2017届二轮复习 小题精练系列专题19概率理含解析 专题卷(全国通用)
2023届二轮复习解答题专题练 函数模型的综合应用(含解析)
2023届二轮复习解答题专题练函数模型的综合应用一、解答题（共12小题）1. 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实现征收附加税政策．现知某种酒每瓶80元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（叫做税率R%），则每年的产销量将减少10R万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税不少于128万元，问R应怎样确定?2. 用分期付款的方式购买价格为1150元的电冰箱．购买时先付150元，以后每月付50元及欠款的利息，余额20次付完．如果一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么第10个月该付多少元?购买冰箱的所有款项全部付清后，实际付款多少元?3. 一个水池有若十个流量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24小时可以注满水池．如果开始时水龙头全部开放，以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头放水的时间恰好是第1个水龙头放水时间的5倍，最后关闭的这个水龙头放水多少时间?4. 市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=af(x)，其中f(x)={168−x−1,0≤x≤45−12x,4<x≤10．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟?（2）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟能够持续有效去污，试求a的最小值．5. 为分流短途乘客，减缓轨道交通高峰压力，某地铁实行新的计费标准，其分段计费规则如下：0至6千米（含6千米）票价3元；6至16千米（含16千米）票价4元；16千米以上每6千米票价递增1元，但总票价不超过8元．（1）试作出票价y（单位：元）关于路程x（单位：千米）的函数的大致图象；（2）某人买了5元的车票，他乘车的路程不能超过多少?6. 某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第x天（1≤x≤20，x∈N）的销售价格p=50−x（元/百斤），第x天（1≤x≤20，x∈N）的销售量q=40+∣x−8∣（百斤）（销售收入=销售价格×销售量）（1）求第10天销售该商品的销售收入是多少?（2）这20天中，哪一天的销售收入最大?最大值为多少?7. 有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．请计算后回答：10 年内哪一个方案可以得到较多的木材?8. 科学家发现某种特别物质的温度 y （单位：摄氏度）随时间 x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：y =m ⋅2x +21−x (0≤x ≤4,m >0)．（1）若 m =2，求经过多少分钟，该物质的温度为 5 摄氏度； （2）如果该物质温度总不低于 2 摄氏度，求 m 的取值范围．9. 中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提岀的物体在常温环境下温度变化的冷却模型；如果物体的初始温度是 θ1，环境温度是 θ0，则经过时间 t （单位：分）后物体温度 θ 将满足：θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e −kt ，其中 k 为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到 200 ml 初始温度为 98∘C 的水在 19∘C 室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：从98∘C 到90∘C 所用时间1分58秒从98∘C 到85∘C 所用时间3分24秒从98∘C 到80∘C 所用时间4分57秒（参考数据：ln79=4.369，ln71=4.263，ln66=4.190，ln61=4.111，ln56=4.025） （1）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间 t （单位：分）关于冷却后水温 θ（单位：∘C ）的函数关系，并选取一组数据求出相应的 k 值．（精确到 0.01）（2）“碧螺春”用 75∘C 左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（1）的条件下，200 ml水煮沸后在 19∘C 室温下为获得最佳口感大约冷却 分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由． A ．5 B ．7C ．1010. 在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度．现定义交通流量为 v =qx ，x 为道路密度，q 为车辆密度．已知 v =f (x )={100−135⋅(13)x,0<x <40−k (x −40)+85,40≤x ≤80．（1）若交通流量 v >95，求道路密度 x 的取值范围；（2）已知道路密度 x =80，交通流量 v =50，求车辆密度 q 的最大值．11. 如图，已知底角为 45∘ 的等腰梯形 ABCD ，底边 BC 长为 7 cm ，腰长为 2√2 cm ，当一条垂直于底边 BC 垂足为 F 的直线 l 由 B 从左至右向 C 移动（与梯形 ABCD 有公共点）时，直线 l 把梯形分成两部分，令 BF =x （x ≠0），记左边部分的面积为 y ．（1）试求x=1，x=3时的y值；（2）写出y关于x的函数关系式．12. 土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高梁一起被称为全球五大农作物．云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”．2018年3月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝，5盘里有4盘是我们澜沧种的！”（1）在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的．由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低．请建立一个函数模型，来说明以上结论．（2）小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数可自由选择，但最短3年，最长不超过10年；③投资年数x(x∈N∗)与总回报y的关系，可选择下述三种方案中的一种：方案一：当x=3时，y=6，以后x每增加1时，y增加2；x2；方案二：y=133)x．方案三：y=(√3请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案．答案1. 由题意 0.8R (100−10R )≥128⇒R 2−10R +16≤0⇒2≤R ≤8， 所以税率应确定在 2%∼8% 之间．2. 第 10 个月付款 50+1000×1%−(10−1)×50×1%=55.5 元． 购买冰箱的所有款项全部付清后，实际付款为 150+20×60−(0+19)202×50×1%=1255（元）．3. 设注满水池的任务为 1，最后关闭的水龙头的放水时间为 t ，依题意可知，水池共有 5 个水龙头，从而每个水龙头的工作效率为 124×5， 则有124×5(15+25+35+45+55)t =1，得 t =40（时）． 4. （1） 因为 a =4，所以 y ={648−x −4,0≤x ≤420−2x,4<x ≤10，则当 0≤x ≤4 时，由 648−x −4≥4，解得 x ≥0， 所以此时 0≤x ≤4；当 4<x ≤10 时，由 20−2x ≥4，解得 x ≤8， 所以此时 4<x ≤8， 综合，得 0≤x ≤8，若一次投放 4 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达 8 分钟． （2） 当 6≤x ≤10 时， y=2(5−12x)+2[168−(x−6)−1]=(14−x )+3214−x−6,因为 14−x ∈[4,8]，故当且仅当 14−x =3214−x ，即 x =14−4√2 时，y 有最小值为 8√2−6≈5.2>4， 所以能使接下来的 4 分钟中持续去污． 5. （1） 图略；（2） 不能超过 22 km ．6. （1） 由已知得第 10 天的销售价格 p =40（元/百斤），销售量 q =42（百斤）， 所以第 10 天的销售收入 W 10=40×42=1680（元）． 答：第 10 天的销售收入为 1680 元．（2） 设第 x 天的销售收入为 W x ，则 W x ={(50−x )(48−x ),1≤x ≤8(50−x )(32+x ),9≤x ≤20，x ∈N ． 当 1≤x ≤8 时，W x =(50−x )(48−x )=x 2−98x +2400=(x −49)2−1，当 x =1 时取最大值 W 1=2303，当 9≤x ≤20 时，W x =(50−x )(32+x )=50×32+18x −x 2=−(x −9)2+1681，当 x =9 时取最大值 W 9=1681， 由于 W 1>W 9，答：第 1 天该商品的销售收入最大，最大值为 2303 元．7. 设该种树的最初栽植量为 a ，甲方案在 10 年后的木材产量为 y 1=a (1+20%)5(1+10%)5=a (1.2×1.1)5≈4.01a ．乙方案在 10 年后的木材产量为 y 2=2a (1+20%)5=2a ⋅1.25≈4.98a ． 因为 a >0，所以 4.98a >4.01a ，即 y 2>y 1， 所以乙方案能获得更多的木材．8. （1） 由题意，当 m =2，令 y =2⋅2x +21−x =2⋅2x +22x =5，因为 0≤x ≤4 时，解得 x =1，因此，经过 1 分钟时间，该物质的温度为 5 摄氏度． （2） 由题意得 m ⋅2x +21−x ≥2 对一切 0≤x ≤4 恒成立，则由 m ⋅2x +21−x ≥2，得出 m ≥22x −222x ，令 t =2−x ，则 116≤t ≤1，且 m ≥2t −2t 2， 构造函数 f (t )=2t −2t 2=−2(t −12)2+12，所以当 t =12时，函数 y =f (t ) 取得最大值，则 m ≥12．因此，实数 m 的取值范围是 [12,+∞)． 9. （1） 由 θ−θ0+(θ1−θ0)⋅e −kt 得 e −kt =θ−θ0θ1−θ0，即 −kt =lnθ−θ0θ1−θ0，t =1klnθ1−θ0θ−θ0，在环境温度为 θ0=19∘C ，选取从 θ=98∘C 下降到 θ=90∘C 所用时间约为 2 分钟这组数据有 2=1kln 7971，即 k =ln79−ln712≈0.05；选取从 θ=98∘C 降到 θ=85∘C 期时间的为 3.4 分钟这组数据有 3.4=1kln 7966， 即 k =ln79−ln663.4≈0.05；选取从们 θ=98∘C 得到 θ=80∘C 所期时的为 5 分钟这组数据有 5=1k ln 7961， 即 k =ln79−ln615≈0.05；故 k ≈0.05． （2） B200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟左右冲泡口感最佳，故选B ． 理由如下： 由（1）得 t =20ln79θ−79，当 θ=75∘C 时，有 t =20×(ln79−ln56)≈6.88．所以 200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟冲泡“碧螺春”口感最佳． 10. （1） 因为 v =qx ， 所以 v 越大，x 越小，所以 v =f (x ) 是严格减函数，k >0． 当 40≤x ≤80 时，v 最大为 85，于是只需令 100−135⋅(13)x>95，解得 x >3， 故道路密度 x 的取值范围是 (3,40)．（2） 把 x =80，v =50 代入 v =f (x )=−k (x −40)+85，得 50=−k ⋅40+85，解得 k =78，所以 q =vx ={100x −135⋅(13)x⋅x,0<x <40−78(x −40)x +85x,40≤x ≤80．