浅谈最大熵原理和统计物理学
熵的物理意义及其重要性质
熵也增加．
△Ｓ＝ ｄＱ ＋△ Ｔ
气 体 在 可 逆 等 温 压 缩 时 ， 混 乱 程 度 减 小（ 体 积 减 小 ， 温
度不变） 所以熵值减小．
３．３ 在粒子数和体积不变时， 给气体加热， 温度升高． 由于
温度升高， 即分子运动速度混乱程度增加了， 这可用麦克斯
韦速率分布曲线定性说明：
" # 由△Ｎ＝Ｎ·４+·
法， 使学生感受到其它一些课程之中没有感受到的尊重， 大 大提高了学习的兴趣， 端正了学习态度， 消除了师生之间的 距离感． ２．４ 使学生得到比较全面的发展． 由 于 学 生 在 整 个 实 验 课 程的学习中采用了三种不同的教学方法， 三种方法都对学 生所需达到的认知、情感、技能等方面目标有针对性地施 教， 使得学生所学到的东西同传统的教学理论形式下所学 的相比更为全面． 这也是符合教学的基本原则的．
（ ５）
此式说明， 熵在可逆的绝热过程中其值不变； 在不可逆
的绝热过程中， 熵值增加． 此规律可以应用于孤立系统． 因
为孤立系统中进行的过程都是绝热过程， 所以孤立系统中
自发的过程， 都是向着熵增加的方向进行．
在绝热过程中， 如果熵变化， 其值就要增加， 不可能减
少． 当达到平衡态时， 熵取确定的数值而不再变化， 即取最
据此可见， Ｓ 是个态函数， 因其由热力学第二定律推出，
应具有该定律所要求的性质． 我们把 Ｓ 称为熵． 则公式（ ４）
作为热力学第二定律的最普遍的表达式．
２ 熵的物理意义及几个重要性质的讨论
２．１ 熵具有第二定律所要求的第一个性质
根据公式（ ４） ， 当在绝热过程中时， ｄＱ＝０，所以直接得到
ｄｓ≥０
Ｆ＝Ｕ－ ＴＳ
熵增原理的具体应用
熵增原理的具体应用熵增原理（热力学第二定律）是指孤立系统总熵必然增加，不可能减少的自然法则。
熵增原理在热力学、统计物理学、信息论和其他领域都有广泛的应用。
以下是熵增原理在不同领域的具体应用：1.热力学与能量转化：熵增原理告诉我们，任何能量转化过程都会伴随着熵的增加。
例如，热量从高温物体传递到低温物体，系统的总熵将增加。
这也可以解释为什么热机效率不可能达到100%的原因。
对于能量的转化，我们可以利用熵增原理来优化能源利用。
例如，在能源系统中，通过降低热损失和最大程度地利用废热来提高能效。
2.化学反应平衡：熵增原理可以解释化学反应平衡的方向。
当一个化学反应达到平衡时，系统的总熵达到最大值。
根据熵增原理，反应过程中产生的混乱程度（熵增加）会影响反应的方向。
通过控制温度、压力和反应物浓度等条件，可以实现对化学反应平衡位置的调节。
3.生物系统和进化：熵增原理可应用于生物系统的研究。
在生物学中，熵增可以解释为生物体对有序能量的转化为无序热能的过程。
生物体维持自身存在和生存需要大量能量输入，同时也会释放热量。
熵增原理可以用来分析和优化生物能量利用及其生态效率。
4.统计物理和概率：熵增原理与统计物理中的微观态和宏观态的转化有关。
根据统计物理的观点，热力学宏观描述的规律可以从微观角度解释。
熵增原理描述了由微观状态过渡到宏观状态时，系统的熵始终增加，即系统的微观状态趋向于更多的可能性。
在概率论中，熵增也可以解释为信息的平均不确定度的增加，与信息论中的熵的概念有关。
5.环境保护和可持续发展：熵增原理对环境保护和可持续发展的研究具有重要意义。
环境系统是一个复杂的开放系统，其熵的增加通常伴随着能量消耗和资源消耗。
