高三数学三角函数图象变换试题
高三数学考点-三角函数图象的变换
4．4三角函数图象的变换1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示．xωx＋φy＝A sin(ωx＋φ)0A0－A02.图象变换(ω＞0)路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝A sin(ωx＋φ)的图象．路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinωx的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝A sin(ωx＋φ)的图象．3．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的物理意义简谐运动的图象所对应的函数解析式y＝A sin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0.在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝________，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝1T＝________给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝________时的相位φ称为初相．自查自纠1.x－φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωωx＋φ0π2π32π2πy＝A sin(ωx＋φ)0A0－A02.||φ1ωA1ω⎪⎪⎪⎪φωA3. 2πωω2π0(2016·四川)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度解：把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象．故选A . (2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.故选D . (2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 的图象，再把所得的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2.故选D .(南京市、盐城市2017届高三一模)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________.解：因为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2（x －φ）＋π3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ是偶函数，则2×0＋π3－2φ＝k π＋π2，φ＝－k 2π－π12，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以k ＝－1，φ＝5π12.故填5π12. (2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．解：因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－2π3，所以函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．故填2π3.类型一 五点法作图与求解析式(1)作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象． 解：周期T ＝2π12＝4π，振幅A ＝2.按五个关键点列表：x 2＋π30 π2 π 3π2 2π x －2π3π3 4π3 7π3 10π3 y2－2描点作图：【点拨】用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设X ＝ωx ＋φ，由X ＝0，π2，π，32π，2π来求出相应的x 值，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 解：由图可知，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法结合各选项可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.故选A . 【点拨】已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式，常用如下两种方法：(1)升降零点法，由ω＝2πT ，即可求出ω；求φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入最值法，将最值点(最高点、最低点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ.(2016·安徽安庆二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (x )的递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫－π6＋k π，5π6＋k π，k ∈Z 解法一：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，故ω＝2.由f ⎝⎛⎭⎫1112π＝－2，得φ＝2k π－π3(k ∈Z )． 因为|φ|<π2，所以φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2x －π3∈⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 得x ∈⎝⎛⎭⎫－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z )． 解法二：34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，π6－T 4＝π6－π4＝－π12，π6＋T 4＝π6＋π4＝5π12， 所以f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．故选B . 类型二 三角函数的图象变换说明由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象．(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3； (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π； (3)y ＝||sin x ； (4)y ＝sin ||x .解：(1)将y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象． (2)解法一：将y ＝sin x 的图象向右平移23π个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －23π的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －23π图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，就得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象． 解法二：先把y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin2x 的图象，再将y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，就得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象． (3)将y ＝sin x 的图象的x 轴下方部分翻折到x 轴上方，去掉x 轴下方图象，即可得到y ＝||sin x 的图象． (4)先去掉y 轴左边的y ＝sin x 的图象，再将y 轴右边的图象翻折到y 轴左边，保留y 轴右边的图象，即可得到y ＝sin ||x 的图象．【点拨】(1)本题主要考查图象的平移、伸缩、对称变换．三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．对称变换要注意翻折的方向．(2)三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．(荆门市2017届调考)若将函数y ＝12sin(2x ＋π3)图象上的每一个点都向左平移π3个单位，得到g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解：因为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上的每一个点都向左平移π3个单位，得到g (x )的图象， 所以g (x )＝12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3， 即g (x )＝12sin(2x ＋π)＝－12sin2x ，令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，即k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )． 故选B .类型三 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的图象及其变换(2017·山东)设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值． 解：(1)因为f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f(x)＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx ＝3·⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z . 故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【点拨】(1)用辅助角法，将较复杂的三角式转化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)要看清由谁平移到谁，若自变量的系数不为1时，要将系数先提出来，再平移．(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx ＋φ0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π22π x π12 π3 7π12 5π6 13π12A sin(ωx ＋φ)5－5且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.1．五点法作函数图象及函数图象变换问题(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．“五点法”作图的优点是用简单的计算、列表、描点替代图形变换，不易出错，且图形简洁．(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，而“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，但要注意：先伸缩后平移时要把x 前面的系数提取出来． 2．根据y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象求解析式的步骤： (1)首先确定振幅和周期，从而得到A 与ω.(Ⅰ)A 为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半．(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的14个周期(借助图象很好理解记忆)．(2)求φ的值时最好选用最值点求．峰点：ωx ＋φ＝π2＋2k π； 谷点：ωx ＋φ＝－π2＋2k π.也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点． 升零点(图象上升时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝2k π；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝π＋2k π(以上k ∈Z )．3．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(φ由tan α＝ba 确定)的应用是高考的热点，应予以重视．1．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解：因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点向左平移12个单位长度即可．故选A .2．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 解：将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10.故选C . 3．(北京昌平区2017届期末)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 解：由图可知周期为T ＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋π2－x 0＝π，所以ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又函数图象经过点(0，3)，故f (x )＝2sin(2×0＋φ)＝3，sin φ＝32，又|φ|<π2，所以φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.故选B . 