六方晶系晶面间距计算公式
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六方晶系四指数推导讲解
1.4 晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。
说明：a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。
晶面指数六方晶系的晶面指数标定
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2 2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
0,1,0
晶面指数（233）
1,0,0
常见的晶面指数
(110) (001) (010) (111)
(100)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。
0,0,1
练习
0,1,0
晶面指数（233）
1,0,0
常见的晶面指数
(110) (001) (010) (111)
(100)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。
2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例 如(hk0)晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。
三斜
例 : 某 斜 方 晶 体 的 a=0.742nm, b=0.494nm, c=0.255nm, 计算d110和d200。
1 h k l 2 2 2 2 d hkl a b c
2
2
2
1 1 1 2 2 d110 7.417 4.9452
1
2 d 200
2
2
2 7.417 2
晶带定律：凡是属于[uvw]晶 带的晶面，它的晶面指数必须 符合hu＋kv＋lw＝0
O
晶面间距：是两个相邻的平行晶面间的垂直距离，通常 用dhkl 或 d 表示。
晶面间距是现代测试中一个重要的参数。在简单点阵中， 通过晶面指数（hkl）可以方便地计算出相互平行的一组 晶面之间的距离d。
正交（立方、四方、 斜方晶系）
晶面指数的确定方法
晶带、晶面间距
u:v:w = 0:0:1 如何判断3个晶面 是否是共带面？
2021/3/11
9
晶带定律的应用（3）
判断3个晶面是否是共带面
若3个晶面同属1个 晶带，则有
所有晶面（hk0)都
是共带面，晶带轴
为：[001]
2021/3/11
10
晶带定律的应用（4）
确定由二晶向[u1 v1 w1]和[u2 v2 w2]决定的晶 面指数（hkl）
根据晶带定律：
判断（123）和（12-3）面是否属于[ 111]晶带？
（ 12-3）是 （123）不是
2021/3/11
6
晶带定律的应用（2）：
确定两个不平行的晶面( h1k1l1 )和( h2k2l2 )所 属晶带的晶带轴指数[ uvw ]
或
2021/3/1（1 123）和（12-3）面属于晶带轴[ ？？？]
或
2021/3/11
11
晶带定律的应用（5） 如果三个晶轴 [u1 v1 w1] 、[u2 v2 w2]和 [u3 v3 w3]同在一个晶面上，则有
晶面指数？
（1-10）
[1-10]、[112]和[10-1]在同一个晶面上？
2021/3/11
12
晶带定律的应用（6） 判断 [u1 v1 w1]与[u2 v2 w2]是否相互垂直
第2章 晶体结构
2.1.2.4 晶带
所有平行或相交于 同一晶向直线的这 些晶面构成一个晶 带，此晶向直线称 为晶带轴。属此晶 带的晶面称为共带 面。
2021/3/11
2.1 晶体学基础
2-13/Hale Waihona Puke -152.1.1空间点阵和晶胞
2.1.2 晶向指数和晶面指数
2021/3/11
9
晶带定律的应用（3）
判断3个晶面是否是共带面
若3个晶面同属1个 晶带，则有
所有晶面（hk0)都
是共带面，晶带轴
为：[001]
2021/3/11
10
晶带定律的应用（4）
确定由二晶向[u1 v1 w1]和[u2 v2 w2]决定的晶 面指数（hkl）
根据晶带定律：
判断（123）和（12-3）面是否属于[ 111]晶带？
（ 12-3）是 （123）不是
2021/3/11
6
晶带定律的应用（2）：
确定两个不平行的晶面( h1k1l1 )和( h2k2l2 )所 属晶带的晶带轴指数[ uvw ]
或
2021/3/1（1 123）和（12-3）面属于晶带轴[ ？？？]
或
2021/3/11
11
晶带定律的应用（5） 如果三个晶轴 [u1 v1 w1] 、[u2 v2 w2]和 [u3 v3 w3]同在一个晶面上，则有
晶面指数？
（1-10）
[1-10]、[112]和[10-1]在同一个晶面上？
2021/3/11
12
晶带定律的应用（6） 判断 [u1 v1 w1]与[u2 v2 w2]是否相互垂直
第2章 晶体结构
2.1.2.4 晶带
所有平行或相交于 同一晶向直线的这 些晶面构成一个晶 带，此晶向直线称 为晶带轴。属此晶 带的晶面称为共带 面。
2021/3/11
2.1 晶体学基础
2-13/Hale Waihona Puke -152.1.1空间点阵和晶胞
2.1.2 晶向指数和晶面指数
晶面指数六方晶系的晶面指数标定82523
1