熵增原理提醒我们必须在能源利用和资源管理中考虑系统熵的增加，以减少对环境的负面影响。
总之，熵增原理是自然界广泛存在的普适法则，可以应用于各个学科领域，包括热力学、化学、生物学、统计物理、信息论等。
熵增原理的应用不仅使我们更好地理解自然界的现象和过程，也为我们提供了优化系统和提高能量效率的指导原则。
非平衡统计物理
统足够小，但是又大到足以作为热力学系统看待。热力学量在每个小系统里只有微小的变化， 因此可以看作是均一的，但是在不同的小系统之间热力学量的值有较大的变化。
局域子系统的特征尺寸 的大小选取可以根据子系统内粒子数目 N N /V 3 的相对
涨落非常小 N / N 1 的原则。一个局域子系统会有能量和物质的输运。作用在局域子系 统上的非平衡效应的梯度引起的变化应该小于平衡涨落，即对于热力学量 A ，外部梯度在 距离内引起的变化 A 要小于 A 的平衡涨落 Aeq ：
。
4.2. 亲和力与流
推动热力学系统产生非平衡的不可逆过程的热力学量称为广义力或者亲和力 （affinities），对亲和力产生的系统响应称为流（fluxes）。
以只包含两个子系统的热力学系统为例。假设一个广延量 Xi 在两个子系统中的取值分
别为
X
1
i
和
X
2
i
，则
X
1
i
X
i
2
Xi
const.
(4.7)
i
其中 Fi 是与 X i 共轭的强度量，满足状态方程
Fi
S X i
(4.4)
例如，对于无化学反应的平衡态混合液体，熵表达为
S S U ,V , N
(4.5)
对应的吉布斯关系为
dS 1 dU P dV
T
T
i
i T
dNi
(4.6)
1
和
U
,V
,
Ni
共轭的强度量分别为
1 T
, P , i TT
Ji
dX
1
i
dt
亲和力为零时共轭的流为零，不为零的亲和力导致共轭的流不为零。
大学物理第 13 章 第 5 次课 -- 熵变的计算 熵增加原理
由能量守恒得: 高温水放出的热量等于低温水吸收的热量
0.30 c p (T1 T ' ) 0.70 c p (T ' T2 )
即
解得
0.30 c p (363K T ' ) 0.70 c p (T ' 293K)
T ' 314K
上海师范大学
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§13.7
熵 熵增加原理
三、计算题 60分, 5小题, 每小题12分: 每章一题
关于期终成绩
一、平时成绩 占30%: 包括上课纪律, 考勤, 作业和期中考试成绩; 二、期终考试成绩占70%
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dS dQ T
*B
o
V
由上两式可以(只能)计算在一个热力学过程中熵的变化. 注意如下二点: (1) 熵是态函数, 当始末两平衡态确定后, 系统的熵变也是确定的, 与过程
无关. 因此, 可在两平衡态之间假设任一可逆过程, 从而可计算熵变 .
(2) 当系统分为几个部分时, 各部分的熵变之和等于整个系统的熵变 .
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§13.7
熵 熵增加原理
高低温水的混合过程是不可逆的过程, 熵是增加的; 热传递过程是不可逆的过程, 熵是增加的.
将上述结论推广到一般情况, 可以得到如下的原理.
三、熵增加原理：孤立系统中的熵永不减少.
