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一个分数阶四维超混沌系统的同步研究
文章 编号 ： １ ６ ７ ３— ２ ０ ５ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６— ０ ４ ６ ８— ０ ５
一
个 分 数 阶 四维 超 混 沌 系统 的 同步 研 究
潘 红
（ 山西 工程 职 业技 术 学 院 ， 太原 ０ ３ ０ ０ ０ ２ ）
摘
要： 本文对一个分数 阶四维超混沌 系统应用一步耦合法进行 同步设计 构造 ， 并利用拉普拉 斯终
中 图分 类 号 ： ｏ １ ７ ７ ． ９ １ 文 献标 志码 ： Ａ ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ３ － ２ ０ ５ ７ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ６ ． ０ １ ５
一
从Ｏ ｔ ｔ 、 Ｐ ｅ ｃ ｏ ｒ ａ 和Ｃ ａ ｒ ｒ ｏ ｌ ｌ 等人¨ 对 混沌 同步开 拓性 研究 以来 ， 混沌 同步 就一 直 处 于研究 热 潮 之 中 ， 分 数 阶混沌 系统 的 同步研 究也 备受 瞩 目， 文献［ ２ ＿ ４ ］ 深 入 的研 究 分数 阶 混沌 系 统 的 同步 问题 ； 文献［ ５ ］ 发 现 了分 数阶 Ｃ ｈ ｅ ｎ系统 的混沌行 为 ， 并 研究 了分数 阶混 沌系统 的 同步控制 方法 ； 虽然 分数 阶混沌 系统 同步控 制 方 面 的文献还 很有 限 ， 但 其实 际应用 价值是 不可 忽视 的 。随着 分 数 阶微积 分 理论 的发 展 ， 分数 阶动力 系 统 的混 沌 控制 与混沌 同步正 成 为近年来 控制 学科领 域研 究 的重 点 。 由于分数 阶超混 沌 系统 的动力学 行为 比一般 混沌 系统具 有更 强 的随机性 和更 高 的不可 预 测性 ， 所 以其
方程 （ ４ ） 两端同时做拉普拉斯变换 ， 令 巨（ ｓ ）＝Ｌ ｛ ｅ ｉ （ ｔ ） ｝ （ ｉ ＝１ ， ２ ， ３ ， ４ ） 并根据 ｛ ｄ ／ ｄ ｔ ｝＝ｓ ｑ Ｅ （ ｓ ）
一个新的分数阶混沌系统及其异结构同步
第２ ５卷
第 ２期
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
ＪＵ Ｎ Ｌ Ｆ Ｈ Ｎ Ｚ Ｏ ＮＶ Ｒ ＩＹＯ Ｇ ＴＩＤ ＳＲ ［ ａ ｒ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ Ｅ Ｇ Ｈ ＵＵ ＩＥ Ｓ Ｆ ＩＨ ＵＴ Ｙ Ｎｔ ａＳｉ ｃ｝ ０Ｚ Ｔ Ｌ Ｎ ｕｌ ｅ
＜１ Ｔｏ ｒ ａｉｅ ｔ ｅ ｔ ｒ ｅ ｄｍｅ ｓｏ ａ ｈ ｏｉ ｙ ｔｍ ｎ ｔ ｙ ｃ ｒ ｎｉａ ｉｎ ｏ ｉ ｅ ｅ ｔｓ ｓｅ ． ． ｅ ｚ ｈ ｅ — ｉ ｎ ｉ ｎ ｌｃ ａ ｔ ｓ ｓｅ ａ ｄ ｉｓｓ ｎ ｈ ｌ ｈ ｃ ｏ ｚ ｔ ｆｄ ｆ ｒ ｎ ｙ ｔｍｓ ｏ
与陈关 荣进 一步 发现 了 Ｌ 统 Ｊ不 久 ， 们 又 提 ｖ系 ， 他 出一个 统一 系统 ． 】并且 ， 量研 究 表 明 当混 沌 系 大 统 的 阶数为分 数 时仍 然 出现 混沌 现 象 ， 更 能 反 映 且
收 稿 日期 ：０ ９—１ ２０ ２—１ ０
１ 分数 阶微分及其逼近
摘要 ： 构造 了一 个新 的三 维混沌 系统 ， 系统与 Ｃ ｅ 该 ｈｎ系统 、ｏｅｚ系统等各 类 经典 的混 沌 系统 都 是 Ｌｒｎ 拓扑 不等价 的． 通过理 论分析 、 数值 仿 真研 究 了该 系统 的混 沌特 性 ， 且发 现 新 系统在 低 于 ３阶 时仍 然 呈现 丰 富的混 沌现 象． 实现 了该 分数 阶 系统 与其响 应 系统的异 结构 同步 ． 关键词 ： 沌 系统 ； 引子 ； 结构 同步 混 吸 异
的研 究具 有重 要意 义．
未停止对混沌信号产生和建模的研究 ， 的混沌系 新
统也 不断被 提 出．９９年 陈关 荣 在混 沌 系 统反 控 制 １９ 中发 现 了一 个 与 著 名 的 Ｌ ｒ ｚ系 统 相 似 但 不 拓 扑 ｏｅ ｎ
第 ２期
郑 州 轻 工 业 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
ＪＵ Ｎ Ｌ Ｆ Ｈ Ｎ Ｚ Ｏ ＮＶ Ｒ ＩＹＯ Ｇ ＴＩＤ ＳＲ ［ ａ ｒ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ Ｅ Ｇ Ｈ ＵＵ ＩＥ Ｓ Ｆ ＩＨ ＵＴ Ｙ Ｎｔ ａＳｉ ｃ｝ ０Ｚ Ｔ Ｌ Ｎ ｕｌ ｅ