4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解：由图可知，34T ＝5π12＋π3＝3π4，T ＝π，ω＝2πT ＝2.因为点⎝⎛⎭⎫5π12，2在图象上，所以2·5π12＋φ＝π2＋2k π，φ＝－π3＋2k π，k ∈Z .又－π2＜φ＜π2，所以φ＝－π3.故选A .5．(2017·辽宁抚顺模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，再向上平移1个单位，得到g (x )的图象．若g (x 1)g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( )A.25π16B.35π6C.49π12D.17π4解：由题意可得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1，所以g (x )max ＝3，又g (x 1)g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝3，由g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1＝3，得2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以x ＝π12＋k π，因为x 1，x 2∈[－2π，2π]，所以(2x 1－x 2)max ＝2×⎝⎛⎭⎫π12＋π－⎝⎛⎭⎫π12－2π＝49π12.故选C . 6. (2016·北京)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3解：因为点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又P ′⎝⎛⎭⎫π4－s ，12在函数y ＝sin2x 的图象上，所以12＝sin2⎝⎛⎭⎫π4－s ，则2⎝⎛⎭⎫π4－s ＝2k π＋π6或2⎝⎛⎭⎫π4－s ＝2k π＋56π，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π6或s ＝－k π－π6，k ∈Z ，又s ＞0，故s 的最小值为π6.故选A .7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________．解：由图象知T ＝2π3，则ω＝2πT ＝2π2π3＝3.故填3.8．(2015·昆明模拟)把函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6； ②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数； ④若函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中正确判断的序号是________．解：将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π6得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，①不正确；y ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝2sinπ＝0，函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，②正确；由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为[－5π12＋k π，π12＋k π]，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12，π12，③不正确；y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，有y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ＝3，得a ＝23，④正确．故填②④.9．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π，求ω和φ的值．解：由题意，函数f (x )的最小正周期T ＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2.因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－π6，k ∈Z .又－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.10．(2016·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值． 解：(1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos2x )＋sin2x －1＝sin2x －3cos2x ＋3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象， 再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1.所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.11．(2017·福建福州模拟)已知函数f (x )＝3sin2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解：(1)f (x )＝3sin2ωx ＋(cos 2ωx －sin 2ωx )(cos 2ωx ＋sin 2ωx )＋1 ＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1. 因为点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心， 所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z .因为0<ω<1，所以k ＝0，ω＝12，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1. 由x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .令k ＝0，得距y 轴最近的一条对称轴方程为x ＝π3.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，当x ∈[－π，π]时，列表如下： x ＋π6 －5π6 －π20 π2 π 7π6 x －π －2π3 －π6π3 5π6 π f (x )－1131则函数f (x )在区间[－π，π]上的图象如图所示．(2016·厦门模拟)已知向量a ＝(2cos x ，3sin x )，b ＝(cos x ，2cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋m ，m ∈R ，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 时，f (x )的最小值为2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)先将函数y ＝f (x )的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求方程g (x )＝4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2 上的所有根之和． 解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋m＝cos2x ＋3sin2x ＋m ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m ＋1. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，当2x ＋π6＝76π，即x ＝π2时，f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋m ＋1＝2，解得m ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6 (k ∈Z )． (2)将函数y ＝f (x )的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，得到f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋3，再把所得的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象， 所以g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＋3，又g (x )＝4，得sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝12，解得4x －π6＝2k π＋π6或4x －π6＝2k π＋5π6，k ∈Z . 即x ＝k π2＋π12或x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＝π12或π4，故所有根之和为π12＋π4＝π3.。
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.己知，则tan 2a=_________．【答案】【解析】由得，=，代入整理得，，解得=或=，当=时，=，所以=2，所以==；当=时，=-，所以=，所以==，综上所述，的值为．【考点】同角三角函数基本关系式，二倍角公式，分类整合思想2.凸四边形中，其中为定点，为动点，满足.（1）写出与的关系式；（2）设的面积分别为和，求的最大值。
【答案】（1）；（2）【解析】（1）在三角形BCD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD2，两者相等表示即可得到cosC与cosA的关系式；（2）利用三角形面积公式变形出S与T，进而表示出S2+T2，将第一问表示出的cosA代入得到关于cosC的二次函数，利用二次函数性质即可求出S2+T2的最大值．（1）在⊿PAB中，由余弦定理得：3分同理在⊿PQB中∴∴ 6分（2） 8分∴当时，。
12分【考点】1.余弦定理；2.三角形面积；3.同角三角函数间的基本关系以及二次函数的性质.3.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若.（1）求B；（2）设函数，求函数上的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由可得，然后结合余弦定理求出从而确定角B的值.（2）结合（1）的结果，利用两角和与差的三角函数公式将函数式化简为再由得，根据正弦函数的性质求得的取值范围.解：（1）解法一：因为，所以 2分由余弦定理得，整理得所以 4分又因为，所以. 6分解法二：因为，所以 2分由正弦定理得所以整理得因为，所以，所以 4分又因为，所以. 6分（2）8分因为，则， 10分所以，即在上取值范围是. 12分【考点】1、余弦定理；2、两角和与差的三角函数公式；3、正弦函数的性质.4.（2013•重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．【答案】（1）（2）tanα=1或tanα=4【解析】（1）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴由余弦定理得：cosC===﹣，又C为三角形的内角，则C=；（2）由题意==，∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=，即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB=，∵C=，A+B=，cosAcosB=，∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，∴tan2α﹣tanα+=，即tan2α﹣5tanα+4=0，解得：tanα=1或tanα=4．5. sin2012°=（）A．sin32°B．﹣sin32°C．sin58°D．﹣sin58°【答案】B【解析】sin2012°=sin（5×360°+212°）=sin212°=sin（180°+32°）=﹣sin32°．故选B6.若，则=（）A．B．C．D．【答案】（C）【解析】由所以.故选（C）.【考点】1.角的和差公式.2.解方程的思想.7.在中，.(1)求的值；(2)求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理进行边角转化.由正弦定理得：，.（2）由（1）及条件知三角形三边，故用余弦定理求角. 由，得，由同角三角函数关系，可得，再由二倍角公式得到，，因此=.试题解析：（1）因为 ,（2）=所以 ,【考点】正余弦定理, 同角三角函数关系, 二倍角公式8.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足cs inA=ac o s C，则s inA+s inB的最大值是（）A．1B．C．D．3【答案】C【解析】由cs inA=ac o s C，所以s inC s inA=s inA c o s C，即s inC=c o s C，所以t a nC=，C=,A=-B,所以s inA+s inB=s in（-B）+s inB=s in（B+）∵0<B<,∴<B+<,∴s inA+s inB的最大值为.故选C.【考点】1正弦定理；2两角和与差的正弦函数；3正弦函数的单调性．9.已知，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以.【考点】两角和与差正切10.已知sinα＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan2β＝________．【答案】－【解析】由sinα＝且α是第二象限角，得tanα＝－，∵(α＋β)－α＝β，∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝7.