛⎭⎫13x －1＋12(x ≠0)是偶函数； ④函数y ＝cos |x|是周期函数．其中正确结论的序号是________．(填序号)11. 已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1) 若f (x )＝32，求x 的值； (2) 若2t f (2t )＋mf (t )≥0对任意的t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．12. 已知函数f(x)＝x ＋a x 2＋b是定义在R 上的奇函数，其值域为⎣⎡⎦⎤－14，14. (1) 试求a ，b 的值；(2) 若函数y ＝g (x )(x ∈R )满足：①当x ∈[0，3)时，g (x )＝f (x )；②g (x ＋3)＝g (x )ln m (m ≠1)．求函数g (x )在x ∈[3，9)上的解析式．第10练幂函数、指数函数与对数函数(2)一、填空题1. 已知函数y ＝xa 2－2a －3是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则整数a ＝________．2. (2015·苏北四市)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(2－x )，则f (0)＋f (2)＝________．3. 若(a ＋1)－12<(3－2a)－12，则实数a 的取值范围为________． 4. “a ＝1”是“函数f(x)＝2x －a 2x ＋a在其定义域上为奇函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)5. 设函数f(x)＝a －|x|(a>0且a ≠1)，f(2)＝4，则f(－2)与f(－1)的大小关系为________．6. 已知f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，且a ≠1)；②g (x )≠0，若f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，则实数a ＝________．7. 如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．8. 定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度x 2－x 1.已知函数y ＝|log 12x|的定义域为[a ，b]，值域为[0，2]，则区间[a ，b]长度的最大值与最小值的差为________．9. (2015·南京)已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x ∈(0，2]时，f(x)＝2x －1，又已知函数g(x)＝x 2－2x ＋m ，且对任意x 1∈[－2，2]，都存在x 2∈[－2，2]，使得g(x 2)＝f(x 1)，则实数m 的取值范围是________．10. 已知函数f(x)＝log a (x 3－ax)(a ＞0且a ≠1)，如果函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内单调递增，那么实数a 的取值范围是________．11. 已知函数f(x)＝a·2x ＋b·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1) 若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2) 若ab<0，求f(x ＋1)>f(x)时x 的取值范围．12. 某环境监测小组进行水质检测时，用试剂A 检测某份水样中的重金属铅的含量．检测发现，试剂A 滴入水样后产生的沉淀量y(mg )与试剂A 的滴入量x(mL )之间满足关系：y＝⎩⎪⎨⎪⎧ax x 2＋1， 0<x<1，a ·2x －14x －1＋1， x ≥1，其中对应曲线过点⎝⎛⎭⎫12，165. (1) 试求沉淀量的峰值(y 的最大值)及取峰值时试剂A 滴入量(y 取最大值时对应的x 的值)；(2) 如果沉淀量不少于2 mg 时才能准确测量，问试剂A 的滴入量x(mL )应控制在什么范围？第11练函数的图象一、填空题1. 已知函数y ＝log a (x ＋b)的图象如图所示，则a b ＝________.2. 函数y ＝x 33x －1的图象大致是________．(填序号)① ② ③ ④3. 若关于x 的方程|x|＝a －x 只有唯一的实数解，则实数a 的取值范围是________．4. 已知定义在区间[0，1]上的函数y ＝f(x)的图象如图所示，对于满足0<x 1<x 2的任意x 1，x 2，给出下列结论：①f(x 2)－f(x 1)>x 2－x 1； ②x 2f(x 1)>x 1f(x 2)；③f （x 1）＋f （x 2）2<f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．5. 已知f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，当x>0时，f(x)的图象如图所示．若x[f(x)－f(－x)]<0，则x 的取值范围是________．6. 若方程－x 2－2x ＝x ＋m 有两个不同的解，则实数m 的取值范围为________．7. (2015·南京)已知函数f(x)＝x ＋1|x|＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集为________．8. 不等式2ln (－x)－x 2＋1>0的解集为________．9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ， x>0，kx ＋k ， x ≤0(其中k ≥0)，若函数y ＝f(f(x))＋1有4个零点，则实数k的取值范围是________．10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －2， x ≤0，2ax －1， x>0(a 是常数且a>0)，对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是{a |a >1}；④对任意的x 1<0，x 2<0，且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2.其中正确命题的序号是________．二、解答题11. 已知函数f(x)＝e x －x. (1) 求f(x)的最小值；(2) 设不等式f(x)>ax 的解集为P ，且{x|0≤x ≤2}⊆P ，求实数a 的取值范围．12. 已知函数f(x)＝ax 2－2x 4＋2b －b 2，g(x)＝－1－（x －a ）2(a ，b ∈R ). (1) 当b ＝0时，若f (x )在(－∞，2]上单调递减，求实数a 的取值范围； (2) 求满足下列条件的所有整数对(a ，b )：存在x 0，使得f (x 0)是f (x )的最大值，g (x 0)是g (x )的最小值．第12练函数与方程一、填空题1. 若函数f(x)＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a ＝________.2. 已知函数f(x)＝3ax －2a ＋1在区间(－1，1)内存在x 0，使f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．3. 已知函数f(x)＝2x ＋x ，g(x)＝log 2x ＋x ，h(x)＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 由小到大的顺序为________．4. 若函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表：5. 已知函数f(x)＝a x －x ＋2－2a(0＜a ＜1)的零点x 0∈(k －1，k)(k ∈Z )，则整数k ＝________.6. 定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x 0叫做函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x)＝x ，h(x)＝ln (x ＋1)，φ(x)＝cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是________．7. 若函数f(x)＝x 2＋2mx ＋3m ＋4的两个零点均大于－1，则实数m 的取值范围为________．8. (2015·苏州)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4， x ≥m ，x 2＋4x －3， x<m ，若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．9. (2015·无锡)已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧－14x 2， 0≤x ≤2，－⎝⎛⎭⎫12x －34， x >2.若关于x 的方程[f (x )]2＋af (x )＋7a 16＝0，a ，b ∈R 有且仅有8个不同实数根，则实数a 的取值范围是________．10. (2014·天津改编)已知函数f(x)＝|x 2＋3x|，x ∈R ，若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实根，则实数a 的取值范围为________．二、解答题11. 对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．(1) 试判断二次函数f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)是否为“局部奇函数”，并说明理由；(2) 若f(x)＝2x＋m是定义在[－1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．12. 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.(1) 若f(－1)＝0，试判断函数f(x)的零点个数；(2) 若对∀x1，x2∈R，且x1<x2，f(x1)≠f(x2)，试证明：∃x0∈(x1，x2)，使得f(x0)＝12[f(x1)＋f(x2)]成立；(3) 是否存在a，b，c∈R，使得f(x)同时满足以下条件：①对∀x∈R，f(x－4)＝f(2－x)，且f(x)的最小值是0；②对∀x∈R，都有0≤f(x)－x≤12(x－1)2？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由．第13练函数模型及其应用一、填空题1. 将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个________元．2. 今有一组实验数据如下表：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01________．(填序号)①v ＝log 2t ； ②v ＝log 12t ； ③v ＝t 2－12； ④v ＝2t －2.3. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5x －0.2x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．4. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)5. 某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月销售额比六月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为________．6. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x ，y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，记y ＝f (x )，则y ＝f (x )的值域为________．7. (2014·海门)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．8. 某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车各自走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v 1，v 2，v 3，则该人整个行程的平均速度是________．9. 如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72dm 2(图中阴影部分)，上下空白各2dm ，左右各1dm ，则四周空白部分的最小值是________dm 2.10. 某商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购买总金额不超过500元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过500元，则超过500元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算某人在此商场购物获得的折扣金额为35元，则他实际所付购物金额为______元．可以享受折扣优惠金额折扣率不超过200元的部分 5% 超过200元的部分 10%二、解答题11. 经市场调查，某商场的一种商品在过去的一个月内(以30天计)销售价格f(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝100⎝⎛⎭⎫1＋kt (k 为正常数)，日销售量g(t)(件)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝125－|t －25|，且第 25天的销售金额为13000元．(1) 求实数k 的值；(2) 试写出该商品的日销售金额w(t)关于时间t(1≤t ≤30，t ∈N )的函数关系式； (3) 该商品的日销售金额w (t )的最小值是多少？12. (2015·无锡)某公司生产某批产品的销售量p 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足p ＝x ＋24(其中0≤x ≤a ，a 为正常数)，已知生产该批产品还需投入成本6⎝⎛⎭⎫p ＋1p 万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为⎝⎛⎭⎫4＋20p 元/件． (1) 将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2) 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？第14练导数及其运算一、填空题1. 已知物体运动方程为s ＝14t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为________．2. 设f(x)＝x ln x ，若f′(x 0)＝2，则x 0＝________．3. 已知曲线y ＝x 2＋bx ＋c 在点P(x 0，f(x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 到该曲线对称轴距离的取值范围是________．4. (2015·南通二模)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ln x 在x ＝e (e 为自然对数的底数)处的切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，则实数a ＝________．5. 已知f 1(x)＝sin x ＋cos x ，记f 2(x)＝f′1(x)，f 3(x)＝f′2(x)，…，f n (x)＝f ′(n －1)(x)(x ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 016⎝⎛⎭⎫π2＝________．6. (2015·常州)曲线y ＝x －cos x 在点⎝⎛⎭⎫π2，π2处的切线方程为________．7. 曲线f(x)＝f ′（1）e ·e x －f(0)x ＋12x 2在点(1，f(1))处的切线方程为________．8. 已知函数f(x)，g(x)满足f(5)＝5，f ′(5)＝3，g(5)＝4，g ′(5)＝1，则函数y ＝f （x ）＋2g （x ）的图象在x ＝5处的切线方程为________．