＜１ Ｔｏ ｒ ａｉｅ ｔ ｅ ｔ ｒ ｅ ｄｍｅ ｓｏ ａ ｈ ｏｉ ｙ ｔｍ ｎ ｔ ｙ ｃ ｒ ｎｉａ ｉｎ ｏ ｉ ｅ ｅ ｔｓ ｓｅ ． ． ｅ ｚ ｈ ｅ — ｉ ｎ ｉ ｎ ｌｃ ａ ｔ ｓ ｓｅ ａ ｄ ｉｓｓ ｎ ｈ ｌ ｈ ｃ ｏ ｚ ｔ ｆｄ ｆ ｒ ｎ ｙ ｔｍｓ ｏ
与陈关 荣进 一步 发现 了 Ｌ 统 Ｊ不 久 ， 们 又 提 ｖ系 ， 他 出一个 统一 系统 ． 】并且 ， 量研 究 表 明 当混 沌 系 大 统 的 阶数为分 数 时仍 然 出现 混沌 现 象 ， 更 能 反 映 且
收 稿 日期 ：０ ９—１ ２０ ２—１ ０
１ 分数 阶微分及其逼近
摘要 ： 构造 了一 个新 的三 维混沌 系统 ， 系统与 Ｃ ｅ 该 ｈｎ系统 、ｏｅｚ系统等各 类 经典 的混 沌 系统 都 是 Ｌｒｎ 拓扑 不等价 的． 通过理 论分析 、 数值 仿 真研 究 了该 系统 的混 沌特 性 ， 且发 现 新 系统在 低 于 ３阶 时仍 然 呈现 丰 富的混 沌现 象． 实现 了该 分数 阶 系统 与其响 应 系统的异 结构 同步 ． 关键词 ： 沌 系统 ； 引子 ； 结构 同步 混 吸 异
的研 究具 有重 要意 义．
未停止对混沌信号产生和建模的研究 ， 的混沌系 新
统也 不断被 提 出．９９年 陈关 荣 在混 沌 系 统反 控 制 １９ 中发 现 了一 个 与 著 名 的 Ｌ ｒ ｚ系 统 相 似 但 不 拓 扑 ｏｅ ｎ
基于小波和分数阶傅里叶变换的混沌图像加密
基于小波和分数阶傅里叶变换的混沌图像加密Chaotic Image Encryption Based on the Wavelet and Fractional Fourier TransformAbstract: In order to get a better encrypted effect and efficiency, in this paper, a new approach of chaotic image encryption based on the wavelet and fractional Fourier transform is proposed to realize multiple encrypted. Encryption process consists of three steps：First, the pixel value of an image is disturbed by the chaotic sequence. Afterwards, the confusion image is dealt with wavelet decomposition and then the low-frequency component is encoded by using the fractional Fourier transform. The final encrypted image is obtained by scrambling the image with 2D cat map in fractional Fourier transform domain. Simulation experimental results have successfully demonstrated the proposed method can improve the effect of image encryption with superior security.Key words: Fractional Fourier transform; Wavelet decomposition; Chaotic encryption; Logistic map; 2D cat map数字图像是是目前最流行的多媒体形式之一，许多重要信息要以数字图像的形式传输。
【国家自然科学基金】_超混沌lü系统_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803
2012年 序号 1 2 3 4
科研热词 超混沌同步 电路实验 状态观测器 改进的超混沌lü系统
推荐指数 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
科研热词 超混沌系统 自适应控制 脉冲控制 超混沌复lü系统 超混沌lü系统 超混沌ls系统 稳定性 电路 混沌保密通信 李雅谱诺夫指数 时变lyapunov函数 广义投影同步 噪声 函数投影滞后同步 t-s 模糊模型
科研热词 超混沌系统 追踪控制 电路实验 超混沌 观测器 混沌时间序列 最小二乘支持向量机 广义同步 分数阶微分方程
推荐指数 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 吸引子 预估校正 分数阶导数 超混沌系统 超混沌电路 超混沌lü系统 自适应控制 系统方程 混合同步 参数观测器 动力学特性 主动控制 不确定超混沌