S 0
孤立系统不可逆过程 孤立系统可逆过程
S 0 S 0
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§13.7
熵 熵增加原理
例1 计算不同温度液体混合后的熵变 . 质量为0.30 kg、温度为900C 的水,
与质量为 0.70 kg、 温度为200C 的水混合后，最后达到平衡状态. 试求水的熵
热力学第二定律熵增原理
热力学第二定律熵增原理熵增原理是热力学中的一个重要概念，它描述了系统自发变化的方向。
熵增原理是热力学第二定律的基础之一，对于理解自然界中许多现象和过程具有重要的意义。
热力学熵的概念最早由德国物理学家鲁道夫·克劳修斯于19世纪中叶提出。
熵可以将系统的混乱程度、无序程度或者信息量等概念量化。
熵增原理指出，封闭系统的熵在自发过程中总是增加的，系统的状态趋向于更加混乱的方向发展。
这一原理揭示了自然界中过程的不可逆性，也成为热力学第二定律的重要内容。
熵的定义是系统的热力学状态函数，可以用统计物理学中的微观参数来描述。
在宏观尺度上，熵可以理解为系统的有序程度。
熵增原理以数学方式定量地描述了熵的增加趋势，即在自发过程中，系统的熵增加是正的。
这也就意味着，系统会向着更有序度低、更无序度高的状态发展。
熵增原理不仅仅适用于封闭系统，对于开放系统也有普适性。
开放系统指与外界进行能量和物质交换的系统，如生物体、地球等。
在开放系统中，熵增原理告诉我们，系统与外界的能量和物质交换会导致系统的熵增加，系统自身的有序度会减小。
熵增原理在自然界的许多现象和过程中都发挥着重要的作用。
例如，当我们把一块人体温度较高的金属放在室温下，金属的温度会逐渐降低直到与室温相等。
这个过程中，金属释放热量给了周围的环境并增加了环境的熵。
熵增原理告诉我们，能量自发地从高温的金属转移至低温的环境，并使得系统的熵增加。
熵增原理还可以用来解释一些生物学的现象和过程。
生物体是开放系统，与外界进行能量和物质交换。
例如，人体新陈代谢时产生的废物会通过呼吸、尿液等方式排出体外并与环境发生交换。
这个过程中，熵增原理告诉我们，废物携带了一定的能量和物质，进入环境后增加了环境的熵，使得环境更加无序。
熵增原理对于工程领域也有重要的应用。
例如，在能源转换过程中，能量的转化会伴随着能量的不可逆性损失，熵增原理告诉我们，能量转换的效率是有限的，总会伴随着一定的能量损耗和熵增加。
熵
熵的简介熵的概念最初是由R.J.克劳修斯在19世纪中叶建立的，1870年，玻耳兹曼给出了熵的统计解释，并确立了公式S=klnW 。
近40年来，熵的概念有了迅速而广泛的发展。
在天体物理中，黑洞的熵与面积这样的几何概念有联系；在信息论中，信息的熵与信息量的概念有联系，并且出现负熵的概念；在生物学中，生命现象也与熵有着密切关系。
热力学熵克劳修斯1865年在《关于热的动力理论的主要公式的各种应用上的方便的形式》一文提出了熵的概念。
并根据克劳修斯定理0C dQ T =⎰ ，从而定义了一个相当于保守力的状态量S 满足ds dQT =可逆，并称其为熵。
可推出∆S S S dQ T f i f R i=-=⎰，其中R 是以i 、f 为初、末态的任一可逆过程。
若R 不可逆时，则iR f f i dQ S S S T ∆=-≥⎰。
当系统绝热的情况时即0dQ T =，则0f i S S S ∆=-≥，此就是熵增原理。
统计物理的熵波尔兹曼熵公式：ln S k P =，其中P 为热力学几率，k =1.38×10-23J ·K -1是玻尔兹曼常数。
在热学中，一个孤立系统总是自发地趋于平衡态。
用统计物理的观点讲，系统的状态总是自发地趋于最可几态，或趋于热力学几率最大的状态，系统处在平衡态的熵最大。