①当 0<x <40 时，q 是严格增函数， 所以 q <100×40−135×(13)40×40≈4000；②当 40≤x ≤80 时，q 是关于 x 的二次函数，开口向下，对称轴 x =4807，此时 q 有最大值，为−78×(4807)2+120×4807=288007>4000．综上所述，车辆密度 q 的最大值为 288007．11. （1） 当 x =1 时，y =12；当 x =3 时，y =4．（2） 过点 A ，D 分别作 AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是 G ，H ． 因为 ABCD 是等腰梯形，底角为 π4， AB =2√2 cm ，所以 BG =AG =DH =HC =2， 又 BC =7 cm ， 所以 AD =GH =3． ①当点 F 在 BG 上时， 即 x ∈(0,2] 时，y =12x 2，②当点 F 在 GH 上时，即 x ∈(2,5] 时，y =2+(x −2)×2=2x −2， ③当点 F 在 HC 上时，即 x ∈(5,7] 时，y =S 五边形ABFED =S 梯形ABCD −S Rt△CEF =−12(x −7)2+10．所以，函数的解析式为 y ={12x 2,x ∈(0,2]2x −2,x ∈(2,5]−12(x −7)2+10,x ∈(5,7]．12. （1） 设顾客一次购买 x 斤土豆，每斤土豆的单价为 f (x ) 元，由题意知： f (x )=x+1x(1≤x ≤5,x ∈N ∗)，因为 f (x )=x+1x=1+1x，所以 y =f (x ) 在 [1,5] 为单调递减函数．说明一次购买的斤数越多，单价越低．（2） 根据题意，按照年数的不同取值范围，选出总回报最高的方案． 由题意可知方案一对应的解析式为：y =6+(x −3)×2=2x ．解法一：列表得出三种方案所有年数的总回报，可以精确得出任意年数三种方案对应总回报的大小关系，为选择最佳方案提供数据支持． 参考列表：所以，当投资年数为3−5年时，选择方案一最佳；当投资年数为6年时，选择方案一或方案二最佳；当投资年数为7年或8年时，选择方案二最佳；当投资年数为9年时，选择方案二或方案三最佳；当投资年数为10年时，选择方案三最佳．解法二：列表，得出三种方案部分年数总回报（或所有年数总回报）；作出函数图象（散点图），并用虚线连接，对比三个函数图象可以更直观看到三种方案的总回报随年数变化趋势的特征，以及三个图象相互间的位置关系，从而为选择最佳方案提供图象支持．。
专题八 概率与统计 第二讲 概率,随机变量及分布列——2023届高考数学二轮复习重点练(含解析)
专题八 概率与统计 第二讲 概率，随机变量及分布列1.为了援助湖北抗击疫情,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号分别为1,2,3,4,5,6,同时到达武汉天河飞机场,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落的概率为( ) A.112B.16C.15D.132.一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，3.现甲从中摸出1个球后放回，乙再从中摸出1个球，谁摸出的球上的数字大谁获胜，则甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数的概率为( ) A.14B.13C.49D.3163.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110B.15C.310D.254.某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23B.0.2C.0.16D.0.15.设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A.80,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.15,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.40,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是( ) A.23B.13C.49D.197.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )A.25B.1225C.1625D.458.（多选）从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12.从甲袋、乙袋各摸出1个球，则下列结论正确的是( )A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为129. （多选）在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( )A.两件都是一等品的概率是13B.两件中有1件是次品的概率是12C.两件都是正品的概率是13D.两件中至少有1件是一等品的概率是5610. （多选）在一次随机试验中，A,B,C,D是彼此互斥的事件，且A B C D+++是必然事件，则下列说法正确的是( )A.A B+与C是互斥事件，也是对立事件B.B+C与D是互斥事件，但不是对立事件C.A C+与B D+是互斥事件，但不是对立事件D.A与B C D++是互斥事件，也是对立事件11.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为__________.12.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.13.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为_____________.14.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求2n m<+的概率..假定甲、乙两位同学15.设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.答案以及解析1.答案：D解析：6架飞机的降落顺序有66A 种,而1号与6号相邻降落的顺序有2525A A 种,所以所求事件的概率252566A A 1A 3P ==.故选D.2.答案：A解析：甲、乙各摸一次球，有可能的结果有4416⨯=（种），甲摸的数字在前，乙摸的数字在后，则甲获胜的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种. 其中甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数有4种，则所求概率41164P ==. 3.答案：D解析：先后有放回地抽取2张卡片的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种.其中满足条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10种情况.因此所求的概率102255P ==.故选D. 4.答案：A解析：A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A 射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.20.20.04⨯=或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为0.90.10.09⨯=，因此若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23++=.故选A. 5.答案：D解析：设事件A ，B 发生的概率分别为()P A x =，()P B y =，则1()()()(1)(1)9P AB P A P B x y ==-⋅-=，即11199xy x y +=++≥+x y =时取“=”，211)9∴≥23≤43（舍去），409xy ∴≤≤.4()()()0,9P AB P A P B xy ⎡⎤∴==∈⎢⎥⎣⎦.6.答案：A解析：用事件A 表示“旅行团选择去百花村”，事件B 表示“旅行团选择去云洞岩”，A ，B 相互独立，则4()9P AB =，()()P AB P AB =.设()P A x =，()P B y =，则4,9(1)(1),xy x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得2,323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是23.故选A.7.答案：C解析：设“甲同学收到李老师的信息”为事件A ，“收到张老师的信息”为事件B ，A ，B 相互独立，42()()105P A P B ===，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 8.答案：ACD解析：设“从甲袋中摸出1个红球”为事件1A ，“从乙袋中摸出1个红球为事件2A ，则()113P A =，()212P A =，且1A ，2A 独立.对于A 选项，2个球都是红球为12A A ，其概率为111326⨯=，故A 正确；对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为15166-=，故B 错误；对于C 选项，2个球中至少有1个红球的概率为()()1221211323P A P A -=-⨯=，故C 正确；对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为1121132322⨯+⨯=，故D 正确.故选ACD. 9.答案：BD解析：由题意设一等品编号为a ,b ，二等品编号为c ，次品编号为d ，从中任取2件的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d ，共6种. 对于A ，两件都是一等品的基本情况有(,)a b ，共1种，故两件都是一等品的概率116P =，故A 错误； 对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有(,)a d ，(,)b d ，(,)c d ，共3种，故两件中有1件是次品的概率23162P ==，故B 正确；对于C ，两件都是正品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故两件都是正品的概率33162P ==，故C 错误；对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率456P =，故D 正确. 10.答案：BD解析：由于A ,B ,C ,D 彼此互斥，且A B C D +++是必然事件，故事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故B,D 中的说法正确.11.答案：35解析：设此队员每次罚球的命中率为p ，则216125p -=，所以35p =. 12.答案：16；23解析：甲，乙两球都落入盒子的概率为111236⨯=.方法一：甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为121233⨯=；②甲未落入，乙落入的概率为111236⨯=；③甲，乙均落入的概率为111236⨯=.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11123663++=.方法二：甲，乙两球均未落入盒子的概率为121233⨯=，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为12133-=.13.答案：23解析：从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，有{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，共6种结果；其中甲、乙两人中有且只有一人被选取，有甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，共4种结果. 故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为4263=. 14.答案：(1)13. (2)概率为1316. 解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个， 因此所求事件的概率为2163P ==.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为m ， 试验的样本空间{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),Ω=(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}，共16个样本点.又满足条件2n m ≥+的样本点有：(1,3),(1,4),(2,4)，共3个. 所以满足条件2n m ≥+的事件的概率为1316P =，故满足条件2n m <+的事件的概率为1313111616P -=-=. 15.答案：（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而3321()C ,0,1,2,333kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以随机变量X的分布列为随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=.（2）设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===⋃==.由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立，从而由（1）知()P M =({3,1}{2,0})(3,1)(2,P X Y X Y P X Y P X ==⋃=====+=8240)(3)(1)(2)(0)2799Y P X P Y P X P Y ====+===⨯+⨯12027243=.。