9. (2014·南通)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝a ln x 的切线，则当a>0时，实数b 的最小值为________．10. 若函数f(x)的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．二、解答题11. 已知函数f(x)＝ax －(2a －1)ln x ＋b.若f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝x ，求实数a ，b 的值．12. (2015·泰州改编)已知函数f(x)＝ln x －1x，g(x)＝ax ＋b.(1) 若函数h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2) 若直线g(x)＝ax ＋b 是函数f(x)＝ln x －1x图象的切线，求a ＋b 的最小值．第15练导数在研究函数中的应用(1)一、填空题1. 若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝3时取得极值，则实数a ＝________．2. 若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则实数b 的取值范围是________．3. 函数y ＝1x＋2ln x 的单调递减区间为________．4. (2014·南通)若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 为奇函数，其图象的一条切线方程为y ＝3x －42，则b ＝________．5. (2015·南通二模)设f(x)＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n(m ，n ∈R )是R 上的单调增函数，则实数m ＝________．6. 已知函数f(x)＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．7. 已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x ＋1)(x －a)，若f(x)在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围为________．8. (2015·金陵中学)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线C ：y ＝e x 上一点，直线l ：x ＋2y ＋c ＝0经过点P ，且与曲线C 在点P 处的切线垂直，则实数c ＝________．9. 已知函数f(x)＝ln x －mx(m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则实数m ＝________．10. 设直线y ＝a 分别与曲线y 2＝x 和y ＝e x 交于点M ，N ，则当线段MN 取得最小值时实数a ＝________.11. 已知函数f(x)＝xln x－ax(x>0且x ≠1)．若函数f(x)在(1，＋∞)上为减函数，求实数a的最小值．12. (2015·南通三模改编)已知函数f(x)＝a －1x－ln x(a ∈R )．(1) 若a ＝2，求f (x )在(1，e 2)上零点的个数，其中e 为自然对数的底数； (2) 若f (x )恰有一个零点，求实数a 的取值集合．第16练导数在研究函数中的应用(2)一、填空题1. 已知函数f(x)＝x 3－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________．2. 已知函数f(x)＝x 2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．3. 曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．4. (2015·苏北四市改编)函数f(x)＝e x －eln x －e 的极小值为________．5. (2015·镇江)曲线y ＝－1x (x<0)与曲线y ＝ln x 公切线(切线相同)的条数为________．6. 已知函数f(x)＝13x 3－x 2－3x ＋43，直线l ：9x ＋2y ＋c ＝0，若当x ∈[－2，2]时，函数y ＝f(x)的图象恒在直线l 下方，则实数c 的取值范围是________．7. (2014·东台)已知a>0，函数f(x)＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的最大值为________．8. 已知函数y ＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递增； ③函数y ＝f(x)在区间(4，5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f(x)有极小值；⑤当x ＝－12时，函数y ＝f(x)有极大值．其中判断正确的序号是________． 9. (2015·百校联考)若对任意的x ∈D ，均有f 1(x)≤f(x)≤f 2(x)成立，则称函数f(x)为f 1(x)到f 2(x)在区间D 上的“折中函数”．已知函数f(x)＝(k －1)x －1，g(x)＝0，h(x)＝(x ＋1)ln x 且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1，2e ]上的“折中函数”，则实数k 的取值集合为________．10. (2015·苏北四市)若函数f(x)＝x 2|x －a|在区间[0，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．11. 某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1) 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2) 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？12. (2015·苏州改编)已知函数f(x)＝e x－a(x－1)，其中a∈R，e是自然对数的底数．(1) 当a＝－1时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2) 讨论函数f(x)的单调性，并写出相应的单调区间；(3) 已知a>0，b∈R，若函数f(x)≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．第17练导数的综合应用(1)一、填空题1. 已知曲线y ＝12x 2－3ln x 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为________．2. 函数y ＝(3－x 2)e x 的单调增区间是________．3. 已知函数y ＝f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cos x ，且f(0)＝0，如果f(1－x)＋f(1－x 2)<0，那么实数x 的取值范围是________．4. (2015·苏锡常)若曲线C 1：y ＝ax 3－6x 2＋12x 与曲线C 2：y ＝e x 在x ＝1处的两条切线互相垂直，则实数a ＝________．5. 已知函数f(x)的导数f′(x)＝2(x ＋a)(x －a)，若f(x)在x ＝a 处取得极大值，则实数a 的取值范围是________．6. 已知g(x)＝λx ＋sin x 是区间[－1，1]上的减函数，且g(x)≤t 2＋λt ＋1在x ∈[－1，1]上恒成立，则实数t 的取值范围是________．7. (2014·海门)已知函数f(x)＝x(e x －e －x )(x ∈R )，若f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围为________．8. (2015·南京改编)已知函数f(x)＝e x －mx 在(－1，＋∞)上没有零点，则实数m 的取值范围是________．9. (2015·苏北四市)若函数f(x)＝a x －x 2(a>1)有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．10. (2014·吴江)对于函数y ＝f(x)，若存在区间[a ，b]，当x ∈[a ，b]时的值域为[ka ，kb]，则称y ＝f(x)为“k 倍值函数”，若函数f(x)＝ln x ＋x 是“k 倍值函数”，则实数k 的取值范围是________．11. (2015·盐城)某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A ，B 造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x 米时(其中64<x<100)，中间每个桥墩的平均造价为80x 3万元．桥面每1米长的平均造价为⎝⎛⎭⎫2＋x x 640万元．(1) 试将桥的总造价表示为x 的函数f(x)；(2) 为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A ，B 除外)应建多少个桥墩？12. 已知函数f(x)＝ax 2＋1，g(x)＝x 3＋bx ，其中a>0，b>0. (1) 若函数y ＝f(x)与y ＝g(x)在它们的交点P(2，c)处有相同的切线(P 为切点)，求实数a ，b 的值；(2) 令h(x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－a 2，－b3，求函数h(x)在区间(－∞，－1)上的最大值M(a)．第18练导数的综合应用(2)一、填空题1. 函数y ＝sin xx的导数为________．2. 若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则实数a ＝________．3. (2015·南通一模)在平面直角坐标系xOy 中，记曲线y ＝2x －mx(m ∈R ，m ≠－2)在x＝1处的切线为直线l ，若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则m ＝________．4. 已知函数f(x)＝2x 3－6x 2＋m(m 为常数)在[－2，2]上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________．5. (2014·通州)若曲线f(x)＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围为________．6. 已知函数f(x)＝x 2(x －a)，若f(x)在(2，3)上不单调，则实数a 的取值范围为________．7. (2015·南通三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5， x>1.若函数f(x)的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．8. 已知R 上的可导函数f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )＋f (x )>0，且f (1)＝1，则不等式f (x )>1ex －1的解集为________．9. (2015·苏锡常)函数f(x)＝e x |x 2－1|的单调减区间为________．10. (2015·苏锡常)已知函数f(x)＝|x 3－4x|＋ax －2恰有2个零点，则实数a 的取值范围为________．11. 已知函数f(x)＝nx－6x2＋m的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若存在实数a，b(b>0)，使得函数f(x)在(a，a＋b)上为增函数，求实数b的最大值．12. (2015·扬州改编)已知函数f(x)＝e x，g(x)＝ax2＋bx＋c.(1) 若f(x)的图象与g(x)的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求实数b和c的值；(2) 若a＝c＝1，b＝0，试比较f(x)与g(x)的大小，并说明理由．第19练弧度制与三角函数概念一、填空题1. (2015·无锡)已知角α的终边经过点P(x ，－6)，且tan α＝－35，则x ＝________．2. 已知扇形周长为10，面积是4，则扇形的圆心角为________．3. 已知角α(0≤α＜2π)的终边过点P ⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则 α＝________.4. 已知角α的终边经过点P(x ，5)，且α为第二象限角，cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝________．5. 设角α是第三象限角，且|sin α2|＝－sin α2，则角α2是第________象限角．6. 已知cos θtan θ<0，那么角θ是第________象限角．7. (2015·盐城)若角α＋π4的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝12x 上，则tan α＝________．8. (2014·海安)函数y ＝lg (3－4sin 2x)的定义域为________．9. 角α终边上的点P 与A(a ，2a)关于x 轴对称(a>0)，角β终边上的点Q 与点A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β＝________．10. 若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为________弧度时，该扇形的周长取得最小值．11. 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l. (1) 若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2) 若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3) 若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．12. (2015·南京)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知锐角α的始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆交于点P(x 1，y 1)，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转π2后，与单位圆交于点Q(x 2，y 2)，记f(x)＝y 1＋y 2.(1) 求函数f(x)的值域；(2) 记△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f(C)＝2，且a ＝2，c ＝1，求实数b 的值．第20练同角三角函数的基本关系式一、填空题1. 已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，且cos α＝－55，则tan α＝________.2. 已知tan α＝－2，且π2<α<π，则cos α＋sin α＝________．3. 已知sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ＝________．4. 已知α为第三象限角，cos 2α＝－35，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝________.5. 已知tan α＝2，则sin 2α＋sin αcos α＋2＝________．6. 若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝________．7. 若α是第四象限角，则1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α＝________.8. 设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________．9. (2014·如东)已知方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ，则k ＝________．10. 已知α为第二象限角，则cos α·1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________．。