另外我们知道，熵具有可加性，而几率具有可乘性。
由此猜测两者满足这样的公式。
这个公式给出了熵的统计意义，解释了熵的微观本质。
所谓熵，是反映一个系统宏观态所具有的微观态数目或热力学几率的量。
热力学几率愈大，表示系统处于的状态愈混乱无序，熵是系统无序程度的量度。
另外统计熵和热力学熵是一致的。
信息熵1948年现代信息论创始人美国工程师香农把波尔兹曼定义的熵引入信息论中，提出如果一个信息源中某种信号出现的概念是i p ，那么它的信息量就是ln i p -。
故香农将信息熵定义为1ln ni i i S c p p ==-∑，其中C 是一个常数，与信息度量单位的选择有关。
高熵 科学假设
"高熵"一词在科学中通常与热力学和统计物理学相关，特别是在描述系统无序度的量度时。
熵是衡量系统混乱程度的一个物理量，它与系统的微观状态的多样性有关。
在热力学第二定律中，熵的增加与自然过程的方向性相关，即系统总是朝着熵增加的方向演化。
当提到“高熵”科学假设时，可能指的是以下几个方面：
1. 熵增原理：在自然过程中，熵总是倾向于增加，这是热力学第二定律的核心内容。
这意味着封闭系统的无序度随时间增加，直到达到最大可能的值。
2. 信息熵：在信息理论中，熵是衡量信息不确定性的一种方式。
高熵的信息意味着有多种可能的排列或组合，因此预测其具体内容较为困难。
3. 宇宙学中的高熵：在宇宙学中，一些理论假设宇宙的初始状态具有非常高的熵，这有助于解释宇宙为何呈现出现在的状态，以及它如何从热力学平衡状态演化而来。
4. 复杂性科学：在复杂性科学中，高熵可能与系统的复杂性和混沌性相关，这些系统具有许多相互作用的部分，其行为难以预测。
5. 统计物理学的熵：在统计物理学中，熵是系统微观状态的混乱程度的量度。
一个具有高熵的系统有许多可能的微观状态，且这些状态相对均匀地分布。
如果说到“高熵科学假设”，可能指的是在某一科学领域中，对于系统状态或过程的一种假设，该假设认为系统处于高熵状态，或者高熵原理在该系统中起着关键作用。
这样的假设通常需要通过实验或观测来验证，并且可能会对理解系统的演化、信息处理、或是其他物理过程提供新的洞见。
统计物理学的基本原理
统计物理学的基本原理统计物理学是研究大量粒子的宏观性质与微观行为之间关系的学科。
它的发展使得我们能够理解和描述物质的性质，特别是在处于热平衡状态下的系统。
本文将探讨统计物理学的基本原理，包括其基本概念、定律及其在物理学和其他领域中的应用。
统计物理学的基本概念统计物理学的核心在于利用概率和统计方法研究微观状态与宏观状态之间的联系。
宏观态是指系统的大规模特性，如温度、压力和体积等，而微观态则是指系统中所有粒子具体的位置和动量。
为了连接这两者，统计物理使用了几种重要的概念。
熵熵是统计物理中一个关键的概念，它可以被视为系统微观状态的不确定性度量。
一个系统的熵越高，代表可用的微观状态越多，系统越混乱。
例如，在热力学第二定律中，孤立系统的熵总是趋向增加，这意味着熵是不可逆的，反映了自然向更高无序状态发展的趋势。
微观状态与宏观状态在统计物理中，一个宏观状态对应着多个可能的微观状态。
例如，一个气体在一定温度和压力下可以通过不同方式实现这些参数。
这些微观状态通过概率分布函数来描述，进一步建立了宏观性质与微观行为之间的联系。
概率分布当涉及到多个粒子时，统计物理依赖于概率分布来描述系统。
最常见的是麦克斯韦-玻尔兹曼（Maxwell-Boltzmann）分布，它描述了气体中分子的速度分布。
此外，还有费米-狄拉克（Fermi-Dirac）分布和玻色-爱因斯坦（Bose-Einstein）分布，用于描述具有不同统计特性的粒子。
统计力学定律统计物理学有几个基础定律，它们帮助我们理解如何从微观行为推导出宏观性质。