2020届高考物理二轮复习刷题首选卷专题四曲线运动精练(含解析)
专题四曲线运动『经典特训题组』1．(多选)如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其vt图象如图乙所示，同时人顶杆沿水平地面运动的xt图象如图丙所示。
若以地面为参考系，下列说法中正确的是( )A．猴子的运动轨迹为直线B．猴子在2 s内做匀变速曲线运动C．t＝0时猴子的速度大小为8 m/sD．t＝2 s时猴子的加速度大小为4 m/s2答案BD解析由题图乙知，猴子竖直方向上向上做匀减速直线运动，加速度竖直向下，由题图丙知，猴子水平方向上做匀速直线运动，则猴子的加速度竖直向下且加速度的大小、方向均不变，与初速度方向不在同一直线上，故猴子在2 s内做匀变速曲线运动，A错误，B正确；xt图象的斜率等于速度，则知t＝0时猴子水平方向的速度大小为v x＝4 m/s，又竖直方向初速度大小v y＝8 m/s，则t＝0时猴子的速度大小为：v＝v2x＋v2y＝4 5 m/s，故C错误；vt图象的斜率等于加速度，则知猴子的加速度为：a＝ΔvΔt＝0－82m/s2＝－4 m/s2，即加速度大小为4 m/s2，故D正确。
2．(多选) 如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，炸弹垂直击中山坡上的目标A。
已知A点高度为h＝360 m，山坡倾角θ为37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10 m/s2，由此可算出( )A．炸弹的飞行时间为0.8 sB．炸弹飞行的水平位移为480 mC．轰炸机的飞行高度为680 mD．炸弹的落地速度为80 m/s答案BC解析 如图所示，已知A 点高度为h ＝360 m ，山坡倾角为37°，可算出炸弹飞行的水平位移为x ＝h tan37°＝480 m ，故B 正确；炸弹垂直击中目标A ，可知炸弹的速度偏转角满足φ＝π2－θ＝53°，由平抛运动的速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍可知tan φ＝gt v 0＝2H x，解得H ＝320 m ，所以轰炸机的飞行高度H 总＝H ＋h ＝680 m ，故C 正确；炸弹的飞行时间t ＝ 2H g＝8 s ，故A 错误；炸弹的初速度为v 0＝x t ＝60 m/s ，落地速度v ＝v 0cos φ＝100 m/s ，故D 错误。
专题23 机械能及其转化(原卷版)-2023年中考物理二轮复习核心考点精讲与必刷题型精练(全国通用)
专题23 机械能及其转化【核心考点精讲】1、机械能（1）动能、重力势能和弹性势能统称为机械能。
（2）动能和势能是机械能的两种表现形式。
2、动能和势能的转化与守恒（1）动能和重力势能之间可以相互转化。
动能和重力势能之间的相互相互转化一般发生在只受重力作用下的运动过程中，例如滚摆在下降过程中，越转越快，它的重力势能越来越小，动能越来越大，重力势能转化为动能；滚摆在上升过程中，越转越慢，它的重力势能越来越大，动能越来越小，动能转化为重力势能。
（2）动能和弹性势能之间可以相互转化。
动能和弹性势能之间的相互转化可以发生在同一物体上，也可以发生在不同物体之间，例如，从高处落下的皮球与地面撞击的过程中，由于皮球发生弹性形变，皮球的动能转化为弹性势能，皮球在恢复形变的过程中，它的弹性势能转化为动能。
拉弯的弓把箭射出去的过程中，拉弯的弓具有弹性势能，射出去的箭具有动能，这是弓的弹性势能转化为箭的动能。
（3）在动能和势能相互转化的过程中，如果没有机械能和其它形式能量之间的相互转化，则机械能的总量保持不变，这就是机械能守恒定律。
3、机械能守恒（1）条件：如果只有动能和势能的相互转化，机械能的总和不变，或者说，机械能是守恒的。
（2）如果只有重力或弹力做功，没有其它的力做功，机械能是守恒的。
【必刷题型精练】1．（2022•南通中考）下列四个情境中，属动能转化为势能的是（）A．拉弓放箭B．踩板下滑C．秋千上摆D．弹簧拉车2．（2022•无锡中考）用如图所示的器材探究动能大小与哪些因素有关，实验时让小车从斜面上由静止开始下滑，撞击置于水平面上的木块，关于该实验，下列说法中错误的是（）A．小车从斜面下滑过程中重力势能转化为动能B．小车撞击木块对木块做功，使木块获得动能C．木块被撞击后移动的距离可反映小车动能大小D．本套器材只能探究小车动能大小与速度的关系3．（2022•北京中考）如图所示的是神舟十三号载人飞船返回舱返回地面时的情境。
东北三省四市2017届高三数学二模试卷理(含解析)
2017年东北三省四市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2} 3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．5．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）A．9 B．15 C．18 D．306．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，4] C．7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．10．运行如图所示的程序框图，则输出的a、b、c满足（）A．c≤b≤a B．a≤b≤c C．a≤c≤b D．b≤c≤a11．已知向量，，若m+n=1，则|的最小值为（）A．B．C．D．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4= ．16．F是双曲线的左焦点，过F作某一渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．18．某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．20．椭圆C：的长轴长为2，P为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A2为椭圆C的右顶点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与直线OM的斜率之积为﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，N点的横坐标的取值范围是，求线段AB的长的取值范围．21．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，证明：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）的图象与直线y=m的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点的横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．五、23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）证明：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的取值范围．2017年东北三省四市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2} 【考点】1E：交集及其运算．【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}．故选：D．3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p⇒q，反之不成立．即可得出．【解答】解：由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=﹣，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．5．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）A．9 B．15 C．18 D．30【考点】8E：数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式可得a n．及其数列{a n}的前n项和S n．令a n≥0，解得n，分类讨论即可得出．【解答】解：∵a n+1﹣a n=2，a1=﹣5，∴数列{a n}是公差为2的等差数列．∴a n=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．数列{a n}的前n项和S n==n2﹣6n．令a n=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3时，|a n|=﹣a n．n≥4时，|a n|=a n．则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故选：C．6．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，4] C．【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出满足约束条件的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到目标函数的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知解得A（1，2）当x=1，y=2时，目标函数z=2x+y有最大值4．故目标函数z=2x+y的值域为（﹣∞，4]故选：B．7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积．故选D．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对立事件及n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式得到p=1﹣（）n，由此能求出n的最小值．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为，∴p=1﹣（）n，∴（）n≤．∴n的最小值为4．故选：A．9．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x1+x2 值．【解答】解：∵x∈，∴2x+∈[，]，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，∴=，则x1+x2=，故选：C．10．运行如图所示的程序框图，则输出的a、b、c满足（）A．c≤b≤a B．a≤b≤c C．a≤c≤b D．b≤c≤a【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序运行的功能是比较a、b、c的大小并按大小顺序输出，写出运行结果即可．【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是比较a、b、c的大小并按大小顺序输出，程序运行后输出的是c≤b≤a．故选：A．11．已知向量，，若m+n=1，则|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】93：向量的模．