推荐指数 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
2011年 科研热词 超混沌系统 分岔图 通信 超混沌lü系统 超吕系统 统一超混沌系统 状态观测器 滞后 混沌吸引子 混沌liu系统 比例因子 极点配置 数字信号处理 数值模拟 数值仿真 投影同步 广义投影同步 广义同步 同步 参数识别 分数阶 函数延迟投影同步 lyapunov指数 推荐指数 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
分数阶混沌系统的Simulink动态仿真及硬件没计
分数阶混沌系统的Simulink动态仿真及硬件没计杨宏;李亚安;李国辉;林关成【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2010(046)008【摘要】由于目前分数阶混沌的理论分析和硬件设计都比较烦琐,提出了分数阶混沌系统的Simulink动态仿真方法.以分数阶Jerk系统为例,根据分数阶系统方程搭建分数阶混沌系统仿真模型,可动态地观察系统变量的变化规律.仿真结果表明,分数阶混沌系统的simulink动态仿真方法是一种切实可行的分析方法.此外,还给出了分数阶混沌系统直接进行硬件设计的方法,这为分数阶混沌系统的数字设计提供了新的思路.【总页数】3页(P61-63)【作者】杨宏;李亚安;李国辉;林关成【作者单位】西北工业大学,航海学院,西安,710072;西安邮电学院,电子工程学院,西安,710061;西北工业大学,航海学院,西安,710072;西北工业大学,航海学院,西安,710072;西安邮电学院,电子工程学院,西安,710061;西北工业大学,航海学院,西安,710072;渭南师范学院,传媒工程系,陕西,渭南,714000【正文语种】中文【中图分类】TN75【相关文献】1.分数阶混沌系统的动态仿真方法研究 [J], 孙克辉;任健;尚芳2.电铲工作装置EDEM-Adams-Simulink联合动态仿真 [J], 邹伟; 程书培; 杨磊; 周航3.基于Matlab/Simulink的ADSR堆芯动态仿真实验设计 [J], 曾文杰;李楚豪;罗润;陈乐至;谭旭;杜尚勉4.机械振动的Matlab/Simulink动态仿真及可视化研究 [J], 马建立;付志粉5.机械振动的Matlab/Simulink动态仿真及可视化研究 [J], 马建立;付志粉因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
不同阶分数阶混沌系统的同步与参数辨识李安平
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
2013， 49 （4）
245
不同阶分数阶混沌系统的同步与参数辨识
2 李安平 1， ， 刘国荣 3， 沈细群 3
2 LI Anping1， , LIU Guorong2, SHEN Xiqun3
1.湖南大学 电气与信息工程学院， 长沙 410082 2.湖南工程学院 理学院， 湖南 湘潭 411104 3.湖南工程学院 电气与信息工程学院， 湖南 湘潭 411104 1.College of Electrical and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China 2.College of Science, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan, Hunan 411104, China 3.College of Electrical and Information Engineering, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan, Hunan 411104, China LI Anping, LIU Guorong, SHEN Xiqun. Synchronization of uncertain fractional-order chaotic system using fractionalorder system with different order and parameters identification. Computer Engineering and Applications, 2013, 49 （4） ： 245-248. Abstract：This paper discusses synchronization of fractional-order chaotic system with uncertain parameters. A new