这些定律如同热力学定律，提供了一种科学的方法来研究和解释复杂现象。
热力学第一定律热力学第一定律，即能量守恒定律，它说明了能量既不能被创造也不能被摧毁，只能从一种形式转变为另一种形式。
在统计物理中，该定律与系统内粒子的动能和势能有关，强调了内能的变化如何影响系统的行为。
热力学第二定律热力学第二定律引入了熵增加原则，指出在任何孤立系统中，熵总是趋向增加。
统计物理学的基本原理
统计物理学的基本原理统计物理学是研究大量粒子系统的行为和性质的物理学分支。
它基于统计学和概率论的方法，通过对粒子的统计行为进行建模和分析，揭示了微观粒子行为与宏观现象之间的关联。
本文将介绍统计物理学的基本原理，包括热力学、熵、配分函数和统计力学等方面。
热力学与统计物理学热力学是研究能量转化和宏观系统性质的科学。
它通过定义一些宏观量（如温度、压力、体积等）来描述系统状态，并建立了一系列定律（如能量守恒定律、熵增定律等）来描述系统的行为。
然而，热力学无法解释系统内部微观粒子的行为，而统计物理学正是为了弥补这一不足而发展起来的。
统计物理学通过对大量粒子的统计行为进行建模，从微观层面揭示了宏观现象背后的规律。
它将粒子看作是具有一定能量和状态的个体，通过概率论和统计学的方法来描述粒子的分布和相互作用。
通过对粒子的统计行为进行平均，可以得到宏观系统的性质，如温度、压力等。
熵与统计物理学熵是描述系统无序程度的物理量，也是统计物理学中一个重要的概念。
根据热力学第二定律，系统的熵总是趋向于增加，即系统总是朝着更加无序的状态演化。
统计物理学通过对粒子的分布和状态进行统计，可以定量地描述系统的熵。
在统计物理学中，熵可以通过配分函数来计算。
配分函数是描述系统状态的函数，它包含了系统所有可能的微观状态，并与系统的能量和温度相关。
通过对配分函数进行求导和积分，可以得到系统的各种宏观性质，如内能、熵等。
配分函数与统计力学配分函数是统计物理学中一个重要的工具，它用于描述系统的状态和性质。
配分函数包含了系统所有可能的微观状态，并与系统的能量和温度相关。
通过对配分函数进行求导和积分，可以得到系统的各种宏观性质。
在统计力学中，配分函数起到了连接微观和宏观之间的桥梁作用。
通过对配分函数的计算，可以得到系统的平均能量、熵等宏观性质。
同时，配分函数还可以用于计算系统的平衡态和非平衡态下的性质，如相变、相平衡等。
统计力学与量子力学统计力学在量子力学中也有着重要的应用。
最大熵模型知识点总结
最大熵模型知识点总结
最大熵模型（Maximum Entropy Model）是一种统计模型，用于处理分类和回归问题。
这种模型基于信息论中的熵的概念，通过最大化熵来选择最合适的模型。
以下是最大熵模型的一些重要知识点：
1. 熵的概念：熵是信息论中的一个重要概念，用于衡量信息的不确定性。
熵越高，表示信息越不确定；熵越低，表示信息越确定。
2. 最大熵原理：最大熵原理认为，在不缺乏任何先验知识的情况下，应选择熵最大的模型。
这是因为最大熵对未知的事物进行了最少的假设，使得模型具有更好的灵活性和泛化能力。
3. 特征函数：最大熵模型使用特征函数来定义特征。
特征函数是一个将实例映射到特征值（0或1）的函数，用于描述实例与某种事件的关系。
每个特征函数对应一个特征，通过定义一组特征函数，可以构建最大熵模型的特征集。
4. 约束条件：最大熵模型的训练过程是一个求解最优化问题。
为了获得最大熵模型，需要定义一组约束条件。
这些约束条件可以用于限制模型的潜在搜索空间，使其符合一些先验知识。
5. 最优化算法：求解最大熵模型问题的常用方法是使用迭代的最优化算法，例如改进的迭代尺度法（Improved Iterative Scaling，IIS）和梯度下降法（Gradient Descent）。