【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得的坐标，由向量模的公式可得||=，由基本不等式的性质可得≥（）2=，即m2+n2≥；即可得答案．【解答】解：根据题意，向量，则=m﹣n=（3m+n，m﹣3n），||==，又由m+n=1，则有≥（）2=，即m2+n2≥；故||=≥，即||的最小值为；故选：C．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】3T：函数的值．【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要即可，当m＜2时，只要即可，由此能求出结果．【解答】解：当m=2时，f（x）==1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立；当m＞2时，，只要即可，解得2＜m＜5；当m＜2时，，只要即可，解得，综上．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有48 种不同的分法（用数字作答）．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，∴共有8×6=48种不同的分法．故答案为48．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x•sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x．故答案为：y=x．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4= 30 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16，解得a1=q=2．则S4==30．故答案为：30．16．F是双曲线的左焦点，过F作某一渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为或2 ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到．【解答】解：当b＞a＞0时，由，可知A为BF的中点，由条件可得=，则Rt△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k=，即离心率e===2．同理当a＞b＞0时，可得e=；故答案为：或2．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f （x）的最小正周期；（Ⅱ）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=（，1）•（﹣cosx，1﹣sinx）=﹣cosx﹣sinx+4=﹣2sin（x+）+4，f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=，又∵BC=3，∴9=（b+c）2﹣bc．∵bc≤，∴，∴b+c≤2，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为3+2．18．某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）画出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大；（Ⅱ）由分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，根据X的取值计算对应的概率，求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）对于女性用户，各小组的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.25，0.05，其相对应的小长方形的高为0.01，0.02，0.04，0.025，0.005，对于男性用户，各小组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20，0.10，其相对应的小长方形的高为0.015，0.025，0.03，0.02，0.01，直方图如图所示：，由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，且P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；所以X的分布列为X的数学期望为EX=1×+2×+3×=2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．20．椭圆C：的长轴长为2，P为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A2为椭圆C的右顶点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与直线OM的斜率之积为﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，N点的横坐标的取值范围是，求线段AB的长的取值范围．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）由2a=2，解得a=，设P（x0，y0），A1（，0），A2（，0）．由=1，可得=﹣．根据OM∥PA1，可得，于是===﹣=﹣，解得b2．（II）设直线l的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，利用根与系数的关系与中点坐标公式可得线段AB的中点Q，QN的方程为：y﹣=﹣，可得N．根据＜＜0，解得：0＜2k2＜1．利用弦长公式可得：|AB|=，即可得出．【解答】解：（I）由2a=2，解得a=，设P（x0，y0），A1（，0），A2（，0）．则=1，可得=﹣．∵OM∥PA1，∴，∴====﹣=﹣，解得b2=1．∴椭圆C的方程为=1．（II）设直线l的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=，x1•x2=，∴y1+y2=k（x1+x2+2）=，可得线段AB的中点Q，QN的方程为：y﹣=﹣，∴N．∵＜＜0，解得：0＜2k2＜1．∴|AB|=•=，∵＜1，∴|AB|∈．21．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，证明：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）的图象与直线y=m的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点的横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导，令f′（x）=0，根据函数单调性与导数的关系，即可求得函数f（x）的极值；（2）采用分析法，要证明f（e+x）＞f（e﹣x），只需证（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e ﹣x），构造辅助函数求导，由F′（x）＞0，即可求得函数单调性递增，F（x）＞F（0）=0，即可求得f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）由（1）可知0＜x1＜e＜x2，则0＜e﹣x1＜e，由（2）可知，f（x）在（e，+∞）上单调递减，x1+x2＞2e，x0=＞e，即可f'（x0）＜0．【解答】解：（1）由f（x）=，x＞0，求导f′（x）=，当x∈（0，e），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值，（2）证明：要证明f（e+x）＞f（e﹣x），即证＞，只需证（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），求导F′（x）=﹣ln（e2﹣x2）=+＞0，∴f（x）在（0，e）单调递增，∴F（x）＞F（0）=0，∴（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），∴f（e+x）＞f（e﹣x），（3）证明：不妨设x1＜x2，由（1）可知0＜x1＜e＜x2，由0＜e﹣x1＜e，由（2）可知：f＞f=f（x1）=f（x2），由2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，即x1+x2＞2e，则x0=＞e，∴f'（x0）＜0．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．五、23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）证明：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）化简f（x）的解析式，判断f（x）的单调性，根据单调性得出f（x）的最小值化简即可得出结论；（2）分离参数得t≤，把2a+b=2代入不等式，根据基本不等式的性质得出的最小值，从而得出t的范围．【解答】解：（1）证明：令x+a=0得x=﹣a，令2x﹣b=0得x=，∵a＞0，b＞0，∴﹣a，则f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，]上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴f min（x）=f（）=a+=1，2a+b=2；（2）∵a+2b≥tab恒成立，∴t≤恒成立，∵2a+b=2，∴a+b=1，∴=+=+=+≥=，（当且仅当a=b时取等号）∴的最小值为，∴t．。
2019届高三数学(理)二轮复习精品同步：第1部分 基础送分题：教师用书：题型专题(4) 不等式(通用版)
题型专题(四) 不等式(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．[题组练透]1．(2019·河北五校联考)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(0，1]解析：选D 由题意可知A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <32，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}，故选D.2．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－32，12C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－12，32 解析：选A 由f (x )>0，得ax 2＋(ab －1)x －b >0，又其解集是(－1，3)， ∴a <0，且⎩⎨⎧1－aba ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13(舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，得4x 2＋4x －3>0， 解得x >12或x <－32，故选A.3．(2019·泉州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x ≥0，－x 3，x <0，则使得f (x )≤1成立的x 的取值范围是________．解析：由⎩⎨⎧x ≥0，lg （x ＋1）≤1得0≤x ≤9，由⎩⎨⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x ＜0，故f (x )≤1的解集为[－1，9]．答案：[－1，9] [技法融会]1．求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．2．(易错提醒)解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.基本不等式：a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[题组练透]1．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52解析：选B 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22（x －a ）·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.2．