2020届江苏省南通市2017级高三下学期高考考前一模考试数学试卷及解析

2020届江苏省南通市2017级高三下学期高考考前一模考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1. 已知集合{}*2,N A x x x =<∈∣,{0,1,2,3,4}B =,则A B ________.【答案】{1,2,3}【解析】解不等式确定集合A ,然后由交集定义计算．【详解】2202)00204x x x <⇒<⇒<⇒≤<⇒≤<,又*x N ∈,∴{1,2,3}A =,∴{1,2,3}A B ⋂=．故答案为：{1,2,3}．2. 设为虚数单位,(12)|34|i z i -=+,则复数z 的虚部为________.【答案】2【解析】首先将题中所给的式子进行化简,求得12z i =+,从而得到其虚部的值.【详解】根据(12)|34|i z i -=+,可得(12)5i z -==, 所以2255(12)12121(2)i z i i +===+-+-,所以复数z 的虚部为2,故答案为：2.3. 若某程序框图如图所示,则运行结果为________.【答案】9【解析】模拟程序运行,观察变量值,判断循环条件可得结论．【详解】程序运行时,变量值变化如下：0,1S n ==,不满足5S ≥；0,3S n ==,不满足5S ≥；2log 3,5S n ==,不满足5S ≥；2log 15,7S n ==,不满足5S ≥；2log 105,9S n ==,满足5S ≥,退出循环,输出9n =．故答案为：9．4. 某校从3名男生和2名女生中随机选出3人参加植树活动,则选出的学生中男生比女生人数多的概率为________. 【答案】710【解析】依据题意男生选3人或男生2人女生1人,依次计算概率,最后可得结果.【详解】由题可知：男生选3人或男生选2人女生选1人若男生选3人,则概率为33135110==C P C 若男生选2人女生选1人,则概率为2132235610==C C P C。