最大熵模型在自然语言处理、信息检索和机器学习等领域有广泛的应用。
它可以用于文本分类、命名实体识别、情感分析和机器翻译等任务。
最大熵模型的灵活性和泛化能力使其成为一种强大的统计模型。
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淺談最大熵原理和統計物理學文/曾致遠摘要在本文中我們將分別從物理和資訊論角度簡單討論熵的意義並介紹由E.T.Jaynes 所奠立基礎的最大熵原理的原始理解。
透過研究理想氣體，我們將闡述如何運用最大熵原理研究真實問題。
同時藉由簡短分析統計物理學研究方法的問題，本文會給出最大熵原理更深層涵義及其應用。
我們將稱之為最大熵原理第二延伸。
最後透過真實氣體的研究，我們將描繪出如何運用第二延伸來幫助我們思考及研究熱力學系統。
一、前言長時間以來人們對於熵有物理上的理解也有資訊論 (Information theory) 上的理解。
物理上的熵可以說明熱力學系統的演化方向、熱平衡的達成與否亦或是代表系統的混亂程度等[1-3]。
在資訊論裡，資訊熵則代表量測資訊系統的可信度或者是忽略度[3,4]。
然而不管物理或是資訊論上對熵的理解，實際上仍侷限於將熵視為一個量測的工具。
正如我們可藉由系統能量的量測來了解系統狀態穩定與否。
然而由於E.T.Jaynes的貢獻，熵可視為一種研究問題的推理工具，這一層意義才為人所知[5,6]。
時至今日，我們雖然仍無法全盤了解熵的真正意含，但是我們也漸漸掌握熵在物理學尤其是統計物理中所能扮演的角色。
通過本文淺顯的介紹，我們將從過去Jaynes對於熵的認識到今日我們的新發現，掀開熵的神秘面紗。
二、最大熵原理l、什麼是最大熵原理相信物理系學生和物理研究人員都很熟悉Clausius的經驗準則-熱力學第二定律[1,2]。
該定律說明當一個熱力學系統達到最後熱平衡狀態時，該系統的熵會達到最大值。
進一步的研究指出當系統的熵最大時，其自由能將會成為最小。
在此一特性的影響下人們慣性的傾向於將熵視為類似能量的巨觀物理量。
此一物理量成為描述系統亂度的依據。
此後由於 Gibbs 引入 ensemble 觀念，開啟微觀角度的研究方法因而奠立近代統計力學理解熵的理論基礎。
在統計力學的觀念中，觀察者所量測到該系統熱力學性質之巨觀物理量諸如系統內能或壓力，基本上只能以平圴值來表現。
原因在於觀察者無法明確掌握系統微觀狀態。
此種不確定性可以藉由機率分佈如canonical ensemble 來量化表示。
古典系統熵便可由此機率分佈來定義出不連續表示，i ii b P P k S ∑-=log ， (1)式中 b k 代表波茲曼常數而 i P 為觀察者量測到系統處在狀態i 時的機率分佈。
或者是連續表示，()()N N N b q P q P dq k S ⎰-=log ， (2)式中 ()p r q N ,= 代表空間和動量參數且()N N dq q P 表示觀察者量測到系統微觀狀態在N dq 範圍之機率份佈。
對於量子統計系統， vonNeumann 發現也同樣存在著類似形式來描述系統亂度。
他給出熵密度矩陣 (density matrix) 型式， ()N q ρ，()()⎰-=N N N b q q dq k S ρρlog ， (3)。
不過這些熵的微觀知識，只讓我們了解到熵和用以描述熱力學系統物理量平均值的機率份佈之間存在一個關聯性。
除此之外，我們並未獲得更多觀念上的突破。
熵仍只是一個量測工具。
在 1940年代 Shannon 等人所發展的 communication theory[4]也就是後來漸趨成熟且多元化的Information theory 中，也同樣存在一相似特性的量。