∴tan2β＝11.求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．【答案】【解析】(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋＋sin10°·(cos10°－sin10°)＝(sin210°＋cos210°)＝.(解法2)设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x－y＝cos80°－cos20°－＝－sin50°－＝－cos40°－.因此2x＝，故x＝12.计算：(tan10°－)·sin40°.【答案】－1【解析】原式＝·sin40°＝＝＝＝＝－1.13.已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β.【答案】β＝【解析】∵ 0＜β＜α＜，∴ 0＜α－β＜.又cos(α－β)＝，∴ sin(α－β)＝，∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.又0＜β＜，∴ β＝14.已知α、β∈，sinα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．【答案】【解析】∵ α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴＝1＋tan2(α－β)＝.∴ cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.又sinα＝，∴ cosα＝.∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝15.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin(x－φ)，则f(x)＝，max依题意sin θ－2cos θ＝，即sin θ＝＋2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，得(cos θ＋2)2＝0.∴cos θ＝－.16.若α，β∈(0，π)，cos α＝－，tan β＝－，则α＋2β＝________.【答案】【解析】由条件得α∈，β∈，所以α＋2β∈(2π，3π)，且tan α＝－，tan β＝－，所以tan 2β＝＝－，tan(α＋2β)＝＝－1，所以α＋2β＝.17.已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为()．A．B．C．D．或【答案】A【解析】依题意得sin β＝，cos β＝；注意到sin(α＋β)＝<sin β，因此有α＋β> (否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝.18.设的内角所对的边长分别为，且．（1）求的值；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理及三角形内角和关系，将原式化成，化简得，从而；（2）利用两角差的正切展开，将代入，接着利用均值不等式即可算出最大值.试题解析：（1）在中，由正弦定理及可得即，则；（2）由得当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.两角差的正切；3.均值不等式.19.已知是方程的两根，则=_______.【答案】1【解析】本题考查两角和的正切公式，，而与可由韦达定理得．【考点】韦达定理与两角和的正切公式．20.的值（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.【考点】三角恒等变换、诱导公式及三角函数值.21.设向量，，其中，若，则.【答案】【解析】两边平方化简得，，又，是单位向量，所以即，又，所以.【考点】三角函数、平面向量.22.若且则的可能取值是（）A. B C. D.【答案】A【解析】由得，由得：，故，故，故选A.【考点】1.两角和的正切公式；2.基本不等式；3.正切函数的单调性23.定义运算，则函数的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【答案】C【解析】根据新定义运算得：，所以最小正周期.【考点】1、创新意识；2、三角函数变换；3、三角函数的周期.24.设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且.(1)求角的值；(2)若，求（其中）.【答案】(1) ；(2) .【解析】(1) 利用两角和与差的正弦公式展开化简得，又为锐角，所以；(2)由可得，即，然后利用余弦定理得的另一个关系，从而解出.试题解析：(1)因为，所以，又为锐角，所以.(2)由可得①由（1）知，所以②由余弦定理知，将及①代入，得③③+②×2，得，所以因此，是一元二次方程的两个根.解此方程并由知.【考点】两角和与差的正弦定理、平面向量的数量积、余弦定理.25.若，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】同角三角函数基本关系式、二倍角正弦公式.26.，，则的值为( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以，则.【考点】两角和与差的正余弦公式.27.化简计算： _.【答案】【解析】本试题主要是考查了三角函数中两角和的正切公式的运用。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.（本小题满分12分）如图以点为中心的海里的圆形海域被设为警戒水域，在点正北海里处有一雷达观测站.在某时刻测得一匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的点处，经过分钟后又测得该船只已行驶到点北偏东且与点相距海里的点处，其中，.（Ⅰ）求该船行驶的速度；（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶，判断其能否进入警戒水域（说明理由）.【答案】解：（I）∴△ABC中由余弦定理得∴∴船航行速度为（海里/小时）…………6分（II）建立如图直角坐标系B点坐标C点坐标直线AB斜率直线AB方程：点E(0,-55)到直线AB距离由上得出若船不改变航行方向行驶将会进入警戒水域。
……………12分【解析】略2.（本小题满分12分）设角是的三个内角,已知向量，,且.(Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若向量,试求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(Ⅰ)由题意得即--------------------------2分由正弦定理得--------------------------3分再由余弦定理得--------------------------5分(Ⅱ) --------------------------6分-----------------------8分--------------------------10分所以，故. --------------------------12分3.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】因为，所以将其图像向右平移个单位长度，得到的图像为，又因为函数的图像关于原点对称，所以函数为奇函数，所以，即，又因为，所以，故应选．【考点】1、三角函数的恒等变换；2、三角函数的图像变换；3、三角函数的图像及其性质；4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解【答案】D【解析】A．a＝8，b＝16，A＝30°，则B=90°，有一解；B．b＝18，c＝20，B＝60°，由正弦定理得解得，因为，有两解；C．a＝5，c＝2，A＝90°，有一解； D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解是正确的．故选D．【考点】三角形解得个数的判断．6.已知α∈（，），sinα＝，则tan（α＋）=（）A．7B．C．－7D．－【答案】B【解析】根据题意有，，所以，故选B．【考点】同角三角函数关系式，和角公式．7.（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，求b，c的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由余弦定理将已知条件中等式的右端化为，再由正弦定理将其化为，然后利用两角和的正弦公式及三角形的内角和为进行整理，可得出A角的余弦值，从而求出角．（2）由已知条件列出关于b，c的方程组即可求出结果．试题解析：（1）由正弦定理得所以所以，故所以（2）由，得由条件，，所以由余弦定理得解得【考点】利用正弦定理、余弦定理解三角形．8.在中，角的对边分别为，已知，且，则为．【答案】6【解析】，，，，，即，解得．所以在中．，，，．【考点】1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．9.（本小题满分12分）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）120°；（Ⅱ）1【解析】（Ⅰ）求角的大小，从已知可看出，把已知条件用正弦定理化为边的关系，然后用余弦定理可得；（Ⅱ）由（Ⅰ），因此可把化为一个角的三角函数，再由两角和与差的正弦公式化为一个三角函数，可得最大值．试题解析：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。
高三文科数学三角函数的性质图像及其变换
2013 届学高三文科数学练习——三角函数的性质、图像及其变换班别：高三（）班姓名：座号：一、选择题1、【2010 揭阳】 设函数 f (x) cos(2 x) ， x R ，则 f ( x) 是（）A ．最小正周期为的奇函数 B ．最小正周期为 的偶函数 C ．最小正周期为2 的奇函数D ．最小正周期为的偶函数22、【济宁一中】 函数 ysin(2 x) 图象的对称轴方程可能是（）3A ． xB ． xC ． xD ． x12612 6y3、函数 f (x) sin(x)(0) 的一段图象如下图，则=（ ）11 B.1 C.D.A.2244 4、【台州调研】 “ x k( k z) ”是“ tanx=1”建立的（ ）4A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件O12x15、【临沭一中】 为获得函数 y sin x 的图象，只要将 y sin( x) 函数的图像（ ）6A ．向左平移个长度单位 B ．向右平移个长度单位66C ．向左平移5个长度单位D ．向右平移5个长度单位666、【佛山质检】 把函数 y sin x ( xR ) 的图象上全部 的点向左平移个单位长度，再把所得图象上全部6点的横坐标伸长到本来 的 2倍（纵坐标不变） ，获得 的图象所表示 的函数为（）A ． ysin(2 x ), x RB ． ysin(2 x3 ), x R131C ． y x ), x RD ． y x ), x Rsin(sin(2 6 2 67、【 2012 肇庆一模】 已知函数 y f (x) ，将 f (x) 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的 2 倍，而后把所得的图象沿着 x 轴向左平移 个单位，这样获得的是 y 1sin x 的图象，那么函数y f ( x) 的分析式是（ 22 ）A. f (x) 1 xB. f (x) 1 2xsin 2 2 sin2 2 2C. f ( x)1sin x2D. f (x)1sin 2x2 22 28、【 2010 重庆文】 以下函数中，周期为，且在 [, ] 上为减函数的是（ ）4 2A ． y sin(2 x) B ． ycos(2 x) C ． y sin( x) D ． y cos(x)22229、【 2012 青岛一模】 将函数 y sin( x) 的图象上全部点的横坐标伸长到本来的2 倍（纵坐标不变） ，3再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的分析式为（ ）3A. y1) B.y sin(2 x) C. y1 D. y1 )sin( xsin xsin( x23622610、【 2012 佛山一中】 将函数 y 2sin x 图象上的全部点的横坐标减小到本来的1（纵坐标不变） ，获得图2象 C 1 ，再将图象 C 1 沿 x 轴向左平移个单位，获得图象C 2 ，则图象 C 2 的分析式能够是 （）16A ． y2sin( )B ． y2sin(2 x)x2 33C ． y2sin(2 x) D ． y 2sin(2 x )6 611、【山师大附中】 已知 a 是实数，则函数 f ( x) 1 asin ax 的图象不行能是（）12、【 2012 德州一模】 已知函数 y Asin( x ) m 的最大值为 4，最小值为 0，两个对称轴间的最短距离为, 直线 x是其图象的一条对称轴，则切合条件的分析式是 ()26A. y 4 sin( 2 x)B． y2 sin( 2x) 266 C. y2 sin( x) 2 D ． y2 sin( x) 23313、【华师大附中】 以下函数中，最小正周期为π，且图象对于直线x对称的是（ ）sin( x3sin(xA. ysin( 2x) B. ysin(2x) C. y) D. y )662 32614、【 2010 青岛】将奇函数 f (x)Asin( x)( A 0,0,)的图象向左平移个单位得22 6到的图象对于原点对称，则的值能够为（）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 6二、填空题15、【西城二模】函数 y sin x cos x 的最小正周期是 _________，最大值是 ________. 16、函数 f ( x) 2cos 2 x2 3 sin xcos x 1 在 [0, ] 的单一递加区间为17、【 2012 淄博一模】 已知函数 y=sin(x)(0,0)2的部分图象如下图，则 的值 .18、【珠海期末】设0 ，函数y sin( x) 2 的图像向右平移 4 个单位后与原图像重合，则的3最小值是．319、【金山中学】假如函数y 3 cos(2x ) 的图像对于点(4,0) 中心对称，那么| 的最小值是_ ___ 320、【嵊州一中】定义运算a b 为: a b a a b2 1 ,则函数f ( x) sin x cos x 的值域为b a,比如，1b三、填空题21、【 2012 旭日一模】已知函数 f (x) cos( x π) .3π43 π求 sin π的值；( ⅰ ) 若f ( ) ，此中,45 4 4( ⅱ ) 设g (x) f x f x ，求函数 g (x) 在区间π π, 上的最大值和最小值 .2 6 322、【深圳调研】已知函数f ( x) sin( x )(0,0 ) 为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2 ．（Ⅰ）求 f ( x) 的分析式；（Ⅱ）若(3 , ), f ( ) 1 ，求 sin( 25)的值．2 3 3 323 、已知函数 f (x)1 sin 2xsincos2 xcos1 sin()(0) ，其图象过点 ( , 1 ) .1）求 的值；22 26 2（（2）将函数 y f ( x) 的图象上各点的横坐标缩短到本来的1，纵坐标不变，获得函数 y g( x) 的图象，2求函数 g ( x) 在区间 [0,] 上的最大值和最小值 .424、【山师大附中】 已知函数 f ( x)3 sin x cos x cos 2x1, x R（ 1）求函数 f ( x) 的最小正周期和单一增区间； 2（ 2）作出函数在一个周期内的图象。