江苏省南通、扬州、泰州市2017届高三第三次模拟考试数学试题-Word版含答案

1. 设复数 z a b i (a,b R,i 为虚数单位），若 z (4 3 i)i ，则 ab的值是． 2. 已知集合Ux | x 0 , A x | x 2，则 e U A． 3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁 4 首歌曲中的 2 首，则甲、乙 2 首歌曲至少有 1首被播放的概率是． 4. 如图是一个算法流程图，则输出的k的值是． 5. 为调査某高校学生对 “一带一路” 政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 500的样本，其中大一年级抽取200 人，大二年级抽取 100 人. 若其他年级共有学生 3000人，则该校学生总人数是． 6. 设等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，若公差 d 2, a 5 10 ，则 S10 的值是． 7. 在锐角 ABC 中， AB 3, AC 4 ，若 ABC 的面积为 3 3 ，则 BC 的长是8. 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2a2y 21 a0 经过抛物线 y 28x 的焦点，则该双曲线的离心率是．9. 已知圆锥的侧面展开图是半径为 3 ，圆心角为 2 3的扇形，则这个圆锥的高为．江苏省南通、扬州、泰州 2017 届高三第三次模拟考试数学试题第Ⅰ卷（共 70 分）一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上）．210. 若直线 y2x b 为曲线 y e xx 的一条切线，则实数 b 的值是．11. 若正实数 x, y 满足 x y 1 ，则 y 4 的最小值是．x y12. 如图，在直角梯形 ABCD 中， AB / / DC ,ABC 90 , AB 3,BC DC 2 ，若 E, F分别是线段 DC 和 BC 上的动点，则AC EF 的取值范围是．13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点PB A 0, 2 ，点 B 1, 1 , P 为圆 xy2 上一动点，则的最大值是．PAx, x a14. 已知函数 f xx33 x , x a若函数 gx2 f x ax 恰有 2 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是．第Ⅱ卷（共 90 分）二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）15. 已知函数 f xAsinxA 0, 0 3图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点,3 .3 2（1）求函数f x 的解析式；（2）若角满足 f3 f1, 0,2，求角值.16. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD平面ABCD , AP AD, M , N 分别为棱 PD , PC 的中点 . 求证：2（1） MN / / 平面 PAB ；（2） AM 平面 PCD .17. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2 y2 a 2b21 a b0 的左焦点为 F1,0 ，且经过点 1, 3.2（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦 AB 过点 F ，且与 x 轴不垂直 . 若 D 为 x 轴上的一点， DA DB ，求 ABDF的值 . 18.如图，半圆 AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径 OA 的长为 1 百米.为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点 C ，修建参观线路 C D E F , 且CD , DE , EF , 均与半圆相切，四边形 CDEF 是等腰梯形，设 DEt 百米，记修建每 1百米参观线路的费用为f t 万元，经测算 f t5,08 1 t3.1 , 1t 2 t 3（1）用t 表示线段EF 的长；（2）求修建参观线路的最低费用.19. 已知a n是公差为d 的等差数列，b n 是公比为q 的等比数列，q 1 ，正整数组E m, p, r m p r .（1）若a1 b2a2 b3a3 b1，求q 的值；（2）若数组 E 中的三个数构成公差大于 1 的等差数列，且am bpapbrarbm，求q的最大值.（3）若b nn 11, a m b m2a pb p a r b r0 ，试写出满足条件的一个数组 E 和对应的通项公式a n .( 注：本小问不必写出解答过程)20. 已知函数 f x ax2 cosx(a R ），记 f x 的导函数为g x .（1）证明：当a 1时，g x 在R 上的单调函数；2（2）若 f x 在x0 处取得极小值，求 a 的取值范围；（3）设函数h x 的定义域为 D ，区间m, D . 若h x 在m, 上是单调函数，则称h x 在D 上广义单调. 试证明函数y f x x ln x 在0, 上广义单调.数学Ⅱ( 附加题)21. 【选做题】本题包括A、B、C、四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答. 若多做，则按作答的前两题评分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1 ：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC, PD 分别交AB 于点E, F .求证：PE PC PF PD .B.选修4-2 ：距阵与变换已知矩阵M 1 a，点1, 1 在M 对应的变换作用下得到点1, 5 ，求矩阵M 的特1b征值.C.选修4-4 ：坐标系与参数方程在坐标系中，圆 C 的圆心在极轴上，且过极点和点 3 2, ，求圆 C 的极坐标方程.4D.选修4-5 ：选修4-5 ：不等式选讲已知a, b, c, d 是正实数，且abcd 1 ，求证：a5b5 c5 d 5 a b b d .【必做题】第22、23 题，每题10 分，共计20 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图，在四棱锥S ABCD 中，SD 平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，ADC DAB 90 , SD AD AB 2, DC 1 .（1）求二面角S BC A 的余弦值；（2）设 P 是棱 BC 上一点， E 是 SA 的中点，若 PE 与平面 SAD 所成角的正弦值为2 26 ，13求线段 CP 的长 .23. 已知函数 f xcx d a0, ac bd 0 ，设 f x 为 fx 的导数， n N .（1）求 f 1x , f 2 ax bx ；nn 1（2）猜想f n x 的表达式，并证明你的结论 .江苏省南通、扬州、泰州2017 届高三第三次模拟考试数学试题参考答案一、填空题 :1． 122.6. 110x | 0 x 23.5 64.35.75007.13 8.529.2 210.111.812：4,613. 214.3 , 2 2二、解答题 :15. 解： (1) 由条件，周期 T2 ，即 22 ，所以1 ，即f xAsin x.3因为 fx 的图象经过点,3，所以 Asin 23, A 1, f x sin x.3 23 23(2) 由 f3 f1，得 sin2 3 cos3 1，即3 2sin3 cos1, 2sin1 ，即 333 3sin1 . 因为20,,或5 .6616. 解： (1) 因为 M , N 分别为棱 PD , PC 的中点，所以 MN / / DC ，又因为底面 ABCD 是矩形，所以 AB / /DC ,MN / / AB . 又 AB 平面 PAB, MN 平面 PAB ，所以 MN / / 平面 PAB .(2) 因为 APAD , M 为 PD 的中点，所以 AMPD . 因为平面 PAD 平面 ABCD ，又平面 PAD平面 ABCDAD ,CD AD, CD 平面 ABCD ，所以 CD平面 PAD ，又AM平面 PAD ，所以 CD AM . 因为 CD , PD 平面 PCD ,CDPD D, AM平面 PCD .2217.解： (1) 由题意，知 2a1 123 1 1234, a 2 . 