Shannon 也稱之為熵，該量被視為量測雜訊如何影響系統中有用資訊的程度，我們定義為忽略度 (degree of ignorance) 或者描述了選取系統資訊的傾向程度，稱之為傾向度(degree Of likelihood) 。
通過 Cox 和 Skilling 完全不同的論證[5,7]，資訊熵的機率分佈型式類似於熱力學熵。
所不同者在於熱力學熵含有波玆曼常數。
這樣的相似性直到 Jaynes 在1957 年的研究才證明這個相似其實是相等[5]。
資訊熵和熱力學熵實際上具有相同的含意。
Jaynes 更進一步指出且證明最大熵原理 (maximum entropy principle)並不只是單純的熱力學第二定律。
他的研究指出，最大熵原理不具任何物理意義僅是一個推論的工具。
藉由此原理，觀察者所擁有的相關系統資訊可以公正客觀的被編入特定機率分佈中來描述觀察者量測到系統微觀狀態的機會。
下一小節中我們將以理想氣體為例具體說明在 Jaynes 的理解下，如何運用此一原理重現統計力學的結果並且通過這樣的方式我們將更能了解熵及最大熵原理在物理上的含義和功用。
2、實例一：理想氣體假設一含有 N 個氣體分子的理想氣體已達熱平衡狀態，觀察者可量測到該氣體之總內能平均值為()⎰=H q P dq E N N (4)其中∑==Ni i m p H 122 代表系統的漢米頓量(Hamiltonian)，對於理想氣體而言僅有動能而無分子間相互作用能而 ()N q P 代表我們量測到系統微觀能量狀態等於 H 時的 N 個分子機率分佈。
關係式 (4)，我們稱之為能量約束方程。
它描述了我們對於理想氣體有關能量部分資訊的了解。
無庸至疑的，我們也知道機率分佈()N q P 需要滿足下列約束方程，()1=⎰NNq P dq (5)所有系統可能狀態的機率分佈總合要等於1。
現在的問題是我們如何找到合適的 ()N q P 可以同時滿足此二約束方程。
因為唯有知道確實的機率分佈，我們才有辦法繼續研究此一系統的其它物理牲質。
根據 Jaynes 的研究，最大熵原理告訴我們，當此系統達到熱力學平衡時，最有可能的機率分佈()N q P 將會使熵達到最大值。
具體來說，最大熵原理說明在約束方程 (4) 和 (5) 的條件考慮下最大化熵。
此最大化過程可由變分原理來達成。
首先我們分別針對式 (4) 和 (5) 引入兩拉格朗日因子 (Lagrangian multipliers) α 和 β ，我們得到以下變分方程，()()[()()]01=----⎰⎰EH q P dq q P dq S N N N N βαδ (6)將式 (2) 代入上式後對 ()N q P 變分，我們可以得到 ()N q P()H N e q P βα---=1 (7)接著利用上兩約束方程，我們可分別決定拉格朗日因子 α 和 β 。
最後我們可得到最合適描述此理想氣體的機率分佈 ()N q P ，()HN e Zq P β-=1 (8)Z 為 N 個理想氣體分子分配函數 (partitionfunction) 其值為，NHN V e dq Z ⎪⎭⎫⎝⎛Λ==⎰-3β (9)其中 2122⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ΛT mk B π 為大家所熟知的熱力學波長。
通過分配函數，系統的 Helmholtz 自由能可由下推導得出3loglog Λ-=-=VT Nk Z T k F b b(10)此理想氣體的各種物理性質如壓力變化、相圖都可以由此依序獲得。
這也就是統計力學中的canonical ensemble 方法。