高三数学三角函数的图象
湖南师大附中
刘东红
两角和与差公式 倍角公式 降幂公式
类型一 活用公式进行恒等变换
类型二 角（第1轮）· 文科数学 · 湖南 · 人教版
立足教育 开创未来
典例精讲
爱若灼心冷如水 /0_398/ 爱若灼心冷如水
湖南师大附中
刘东红
已知函数f ( x) sin( x )( 0)， 3 若f ( ) f ( ), 且f ( x)在区间（ ， ）内 6 2 6 12 有最大值，无最小值，则 2
已知函数f ( x) A sin( x )(a 0, 0)， 的图象与直线y b(0 b A)是的三个 相邻交点的横坐标分别是2，4，8， 则f(x)的单调递增区间是（ C ） A.[6k ,6k 3],k Z B.[6k 3,6k],k Z C.[6k,6k 3],k Z D.无法确定
suc30rvt
后，光线显得更加暗淡了一些。大家不再说话，只管注意着脚下不太平整的路。路过“梁计小饭店”后院儿的门口时，耿正瞥 见院门儿半敞着，心里不由地“咯噔”一下。心想，之前晚上回来时，即便前面的饭店仍然开着灯，可这后面的院门儿也是关 着的啊！但匆匆走过时，却也没有听见院子里有任何响动。于是，耿正不再多想，继续匆匆向前走去。跟在耿正身后的四个人， 则都只顾着小心脚下的路了，全都没有注意到，这个院门儿怎么大深夜的了还半敞着。又走出去三十多步了，忽然听到一个苍 老的男声大喊着：“有贼，快来人，抓贼啊！”很快，另一个苍老的女声也大喊起来：“抓贼啊！抓贼啊！”五个人一怔，耿 正马上反应过来，脱口而出：“不好，是路口上的那两个老人遭贼了！”说着马上转身把二胡递给耿英，说：“你和弟弟就在 这里靠墙站着别动！”又急急地对两个伙计说：“咱们去看看！那两个老人很老了，恐怕要吃亏的！”不等两个伙计答话，耿 正又领头往两个老人的小后院儿跑去了。两个伙计也不答话，只管紧跟在耿正的身后也跑去了。小后院儿内不断地发出来“咣 当”、“哗啦”凌乱的声音和 “抓贼啊！抓贼啊！”的呼喊声。三个人心里着急，都用最快的速度往小后院儿跑去。当耿正 跑到小后院儿门口时，苍老的女声突然改叫“哎呀！”一声就没了生息，而苍老的男声也变成了：“救命啊！抓贼啊！快来人 啊！救命啊！抓贼啊！”耿正头也不回地对跟在身后跑来的两个伙计说：“坏了，贼伤人了！”说着话，耿正已经不顾一切地 冲进了小后院儿里。只见在朦胧的月亮下，一个高大的黑影正举着一把凳子殴打一个已经爬在了地上，但仍然还紧紧地拽着这 个黑影的裤腿不放的另一个黑影。“抓贼啊！救命啊！”的声音，就是那个爬在地上的黑影喊出来的。耿正来不及多想，大喊 一声：“梁爷爷你快放开手！”老人一看有人来了，就松开了拽着这贼裤腿的手。这贼一听有人来帮忙，而且老人已经放开了 他的裤腿，就转身举起凳子朝耿正打来。耿正赶快胡乱伸手往后一拉同时往旁一闪，他和紧随身后的一个伙计躲开了，但凳子 却不偏不掎正好砸在了最后冲进来的另一个伙计的头上。这个伙计“哎呀！”一声重重地跌倒在地上爬不起来了。耿正飞起一 脚朝着这贼的挡口踢去。没想到这贼非常灵巧，退后半步躲过，再次举起凳子朝耿正打来。耿正赶快再次闪身躲过，另一个伙 计马上扑上来抓住了这贼举着凳子的胳膊试图夺去凳子，这贼却抬腿就把他踢倒在地上了。伙计翻身想爬起来，这贼马上举凳 子朝他的头上打来。耿正急了，心想这贼不好对付，必须得抓一件应手的家伙什儿才行。可老人这院子里有些什么他并不知道 啊！正着急呢，忽然闻到了一股煤烟味儿，顺着煤烟味儿猛然转头
高三数学试卷 三角函数、三角恒等变换、解三角形
试卷第1页，总4页绝密★启用前三角函数、三角恒等变换、解三角形1．如图所示，在直径为BC 的半圆中,A 是弧BC 上一点，正方形PQRS 内接于△ABC，若BC=a,∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S l ，正方形PQRS 的面积为S 2.（1）用a ，θ表示S 1和S 2； （2)当a 固定，θ变化时，求12S S 取得最小值时θ的值． 2．如图,摄影爱好者在某公园A 处,发现正前方B 处有一立柱,测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30°,已知摄影爱好者的身高约为米(将眼睛S 距地面的距离SA 按米处理).(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB 和立柱的高度OB.(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN,且MN 绕其中点O 在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者观察彩杆MN 的视角∠MSN(设为θ)是否存在最大值?若存在,请求出∠MSN 取最大值时cos θ的值;若不存在,请说明理由.3．如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.（1）设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值. 4．已知函数)0,0(12sin 2)sin(3)(2πφωφωφω<<>-+++=x x x f 为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为2π． （1）当)4,2(ππ-∈x 时，求)(x f 的单调递减区间； （2）将函数)(x f y =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图象．当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,12ππx 时，求函数)(x g 的值域．5．设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知C ＝，acosA=bcosB ． （1）求角A 的大小；（2）如图，在△ABC 的外角∠ACD 内取一点P ，使得PC ＝2．过点P 分别作直线CA 、CD 的垂线PM 、PN ，垂足分别是M 、N ．设∠PCA ＝α，求PM ＋PN 的最大值及此时α的取值．6．在ABC △中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知向量(cos ,cos )m A B =、(2,)n c b a =+，且m n ⊥．（1）求角A 的大小；（2）若4a =，求ABC △面积的最大值．7．在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos c A C =． (1) 求角C 的大小;(2) 当B A cos sin 3-取得最大值时,请判断ABC ∆的形状． 8．已知函数，2()sin()sin()cos 2f x x x x ππ=--+(l)求函数()f x 的最小正周期；(2)当3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数f(x)的单调区间。
专题07 三角函数图像与性质-备战2022年高考数学(理)母题题源解密(全国乙卷)(解析版)
专题07 三角函数图像与性质【母题来源】2021年高考乙卷【母题题文】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，则()f x =（ ） A ．7sin 212x x ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭ C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】B【试题解析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式.解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+, 所以()sin 212t f t π⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭逆向变换， 第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：B.【命题意图】函数图象的平移变换（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.【命题方向】三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下. 常见的命题角度有： （1）三角函数的图象变换； （2）三角函数解析式的确定；（3）三角函数的性质（单调性、值域与最值、奇偶性、周期性、对称性等）； （4）函数sin()y A x ωϕ=+的性质与其他知识的综合应用．【得分要点】（一）函数图象的平移变换（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.（二）结合图象及性质求解析式y =A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法（1）求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==. （2）求ω，已知函数的周期T ，则2πTω=. （3）求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(,0)ϕω-作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ=π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（三）求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y =a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y =A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；（2）形如y =a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x =t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；（3）形如y =a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t =sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．（四）三角函数单调性问题的常见类型及解题策略（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． （2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y =A sin （ωx ＋φ）＋b 或可化为y =A sin （ωx ＋φ）＋b 的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.一、单选题1．（2021·河南商丘市·高一月考）要得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象上各点（ ）A ．纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移6π个单位长度 B ．纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移12π个单位长度C ．纵坐标不变，横坐标变成原来的12，然后再向左平移6π个单位长度D ．纵坐标不变，横坐标变成原来的12，然后再向左平移12π个单位长度【答案】D 【分析】有函数的平移伸缩变换的性质选出即可. 【详解】由sin y x =将各点横坐标变成原来的12得到sin 2y x =. 再向左平移12π个单位长度变换得到sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：D.2．（2021·河南焦作市·高一月考）若要得到一个关于原点对称的函数图像，可以将函数)24x y π=+的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向左平移2π个单位长度 C ．向右平移4π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度【答案】B 【分析】由给定函数按各选项指定的变换进行处理，再分析所得函数的性质即可得解. 【详解】对于A ，得到的函数为13()])24428x y x πππ=++=+，不是奇函数，图象关于原点不对称，A 错误；对于B ，得到的函数为1()]cos()224222x xy x πππ=++=+=，是奇函数，图象关于原点对称，B 正确；对于C ，得到的函数为1()])24428x y x πππ=-+=+，不是奇函数，图象关于原点不对称，C 错误；对于D ，得到的函数为1()]2242xy x ππ=-+=，不是奇函数，图象关于原点不对称，D 错误； 故选：B3．