method for synchronization of fractional-order chaotic system and parameters identification using an fractional-order chaotic system with different order is proposed. Using pre-control and active control method, and based on the fractional-order’ s stability theory and adaptive control theory, and a method for Synchronization of uncertain fractional-order chaotic system and parameters identification is proposed, and synchronization fractional-order Chen system using fractional-order Chen system with different order is realized, by which the uncertain parameters of Chen system are identified. Numerical simulations show the effectiveness of the developed approach. Key words： uncertain fractional-order chaotic system; synchronization; parameters identification 摘 要： 针对不确定分数阶混沌系统的同步和参数辨识问题， 提出一种新的方法， 即用不同阶分数阶系统来同步和参数辨
2013， 49 （4）
245
不同阶分数阶混沌系统的同步与参数辨识
2 李安平 1， ， 刘国荣 3， 沈细群 3
2 LI Anping1， , LIU Guorong2, SHEN Xiqun3
1.湖南大学 电气与信息工程学院， 长沙 410082 2.湖南工程学院 理学院， 湖南 湘潭 411104 3.湖南工程学院 电气与信息工程学院， 湖南 湘潭 411104 1.College of Electrical and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China 2.College of Science, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan, Hunan 411104, China 3.College of Electrical and Information Engineering, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan, Hunan 411104, China LI Anping, LIU Guorong, SHEN Xiqun. Synchronization of uncertain fractional-order chaotic system using fractionalorder system with different order and parameters identification. Computer Engineering and Applications, 2013, 49 （4） ： 245-248. Abstract：This paper discusses synchronization of fractional-order chaotic system with uncertain parameters. A new method for synchronization of fractional-order chaotic system and parameters identification using an fractional-order chaotic system with different order is proposed. Using pre-control and active control method, and based on the fractional-order’ s stability theory and adaptive control theory, and a method for Synchronization of uncertain fractional-order chaotic system and parameters identification