圆的解题技巧总结
关于圆的题型归纳和解题技巧高中
关于圆的题型归纳和解题技巧高中
圆是数学中最常见的图形之一，许多数学题都是围绕着圆这个图形所设计出来的，所以掌握圆题型的归纳和相关解题技巧对中学生来说是非常重要的。
本文将从圆的定义、特点分析、题型归纳和解题技巧等主要方面来展开讨论，希望能够对同学们掌握有关圆的知识有所帮助。
圆的定义和特点
一般来说，圆是一个二维的平面图形，可以定义为周围均匀曲线，其曲线上任意一点距离圆心固定的距离均相等，距离称为半径。
易证而知，心与圆上任意一点的距离恒定，则构成一个完美的图形，一般说，一个圆有一个中心点，这个点是该圆的另外两个特殊点（也可以说是边界点），即圆上的点，该点也可以用圆的参数方程来表示。
圆的题型归纳
圆的题型设置各有特点，圆的题型可以归纳出五大类：（1）求圆的半径或周长；（2）求圆周上任意一点到圆心的距离；（3）求圆的面积；（4）求圆心或圆上任意一点的坐标；（5）计算两个圆的位置关系求出重叠部分的面积。
圆的解题技巧
①根据题意推断出圆的参数方程。
需要理解题目，找出参数方程涉及到的参数，由参数方程求出答案。
②找出圆的特殊点来解题。
根据题意可以知道圆的特殊点，例如可以用圆的等边三角形（三角形的三个顶点在圆周上）来求得圆的半径等。
③推广思考，利用圆的克服变换法求解题。
可以利用一些特殊的变换，将复杂的圆形题目改成熟悉的直线方程题，把圆题解成一系列的直线方程来求解。
综上，即使中学生们觉得圆题目难以理解，但只要通过准确理解题意，运用正确的解题思路，还是可以轻松搞定这些圆题的。
只要把握好思路，多加练习就可以做到圆题的“拿捏如在掌握”。
圆的周长与面积的解题技巧
小学数学︵ 六年级︶人教版六年级数学上册数学思想方法——圆的周长的解题技巧在解答圆的周长的问题时，首先要能熟练地运用公式进行计其次在遇到有关圆的组合图形的周长计算时，要能巧妙地运用“转化”“拼补“分割”“设数”“逆推”“代换”等技巧将不规刚图形转化为规则图形进行解答。
一、经典例题【例】把4个直径是10cm 的圆柱形酒精瓶子捆扎在一起，截面如图所示，捆扎一圈需要绳子多少厘米？（接头处忽略不计）二、分类训练【技巧1：转化】1.如图，等边三角形的空白部分是三个相同的扇形，等边三角形的边长是20cm 。
阴影部分的周长是多少厘米？提示：仔细观察一下图形，你会发现三个扇形正好拼成一个半圆形，阴影部分的周长相当于圆周长的一半。
小学数学︵ 六年级︶人教版2.求阴影部分的周长。
【技巧3：分割】3.如图，求阴影部分的周长。
（单位：cm)【技巧4：设数】4.如图，甲、乙两只小虫同时从A 点出发，分别沿箭头所示的方向爬到B 点。
若甲、乙两只小虫的速度相同，甲、乙两只小虫谁先爬到B 点？小学数学︵ 六年级︶人教版5.一个半圆形的周长是20.56cm ，它的半径是多少厘米？提示：根据公式“πr +2r =半圆形的周长”求半径。
【技巧6：代换】6.下图中圆的周长是20cm ，圆的面积与长方形的面积相等，阴影部分的周长是多少厘米？提示：阴影部分的周长等于一个圆的周长加上圆周长的41。
小学数学︵ 六年级︶人教版圆的面积的解题技巧在解答圆的组合图形面积或求阴影部分面积时，除了正确运用圆的面积公式外，还可以巧妙地运用“重叠”“转化”“旋转”“平移”“整体带入”等技巧化繁为简、化不规则为规则进行解答。
一、经典例题【例】如图所示，正方形的边长是10cm ，在正方形中画了两个四分之一圆，求图中阴影部分的面积。
二、分类训练 【技巧1：重叠】1.求阴影部分的面积。
[提示：阴影部分的面积=两个圆的面积和减去正方形的面积]【技巧2：转化】2.如图，等边三角形的边长是10cm ，阴影部分的面积是多少平方厘米？[提示：将三个扇形转化成一个半圆形，阴影部分的面积就是半圆形的面积]小学数学︵ 六年级︶人教版【技巧3：旋转】3.如图，求阴影部分的周长。
初三数学圆学习知识点总结计划及初中数学圆解题技巧
初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧初三数学圆知识点总结一、圆的相关看法1、圆的定义在一个个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