(2019·湖北七市联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )A ．9 B.92 C ．4 D.52解析：选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，∴a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝2b＝3时等号成立，即ab 的最大值是92，故选B.3．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：选C 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2 x ·4x＝160⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号. 所以该容器的最低总造价为160元．4．(2019·江西两市联考)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92解析：选C 由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋y xy ，∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x＋y ＋4x ＋y，∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.[技法融会]1．利用不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．2．(易错提醒)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.解决线性规划问题的一般步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l .(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l 和可行域边界的斜率的大小进行比较．(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． [题组练透]1．(2019·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选B 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l可知，当直线l 经过A 时，z ＝x －y 取得最小值－1，联立⎩⎨⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m ＝5，故选B.2．(2019·福建质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92C ．5D ．9解析：选B 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2， －3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92，故选B.3．(2019·全国甲卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3，4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.答案：－54．(2019·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是________．解析：画出不等式组所表示的可行域，如图所示，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1，1)连线的斜率，∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12.答案：－125．(2019·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产产品A x 件，产品B y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N . 目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点B 时，z 取得最大值，联立⎩⎨⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60，100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 [技法融会]1．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．2．(易错提醒)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．1．不等式的可乘性(1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .2．不等式的性质在近几年高考中未单独考查，但在一些题的某一点可能考查，在今后复习中应引起关注．[题组练透]1．(2019·河南六市联考)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D 由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.2．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析：选C 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．[技法融会]1．判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．2．利用不等式性质解决问题的注意事项(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．一、选择题1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 2．(2019·北京高考)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8解析：选C 作出线段AB ，如图所示．作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B(4，1)时，2x －y 取最大值为2×4－1＝7. 3．(2019·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )A.12B.32C ．1D ．2 解析：选C 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. 4．已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{ x | x >2或x <－2}B ．{ x |－2< x <2}C ．{ x | x <0或x >4}D ．{ x |0< x <4}解析：选C 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)( x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 5．(2019·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ； ②若a > b ，c>d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a > b ，c> d ，则ac >bd ； ④若a > b ，则1a >1b .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ①ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a ，b ，c ，d 均为正数才成立；④错误，比如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但1－1<1－2.故选B.6．(2019·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2，2] B.⎣⎡⎦⎤－12，2 C ．[－1，2] D.⎣⎡⎦⎤－12，1 解析：选B 作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1，3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2 x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.7．(2019·河北五校联考)若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax 恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x ≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.故选C.8．(2019·河南八市联考)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝3x ＋2y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C.34D ．1 解析：选B 根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线，当直线z ＝3x ＋2y 经过点B 时，截距z2最小，即z 最小，又B 点坐标为(1，－2a )，代入3x ＋2y ＝1，得3－4a ＝1，得a ＝12，故选B.9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B ．C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2，3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.10．(2019·湖北七市联考)设向量a ＝(1，k )，b ＝(x ，y )，记a 与b 的夹角为θ.若对所有满足不等式|x －2|≤y ≤1的x ，y ，都有θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)解析：选D 首先画出不等式|x －2|≤y ≤1所表示的区域，如图中阴影部分所示，令z ＝a ·b ＝x ＋ky ，∴问题等价于当可行域为△ABC 时，z >0恒成立，且a 与b 方向不相同，将△ABC 的三个端点值代入，即⎩⎨⎧k ＋1>0，k ＋3>0，2＋0·k >0，解得k >－1，当a 与b 方向相同时，1·y ＝x ·k ，则k ＝y x∈[0，1]，∴实数k 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D. 11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy ＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( ) A.6＋2 B.6－2C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝⎛⎭⎫c a －12⎝⎛⎭⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2(当且仅当t ＝62时等号成立)，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.二、填空题13．(2019·湖北华师一附中联考)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：214．(2019·河北三市联考)如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝y x ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：115．(2019·江西两市联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1，5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3，11]．答案：[3，11]16．(2019·湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2，1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2，1)．参考上述解法，若关于x 的不等式k x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：不等式kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0，可化为ka＋1x＋b＋1xc＋1x<0，故得－1<1x<－13或12<1x<1，解得－3<x<－1或1<x<2，故kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1，2)．答案：(－3，－1)∪(1，2)。