若我們獲取更多關於此一理想氣體的資訊，如觀察者所量測之總粒子數平均值可由粒子數密度來關聯時()()⎰=r n q P dq N N N (11)其中 ()r n 代表 N 顆氣體分子密度分佈。
我們則可得到 grand canonical ensemble()()()⎰=--r nr dH NN e Z q P ˆ31μβ (12)分配函數 NN V e Z ⎪⎭⎫⎝⎛Λ=3βμ而化學能 μ 可由約束方程 (11) 決定之。
通過此一例子，我們可了解不管是從物理理論如氣體運動方程的推論而得到的 canonical ensemble 或者 grand canonical ensemble 實際上與我們在考慮與系統相關約束方程下最大化熵的結果一致。
這樣的結果揭示一個解決物理問題不一樣的思維。
也就是當我們將所知的物理知識當作是一種資訊來處理，則 ”如何解決物理問題“這個課題可以重新解讀為如何有效誠實處理這些資訊。
在這樣的解讀下最大熵原理已提供了最公正的解答。
換言之，若我們擁有一系統充份相關的物理知識，如實驗結果，我們便可給出與之相關的約束方程。
之後經由最大熵原理，我們便可公正客觀的決定關於這些物理知識最佳的機率分佈。
經由 Jaynes 的證明，最大熵原理所扮演的角色不再僅是量測忽略度而已，它更是系統化將我們所知資訊編碼的推理工具。
而且其應用不侷限於 canonical ensemble 或者是 grand canonical ensemble 而是取決於我們能獲得何種資訊。
正因如此過去人們處理如統計物理學的既定觀念和方式將變為有所依循而且可避免許多針對特別問題由研究者所給定的人為假設。
如此一來一個具有最小偏差的研究理論可於焉誕生。
三、統計物理學的問題根據上述分析，使用最大熵原理作為統計力學的研究方法基本上可以區分成兩部分討論。
第一部份為物理部份，唯有具備正確且相關於待研究系統的物理資訊，恰當約束方程才能給定。
第二部分為處理物理資訊部份， 亦即利用最大熵原理將相關資訊做最佳編碼以得機率分佈。
上一節中，理想氣體的研究便是最佳典範。
當理想氣體的物理特性由約束方程 (4) 和 (5) 來描述後，canonical ensemble 的決定則單純的由最大熵原理來進行。
其過程完全與物理無關。
很明顯的因為最大熵原理恆真，canonical ensemble 是否恰當描述理想氣體則完全取決於約束方程的適當與否。
而正如前所述由於約束方程的決定需要相關的物理知識協助來決定。
如何抉擇有助系統研究的物理資訊是統計力學所需面對的第一個問題。
不幸的是目前為止，並不存在一個系統化的方法來解答這個問題。
大多數時候，人們還是只能依賴著嘗試錯誤法或是從經驗、實驗結果來判斷。
這樣的課題關連到所謂“觀念形成”的探討，有待進一步研究來回答。
因此本文將不會針對此問題來進行深入討論。
我們所關心的是除此之外，統計力學進一步所需面對的問題。
當機率分佈如 canonical ensemble 由最大熵原理給定後，我們如何去解讀這些機率分佈以計算關於系統物理性質的期望值。
換句話說，我們如何計算分配函數。
對於理想氣體，由於氣體間不存在任何相互作用力，方程式(9) 中分配函數的計算是易如反掌。
但事實上由於複雜的相互作用力，真實系統的機率分佈是難以計算。
對於這樣的機率分佈我們稱之為不可計算機率分佈。
因此當我們面對真實熱力學系統時，如何處理複雜多體相互作用力成為統計力學中一必要課題。
換句話說只有當我們理解如何有效處理複雜多體相互作用力，我們才可能發展合適的近似法來計算分配函數。
例如因為短距離排斥力和長距離吸引力的相互競爭造成流體不同於固體的物理性質，讓我們知道要計算含有這些相互作用力的分配函數可以利用如平均場近似法來進行。