2、直线圆的与置位关系1.线直与圆有唯公一共时 ,点做直叫与圆线切2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心3.弦切角于所等夹弧所对的的圆心角4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心5.垂于直径半直线必为圆的的切线6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线7.垂于直径半直线是圆的的切线8.圆切线垂的直过切于点半径3、圆的几何表示以点 O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆 O”二、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，并且均分弦所对的弧。
推论 1：(1) 均分弦 (不是直径 )的直径垂直于弦，并且均分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直均分线经过圆心，并且均分弦所对的两条弧。
(3)均分弦所对的一条弧的直径垂直均分弦，并且均分弦所对的另一条弧。
推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径均分弦知二推三均分弦所对的优弧均分弦所对的劣弧三、弦、弧等与圆相关的定义1、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
(如图中的 AB)2、直径经过圆心的弦叫做直径。
(如途中的 CD)直径等于半径的 2 倍。
3、半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
4、弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以 A，B 为端点的弧记作“，”读作“圆弧 AB”或“弧 AB”。
大于半圆的弧叫做优弧 (多用三个字母表示 );小于半圆的弧叫做劣弧 (多用两个字母表示)四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角极点在圆心的角叫做圆心角。
高考圆的知识点总结
高考圆的知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合。
2. 圆的元素：圆心、半径、直径、弧、圆周角、弦、切线等。
二、圆的性质1. 圆周角的性质：圆周角相等的定理、圆周角的逆定理。
2. 圆的弧度制：圆的周长、弧长、圆心角的弧度制。
3. 切线的性质：圆的切线存在唯一一张切线、切线与半径的垂直关系。
4. 弦割定理：弦割定理的应用。
5. 圆与直线的位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系。
三、圆的相关定理1. 圆的切线定理：切线与半径垂直、相交弧大小定理、切线的性质。
2. 圆的弦割定理：弦割定理的应用、相关例题分析。
3. 圆心角的度数：圆心角的度数与弧长的关系、圆心角的度数与小于180°。
4. 圆周角的性质：圆周角的逆定理、相关例题分析。
四、圆的相关计算1. 圆的周长计算：圆的周长的计算公式、半径和直径的关系。
2. 圆的面积计算：圆的面积的计算公式、半径和直径的关系。
3. 圆心角弧长的计算：圆心角弧长的计算公式、相关例题分析。
4. 切线长度的计算：切线长度的计算公式、相关例题分析。
5. 圆与三角形的相互关系：圆与三角形的相互关系、相关例题分析。
五、圆的实际应用1. 圆的应用于工程实践：圆的应用于航空航天、建筑设计、地理测绘等。
2. 圆的应用于日常生活：圆在日常生活中的应用、相关例题分析。
六、圆的解题方法与技巧1. 掌握圆的基本概念：熟练掌握圆的基本定义、元素、性质和相关定理。
2. 多练习相关题目：多练习圆相关的例题，掌握解题方法和技巧。
3. 注重实际应用：了解圆在实际应用中的使用场景，提高解题的实践能力。
总结：圆作为数学中的一个重要概念，不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
通过对圆的基本概念、性质、相关定理和计算方法的学习，可以更好地掌握圆的相关知识，提升解题能力和实际应用能力。
希望同学们能够通过不断的学习和实践，掌握圆的知识，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
初三圆的解题技巧
初三圆的解题技巧
初三圆的解题技巧
初三圆的解题技巧，考试需要技巧，各位同学知道怎么简单的解答数学中的圆难题吗?看看下面的技巧吧!