概率与统计 第三讲 统计与统计案例——2023届高考理科数学大单元二轮复习练重点【新课标全国卷】
专题八 概率与统计 第三讲 统计与统计案例——2023届高考理科数学大单元二轮复习练重点【新课标全国卷】1.在某次赛车中，50名参赛选手的成绩（单位：min ）全部介于13到18之间（包括13和18）.现将比赛成绩分为五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]，其频率分布直方图如图所示.若成绩在[13,15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为( )A.11B.15C.35D.392.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.若低于60分的人数是15人，则参加英语测试的学生人数是( )A.45B.50C.55D.603.我国是一个农业大国,从事农业工作的人员有5.4亿,如图为某县农村从业人员年龄结构图,为了解该县从业人员在从事农业工作中的实际困难,以推进县乡村振兴工作,某调查机构计划从某县的所有从业人员中随机抽取20人展开某项调研,则所抽取的20人中恰有2人的年龄在20岁以下的概率约为( ) (170.90.167≈,180.90.15≈,190.90.135≈,200.90.122≈)A.0.25B.0.29C.0.32D.0.354.某校高一年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如下:A.在[90,100]内B.在(100,110]内C.在(110,120]内D.在(120,130]内5.若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不低于第3名,则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据,推断一定是尖子生的是( )A.甲同学:平均数为2,众数为1B.乙同学:平均数为2,方差小于1C.丙同学:中位数为2,众数为2D.丁同学:众数为2,方差大于16.2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[12,13)，第二组[13,14)，…，第六组[17,18]，得到如下的频率分布直方图.则该100考生的成绩的平均数和中位数（保留一位小数）分别是( )A.15.2 15.3B.15.1 15.4C.15.1 15.3D.15.2 15.37.设样本数据1x ，2x ，…，10x 的平均数和方差分别为1和4，若i i y x a =+(a 为非零常数，1,2,,10i =)，则1y ，2y ，…，10y 的平均数和方差分别为( ) A.1a +，4B.1a +，4a +C.1，4D.1，4a +8.已知变量x ,y 之间的一组数据如下表：若y 关于x 的线性回归方程为0.7y x a =+，则a =( ) A.0.1B.0.2C.0.35D.0.459.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得经验回归直线方程0.6754.9y x =+，表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( )C.68 10.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办.为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下22⨯列联表.参考公式：()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.附表：A.该市女性居民中大约有5%的人关注冰雪运动B.该市男性届民中大约有95%的人关注冰雪运动C.有95%的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关D.有99%的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关11.一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为92，方差为16，那么原始得分的方差为_______.12.经市场调查，某款热销品的销售量y（万件）与广告费用x（万元）之间满足回归直线方程 3.5=+.若样本点中心为(45,35)，则当销售量为52.5万件时，可估计投入y bx的广告费用为_________________万元.13.某学校为了制订治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施,对全校学生家长进行了问卷调查.根据从中随机抽取的50份调查问卷,得到了如下的列联表：14.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)8.602.15.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：1（优） （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.附：2()()()()K a b c d a c b d =++++，)2kk答案以及解析1.答案：A解析：由题意可得，成绩在[13,15)内的频率为10.080.320.380.22---=.又本次赛车中，共50名参赛选手，所以这50名选手中获奖的人数为500.2211⨯=.故选A. 2.答案：B解析：根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.0050.01)200.3+⨯=，则所求学生人数是15500.3=. 3.答案：B解析：由频率分布直方图可得20岁以下的农村从业人员的概率为0.1,所以从所有从业人员中抽取20人,其中恰有2人的年龄在20岁以下的概率为221820C (0.1)(0.9)0.2850.29≈≈,故选B. 4.答案：B解析：由表可知，及格的考生共有401512105284+++++=人，在[90,100]内有40人,在(100,110]内有15人，故及格的所有考生成绩的中位数在(100,110]内.5.答案：B解析：甲同学：若平均数为2，众数为1，则有一次名次应为4，故排除A ；乙同学：平均数为2，设乙同学3次考试的名次分别为1x ，2x ，3x ，则方差()()()2222123122213s x x x ⎡⎤=-+-+-<⎣⎦，则()()()2221232223x x x -+-+-<，所以1x ，2x ，3x 均不大于3，符合题意；丙同学：中位数为2，众数为2，有可能是2,2,4，不符合题意；丁同学：众数为2，方差大于1，有可能是2,2,6，不符合题意.故选B. 6.答案：C解析：100名考生成绩的平均数12.50.1013.50.1514.50.15x =⨯+⨯+⨯+15.50.3016.50.2517.50.0515.1⨯+⨯+⨯=.因为前三组频率直方图面积和为0.100.150.150.4++=，前四组频率直方图面积和为0.100.150.150.300.7+++=，所以中位数位于第四组内，设中位数为a ，则(15)0.300.1a -⨯=，解得15.3a ≈，故选C.7.答案：A解析：由题意知i i y x a =+，即()1210110110y x x x a x a a =⨯++++=+=+，方差{}222212101()()()10x a x a x s a x a x a x a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯+-+++-++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()22212101410x x x x x x ⎡⎤=⨯-+-++-=⎢⎥⎣⎦. 故选A. 8.答案：C解析：本题考查线性回归方程截距的求解.因为11(3456) 4.5,(2.534 4.5) 3.544x y =+++==+++=，所以0.7 3.50.7 4.50.35a y x =-=-⨯=，故选C. 9.答案：C解析：设表中模糊看不清的数据为m .由表中数据得30x =， 3075m y +=，将30730,5m x y +==代入经验回归方程0.6754.9y x =+，得68m =.故选C. 10.答案：C解析：由22⨯列联表中的数据可得()22352515251004.167 3.84160405050K ⨯-⨯⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关.故选：C.11.答案：88解析：根据题意，设剔除最高分、最低分之后的13个数据为1a ，2a ，3a ，…，13a ，由这13个数据的平均分为92，方差为16， 知()1231319213a a a a ++++=,()()()222121319292921613a a a ⎡⎤-+-++-=⎣⎦, 解得123131196a a a a ++++=，2221213110240a a a +++=,对于原始得分96,58，1a ，2a ，3a ，…，13a ， 其平均数()12313196589015a a a a a =++++++=，其方差为()(()22222212131(9690)(5890)9090)908815s a a a ⎤⎡=-+-+-+-++-=⎣⎦. 12.答案：70解析：本题考查线性回归方程.依题意，将(45,35)代入回归直线方程 3.5y bx =+（提示：回归直线必过样本点中心），得3545 3.5b =⨯+，解得0.7b =，所以回归直线方程为0.7 3.5y x =+.令0.7 3.552.5y x =+=，得70x =. 13.答案：99.5%解析：因为2250(2015510)8.33325253020χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,又()27.8790.0050.5%P χ==≥,所以我们有99.5%的把握认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”.14.答案：(1)产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为20%(2)平均数与标准差的估计值分别为30%，17%解析：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=.产值负增长的企业频率为20.02100=. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为20%. (2)1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ()52222111(0.40)2(0.20)100100i i i s n y y=⎡=-=⨯-⨯+-⨯⎣∑222240530.20140.4070.0296⎤+⨯+⨯+⨯=⎦，0.020.17s .所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.15.答案：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表：1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=. （3）根据所给数据，可得22⨯列联表：根据列联表得25.82055457030K =≈⨯⨯⨯. 由于5.820 3.841>，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.。
高考数学大二轮复习刷题首选卷第二部分刷题型解答题(六)课件理
－x0＝4，
x0＝－4，
∴p2－y0＝0， 即y0＝p2，
代入 x2＝2py(p>0)中得 16＝p2，解得 p＝4.