（2021·河南商丘市·高二月考（理））将函数()cos f x x π=图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移13个单位长度，得到()g x 的图象，则()2021g =（ ）A ．12-B ．C ．12D ．2【答案】C 【分析】由图像伸缩平移变换知，()1cos[()]cos()2326g x x x πππ=-=-，将2021x =代入即可求得结果.【详解】由图像伸缩平移变换知，()1cos[()]cos()2326g x x x πππ=-=-， 则()202112021cos()262g ππ=-= 故选：C4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（ ） A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】C 【分析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， 所以22Tπ=，可得2T ππω==， 所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+， 因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心， 所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=， 所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 对于A ：将2cos2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误； 对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确. 故选：C5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，22ππϕ-<<）的最小正周期是π，将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数()y g x =图象过点()0,2P ，则关于函数()g x 的说法不正确的是（ ） A ．2x π=-是函数()g x 一条对称轴B ．5,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 一个对称中心 C ．()g x 在区间3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 【答案】D 【分析】根据条件求出ω、ϕ，然后可得()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，然后逐一判断每个选项即可. 【详解】2ω=，()f x 向左平移3π个单位长度后所得到的函数是()22sin 23x x g πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 其中图象过()0,2P ，所以2sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因为22ππϕ-<<，6πϕ=-，所以()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 因为()2cos 22g ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，所以2x π=-是函数()g x 一条对称轴，故A 正确 因为552cos 042g ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以5,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()g x 一个对称中心，故B 正确当3,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()23,2x ππ∈--，所以()g x 在区间3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确 当,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()g x 在区间3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上不单调递减，故D错误 故选：D二、多选题6．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）为得到函数cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将cos 2y x =的图象（ ）A ．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移6π个单位长度 B ．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移3π个单位长度C ．先向右平移6π个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) D ．先向右平移3π个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)【答案】BC 【分析】利用先伸缩再平移或是先平移再伸缩两种变换方法，判断选项. 【详解】如果是先伸缩再平移，那么需先将cos 2y x =横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到cos y x =，再向右平移3π个单位长度，即得cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭如果是先平移再伸缩，需先将cos 2y x =向右6π的单位长度，得到cos 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），即得cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：BC7．（2021·福建高三三模）已知函数()sin (sin )(0)f x x x x ωωωω=>的最小正周期为π，则下列结论中正确的是（ ） A ．()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立 B ．()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上不单调C ．()f x 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恰有1个零点 D ．将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度，所得图像关于原点对称 【答案】AB 【分析】由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用整弦函数的图象和性质，得出结论. 【详解】 解：∵函数1cos 21()sin (sin )2sin 2262x f x x x x x x ωπωωωωω-⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22ππω=，∵1ω=，1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令3x π=，求得3()2f x =为最大值，故有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，故A 正确； 在区间5,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，2,63x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，函数()f x 没有单调性，故B 正确；在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，5172,666x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 有2个零点，故C 错误； 将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度，所得1sin 262y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像关于不原点对称，故D 错误， 故选：AB .8．（2021·广东高三其他模拟）关于函数2()2cos cos 212f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．f (x )在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．f (x )在[0,]π有2个零点D ．f (x )在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值为－1 【答案】AC 【分析】将函数()f x 化成正弦型函数，根据函数的平移关系，可判断A ；利用整体思想结合正弦函数的单调性判断B ；求出函数()f x 的零点，即可判断C ；根据正弦函数的最值，判断D. 【详解】2()2cos cos 212f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭πcos2sin 2)4x x x =++，所以()f x 是由2y x =的图象向左平移8π个单位得到， 选项A 正确；30,,2(,),()2444x x f x ππππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭不具有单调性，选项B 不正确； 由()0f x =，得2(),()428k x k k Z x k Z ππππ+=∈=-∈， 所以()f x 在[0,]π的零点为37,88ππ，选项C 正确； 3,0,2[,]2444x x ππππ⎡⎤∈-+∈-⎢⎥⎣⎦，当32,428x x πππ+=-=-时，()f x 取得最小值为 选项D 不正确. 故选：AC.9．（2021·山东济南市·高三其他模拟）分别对函数sin y x =的图象进行如下变换： ∵先向左平移3π个单位长度，然后将其上各点的横坐标变为原来2倍，得到()y f x =的图象；∵先将其上各点的横坐标变为原来的2倍，然后向左平移3π个单位长度，得到()y g x =的图象，以下结论正确的是（ ） A ．()()f x g x = B ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心 C ．直线43x π=-为函数()g x 图象的一条对称轴 D ．()f x 的图象向右平移3π个单位长度可得()g x 的图象【答案】BCD 【分析】由三角函数平移和伸缩变换原则可求得()(),f x g x ；由解析式不同知A 错误；利用代入检验法，对应正弦函数的性质可确定BC 正确；由左右平移变换后的解析式可知D 正确. 【详解】∵sin y x =向左平移3π个单位长度可得sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；再将横坐标变为原来2倍，得到()1sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；∵sin y x =横坐标变为原来2倍可得1sin2y x =；再向左平移3π个单位长度，得到()11sin sin 2326g x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；对于A ，两函数解析式不同，A 错误； 对于B ，当43x π=时，123x ππ+=且403f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，4,03π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，B 正确； 对于C ，当43x π=-时，1262x ππ+=-，43x π∴=-是()g x 的一条对称轴，C 正确；对于D ，()f x 的图象向右平移3π个单位长度得：1sin 3233f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1sin 26x g x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，D 正确；故选：BCD.10．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）函数()()2sin f x x ωϕ=+(0>ω，ϕπ<)的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()12sin 36x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得图像对应的函数是奇函数 C ．若把()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到图像对应的函数在[],ππ-上是增函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭成立，则a 【答案】AB 【分析】由五点法求解析式可判断A ；利用三角函数的平移变换原则即可判断B ；利用三角函数的平移伸缩变换可判断C ；利用三角函数的单调性以及最值即可判断D. 【详解】解析：由题图，知1732422T πππ=-=， ∵6T π=，∵2163πωπ==.