初中数学圆解题技巧
半径和弦长计算，弦中心到中间站的距离。
如果圆上有所有的线，则切点中心的半径是连通的。
勾股定理对于切线长度的计算是最方便的。
要证明它是相切的，仔细区分半径垂线。
是直径，成半圆形，要连接成直角的弦。
圆弧有中点，有圆心，竖径定理要记完整。
圆的角上有两条弦，弦的两端直径相连。
求切线弦，同弧对角线等。
如果你想画一个外接圆，在两边画一条中间的垂直线。
同样做一个内切圆，内角的平分线是一个梦圆。
如果遇到相交的圆，别忘了做常用和弦。
内外相切的两个圆通过切点的公切线。
如果添加连接线，切点必须在连接线上。
在等角上加一个圆，证明问题就没那么难了。
辅助线是虚线，画的时候注意不要改。
如果图形是分散的，对称旋转进行实验。
基础画图很重要，要熟练掌握。
你要多注意解题，经常把方法总结清楚。
不要盲目加线，方法要灵活多变。
分析和综合方法选择，再多的困难也会减少。
初三圆的解题技巧
初三数学圆知识点总结。
归纳与技巧：圆的方程(含解析)
归纳与技巧：圆的方程(含解析)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1归纳与技巧：圆的方程基础知识归纳1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.基础题必做1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜14或m ＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：选A设圆心坐标为(0，b)，则由题意知(0－1)2＋(b－2)2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.4．圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝0的距离为________．|1－3|＝1.解析：圆心(1,0)，d＝1＋3答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为____________________．解析：设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)＝a，∴a＝2，∴|2|1＋1∴x2＋y2＝2.答案：x2＋y2＝2解题方法归纳1.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：(1)B＝0；(2)A＝C≠0；(3)D2＋E2－4AF＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．圆的方程的求法典题导入[例1](1)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为()A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．[自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23，|b |＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.(2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0解题方法归纳1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1． 过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△P AB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.与圆有关的最值问题典题导入[例2](1) 过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0(2)P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，则x2＋y2的最小值为________．[自主解答](1)当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0.(2)由C(1,1)得|OC|＝2，则|OP|min＝2－1，即(x2＋y2)min＝2－1.所以x2＋y2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.[答案](1)A(2)3－2 2解题方法归纳解决与圆有关的最值问题的常用方法(1)形如u＝y－bx－a的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题(如A级T9)；(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1) 与曲线C：x2＋y2＋2x＋2y＝0相内切，同时又与直线l：y＝2－x相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C表示的是以点C(－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C(－1，－1)到直线y＝2－x即x＋y－2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.答案：(1)322 (2)5＋5 5－5与圆有关的轨迹问题典题导入[例3] 如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[自主解答] 设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)， 则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2(y 0≠0)，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)， 故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．解题方法归纳求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3． 动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A 圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.2． 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．3． 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B 依题意设圆心C (a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.4． 点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y＋1)2＝1.5． 若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 7．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________．解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98． 已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 答案：x 2＋(y －1)2＝109． 已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34.答案：3410．