一阶偏微分方程求解

一阶偏微分方程求解

一阶偏微分方程通常可以用分离变量法或者特征线法求解。

1. 分离变量法

当一阶偏微分方程可以写成 \frac{\partial u}{\partial

x}=f(x,y) 的形式（或者 \frac{\partial u}{\partial y}=g(x,y) 的形式），可以使用分离变量法求解。

具体步骤：

（1）将方程两边积分，得到 \int\frac{\partial u}{\partial x}dx=\int f(x,y)dx+C(y) （或者 \int\frac{\partial u}{\partial y}dy=\int g(x,y)dy+C(x)）。

（2）对方程两边再次积分，得到 u(x,y)=\int\left(\int

f(x,y)dx+C(y)\right)dy+D(x) （或者 u(x,y)=\int\left(\int

g(x,y)dy+C(x)\right)dx+D(y)）。其中 C(y) 和 D(x) 分别是积分常数，可以通过边界条件确定。

2. 特征线法

对于形如 a(x,y)\frac{\partial u}{\partial

x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}=c(x,y,u) 的一阶偏微分方程，可以使用特征线法求解。

具体步骤：

（1）令

\frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)}=\frac{du}{c(x,y,u)}=\lamb da，则得到三个方程：

\frac{dx}{a(x,y)}=\lambda,\quad

\frac{dy}{b(x,y)}=\lambda,\quad \frac{du}{c(x,y,u)}=\lambda （2）根据前两个方程可以求出特征线，即满足

\frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)} 的曲线。将

\frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)}=\frac{du}{c(x,y,u)} 带入原方程，得到 \frac{d u}{\lambda}=c(x,y,u)du，进而可以求出

u=u(x,y)。

需要注意的是，特征线法只适用于某些偏微分方程，且需要判断是否有多解或者无解的情况。