∵()222sin 23f ππϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵2232k ππϕπ+=+(k ∈Z )，即26k πϕπ=-+(k ∈Z )， ∵ϕπ<，∵6πϕ=-，∵()12sin 36x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，故A 正确；把()f x 的图像向左平移2π个单位，所得图像对应的函数解析式为12sin 2sin 3263xy x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，是奇函数，故B 正确：把()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变， 得到图像对应的函数解析式为12sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∵[],x ππ∈-，∵12sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在[],ππ-上不是增函数，故C 错误；,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，令()()332x f f x g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 2sin 2sin 2666x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()12g x ≤≤，所以a 2，故D 错误. 故选：AB.11．（2021·山东省青岛第一中学高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．在ABC 中，sin sin A B <是BC AC <的充要条件 B ．将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象 C ．存在实数x ，使得等式3sin cos 2x x -=成立 D ．在ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC 是钝角三角形 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理，余弦定理，可判断A 、D 的正误；根据图象平移原则，可判断B 的正误；根据辅助角公式及正弦型函数的性质，可判断C 的正误，即可得答案. 【详解】对于A ：由正弦定理可得sin sin BC ACA B=， 因为sin sin A B <，所以BC AC <， 同理，若BC AC <，则有sin sin A B <，所以sin sin A B <是BC AC <的充要条件，故A 正确； 对于B ：将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度， 可得sin 2sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；对于C ：3sin cos 42x x x π⎛⎫-=-≤< ⎪⎝⎭，所以不存在x ，满足3sin cos 2x x -=，故C 错误； 对于D ：在ABC 中,因为222sin sin sin A B C +<，由正弦定理可得222a b c +<，所以222cos 02a b c C ab +-=<，所以,2C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，为钝角，故D 正确.故选：ABD.12．（2021·全国高三其他模拟）将函数f （x ）＝sin （ωx +3π）（ω＞0）的图象向左平移2π个单位长度，若所得图象与原图象关于x 轴对称，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值可能为（ ）A ．2B ．12-C ．12D ．2-【答案】BC 【分析】先算出ω的可能取值，即可进一步计算 【详解】将函数f （x ）＝sin （ωx +3π）（ω＞0）的图象向左平移2π个单位长度后得()sin[()]23g x x ππω=++因为所得图象与原图象关于x 轴对称()()f x g x ∴=-，即ωx +3π= ()(21)23x k ππωπ++++(21)422k k πωπω∴=+⇒=+∴51sin sin()sin 44323642f k f ππωππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=±∴= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭或12- 故选：BC13．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()f x 的一个单调递增区间是,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的图象向左平移3π个单位，所得函数()g x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．,66x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，若322x f m f π⎛⎫⎛⎫-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，则m 的最大值为12【答案】ACD 【分析】A ．根据函数图象先确定出周期T ，由此求解出ω的值，再根据最高点坐标求解出ϕ的值，由此求解出()f x 的解析式；B ．采用整体代入的方法判断,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是否是一个单调递增区间； C ．根据图象平移先求解出()g x 的解析式，然后根据2g π⎛⎫⎪⎝⎭的值是否为零进行判断；D ．将问题转化为“,66x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，sin 33m x π⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭很成立”，先求解出sin 33x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值，即可求解出m 的取值范围.【详解】 A ．由图象可知35346124T πππ=-=，所以2T ππω==，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又因为112f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以πsin φ16，所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,3k k Z πϕπ=+∈且2πϕ≤，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故正确；B ．当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，22,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为sin y x =在2,32ππ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,23ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增， 所以,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是()f x 的一个单调递增区间，故错误； C ．由题意可知()()sin 2sin 2sin 2333g x f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又因为sin 02g ππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以()g x 的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故正确； D ．因为322x f m f π⎛⎫⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 332m x π⎛⎫≤++⎪⎝⎭， 即“,66x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，sin 33m x π⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭很成立”， 因为,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以53,366x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以min1sin 3sin 362x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以122m ≤-+，即12m ≤，所以m 的最大值为12，故正确.三、填空题14．（2021·全国高三其他模拟）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间[]0,π 上的单调递减区间是 ___________.【答案】7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出函数()g x 的解析式，再求函数()y g x =在区间[]0,π上的单调递减区间． 【详解】由题得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=+=+,因为70,2333x x ππππ≤≤∴≤+≤， 因为sin y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故由32232x πππ≤+≤，得71212x ππ≤≤ 所以()g x 在区间[]0,π 上的单调递减区间是7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 故答案为：7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题15．（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知函数()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()()2sin cos 2g x x x x =--．(1)若()f x 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移23π个单位，得到的图象在[],αα-上单调递增6πα⎛⎫>⎪⎝⎭，求α的最大值； (2)若函数()g x 在[]0,π内恰有3个零点，求a 的取值范围． 【答案】(1)5π/6 ；(2)（2,3√2/2）．(1) 把函数()f x 通过图像变换变为1sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据已知单调区间求α的最大值；(2) 利用函数1y t t=+(t ⎡∈-⎣)和t X =(5,44X ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的图象进行分类讨论来解决函数零点问题. 【详解】(1) ()f x 图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移23π个单位得到函数121sin sin 234212y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为[],x αα∈-，所以111,212212212x πππαα⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦， 因为6πα>，所以110,0212212ππαα--<->， 又因为得到的图象在[],αα-上单调递增，所以1212212122ππαππα⎧--≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解566ππα<≤，所以α的最大值为56π.(2) ()2sin cos sin 22sin cos (sin cos )24g x x x x x x a x x π⎛⎫=-+-=-++- ⎪⎝⎭，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，t ⎡∈-⎣， 所以21y t at =-+-，t ⎡∈-⎣，令210y t at =-+-=，显然0t =不是其方程的解，所以得1a t t=+，t ⎡∈-⎣，画出函数1y t t=+和函数4t X X x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象，如下图，则当2a ≤-时，对应的()1,0t ∈-，而当()1,0t ∈-时，对应的X 只有一个解，不满足题意；当22a -<<时，此时没有t 的值对应，所以此时无解，不满足题意； 当2a =时，对应的1t =，而当1t =时，对应的X 有两个解，不满足题意；当2a =时，对应的12t =，1t =X 只有两个解，不满足题意；当22a <<12t t +=，得t =2t = ，此时对应的12t ⎫∈⎪⎪⎣⎭，(2t ∈，而当对应的1,12t ⎫∈⎪⎪⎣⎭时，对应一个X 的值，而当(2t ∈时对应两个X 的值，所以此时有三个解，满足题意；当a ≥0,2t ⎛ ⎝⎭∈，而此时t 对应的X 只有一个解，不满足题意；故a 的取值范围为⎛ ⎝⎭.【点睛】函数零点个数的判断方法： (1)直接求函数的零点；(2)利用零点存在性定理，再结合函数的单调性确定零点个数； (3)数形结合法：利用函数图象的交点个数判断.。
2017-2018学年高中数学专题03破译三角函数图像变换问题特色专题训练新人教A版必修4