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限， 且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为 (x －a )2＋(y －a )2＝a 2，(x －b )2＋(y －b )2＝b 2， 且r 1＝a ，r 2＝b .由于两圆都过点C ， 则(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，(3－b )2＋(4－b )2＝b 2 即a 2－14a ＋25＝0，b 2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x 2－14x ＋25＝0的两个根． 故r 1r 2＝ab ＝25.11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12． 已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值．解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆．(2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15，因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255， 所以5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫2552， 解得m ＝4.1． 以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝3C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋(±2)2＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)． 3．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4. 因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－(12＋22)＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2. 2．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32， 则AB 边上的高的最小值为32－1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝⎛⎭⎫32－1＝3－ 2. 答案：3－ 23． 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.。
初三数学圆知识点总结和解题技巧
初三数学圆知识点总结和解题技巧初中数学几何中圆是比较重要的一局部，下边给大家总结了,初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧,来看看吧 !初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧初三数学圆知识点总结一、圆的有关观点1 、圆的定义在一个个平面，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
2 、直线圆的与置位关系1.线直与圆有唯公一共时,点做直叫与圆线切2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心3.弦切角于所等夹弧所对的的圆心角4.三角的形圆切的圆叫做三心形角心5.垂于直径半直线必为圆的的切线6.过径半外的点而且垂直端于半的径直线是圆切线7.垂于直径半直线是圆的的切线8.圆切线垂的直过切于点半径3、圆的几何表示以点 O 为圆心的圆记作“⊙ O〞，读作“圆O〞二、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，而且均分弦所对的弧。
推论 1 ：(1) 均分弦 (不是直径 )的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧。
(3)均分弦所对的一条弧的直径垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条弧。
推论 2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可归纳为：过圆心垂直于弦直径均分弦知二推三均分弦所对的优弧均分弦所对的劣弧三、弦、弧等与圆有关的定义1、弦连结圆上随意两点的线段叫做弦。
(如图中的AB)2、直径经过圆心的弦叫做直径。
(如途中的CD)直径等于半径的 2 倍。
3、半圆圆的随意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
4、弧、优弧、劣弧圆上随意两点间的局部叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒ 〞表示，以A，B 为端点的弧记作“〞，读作“圆弧AB〞或“弧AB〞。
大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
初三数学圆的解题技巧
初三数学圆的解题技巧圆，这个看似简单的图形，其实在数学的世界里，能让人乐此不疲。
初三的数学里，圆的题目总是充满了各种各样的考验，但只要掌握了几个关键技巧，你会发现解题其实没那么难。
今天咱们就来聊聊这些技巧，让你轻松应对圆的难题！1. 圆的基本概念1.1 圆的定义首先，咱们得知道什么是圆。
圆是由一个点（圆心）到圆上所有点的距离都相等的图形。
这个距离就是半径。
听起来简单吧？但这可是解圆题的基础哦。
1.2 圆的元素圆的基本元素有圆心、半径、直径、弦、切线。
圆心就是圆的中心点，半径是圆心到圆上任何一点的距离，直径则是穿过圆心的最长的线段，弦是圆内任意两点之间的线段，而切线则是与圆相切的直线。
这些概念都得熟记于心哦！2. 圆的常见问题与技巧2.1 弦的性质圆里的弦有个很重要的性质：在圆内，两条弦的长度如果相等，它们到圆心的距离也相等。
这就像两个“好朋友”，总是保持一样的距离。
利用这一点，可以帮助你解决很多涉及弦的题目。
2.2 圆心角与弦的关系圆心角就是圆心到圆上两点的夹角。
圆心角的一半就是弧所对的弦所夹的角，也就是所说的“圆周角”。
换句话说，圆心角越大，对应的弦也越长。
掌握这一点，你就能轻松搞定那些需要计算角度的题目。
2.3 切线与圆的关系切线和圆的关系特别简单：切线与圆在切点处垂直。
就是说，切线的斜率和圆的半径在切点处正好是“直的”。
这个性质常常用来求解与切线相关的题目，比如找切点或者切线的长度。
3. 解题策略3.1 画图“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
”解题时，画图是非常重要的一步。
画图不仅能帮助你理清思路，还能让你更好地理解题目中的条件和要求。
别怕麻烦，拿起铅笔动手画吧！3.2 应用公式圆的题目中，有几个公式是必备的，比如圆的周长公式(C = 2pi r)和圆的面积公式(A = pi r^2)。
这些公式的运用可以帮你快速解答涉及周长和面积的问题。
3.3 综合运用有些题目需要综合运用多个知识点，比如既要用到弦的性质，又要考虑圆心角和弧的关系。
中考数学圆解题技巧必看
中考数学圆解题技巧必看每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学作为最烧脑的科目之一，也是要记、要背、要讲技巧的。
下面是给大家整理的一些中考数学圆解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。