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
1,0,0
0,1,0 晶面指数（233）
2
常见的晶面指数
(001)
(110)
(100)
(010)
(111)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。
19
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
六方晶系一些晶面的指数
20
六方晶系晶向指数标定
采用4轴坐标时，晶向指数的确定原则仍同前述 晶向指数可用｛u v t w｝来表示，这里 u + v = - t。
六方晶系晶向指数的表示方法(c轴与图面垂直) 21
六方晶系中，三轴指数和四轴指数 的相互转化
三轴晶向指数(U V W) 四轴晶向指数(u v t w)
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
O
Y
●
X
4
Z
练习
●
O X
晶向符号 [221]
Y
[001] [111]
●
●
常见的晶向指数
O
●
●
[100]
[010]
5
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
[001]晶带包含的晶面有： （100）、（010）、（110）、 （110）、（120）等晶面
[001]
晶带定律：凡是属于[uvw]晶
带的晶面，它的晶面指数必须
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
1,0,0
0,1,0 晶面指数（233）
2
常见的晶面指数
(001)
(110)
(100)
(010)
(111)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。
19
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
六方晶系一些晶面的指数
20
六方晶系晶向指数标定
采用4轴坐标时，晶向指数的确定原则仍同前述 晶向指数可用｛u v t w｝来表示，这里 u + v = - t。
六方晶系晶向指数的表示方法(c轴与图面垂直) 21
六方晶系中，三轴指数和四轴指数 的相互转化
三轴晶向指数(U V W) 四轴晶向指数(u v t w)
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
O
Y
●
X
4
Z
练习
●
O X
晶向符号 [221]
Y
[001] [111]
●
●
常见的晶向指数
O
●
●
[100]
[010]
5
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
[001]晶带包含的晶面有： （100）、（010）、（110）、 （110）、（120）等晶面
[001]
晶带定律：凡是属于[uvw]晶
带的晶面，它的晶面指数必须
晶面指数六方晶系的晶面指数标定82523
.
17
• 四指数表示是基于4个坐标轴：a1，a2，a3 和 c 轴，其中，a1，a2 和 c 轴就是原胞的 a，b 和c 轴，而 a3 = -(a1+a2)。下面就分别讨论用 四指数表示的晶面及晶向指数。
• 六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶 系中的一样，步骤如下：（1）先找出该面在 四个坐标轴上的截距长度（以晶胞的点阵常数 a,c 为单位长）； （2）求其倒数并化为最简整数，即得(hkil)指 数，这样得到的晶面指数称为 Miller-Bravais 指数。
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶向指数(h k i l)
i ＝－ ( h + k ) 。
.
22
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
1,0,0
0,1,0 晶面指数（233）
.
6
常见的晶面指数
(001)
(110)
(100)
(010)
(111)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。
2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例如 (hk0)晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。
.
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六方晶系晶面指数标定
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1， a2，a3及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均 为120度，这样，其晶面指数就以(h k i l）四个 指数来表示。
根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多 不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的， 它们之间存在以下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
.