又22c 1,a2b2c 2, b3 ，所以椭圆的标准方程为x2y21.4 3(2) 设直线 AB 的方程为y k x 1 . ①若 k 0 时，AB 2a 4, FDFO 1,AB 4 .DF②若 k0 时， A x 1, y 1 , B x 2 , y 2 , AB 的中点为 M x 0 , y 0 ，代入椭圆方程，整理得3 4k 2 x28k 2x 4k212 0 ，所以4k 26 k 21 4k26 k214k2 3kx 13 4k2, x 23 4k 2, x 03 4k2, y 0k x 0 13 4k 2，所以 AB 的垂直平分线方程为y3k 1 x 4k . 因为 DA DB ，所以点 D 3 4k2k 为 AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以3 4k 2k2D3 4k2,0 , DFk21 3 4k 23 3k 23 4k 2，因为椭圆的左准线的方程为x 4 ，离心率为1 AF 1 ，由，得 2x 1 421 AFx 1 24 ，同理1 1 12 12k 2AB BFx 2 4 , AB AF BFx 1 x 2 4 x 0 42 ，所以4 ，223 4kDFAB 综上，得DF的值为 4 .18.解：设 DE 与半圆相切于点 Q ，则由四边形 CDEF 是等腰梯形知， OQ l , DQ QE ，以 OF 所在直线为 x 轴， OQ 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy .(1) 设 EF 圆切于 G ，连结 OG 过点 E 作 EHAB ，垂足为 H . 因为EHOG, OFG EFH , GOFHEF ，所以Rt EHFRt OGF , HFFGEF 1t . 2由 EF21 HF 212EF 1 t , EFt 1 0 t 2 .24 t(2) 设修建该参观线路的费用为y 万元. ①当2m q0 t1 , y 5 2t 1 t5 3 t 2 ，由 y ' 5 3 20 ，则 y 在 0, 1上单34 t2 t2 t 23调递减，所以当 t1 时， y 取得最小值为 32.5 . ②当1t 2 时， y8 13 2 t 1 t12t 316 3 2 ，所以t 4 tt 2 t 2162 4 t 1 3t23t 1y ' 12 t2t3t3，1 t 2, 3t233t 1 0 ，且当 t1,1 时， 3y ' 0 ；当 t1,2时， y ' 0 ，所以 y在1,1 3上单调递减，在 1,2 上单调递增 . 所以当 t 1 时， y 取得最小值为 24.5 . 由 ①②知， y 取得最小值为 24.5 .答：（ 1） EF 的长为 1 1 4 t百米；（ 2）修建该参观线路的最低费用为24.5 万元 .19. 解：(1) 由条件，知2a 1b 1q a 1d b 1q d b 1q q ，即 2 , 2 q q1 0 ，a db q2a 2db d b q 211 q1, q.211111(2) 由a mb p a p b r ，即 a p a m b p b r ，所以 p m d b qp mqr m，同理可得，r p d b mq r m1 ，因为m, p, r 成等差数列，所以p m rp1r m . 记2 qp mt ，则有 2t 2t 1 0 ， q1, t1 ，故 t1 p m，即 21, 1 211 q 0 .1 1 3记 p m，则为奇函数，又公差大于 1，所以3, q，即22111 33 q 1 3q，当2时，取最大值为.2(3) 满足题意的数组E m,m 2,m 3 ，此时通项公式为2nm 1a 1 3 n 3 m28 81 , m N .例如： E1,3, 4 , a n3 11 n . 8 820. 解： (1) 当 a1 时， f x21 x 22cos x, f ' xx sin x ，即g xx sin x, g ' x 1 cosx 0 ， g x 在 R 上单调递增 .(2)g xf ' x2ax sin x, g ' x2a cosx . ①当 a1 时，2g' x1 cosx 0 ，所以函数 f ' x 在 R 上单调递增 . 若 x 0 ，则 f ' xf 0 0 ；若 x 0 ，则 f 'xf ' 00 ，所以函数 f x 的单调增区间是 0,，单调减区间是,0 ，所以 f x 在 x0 处取得极小值，符合题意 . ②当 a1 时，2g' x1 cosx 0 ，所以函数 f ' x 在 R 上单调递减 . 若 x 0 ，则f ' xf ' 00 ；若x 0 ，则 f ' x f ' 0 0 ，所以 f x 的单调减区间是 0,，单调增区间是,0 ，所以 f x 在 x0 处取得极大值，不符合题意 . ③当1 a1时，x 00,，使得cosx 02a ，即 g ' x 00，但当 x0, x 0时， cos x 222a ，即g' x0 ，所以函数 f ' x 在 0, x 0 上单调递减，所以 f ' xf ' 00 ，即函数 f x在0, x 单调递减，不符合题意 . 综上所述， a 的取值范围是1 , .21 1（3）记 hx ax2cosx x ln x x 0 . ①若 a 0 ，注意到 ln x x ，则 ln x 2 x 2 ，即 ln x2 x ，当 x214a 1 时，2ah ' x2ax sin x 1 ln x 2ax 2 x 214a 1 1 4a 1 2xx0 .2a2a所以 m1 4 a 2a21 ，函数 hx 在 m,上单调递增 . ②若 a0 ，当 x1 时，h ' x 2ax sin x 1 ln x sin x 1 ln x 0 ，所以 m 1 ，函数 h x 在 m,上单调递减，综上所述，函数y f x x ln x 在区间0, 上广义单调.数学Ⅱ ( 附加题)21. A. 解：连结PA, PB,CD , BC ，因为PAB PCB ，又点P 为弧AB 的中点，所以PAB PBA, PCB PBA ，又DCB DPB ，所以PFE PBA DPB PCB DCB PCD ，所以E, F , D,C 四点共圆. 所以PE PC PF PD .B. 解：由题意，1 a 1 1 1 a，即1b 1 5 1 b1，解得a52, b 4 ，所以矩阵1 2M . 所以矩阵M 的特征多项式为f141 2 21 45 6 ，令f 0 ，得12, 2 3 ，所以M 的特征值为 2 和3 .C. 解：因为圆心 C 在极轴上且过极点，所以设圆 C 极坐标方程为 a cos ，又因为点3 2, 在圆C 上，所以 3 24 a cos4，解得a 6 ，所以圆C 极坐标方程为6cos .D. 解：因为a, b, c, d 是正实数，且abcd 1, a5 b c d 4 4 a5bcd 4a ，①同理b5 b c d 4b ，②c5 b c d 4c ，③ d 5 b c d 4d ，④将①②③④式相加并整理，即得 d 5 b5 c5 d 5 a b c d .22. 解：, ,0 , CP(1) 以 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz ，则D 0,0,0 , B 2,2,0 , C 0,1,0 , S 0,0,2 ，所以SB2,2, 2 , S C 0,1, 2 , DS0,0,2 ，设平面 SBC 的法向量为 n 1x, y, z ，由n 1 SB 0,n 1 SC 0 ，得 2 x 2 y 2 z 0 且 y 2 z 0 ，取 z 1，得 x1, y 2 ，所以 n 11,2,1 是平面 SBC 的一个法向量 . 因为 SD 平面 ABC ，取平面 ABC 的一个法向量 n0,0,1，设二面角 S BC A 的大小为，所以cosn 1 n 2 1 6 ， n 1 n 26 6由图可知二面角 S BC A 为锐二面角，所以二面角 S BC A 的余弦值为6 .6(2) 由（ 1）知 E 1,0,1 ，则 CB 2,1,0 , CE1, 1,1 . 设 CP CB 0 1 ，则CP 2,1,0 2 , ,0 , PE CE CP1 2 , 1,,1 ，易知 CD平面 SAD, CD0,1,0 是平面 SAD 的一个法向量 . 设 PE 与平面 SAD 所成的角为，所以sincos PE ,CDPE CD 1 ，即1 2 26 ，得PE CD5223522313111 或（舍） . 所以 CP2 15 , 所以线段 CP 的长为5 .393 33323. 解：（ 1）22k f xf 'xcx d 'bc ad , f x f 'x'cb ad 2a bc ad .121ax b ax b2ax b3ax b1n 1a n 1bc ad n!（2）猜想 f n xn 1ax b, n N . 证明： ① 当 n 1 时，由 (1) 知结论正确；1k 1ak 1bc ad k !②假设当 nk, k N 时，结论正确，即有 f k xk 1. 当ax bn k 1 时，k 1k 1'fx f 'x1 abc ad k !k 1kk 1ax b1k 1a1bc ad k !ax bk 1'1kakbc ad k k 2ax b1 !，所以当n k 1 时结论成立，由①②得，对一切 n N 结论正确 .。