初三年级数学圆的知识点归纳1.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上===d=r;②点在圆内===ddr.二.圆的对称性:1.与圆相关的概念：④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. 2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三.圆周角和圆心角的关系:1.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.2.圆周角定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1:同弧或等弧所对圆周角相等;反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对弧也相等;推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;四.确定圆的条件:1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2.定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.中考数学复习：圆的考点一、考点分析考点一、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d d=r点P在⊙O上;dr点P在⊙O外。
高二数学圆的方程解题技巧
高二数学圆的方程解题技巧
在高二数学中，圆的方程解题是一个非常重要的知识点。
掌握好圆的方程解题技巧，可以帮助我们快速准确地解决各种与圆相关的问题。
以下是一些常用的圆的方程解题技巧：
1. 圆的标准方程：(x-a) + (y-b) = r。
其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
通过圆的标准方程，我们可以快速确定圆的位置、半径等信息。
2. 圆的一般方程：x + y + Dx + Ey + F = 0。
通过圆的一般方程，我们可以确定圆心坐标和半径大小。
3. 圆的截距方程：x + y = r。
通过圆的截距方程，我们可以快速确定圆心在原点的情况下的半径大小。
4. 圆的切线方程：对于圆(x-a) + (y-b) = r，它在点(P,Q)处的切线方程为(x-a)P + (y-b)Q = r。
5. 圆的判别式：对于一般方程x + y + Dx + Ey + F = 0，它表示的圆的判别式为D + E - 4F > 0时，圆存在；D + E - 4F = 0时，圆与直线相切；D + E - 4F < 0时，圆不存在。
总之，掌握好圆的方程解题技巧，可以帮助我们更好地理解圆的性质，准确地解决各种与圆相关的问题。
- 1 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如下图，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理〞，准确地表达为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是“圆〞这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下列图是水平放置的破裂管道有水局部的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)假设这个输水管道有水局部的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．例2如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD 的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，那么AB=？例3如图，⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O 上，并且∠POM=45°，那么AB的长为多少？例4图为小自行车内胎的一局部，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？二、与圆有关的多解题几何题目一般比拟灵活，假设画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因无视图形的几种可能性而漏解．1．无视点的可能位置．例5 △ABC 是半径为2的圆的内接三角形，假设32 BC cm ，那么∠A 的度数为______．2．无视点与圆的位置关系．例6 点P 到⊙0的最短距离为2 cm ，最长距离为6 cm ，那么⊙0的半径是______．3．无视平行弦与圆心的不同位置关系．例7 四边形ABCD 是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8 cm ，CD=6 cm ，⊙0的半径是5 cm ，那么梯形的面积是______．4．忽略两圆相切的不同位置关系例8 点P 在⊙0外，OP=13 cm ，PA 切⊙0于点A ，PA=12 cm ，以P 为圆心作⊙P 与⊙0相切，那么⊙P 的半径是______．例9 假设⊙O 1与⊙02相交，公共弦长为24 cm ，⊙O 1与⊙02的半径分别为13 cm 和15 cm ，那么圆心距0102的长为______．三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径．例10 如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PD⊥OA 于点D ，以点P 为圆心，PD 为半径画⊙P，试说明OB 是⊙P 的切线．2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当直线与圆有交点时，连结交点和圆心〔即半径〕，然后证明这条半径与直线垂直即可． 例11 如图，AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙0相切于点B ，过A 作AD∥OC 交⊙0于点D ，连结CD.(1)求证：CD 是⊙0的切线；(2)假设AD=2，直径AB=6，求线段BC 的长．四、结论巧用，妙解题例12 ：如图，⊙O 为Rt△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的切点，求证：BD AD s ABC ⋅=∆．该结论可表达为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．〞运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13 如图，⊙0为Rt△ABC 的内切圆，切点D 分斜边AB 为两段，其中AD ＝10，BD ＝3，求AC 和BC 的长．例14 如图，△ABC 中∠A 与∠B 互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E 、F ，AC=10，BC ＝13．求AE ·BF 的值．五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．例15 假设一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，那么它的侧面展开图的圆心角是( )A ．180° B．90° C．120°D ．135°例16 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，那么这个圆锥的母线长与底面半径长的比是( )A.2:1 B.2π:1 C ．2：1 D ．3：1例17 如图，小红要制作一个高4 cm ，底面直径是6 cm 的圆锥形小漏斗，假设不计接缝，不计损耗，那么她所需纸板的面积是( )A ．15πcm 2B ．6π13cm 2C ．12π⋅13cm 2D ．30 cm 2例18 下列图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm 2．