12专题03破译三角函数图像变换问题、单选题1.【湖北省咸宁市2018届高三重点高中11月联考】若函数f x =cos2x ， g x ]=sin j 2x -石【答案】【解析】/(+COS 2JC :+sin I 2x —— =cos2x4JT曲线 严 列乂）向左平移壬个单位长度后的解折式为:6本题选择E 选项.2•【山西省芮城中学 2018届高三期中】函数 f （x ） = Asin （G0x + W ）（其中A A O ，申 <:丄）的图象过点2,0 ,—, -1，如图所示，为了得到 g x ；=cos2x 的图象，则只要将 f x 的图象（）312曲线B .曲线y 二g x 向左平移 C .曲线 y = f x 向右平移 D .曲线 丄个单位长度后得到曲线6■JT个单位长度后得到曲线6—个单位长度后得到曲线12—个单位长度后得到曲线126丿即/(x )+^(x) =A. 向右平移二个单位长度6B. 向右平移个单位长度1233【答案】D+ 卩= --- 2A H (A:E Z) — +2lac(k e Z) 23It和八、 .K-(P — — > J (x) = SID I 2x4-—C.向左平移'个单位长度 6D.向左平移个单位长度12【解析】12 3TSJD3it71 1C — cos2x — sin 2无+—2 3二肚2 "12点睛：已知函数 y=Asi nicx 」‘LB （A -0,八＞0）的图象求解析式 (1)y max — y min y max yminA, B =一 2由函数的周期T 求co ,T = 利用“五点法”中相对应的特殊点求:.【广东省执信中学 2017-2018学年高二上学期期中】将函数 y=Sin j 2x ' 的图象向右平移 一个单位2长度，所得图象对应的函数■: 7 二■: 7 二A 在区间［,］上单调递减B 在区间［,］上单调递增12 12 12 12J ［ JEJ ［ J ［C.在区间^-,-］上单调递减D在区间［wy 上单调递增【答案】B兀【解析】将函数向右平移个单位长度得:((y =sin 2 x 一一J T(二 sin I 2x- 3 ，所以当7 2 二二二时，2x ，—12 3IL 2 24 •【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测】把函数.的图象上个点的横坐标缩短到原61 TI来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为23A B.c D (%)4【答案】D【解析】根据题意函数尸血时勺）的图象上个点的横坐标缩短到原来的k纵坐标不知，可得厂血伍昇6 2I创再将團象向右平移*单位，可得：V J sin|2 （x）+ -] = sin —）- ~cos2x^3 3 6 22K ■- + kn*2可得：x«- + -kn, kE疋"4 2当k・0时，可得对称中点为（：0）.4故选ZZf x二cosi2x • 的图象，只需将函数I 6丿g x 二sin2x 的图象（）A向左平移一个单位6C. 向左平移二个单位3【答案】A B向右平移一个单位6D向右平移少个单位3，所以函数单调递增，故选 B.125.【山东省莱芜市2018届高三上学期期中】要得到函数f x i = sin 「x ■ ' （其中）的图象如图2所示，为了得到 y 二cos 「x 的图象，只需把 y 二f x 的图象上所有点（）【解析】g x 二 sin2x =cos所以向左平移n 二26 个单位，选A2 66 •【辽宁省沈阳市交联体2018届高三上学期期中】函数C.向左平移二个单位长度6【答案】AT 7 7T更jr 【解析】根据函数的^m-=—4 122九"所以：T^JL9<D=——=2>当沪彳时，函数fyr jr即：/ ( —) =sin (2x — +<p) =0.解得所以:f (x) =sin( 2x+ —).要得到y=cos2x的图象只需将函数 f (x) =sin(2x< )向左平移.个单位长度,3 12n 兀即y=sin (2x+ + ) =cos2x.6 3故选：A.点睛：已知函数y=Asi n[cx」‘LB(A 0^ 0)的图象求解析式(1 )2■:人=涯沁，ymin.(2)由函数的周期T求,T =2 2 ⑷利用“五点法”中相对应的特殊点求:.【豫西南部分示范性高中2017-2018年高三年级第一学期联考】已知函数f X =sin 2x，为得到B.向右平移.个单位长度12D.向右平移二个单位长度6A向左平移.个单位长度123A 向左平移二个单位长度 B.向左平移.个单位长度612C.向右平移二个单位长度D.向右平移二个单位长度612【答案】A【解析】函数 g x 二 cosi2x sin ；2xsin 12x —• I 6丿 126丿 J 3丿函数f （x ）=s in ”2x +工1= sin |2 " x +丄1+》=sin " 2x +2兀】=g （ x ），是向左平移了工个单位长 2 V 3丿 [16丿3 一 V 3丿“丿 6度。
高三数学函数图像试题答案及解析
高三数学函数图像试题答案及解析1.函数y＝＋sinx的图象大致是()【答案】C【解析】函数y＝＋sinx为奇函数，图象关于原点对称，排除B.在同一坐标系下作出函数f(x)＝，f(x)＝－sinx的图象，由图象可知函数y＝＋sinx只有一个零点0且当x>0时f(x)>0，∴选C.2.设函数f(x)＝x＋的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)．(1)求g(x)的解析式；(2)若直线y＝m与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标．【答案】（1）g(x)＝x－2＋.（2）当m＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．【解析】解：(1)设点P(x，y)是C2上的任意一点，则P(x，y)关于点A(2,1)对称的点为P′(4－x,2－y)，代入f(x)＝x＋，可得2－y＝4－x＋，即y＝x－2＋，∴g(x)＝x－2＋.(2)由消去y得x2－(m＋6)x＋4m＋9＝0，Δ＝[－(m＋6)]2－4(4m＋9)，∵直线y＝m与C2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m＝0或m＝4.当m＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．3.函数f(x)＝图像的对称中心为________．【答案】(0,1)【解析】f(x)＝＝1＋，把函数y＝的图像向上平移1个单位，即得函数f(x)的图像．由y ＝的对称中心为(0,0)，可得平移后的f(x)图像的对称中心为(0,1)．4.已知函数f(x)＝x1，x2，x3，x4，x5是方程f(x)＝m的五个不等的实数根，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围是()A．(0，π)B．(－π，π)C．(lg π，1)D．(π，10)【答案】D【解析】函数f(x)的图象如图所示，结合图象可得x1＋x2＝－π，x3＋x4＝π，若f(x)＝m有5个不等的实数根，需lg π<lg x5<1，得π<x5<10，又由函数f(x)在[－π，π]上对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝0，故x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围为(π，10)．5.如图：正方体的棱长为，分别是棱的中点，点是的动点，，过点、直线的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为，则函数的大致图像是（）【答案】C【解析】由题意可得下面那部分的是一个高为AB的三棱柱或四棱柱，当时.所以函数在大致图像是C、D选项.当时，令.所以上面的体积为.所以下面体积.所以函数的图象大致为C所示.故选C.【考点】1.空间几何.2.函数及图象.3.函数与立几交汇.6.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变【答案】D【解析】将中的换成便得，所以把函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，便得到函数的图象.选D.【考点】函数图象的变换.7.已知函数。
高三数学三角函数综合试题答案及解析
高三数学三角函数综合试题答案及解析1.设函数f(x)=Asin(ωx+)(其中A>0,ω>0,-π<≤π)在x=处取得最大值2,其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=的值域.【答案】(1) f(x)=2sin(2x+) (2) [1, ]∪(,]【解析】解:(1)由题设条件知f(x)的周期T=π,即=π,解得ω=2.因为f(x)在x=处取得最大值2,所以A=2,从而sin(2×+)=1,所以2×+=+2kπ,k∈Z.又由-π<≤π,得=.故f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+).(2)g(x)====cos2x+1(cos2x≠).因为cos2x∈[0,1],且cos2x≠,故g(x)的值域为[1,]∪(,].2.已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）可直接将角代入求值，也可先用正弦、余弦二倍角公式和化一公式将此函数化简为正弦型函数，再代入角求值。
（Ⅱ）根据的范围先求整体角的范围，再根据三角函数图像求其值域。
试题解析：解：（Ⅰ）由，得．所以． 8分（Ⅱ）因为，所以．当，即时，函数在区间上的最大值为．当，即时，函数在上的最小值为． 13分【考点】用二倍角公式、化一公式化简三角函数，考查三角函数图像。
3.已知，，则x= .（结果用反三角函数表示）【答案】【解析】本题关键是注意反三角函数值的取值范围，适当利用诱导公式，，，而，故，即．【考点】反正弦函数．4.函数的定义域为．【答案】【解析】函数的定义域是使函数式有意义的自变量的取值集合，当然我们要记住基本初等函数本身的定义域要求，如反正弦函数的定义域是，因此本题中有．【考点】反正弦函数的定义域．5.函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】过作的垂线，垂足为，∵，，，，，，∴.【考点】1.三角函数的周期；2.两角和的正切公式.6.已知以角为钝角的的三角形内角的对边分别为、、，，且与垂直．（1）求角的大小；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2）．【解析】（1）观察要求的结论，易知要列出的边角之间的关系，题中只有与垂直提供的等量关系是，即，这正是我们需要的边角关系．因为要求角，故把等式中的边化为角，我们用正弦定理，，，代入上述等式得，得出，从而可求出角；（2）要求的范围，式子中有两个角不太好计算，可以先把两个角化为一个角，由（1），从而，再所其化为一个三角函数（这是解三角函数问题常用方法），下面只要注意这个范围即可．试题解析：1）∵垂直，∴（2分）由正弦定理得（4分）∵，∴，（6分）又∵∠B是钝角，∴∠B（7分）（2）（3分）由（1）知A∈（0，），, （4分），（6分）∴的取值范围是（7分）【考点】（1）向量的垂直，正弦定理；（2）三角函数的值域．7.已知，且，设，的图象相邻两对称轴之间的距离等于．（1）求函数的解析式；（2）在△ABC中，分别为角的对边，，，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）运用向量的数量积，二倍角、辅助角公式把函数变成的形式，利用的图象相邻两对称轴之间的距离等于，再求出，从而得到；（2）用代替函数中的，求出，再利用三角形的面积公式，均值不等式求出面积的最大值，注意、何时能取得最大值.试题解析：（1）=依题意：，∴．（2）∵，∴，又，∴．，当且仅当等号成立，所以面积最大值为.【考点】向量的数量积，二倍角、辅助角公式，三角形面积，基本不等式.8.函数的最小值和最大值分别为（）A．3，1B．2，2C．3，D．2，【答案】C.【解析】函数，则函数的最大值、最小值分别为.【考点】三角函数运算.9.已知，，则的值为________．【答案】．【解析】由，得，又，则，得.【考点】三角函数运算．10.已知中，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知代入化简得【考点】三角函数的化简11.已知函数（）.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用三角函数公式化简为一个角的三角函数式，易得周期；（2）把x的取值范围代入（1）所求函数的解析式中，可得值域（注意函数的单调性）.试题解析：(1)(4分)的最小正周期为； (6分)(2)由(1)知,在区间上单调递增,在区间上单调递减; (10分); (12分)又,;所以函数在区间上的值域是 (15分)【考点】1、和差化积公式及二倍角公式；2三角函数的单调性及值域.12.如图，已知点，，点为坐标原点，点在第二象限，且，记.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用三角函数的定义求出和的值，然后利用二倍角公式求出的值；（2）先在中利用余弦定理求出的值，求出，再由面积公式求出的面积.试题解析：（1）由三角函数定义得，，；（2），且，，由余弦定理得，，所以，设点的坐标为，则，.【考点】1.三角函数的定义；2.二倍角公式；3.余弦定理；4.两角和的正弦公式；5.三角形的面积13.函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数【答案】C【解析】根据诱导公式将函数化简为，于是可判断其为最小正周期为的偶函数.【考点】本小题主要考查诱导公式、三角函数的奇偶性14.设函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，求实数的值，使函数的值域恰为并求此时在上的对称中心.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将降次化一，可化为的形式，由此即可求得其周期.（2）在（1）中得，当时，可以得到.又，所以.这样.令，得，从而得对称中心为.试题解析：（1）∴函数的最小正周期T=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学三角函数图象变换试题 1. 把函数的图象向右平移3个单位后，得到函数的图象，则函数的解析式为 ． 【答案】 【解析】∵函数的图象向右平移3个单位，∴. 【考点】三角函数图象的平移.