∴抛物线 C 的方程为 x2＝8y.
(2)由题意知直线 AB 的斜率存在，故设其方程为 y＝kx＋b.
由yx＝2＝k8xy＋，b， 整理得 x2－8kx－8b＝0，则
x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝8k2＋2b， 设 AB 的中点为 Q，则点 Q 的坐标为(4k,4k2＋b)．
解 (1)∵C1 的极坐标方程是 ρ＝4cosθ2＋43sinθ， ∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，整理得 4x＋3y－24＝0， ∴C1 的直角坐标方程为 4x＋3y－24＝0. 曲线 C2：xy＝ ＝csionsθθ，， ∴x2＋y2＝1， 故 C2 的普通方程为 x2＋y2＝1.
(2)将曲线 C2 经过伸缩变换yx′′＝＝22y 2x， 后得到曲线 C3 的方程为x′8 2＋
E(2a,1,0)，A(0,2,0)，所以B→1C1＝(2a,0，－2)，D→E＝(2a，－1，－1)．因为异
面直线 DE 与 B1C1 所成的角为 30°，
所以
cos〈D→E，B→1C1〉＝
→→ DE·B1C1 →→
|DE||B1C1|
＝ 4a2＋4a42·＋24a2＋2＝ 23，
解得 a＝1，于是 C1(2,0,0)． 设平面 AB1C1 的法向量为 n＝(x，y，z)， 因为A→C1＝(2，－2,0)，B→1C1＝(2,0，－2)，
(1)求抛物线 C 的方程； (2)直线 AB 与抛物线 C 交于不同两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，|x2－x1|＝3， 直线 AB 与切线 l 平行，设切点为 N 点，试问△ABN 的面积是否是定值？若 是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
备考2022年中考数学二轮复习-统计与概率_概率_几何概率-单选题专训及答案
备考2022年中考数学二轮复习-统计与概率_概率_几何概率-单选题专训及答案几何概率单选题专训1、(2017赤峰.中考真卷) 小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）A .B .C .D .2、(2016呼和浩特.中考真卷) 如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=15，AC=9，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）A .B .C .D .3、(2015抚顺.中考真卷) 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边AB上，点G、F在边CD上，向▱ABCD内部投掷飞镖（每次均落在▱ABCD内，且落在▱ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（）A .B .C .D .4、(2017南山.中考模拟) 如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（）A .B .C .D .5、(2011宿迁.中考真卷) 如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（）A . 1B .C .D .6、(2012连云港.中考真卷) 向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（）A .B .C .D .7、(2017杭锦旗.中考模拟) 如图，在空白网格内将某一个小正方形涂成阴影部分，且所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合．小红按要求涂了一个正方形，所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为（）A .B .C .D .8、(2019宿迁.中考模拟) 如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是( )A .B .C .D .9、(2019江苏.中考模拟) 如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在内部的概率是（）A .B .C .D .10、(2019苏州.中考模拟) 如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是（）A .B .C .D .11、(2019常熟.中考模拟) 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，随机在大正方形及其内部区域投针．若针扎到小正方形（阴影部分）的概率是，则大、小两个正方形的边长之比是（）A . 4:1B . 2:1C . :1D . 1:212、(2017江苏.中考模拟) 五张完全相同的卡片上，分别画有圆、平行四边形、等边三角形、角、等腰梯形，现从中随机抽取一张，恰好抽到轴对称图形的概率是（）A .B .C .D .13、(2019城.中考模拟) 如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止后，若指针落在所示区域内事件发生的概率依次记为r，s，t，k，则（）A .B .C .D .14、(2018漳州.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且C、D两点在函数y= 的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）．A .B .C .D .15、(2017微山.中考模拟) 小强喜欢玩飞镖游戏，一天他用平行四边形做了一个飞镖盘，如图所示，▱ABCD中，过对角线BD上任一点F分别作FE∥AB，FG∥BC分别交AD，CD于点E，G，连接EG，则小强随机掷一次飞镖，飞镖落在阴影部分的概率是（）A .B .C .D .16、(2017潍坊.中考模拟) 如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，以点A为圆心的扇形与BC，CD相切，向这样一个靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的概率为（）A . 1﹣B .C . 1﹣D .17、(2017东营.中考真卷) 如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（）A .B .C .D .18、(2017柘城.中考模拟) 如图，有16个格点，每个格点小正方形的面积为1，给图中间的小正方形内任意投点P，则点P落在图中阴影部分的概率为（）A .B .C .D .19、(2016黄石.中考模拟) 一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是（）A .B .C .D .20、(2016深圳.中考模拟) 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是（）A .B .C .D .21、(2011茂名.中考真卷) 如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（）A .B .C .D .22、(2018防城港.中考模拟) 如图,在4×4的正方形网格中,黑色部分的图形构成一个轴对称图形,现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑,使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是( )A .B .C .D .23、(2014绵阳.中考真卷) 一儿童行走在如图所示的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是（）A .B .C .D .24、(2019天水.中考真卷) 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（）A .B .C .D .25、(2020磴口.中考模拟) 如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）.A .B .C .D .26、(2020呼和浩特.中考模拟) 如图，这是一块直角三角形的空地，计划将阴影部分修建围花圃，已知AC长为8米，AB长为17米，阴影部分是三角形的内切圆．一只小鸟随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率是（）A .B .C .D .27、(2020温州.中考模拟) 如图，小猫在5×5的地板砖上行走，并随机停留在某一块方砖上，则它停留在阴影方砖上的概率是( )A .B .C .D .28、(2020新抚.中考模拟) 如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（）A .B .C .D .29、(2020山西.中考真卷) 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（）A .B .C .D .30、(2021常州.中考真卷) 以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次.已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是（）A .B .。
十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)-专题07 事件与概率小题综合
专题07 事件与概率小题考点01 互斥事件的概率计算1．（2018·全国）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3B．0.4C．0.6D．0.72．（2016·天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为A．B．C．D．考点02 古典概率一、单选题1．（2024·全国甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14B．13C．12D．232．（2023·全国乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A．56B．23C．12D．133．（2023·全国甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．16B．13C．12D．234．（2022·全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．15B．13C．25D．235．（2022·全国新Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．236．（2021·全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.87．（2019·全国）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．128．（2019·全国）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23 B ．35 C ．25 D ．159．（2018·全国）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.310．（2018·全国）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．11811．（2017·天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．45B ．35C ．25D ．1512．（2017·山东）从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．518 B ．49C ．59D ．7913．（2017·全国）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A ．110 B ．35C ．310 D ．2514．（2017·江西）一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ）A ．132B ．164C ．332D ．36415．（2016·北京）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为A ．15B ．25C ．825D ．92516．（2016·全国）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A ．815 B ．18C ．115D ．13017．（2016·全国）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A ．13B ．12C ．23D ．5618．（2015·全国）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为A ．310 B ．15C ．110D ．12019．（2015·广东）已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．120．（2015·广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A ．B ．C ．D ．1二、填空题21．（2024·全国新Ⅰ卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 22．（2024·全国甲卷）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 之差的绝对值不大于12的概率为 ．23．（2024·全国新Ⅱ卷）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．24．（2023·天津）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为5:4:6．且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ．25．（2022·浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ== ，()E ξ= ．26．（2022·全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ． 27．（2022·全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．28．（2021·浙江）袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n −= ，()E ξ= .29．（2020·江苏）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 . 30．（2019·江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .31．（2018·江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．32．（2016·上海）如图，在平面直角坐标系中，O 为正八边形的中心，.任取不同的两点，点P 满足，则点P 落在第一象限的概率是 .33．