【江苏省南通、扬州、泰州】2017学年高考三模数学年试题答案

江苏省南通市2017届高三高考全真模拟数学试卷（一）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{0,1,2}A =，则的子集个数为________．2．已知复数12z 2,2i ai z =+=-，（其中0a >，i 为虚数单位）．若12|z ||z |=，则a 的值为________． 3．执行如图所示的流程图，则输出的结果S =________．4．若直线1y x b =+（e 是自然对数的底数）是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值是________．9．已知函数21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩，若方程()log (2)(01)a f x x a =+<<有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为________．O 到正六角星12个顶点的向量都写成15．在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A ，(4,3)B ，若,,A B C 三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC ，且直线BC 与x 轴交于点．（1）求cos CAD ∠的值；（2）求点C 的坐标．16．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11A ABB ⊥底面ABCD ，且π2ABC ∠=．（1）求证：BC ∥平面11AB C ；（2）求证：平面11A ABB ⊥平面11AB C ．17．已知城A 和城相距20 km ，现计划以AB 为直径的半圆上选择一点C （不与点A ，B 重合）建造垃圾处理厂．垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与城B 的影响度之和．记点到C 城A 的距离为km x ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ．统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比例关系，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比例关系，比例系数为k ．当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城和城的总影响度为0．065．（1）将y 表示x 成的函数．（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，请说明理由．18．已知椭圆22:31(0)C mxmy m +=>的长轴长为O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程和离心率．（2）设点(3,0)A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且点P 在y 轴的右侧．若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值．19．已知函数32()(0)f x ax bx cx b a a =-++=>．（1）设0c =．①若a b =，曲线()y f x =在0x x =处的切线过点(1,0)，求0x 的值；②若a b >，求()f x 在区间[0,1]上的最大值．（2）设()f x 在1x x =，2x x =两处取得极值，求证：11()f x x =，22()f x x =不同时成立．20．若数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为111||mi a b =-∑．（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离．（2）记A 为满足递推关系111n n na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，数列{}nb 和{}nc 为A 中的两个元素，且项数均为m ．若12b =，13c =，数列{}n b 和{}n c 的距离小于2 016，求m 的最大值．（3）记S 是所有7项数列{}n a （其中17n ≤≤，0n a =或1）的集合，T S ⊆，且T 中的任何两个元素的距离大于或等于3．求证：T 中的元素个数小于或等于16．（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．如图，,AB BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且2AC AD =，求证：2BC OD =．B ．在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C ，(0,2)D ，先将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90︒，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M ．C ．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．现以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．D ．已知,a b 为互不相等的正实数，求证：3334()()a b a b +>+．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =中，抽取三个不同的元素构成子集123{,,}a a a ．（1）求对任意的i j ≠满足||2i j a a -≥的概率；（2）若125,,a a a 成等差数列，设其公差为(0)ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望．23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为1n a n =，且221,1(),2n nn S n f n S S n -=⎧=⎨-≥⎩．（1）计算(1),(2),(3)f f f 的值；（2）比较()f n 与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．。

南通市高三数学一模试卷

南通市高三数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且与x 轴有且仅有一个交点，则a和b的取值范围是：A. a > 0, b^2 - 4ac = 0B. a > 0, b^2 - 4ac > 0C. a < 0, b^2 - 4ac = 0D. a < 0, b^2 - 4ac > 02. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 5a3，则S9等于：A. 9a5B. 18a5C. 9a4D. 18a43. 若复数z满足|z| = 1，则z的共轭复数的模长为：A. 0B. 1C. -1D. 24. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)的值。

A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3xD. x^3 - 35. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是CC1的中点，则A1到平面BB1DD1的距离为：A. 1B. 2C. √2D. √36. 若直线y = kx + b与曲线y = x^3 + 1相切，且切点在第一象限，则k的取值范围是：A. (0, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, 0)D. (-∞, 1)7. 已知函数f(x) = ln(x + √(1 + x^2))，求f'(x)的值。

A. 1 / (x + √(1 + x^2))B. 1 / (x + √(1 + x^2))^2C. 1 / (x + √(1 + x^2))^2D. 1 / (1 + x^2)8. 已知等比数列{an}的公比q > 0，且a1 = 1，a3 = 4，则a2等于：A. 2B. 4C. 8D. 169. 若向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)，则a·b的值为：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知双曲线C的方程为x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1（a > 0，b > 0），若双曲线的一条渐近线方程为y = 2x，则b / a的值为：A. 1B. 2C. √2D. √3二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

普通高中2017高考高三数学第一次模拟试题精选：三角函数04含答案

三角函数0437、已知函数2sin cos )()sin cos cos x x x f x x x x-=+；(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()2y f x π=-，[0 ]2x π∈，的值域【答案】(1)2sin cos )()sin22sin(2)sin cos cos 3x x x f x x x x x xx π-===++ …3分所以函数()f x 的最小正周期为π …………………3分 (2)2()2sin[2()]2sin(2)2233y f x x x ππππ=-=-+=- ………………………2分∵[0 ]2x π∈，，∴222333x πππ-≤-≤，21sin(2)3x π-≤- ……………2分∴[2y ∈- …………………2分另解：()2sin[2()]2sin(2)2sin(2)22333y f x x x x ππππππ=-=-+=+-=-+ …2分∵[0 ]2x π∈，，∴42333x πππ≤+≤，sin(2)13x π+≤ ……………………2分∴22sin(2)3x π-≤-+，即[2y ∈- …………………………2分38、已知(2cos ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-u r r ，满足0m n ⋅=u r r．（1）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（2）（文）当]3,0[π∈x 时，a x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围。