is proposed, and synchronization fractional-order Chen system using fractional-order Chen system with different order is realized, by which the uncertain parameters of Chen system are identified. Numerical simulations show the effectiveness of the developed approach. Key words： uncertain fractional-order chaotic system; synchronization; parameters identification 摘 要： 针对不确定分数阶混沌系统的同步和参数辨识问题， 提出一种新的方法， 即用不同阶分数阶系统来同步和参数辨
一个分数阶混沌系统的分析及电路设计
２ ０ １ ３年 ２月
一
个分 数 阶混沌 系统 的分析及 电路设计
贾红艳
（ 天津科技大学 电子信息与 自 动化学 院 ，天津 ３ ：基 于一 个整 数 阶 的 四 翼 混 沌 系统 ， 采 用 频 域 近 似 的 方 法研 究 它 的 分数 阶 方程 ， 发 现 了该 分数 阶 系统 的 混 沌 吸
１ 分数 阶三维 四翼混沌 吸引子
１ ． １ 三维 四翼 混沌 吸 引子 最近 ， Ｃ ｈ ｅ ｎ等【 ｌ ］ 提 出 了 一 个 三 维 四翼 混 沌 系
说明混沌吸引子 的存在 ， 而对进一步说明分数阶混沌 系统 的演化 过程 的分形 分析 、 从 物理 意 义上 验证 混沌
ａ ｐ ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｒｅ ｆ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ ｄ ｏ ｍａ ｉ ｎ ． Ｍｏ ｒ ｅ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｉｓ ｒ ｔ ｉ ｃ ｓ ｗｅ ｒ ｅ ｏ ｂ ｓ ｅ ｒ ｖ ｅ ｄ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｓ ｕｄ ｔ ｙ ｉ ｎ ｇ ｉ ｔ ｓ ｂ ｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ． Ｎｏ ｔ
Ｊ Ｉ Ａ Ｈｏ ｎｇ ｙ ａ ｎ
（ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ Ａ ｕ ｔ ｏ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ， Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ＆Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ ３ ０ ０ ２ ２ ２ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
研究 引起 了越来越多 的关注．目前 ， 在 已有的整数阶 混沌系统基础上 ， 通过将整数阶的常微分方程组转换 为分数 阶次 的常微分方程组 ， 研究其混沌动态 ， 已经 成为分数阶混沌的一个研究热点问题Ｉ 引 ． 但 目前对
【国家自然科学基金】_分数阶控制系统_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
科研热词 分数阶系统 稳定性 同步 分数阶混沌系统 分数阶 脉冲控制 混沌系统 混沌同步 混沌 整数阶 投影同步 反馈控制 分数阶微积分 分数阶微分 分数阶fourier变换 非线性系统 非线性控制 重叠信号 遗传算法 逆系统 迭代学习控制 近似解析解 过程关联 超混沌系统 航迹关联 自适应同步 自适应 自抗扰控制 线性调频信号 稳定域 神经网络 矩阵分解 电路仿真 电力系统 滑模流形 滑模控制器 滑模控制 滑动模式控制 渐近稳定性 比较系统 欠采样 最佳旋转角度 暂态稳定 时滞 数值计算 收敛性 振动控制 建筑结构 平均法 多目标 在线学习 同时辨识
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
科研热词 分数阶微积分 遗传算法 统一混沌系统 状态反馈 混沌系统 混沌 控制 广义同步 变异系数 动力学特性 分数阶系统 分数阶控制系统 分数阶微分器 分数阶 lorenz系统
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76