2. 为了得到函数y=sin（2x-）的图象，只需把函数y= sin2x的图象 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D 【解析】因为，所以只需将函数的图像向右平移各单位即
可得到函数的图象。故D正确。 【考点】三角函数伸缩平移变换。
3. 函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函 数在上的最小值为( ) A． B． C． D．
【答案】A 【解析】函数向左平移个单位得，又其为奇函
数，故则，，解得，又，令，得，∴，又∵，∴，即当时，，故选． 【考点】三角函数图象平移、最值.
4. 已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于的说法正确的是( ) A．图象关于点中心对称 B．图象关于轴对称
C．在区间单调递增 D．在单调递减
【答案】C 【解析】函数向左平移个单位后，得到函数即
令，得，不正确； 令，得，不正确； 由，得 即函数的增区间为减区间为 故选. 【考点】三角函数图象的平移，三角函数的图象和性质.
5. 定义行列式运算＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 ( )． A． B． C． D．
【答案】B 【解析】根据行列式的定义可知f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，向左平移
个单位得到g(x)＝2sin＝2sin 2x，所以g＝2sin＝2sin π＝0，所以是函数的一个对称中心，选B.
6. 将函数（）的图像分别向左平移（）个单位，向右平移（）个单位，所得到的两个图像都与函数的图像重合，则 的最小值为（ ） A． B． C． D．
【答案】C 【解析】利用图象变换的结论，函数（）的图像分别向左平移（）个单位，得函数的图象，向右平移（）个单位，得函数
的图象，它们都与与函数的图像重合，则最小的应该
为，，从而．选C． 【考点】图象的平移与诱导公式．
7. 设向量，函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求使不等式成立的的取值集合．
【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）本题用向量给出条件，因此首先我们把求出来，利用向量的数量积运算，可得，然后我们三角函数化为的形式，再利用正弦函数的性质解题，在变形过程中，注意使．在都大于0的情况下，的单调增区间只要解不等式即得．（2）不等
式是一个三角不等式，因，同样只要利用余弦函数的性质即可． 试题解析：(1) . 5′ 由，得，
∴的单调递增区间为. 8′ (2) 由，得. 由，得，则， 即. ∴使不等式成立的的取值集合为. 14′ 【考点】（1）向量的数量积与三角函数的单调性；（2）复合函数的导数与余弦函数的性质．
8. 将函数的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于（ ） A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B 【解析】当时，将函数的图象向左平移个单位，得
与原函数相同.当时，将函数的图象向左平移个单位，得与原函数不相同.故选B. 【考点】三角函数的变换及图象的变换.
9. 设函数,的图象关于直线对称，其中为常数，且． (1)求函数的最小正周期； (2)若的图象经过点，求函数在上的值域．
【答案】(1)最小正周期是； (2) [－1－，2－]. 【解析】(1) 利用倍角公式将函数化为一角一函数形式，根据正弦函数的图象和性质求解；(2)求出，将函数具体化，然后利用正弦函数的特征解答. 试题解析：(1)因为＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin
(2ωx－)＋λ， 由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得 sin (2ωπ－)＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋ (k∈Z)，即ω＝＋ (k∈Z)． 又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y＝f(x)的图象过点(，0)，得f()＝0， 即λ＝－2sin (×－)＝－2sin＝－， 即λ＝－. 故f(x)＝2sin (x－)－， 函数f(x)的值域为[－1－，2－]． 【考点】倍角公式、正弦函数的图象和性质、函数值域.
10. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】D 【解析】由于，所以，为了得到函数的图像，只需将函数
的图像，向左平移个单位，选D. 【考点】三角函数图像的平移
11. 将函数y＝f(x)·sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是 ( )． A．sinx B．cosx C．2sinx D．2cosx
【答案】D 【解析】将函数y＝f(x)·sin x的图象向右平移个单位得,再作关于x轴的
对称变换得，，即，令则，所以，，故f(x)可以是2cos x，选D. 【考点】三角函数图象平移变换、二倍角公式.
12. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
【答案】B 【解析】∵，∴只需把函数的图象向
右平移个单位，选B. 【考点】三角函数的图象.
13. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A． B． C． D．
【答案】C 【解析】
，故选C. 【考点】三角函数图象变换
14. 如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数.在下列函数中，能与构成“互为生成”函数的有________.
A． B．
C． D．
【答案】BC 【解析】 ，，需要周期变换才能得到
；与一样，图象经过平移后能够与重合；，需要振幅变换才能得到. 【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数图像的平移变换.
15. 函数的图象如图所示，则函数的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D 【解析】由函数图象可知其周期，所以，由最高点和最低点坐标知，根
据“五点作图法”知当时，，即，解得，所以，选D. 【考点】函数的图象与性质.
16. 函数的部分图像如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为________． 【答案】 【解析】，得周期，于是，图象易知，根据五点作图法有，解得，所以，将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为
【考点】函数的图象与性质. 17. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象( ) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B 【解析】将函数向右平移个单位长度得
；将函数向右平移个单位长度得 ；将函数向左平移个单位长度得 ；将函数向左平移个单位长度得 【考点】三角函数图像平移 点评：三角函数向左平移个单位得 向右平移个单位得
18. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位 C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
【答案】A 【解析】因为，=，所以，为了得到函数的图象，可以将函
数的图象，向右平移个长度单位，选A。 【考点】正弦型函数的图象变换。 点评：简单题，函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”。 19. 将函数的图像按向量平移，得到函数，那么函数可以是（ ） A． B． C． D．
【答案】B 【解析】函数的图像，按向量
平移，即将图象右移得到， 再将图象上移1得到，且，所以，
=，故选B。 【考点】函数图象变换，平移，三角函数诱导公式、和差倍半公式。
点评：中档题，关键是理解按向量平移，是函数式发生的变化。
20. 把函数的图像上的每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位后得到一个最小正周期为的奇函数。 （1）求和的值 （2）求函数的最大值与最小值。
【答案】（1），（2） 【解析】（1）将函数的图像上的每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位后得到：。
由是最小正周期为的奇函数得且。又所以。 （2）由（1）知，所以。 ， 【考点】三角函数图像的平移伸缩变化及三角函数求最值 点评：中A与y轴上的伸缩有关，B与y轴上的平移有关，与x轴上的伸缩有关，与x轴上的平移有关，求三角函数最值先要将其整理为的形式，再结合定义域可求得值域最值
21. 已知函数, 其中 ，其中若相邻两对称轴间的距离不小于 （1）求的取值范围； （2）在中，、、分别是角A、B、C的对边，，当最大时，求的面积.
【答案】（1）. （2）.
【解析】（1） .