〔不考虑接缝等因素，计算结果用π表示〕评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．例19 如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD ，BC= CD,AB= 2AD,∠ABC＝∠ADB= 90°．(1)求∠C 的度数；(2)以C 为圆心，CB 为半径作圆弧BD 得一扇形CBD ，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，假设BC ＝a ，求该圆锥的底面半径；(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20 如图，△ABC 中，内切圆⊙I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ．求证：(1)A FDE ∠-︒=∠2190；(2)A BIC o ∠+=∠2190．例21 如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆⊙I 半径为r ，那么△ABC 的面积为( ).A ．r c b a )(++B ．r c b a ）（++21C ．r c b a ）（++31D ．r c b a ）（++41 七、阴影局部面积的求值技巧求阴影局部面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规那么图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．1．直接法当图形为熟知的根本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算． 例22 如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P ，那么图中阴影局部的面积为( )A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比拟复杂时，我们可以把阴影局部的面积转化为假设干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．例23 如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，那么阴影局部的面积是( )A ．π323-B ．33π-C ．332π- D ．π-32 3．割补法把不规那么的图形割补成规那么图形，然后求面积．例24 如图，正方形ABCD 的顶点A 是正方形EFGH 的中心，EF=6cm ，那么图中的阴影局部的面积为______．4．等积变形法把所求阴影局部的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影局部面积．例25 如图，C 、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R ，求阴影局部的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例26 如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O ' 相切，点O ' 在CD 上，且AB∥CD，AB ＝4，那么阴影局部的面积是〔结果保存π〕．6．整体法例27 如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，那么图中阴影局部的面积是( )A ．224121a a π+-B ．)41(222a a π- C ．22.21a a π+- D ．2221a a π- 7．折叠法例28 如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，那么图中阴影局部的面积是______．8．聚零为整法例29 如下图，将半径为2 cm 的⊙0分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点0对称，EF 、GH 关于点0对称，连结PM ，那么图中阴影局部的面积是______〔结果用π表示〕．八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容，是中考必考内容．关于圆的大局部题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30 如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=8 cm ，AG ＝1 cm ，DE ＝2 cm ，那么EF ＝______cm ．2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点0为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．(1)求证：BN BC BM AB ⋅=⋅(2)如果CM 是⊙0的切线，N 为OC 的中点，当AC ＝3时，求AB 的值．3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系例32如图，AB、AC分别是⊙0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙0于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．(1)假设PC＝PF，求证：AB⊥ED．(2)点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33 如图，⊙02与半圆O l内切于点C，与半圆的直径AB切于D，假设AB=6，⊙02的半径为1，那么∠ABC的度数为______．C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用．一、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．例1 MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为．例2 如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．三、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原那么：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3 ⊙0的直径AB=2 cm，过点A的两条弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夹的圆内局部的面积．在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全〞的现象．四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化到达解决问题的目的．例4如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O 的切线，假设OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．五、函数思想例5〔2005·梅州市〕如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点〔P不与A、C重合〕，设PC＝x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．例6(2006·烟台)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)假设AO+CD＝11，求AB的长．。