【答案】解（1）由0m n ⋅=u r r 得22cos cos 0x x x y +-= …………3分即22cos cos cos 2212sin(2)16y x x x x x x π=+=++=++所以()2sin(2)16f x x π=++，其最小正周期为π． …………6分（2）65626,30ππππ≤+≤∴≤≤x x Θ,因此)62sin(π+x 的最小值为21，…………9分由)(x f a <恒成立，得2)]([min =<x f a ，所以实数a 的取值范围是)2,(-∞ ………12分39、设函数2()2cos f x x x ωω=+，其中02ω<<；（1）若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的单调增区间；（7分）（2）若函数()f x 的图象的一条对称轴为3x π=，求ω的值．（7分）【答案】（1）22cos 12sin 23)(xx x f ωω++=1分 .2162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πωx 3分 .1,22,0,=∴=∴>=ωπωπωπT Θ 5分令,,226222Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ得，,,63z k k x k ∈+≤≤+-ππππ所以，)(x f 的单调增区间为：.,6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ 8分（2）Θ2162sin )(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πωx x f 的一条对称轴方程为.3π.,2632z k k ∈+=+⋅∴ππππω 10分.2123+=∴k ω 12分又20<<ω，∴.131<<-k .21,0=∴=∴ωk 14分若学生直接这样做：Θ2162sin )(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πωx x f 的一条对称轴方程为.3π.2632πππω=+⋅∴.21=∴ω 则得分为 11分40、已知函数2()=sin(2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--, x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的值域以及函数()f x 的单调区间．【答案】1(x)=sin2x+cos2x f （） (2x+)4π=T π∴（2）因为32x+444πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以sin (2x+)42π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ,所以(x)f ⎡∈-⎣ 函数的增区间为48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，减区间为84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41、已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边,34=a ,6=b ，31cos -=A ．（1）求c ；（2）求)42cos(π-B 的值．【答案】（1）在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=…………2分 )31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分（2）由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分在ABC △中，由正弦定理，得sin sin a bA B =则36343226sin sin =⨯=⋅=a Ab B …………2分由于B 为锐角，则33cos =B ……2分 313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分42、已知函数π()cos()4f x x =-，（1）若()10f α=，求sin 2α的值；（2）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值【答案】解：（1）因为π()cos()410f αα=-=，则(cos sin )210αα+=，所以 7cos sin 5αα+=………3分平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925， ………5分所以24sin 225α=………7分（2）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=sin )sin )22x x x x +⋅- ………9分=221(cos sin )2x x -=1cos 22x ………11分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ………12分所以，当0x =时，()g x 的最大值为12； ………13分当π3x =时，()g x 的最小值为14-………14分43、已知(2cos ,1)a x =r，(cos 2)b x x =r ，其中x R ∈ 设函数()f x a b =⋅r r，求()f x 的最小正周期、最大值和最小值．【答案】由题意知2()2cos 2f x a b x x =⋅=r r ……………………… 3分cos 21222x x +=⋅cos 221x x =++2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ………………………………… 6分∴最小正周期 22T ππ== ………………………… 8分当2262x k πππ+=+，即(),Z 6x k k ππ=+∈时，max ()213f x =+=…………………10分当32262x k πππ+=+，即()2,Z 3x k k ππ=+∈时，()min 211f x =-+=-…………12分44、已知函数()22sin sin cos cos 3f x x x x x x π⎛⎫=⋅-+⋅+⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期，最大值及取最大值时相应的x 值；（2）若02x π≤≤，求()f x 的取值范围【答案】x x x x x x x x x x x f 222sin cos cos sin 32cos cos sin 3)sin 21cos 23(sin 2)(-+=++-= )62sin(22cos 2sin 3π+=+=x x x ……………………6分)(x f 的最小正周期等于π．当2262πππ+=+k x ，6ππ+=k x )(z k ∈时，)(x f 取得最大值2 ………………10分（2）由20π≤≤x ，得67626πππ≤+≤x ，1)62sin(21≤+≤-πx ，)(x f 的值域为]2,1[-………………14分45、已知函数()sin(2)sin(2)233f x x x x m ππ=++--，x ∈R ，且f (x )的最大值为1． (1) 求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2) 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ，若()1f B =a b c =+，试判断△ABC 的形状．【答案】(1)=)(x f m x x -+2cos 32sin 2sin(2)3x m π=+- ……………………3分因为max ()2,f x m =-所以1m =，…………………………………………………………4分令–2π+2kπ≤2x +3π≤2π+2kπ得到：单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+(k ∈Z )………6分( 无(k ∈Z )扣1分 )(2) 因为()1f B =，则2sin(2)113B π+-=，所以6B π=………………8分b c =+sin sin A B C =+15sin()26A A π=+-化简得1sin()62A π-=，所以3A π=，…………………………………………………12分所以2C π=，故△ABC 为直角三角形．…………………………………………………14分。

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2017届南通高三一模考试数学试题Ⅰ一：填空题1．函数)33sin(2π-=x y 的最小正周期为_________。

2．设集合}3{},5,2{},3,1{=+==B A a B A ，则B A =____________。

3．复数2)21(i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为_______。

4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球。

摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率是0.35，则摸出蓝球的概率为___________。

5．如图是一个算法流程图，则输出的n 的值为__________。

6．若实数y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+007342y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为________。

8．如图，在正四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ，则三棱锥D 1 – A 1BD 的体积为___________cm 3。

9．在平面直角坐标系xOy 中，直线02=+y x 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为______________。

10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为___________升。

11．在ABC ∆中，若CB CA AB AC BA BC ⋅=⋅+⋅2，则CAsin sin 的值为___________。

12．已知两曲线)2,0(,cos )(,sin 2)(π∈==x x a x g x x f 相交于点P 。

若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为______________。

13．已知函数|4|||)(-+=x x x f ，则不等式)()2(2x f x f >+的解集用区间表示为__________。

14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆422=+y x 上两点，点)1,1(A ，且AC AB ⊥，则线段结束↓开始 ↓ a ←1 ↓ 输出n N ABCDD 1C 1B 1A1BC 的长的取值范围是_____________。

二：解答题15．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ，以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，552=AB 。

（1）求βcos 的值；（2）若点A 的横坐标为135，求点B 的坐标。

16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P –ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 、BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，P A ⊥PD 。