2011年 科研热词 分数阶系统 混沌系统 水箱液位控制系统 子空间方法 图解稳定性准则 分数阶超混沌系统 分数阶 鲁棒稳定 鲁棒性 频域近似法 频域辨识 预测函数控制 预估-校正算法 降噪 阈值 逆系统 追踪控制 迭代 自治系统 统一混沌系统 线性分式变换 系统辨识 简谐荷载 空空导弹 稳定性分析 稳定性 短记忆法 电路实验图 电路仿真 电力系统 状态空间系统 混沌同步 模型算法控制 时域辨识 数字滤波器 振动频谱 投影同步 恒权重记忆法 性能分析 差分进化 小波分析 多最小二乘支持向量机 地震荷载 图像处理 图像去噪 可调节的分辨能力 变步长记忆法 变尺度 反馈控制 反馈 参数优化 区间系统 推荐指数 5 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
分数阶Lǚ系统的动力学分析
阶次 数 目变 为 可 以小 于 ３ ，甚 至更 小 。 已有 的
研 究 表 明 ： 数 阶动 力 系统 具有 整 数阶 动力 系 统 分 所没 有的特 性 ， 例如 ， 分数 阶 Ｃ ｕ ｈ ａ电路 在阶次 为 ２ ７就可 能产 生混沌现 象 ，这 类有趣 的现象 吸 ． 引 了众多物 理 、数 学 以及 ＿ 程 技术人 员 的兴趣 。 ［ 目前 ，源于 分数阶混 沌系 统 的控 制与 反控制理 论
Ｉ鲁＝ （ 一 ） ａｙ
３ 齐次分数 阶 混沌系统 的动力学 分析
第 ８期
刘 杰 ，等 ： 分 数 阶 吕 系 统 的 动 力 学 分 析
１３ ０
术 领域研 究者 设计 相应 应用 混沌与对 应整 数阶 系统 （） 数一致 。 １参
２Ｌ 混沌系统 及其对应 分数阶系统 设
１６ ９ ３年 ，Ｅ Ｎ ｏ ｅ ｚ 三 维 自治系统 中发 ． ．Ｌ ｒ ｎ 在 现 了第 一个 经典 的混 沌吸 引子 。１９ ９ ９年 ，陈关荣
数阶 导数这 一概念 后 ， 自治系统 产生混 沌 的最 小
１引言
连续 系统 的混沌 反控 制在 最近 十年 间发展十 分迅速 ，事实上 ，新 的混沌 吸引子 被研 究者不 断 发现并给 与物 理 电路 实现 ，这些进 展极大 地推动 了混沌 理论 由单纯 的数学 或者物理 理论探 讨迈 向 现实 的实践应用 。而 在近年 来 ，分 数阶微 积分 学 及其应用 研 究也正迅 猛 的发展起来 。对 于分数 阶
研究 方兴未 艾 ， 已经成 为非线 性科学研 究领域 的
一
微积 分的研 究来源 于这样 的一个 事实 ：现 实 中的
许 多对 象均 是分数 维 ，尽 管其 中大 多数 系统 分维 性 比较低 。比较典 型的实 际例子 由电学 、热 学研 究 中研 究 者给 出 。正是 分数 阶微积 分这 类数 学 工具 的提 出，使得研 究者 对于一 些对象 的动 力学 行 为描述变得 更加 精确 。 比如 ，另一个 典型 的事 实是 ： 由于物理 电子元器 件 的非理想本 质属 性 ，
分数阶Lorenz超混沌系统及其电路仿真
０ 引
言
—ｔ 一 一 ａ ｘ — ）＋ 优 ｄ＂ — （ Ｊ十
一 一 一
分 数 阶 倒 数 与 分 数 阶 积 分 的 最 基 本 特 征 是 记 忆 效 应 ， 得 系统 的 历 史 信 息 对 其 现 在 和 未 来 都 产 生 影 响 ， 使 因 而 可 提 高 控 制 精 度 ， 扩 展 了 整 数 阶 微 分 方 程 的 能 它 力 ， 整 数 阶 微 分 方 程 的 推 广 。 分 数 阶 微 分 方 程 不 仅 为 是
阶 混 沌 系 统 更 具 有 实 际 价 值 。 自 从 ２ 世 纪 ６ 年 代 Ｏ Ｏ Ｌ ｒｎ ｏｅ ｚ发 现 了 第 一 个 混 沌 的物 理 模 型 ， 为 了 后 人 研 究 混 成 沌 的 出 发 点 和 基 石 ］ 本 文 通 过 对 分 数 阶 Ｌ ｒｎ 。 ｏ ｅｚ超 混 沌
（ Ｈｕ ａ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｃ ｅ ｃ ｎｄ Ｔｅ ｈ ｏ ｏ ｉ ｅ ｓｔ ｆＳ ｉｎ ｅ ａ ｃ ｎ ｌ ｇｙ。Ｓ ｈｏ ｌ ｆ Ｉ ｆ ｒ ｔｏ ｎ ｅ ｔ ｉ ａ ｇｉ ｅ ｒｎ ｃ ｏ ｎ ｏ ｍａ ｉ ｎ ａ ｄ Ｅｌ ｃ ｒｃ ｌＥｎ ｎ ｅ ｉ ｇ．Ｘｉｎ ｔ ｎ ４１ ２ １ ｏ ａ ｇａ １ ０ ）
析 了 在 不 同 参 数 条 件 下 的 吸 引 子 相 图 。设 计 了硬 件 电路 并 运 用 Ｅ ＷＢ 软 件 对 该 电路 进 行 仿 真 ， 电路 仿 真 说 明 分 数 阶
电 路 是 可 以实 现 的 。 关 键 词 ：分 数 阶 ； 混 沌 ； ＷＢ 超 Ｅ 中 图 分 类 号 ：Ｔ ２ Ｎ９ 文献 标 识 码 ：Ａ
根 据平衡 点所 对 应 的 稳 定性 分 析 了 系统 （ ） 平 衡 点 ， １的 使 系 统 （） 左边 等于零 ， １的 即