1
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
晶面指数-六方晶系的晶面指数标定
O X
晶向符号 [221]
Y
[001] [111]
●
●
常见的晶向指数
O
●
●
[100]
[010]
4、晶带、晶面间距和晶面夹角
晶带：在晶体结构和空间点阵中平行于某一轴向的所有
晶面属于同一晶带。
• 同一晶带中包含不同的晶面，这些晶面的交线互相平行。
• 晶带由所平行的轴向的晶向指数表示。
[001]晶带包含的晶面有： （100）、（010）、（110）、 （110）、（120）等晶面
cos2 )
h2 sin 2
[ a2
k 2 sin 2 b2
l 2 sin 2
c2
2hk ab
(cos
cos
cos )
2kl (cos cos cos ) 2hl (cos cos cos )]
bc
ac
例 : 某 斜 方 晶 体 的 a=0.742nm, b=0.494nm,
(001)
(110)
(100)
(010)
(111)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。 2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例如 (hk0)晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。 3° (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面。
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
晶向符号 [221]
Y
[001] [111]
●
●
常见的晶向指数
O
●
●
[100]
[010]
4、晶带、晶面间距和晶面夹角
晶带：在晶体结构和空间点阵中平行于某一轴向的所有
晶面属于同一晶带。
• 同一晶带中包含不同的晶面，这些晶面的交线互相平行。
• 晶带由所平行的轴向的晶向指数表示。
[001]晶带包含的晶面有： （100）、（010）、（110）、 （110）、（120）等晶面
cos2 )
h2 sin 2
[ a2
k 2 sin 2 b2
l 2 sin 2
c2
2hk ab
(cos
cos
cos )
2kl (cos cos cos ) 2hl (cos cos cos )]
bc
ac
例 : 某 斜 方 晶 体 的 a=0.742nm, b=0.494nm,
(001)
(110)
(100)
(010)
(111)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。 2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例如 (hk0)晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。 3° (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面。
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
晶面指数_六方晶系的晶面指数标定
2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例如 (hk0)晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。
3° (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面。
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划 线表示。 4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
2
得出： d110 =0.41nm, d200=0.37nm
（4）衍射方向（衍射角θ）的确定
将布拉格方程和晶面间距公式联系起来，可得到不同晶系 的衍射方向。
如：立方晶系，晶面间距公式为
h2 ＋ k2 ＋ l2 1 h2 k 2 l 2 ＝ 2 2 2 2 a2 d a b c d＝/（2sin） 4a2 已知晶胞参数的（hkl）晶面，当已知波长，可确定衍射方向； 反之，通过测定衍射方向，可以确定晶胞参数，即可确定晶胞的 大小、形状。【物相分析】 ∴ sin2 ＝ 2（ h2 ＋ k2 ＋ l2 ）
3° (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面。
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划 线表示。 4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
1 h k l 2 2 2 2 d hkl a b c
2
2
2
a、b、c为晶胞参数
[ 了解 ]
单斜
1 h2 k2 l2 2hl cos 2 2 2 2 2 2 d hkl a sin b c sin ac sin 2
3° (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面。
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划 线表示。 4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
2
得出： d110 =0.41nm, d200=0.37nm
（4）衍射方向（衍射角θ）的确定
将布拉格方程和晶面间距公式联系起来，可得到不同晶系 的衍射方向。
如：立方晶系，晶面间距公式为
h2 ＋ k2 ＋ l2 1 h2 k 2 l 2 ＝ 2 2 2 2 a2 d a b c d＝/（2sin） 4a2 已知晶胞参数的（hkl）晶面，当已知波长，可确定衍射方向； 反之，通过测定衍射方向，可以确定晶胞参数，即可确定晶胞的 大小、形状。【物相分析】 ∴ sin2 ＝ 2（ h2 ＋ k2 ＋ l2 ）
3° (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面。
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划 线表示。 4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
1 h k l 2 2 2 2 d hkl a b c
2
2
2
a、b、c为晶胞参数
[ 了解 ]
单斜
1 h2 k2 l2 2hl cos 2 2 2 2 2 2 d hkl a sin b c sin ac sin 2
晶面指数六方晶系的晶面指数标定
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2 2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
0,1,0
晶面指数（233）
1,0,0
常见的晶面指数
(110) (001) (010) (111)Fra bibliotek(100)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。
1°确定平面与晶胞三个坐标轴的交点坐标（平面不能通过原点） 2°取在三个坐标轴上截距的倒数。 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数h、k、l。负数用上划 线表示。 4°用（）括起来，记为（hkl ）
0,0,1
0,1,0 1,0,0
1°确定交点坐标，X轴：1/2、 Y轴：1、 Z轴：1 2°取倒数 2、1、1 3°消除分数 2、1、1 4°晶面指数（211）
晶带定律：凡是属于[uvw]晶 带的晶面，它的晶面指数必须 符合hu＋kv＋lw＝0
O
晶面间距：是两个相邻的平行晶面间的垂直距离，通常 用dhkl 或 d 表示。
晶面间距是现代测试中一个重要的参数。在简单点阵中， 通过晶面指数（hkl）可以方便地计算出相互平行的一组 晶面之间的距离d。
正交（立方、四方、 斜方晶系）
•
由于等价晶面或晶向不具有类似的指数， 人们就无法从指数判断其等价性，也无法由 晶面族或晶向族指数写出它们所包括的各种 等价晶面或晶向，这就给晶体研究带来很大 的不便。为了克服这一缺点，或者说，为了 使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指 数，对六方晶体来说，就得放弃三指数表示， 而采用四指数表示。
2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例 如(hk0)晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。