求证：（1）直线P A ∥平面BDE ；（2）平面BDE ⊥平面PCD 。

17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x的离心率为CABDPOE22，焦点到相应准线的距离为1. （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线2=y 于点Q ，求2211OQOP +的值；18．（本题满分16分）如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪。

已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪。

（1）当4π=∠EFP 时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由。

19．（本题满分16分）已知函数R a x x ax x f ∈--=,ln )(2。

（1）当83=a 时，求函数)(x f 的最小值；（2）若01≤≤-a ，证明：函数)(x f 有且只有一个零点；（3）若函数)(x f 又两个零点，求实数a 的取值范围。

20．（本题满分16分）已知等差数列}{n a 的公差d 不为0，且)(,,,,2121 <<<<n k k k k k k a a a n 成等比数列，公比为q 。

（1）若8,3,1321===k k k ，求da 1的值；（2）当da 1为何值时，数列}{n k 为等比数列；（3）若数列}{n k 为等比数列，且对于任意*N n ∈，不等式n k n k a a n 2>+恒成立，求1a 的取值范围。

2016-2017学年度高三第二学期期初摸底考试数学试题Ⅰ参考答案一：填空题1．32π 2．}5,3,1{ 3．3- 4．0.17 5．5 6． 7 7．20 8．239．5 10．221311．2 12．332 13．),2()2,(+∞--∞ 14．]26,26[+-二：解答题15.解（1）在AOB ∆中，由余弦定理得：AOB OB OA OB OA AB ∠⋅-+=cos 2222，所以OBOA AB OB OA AOB ⋅-+=∠2cos 222…………………………………………2分53112)552(112=⨯⨯-+=，即53cos =β；…………………………………………6分（2）因为53cos =β，且β为锐角，所以54)53(1cos 1sin 22=-=-=ββ，……8分因为点A 的横坐标为135，由三角函数定义可得：135cos =α，因为α为锐角，所以1312)135(1cos 1sin 22=-=-=αα，…………………………10分所以653354131253135sin sin cos cos )cos(-=⨯-⨯=-=+βαβαβα，…………12分655654135531312sin cos cos sin )sin(=⨯+⨯=+=+βαβαβα，所以点)6556,6533(-B 。

……………………………………………………………………14分16.证明：（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，所以OE//PA ，………………4分因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以直线PA//平面BDE ；…………………………6分（2）因为OE//PA ，PA ⊥PD ，所以OE ⊥PD ，……8分因为OP=OC ，E 为PC 的中点，所以OE ⊥PC ，……10分又PC ∩PD=P ，PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以OE ⊥平面PCD ，………………………………12分因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD 。

………………………………14分17. 解：（1）由题意得：2222,1,22c b a c ca a c +==-=，………………2分解得：1,1,2===b c a ，所以椭圆的标准方程为1222=+y x ；……4分（2）由题意知OP 的斜率存在，当OP 的斜率为0时，2,2==OQ OP ，所以2211OQOP +=1，……6分当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为kx y =，由⎪⎩⎪⎨⎧==+kxy y x 1222得：2)12(22=+x k ，解得：12222+=k x ，所以122222+=k k y ， A B C D P O E所以1222222++=k k OP ，…………………………………………………………9分因为OQ OP ⊥，所以直线OQ 的方程为x ky 1-=，由⎪⎩⎪⎨⎧-==xk y y 12得：k x 2-=，所以2222+=k OQ ，……………………12分所以2211OQ OP +=12212212222=++++k k k ，综上，可知2211OQOP +=1.………………………………………………14分 18. 解：（1）当4π=∠EFP 时，4π=∠=∠=∠FEP EFD EFP ，所以2π=∠FPE ，即BC FN ⊥，所以四边形MNPE 为矩形，………………3分所以四边形MNPE 的面积为22m MN PN S =⋅=；…………………………5分（2）设)2,0(,πθθ∈=∠EFD ，由条件知：θ=∠=∠=∠FEP EFD EFP ，θθπ2sin 2)2sin(2=-=PF ，θ2sin 23-=-=PF NF NP ，θtan 23-=ME ，……8分由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>->-200tan 2302sin 23πθθθ得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>>2032tan 322sin πθθθ，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>>+2032tan 32tan 1tan 22πθθθθ解得：253tan 32+<<θ，所以四边形MNPE 的面积为2)]tan 23()2sin 23[(21)(21⨯-+-=⋅+=θθMN ME PN S)2sin 2tan 2(6θθ+-=………………………………………………………………12分326)tan 3(tan 6)tan 2tan 1tan 2(62-≤+-=++-=θθθθθ当且仅当θθtan 3tan =，即)253,32(3tan +∈=θ，3πθ=时取“=”……14分答：当3π=∠EFP 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，为326-。

…16分19. 解：（1）当83=a 时，x x x x f ln 83)(2--=，所以)0(,4)2)(23(1143)(>-+=--='x xx x x x x f ，…………………………2分令)(x f '=0，得2=x ，当)2,0(∈x 时，)(x f '<0，当),2(+∞∈x 时，)(x f '>0，所以函数)(x f 在)2,0(上单调递减，在),2(+∞上单调递增，所以当2=x 时，)(x f 有最小值2ln 21)2(--=f ；…………………………4分（2）由R a x x ax x f ∈--=,ln )(2，得：)0(,12112)(2>--=--='x xx ax x ax x f 所以当0≤a 时，012)(2<--='xx ax x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递减，所以当0≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞上最多有一个零点，……………………6分又当01≤≤-a 时，0)1(,01)1(22>+-=<-=eae e ef a f ，所以当01≤≤-a 时，函数)(x f 在),0(+∞上有零点，综上，当01≤≤-a 时，函数)(x f 有且只有一个零点；……………………8分（3）由（2）知：当0≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞上最多有一个零点，因为函数)(x f 有两个零点，所以0>a ，……………………………………9分由R a x x ax x f ∈--=,ln )(2，得：)0(,12112)(2>--=--='x xx ax x ax x f 令12)(2--=x ax x g ，因为02,01)0(><-=a g ，所以函数)(x g 在),0(+∞上有且只有一个零点，设为0x ，当),0(0x x ∈时，)(x g <0，)(x f '<0，当时),(0+∞∈x x ，)(x g >0，)(x f '>0，所以函数)(x f 在),0(0x 上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增，要使得函数)(x f 在),0(+∞上有两个零点，只需要函数)(x f 的最小值0)(0<x f ，即0ln 0020<--x x ax ，又因为012)(0200=--=x ax x g ，消去a 得：01ln 200>-+x x ，又因为1ln 2)(-+=x x x h 在),0(+∞上单调递增，且0)1(=h ，所以0x >1，则1100<<x ，因为012020=--x ax ，所以41)211(1)1(220020-+=+=x x x a ，所以2a 在)1,0(上单调递增，所以10<<a ，………………………………………13分以下验证当10<<a 时，函数)(x f 有两个零点。