（2016·上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．34．（2016·四川）从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则为整数的概率= ．35．（2016·江苏）将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．36．（2015·江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．考点03 条件概率1．（2024·天津）,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为 ；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 ．2．（2023·全国甲卷）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.43．（2022·天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为 ；已知第一次抽到的是A ，则第二次抽取A 的概率为考点04 全概率公式与贝叶斯公式1．（2024·上海）某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．（附加）2．（2023·全国新Ⅰ卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：如果命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i 次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==−===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．考点05 正态分布指定区间的概率1．（2024·全国新Ⅰ卷）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，()0.8413P Z μσ<+≈） A ．(2)0.2P X >> B ．(2)0.5P X >< C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><2．（2022·全国新Ⅱ卷）已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >= ．3．（2021·全国新Ⅱ卷）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（ ）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等4．（2015·山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ ，则()68.26%P μσξμσ−<<+= ，()2295.44%P μσξμσ−<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%答案解析专题07 事件与概率小题考点01 互斥事件的概率计算1．（2018·全国）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7【答案】B【详解】设事件A为不用现金支付，则()10.450.150.4P A=−−=故选：B.2．（2016·天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：甲不输概率为115.236+=选A.【考点】概率【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法公式.对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.考点02 古典概率一、单选题1．（2024·全国甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14B．13C．12D．23【答案】B【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种， 故所求概率81=243P =. 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选：B2．（2023·全国乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A ．56B ．23C ．12D ．13【答案】A【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率305366P ==. 故选：A3．（2023·全国甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有24C 6=件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有1122C C 4=，所以这2名学生来自不同年级的概率为4263=. 故选：D.4．（2022·全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）A ．15B ．13C ．25D ．23【答案】C【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可. 【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况，其中数字之积为4的倍数的有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况，故概率为62155=. [方法二]：有序从6张卡片中无放回抽取2张，共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为122305=. 故选：C.【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解； 方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；5．（2022·全国新Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种， 故所求概率2172213P −==. 故选：D.6．（2021·全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．0.3 B ．0.5 C ．0.6 D ．0.8【答案】C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法， 故2个0不相邻的概率为6=0.610， 故选：C.7．（2019·全国）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ．【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．8．（2019·全国）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A ．23B ．35C ．25D ．15【答案】B【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．【详解】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B ． 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错． 9．（2018·全国）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5C ．0.4D ．0.3【答案】D【分析】分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.【详解】设2名男同学为12,A A ，3名女同学为123,,B B B ，从以上5名同学中任选2人总共有12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10种可能， 选中的2人都是女同学的情况共有121323,,B B B B B B 共三种可能 则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==， 故选D.10．（2018·全国）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.11．（2017·天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A．45B．35C．25D．15【答案】C【详解】选取两支彩笔的方法有25C种，含有红色彩笔的选法为14C种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105CpC===.本题选择C选项.考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.12．（2017·山东）从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A．518B．49C．59D．79【答案】C【详解】标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是115425989C C=⨯,选C.【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.13．（2017·全国）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A．110B．35C．310D．25【答案】D【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255= 故答案为D ．14．（2017·江西）一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ）A ．132B ．164 C ．332D ．364【答案】D【详解】本题考查计数方法和概率的计数及分析问题,解决问题的能力.一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，所有的可能情况共有64种；取得两个球的编号和不小于15的情况有（8,8），（8,7）（7,8）共3种；则取得两个球的编号和不小于15的概率为3.64故选D 15．（2016·北京）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为A ．15B ．25C ．825D ．925【答案】B【详解】试题分析：从甲乙等5名学生中随机选出2人，基本事件的总数为2510n C ==，甲被选中包含的基本事件的个数11144m C C ==，所以甲被选中的概率25m p n ==，故选B ． 考点：古典概型及其概率的计算．16．（2016·全国）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A．815B．18C．115D．130【答案】C【详解】试题分析：开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式()mP An=（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．17．（2016·全国）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A．13B．12C．23D．56【答案】C【详解】试题分析：将4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C.【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.18．（2015·全国）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为A．310B．15C．110D．120【答案】C【详解】试题分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110，故选C.考点：古典概型19．（2015·广东）已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A．0.4B．0.6C．0.8D．1【答案】B【详解】5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b，(),a c，(),a d，(),a e，(),b c，(),b d，(),b e，(),c d，(),c e，(),d e，恰有一件次品，,a d，(),a e，(),b c，(),b d，(),b e，设事件A=“恰有一件次品”，则有6种，分别是(),a c，()()60.6P A==，故选B．10考点：古典概型．20．（2015·广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A．B．C．D．1【答案】B【详解】试题分析：首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选B．点评：考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．二、填空题21．（2024·全国新Ⅰ卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .【答案】12/0.5【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可. 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382k k k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==. 而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==. 所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=. 故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.22．（2024·全国甲卷）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 之差的绝对值不。
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1
专题19 概率
1. 在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于的概率为（ ）
A．14 B．12 C．34 D．4
【答案】B
【解析】
试题分析：设ACx，若线段AC为半径的圆的面积小于，则2x，则01x，则对应的概率为
1
2
P
，故选B.
考点：几何概型及其概率的计算．
2. 从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两
张都是假币的概率为（ ）
A．191 B．1817 C. 194 D．172
【答案】D
【解析】
考点：事件的独立性与条件概率.
3. 已知P是ABC所在平面内一点，20PBPCPA.现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在
内的概率是（ ）
A.23 B.12 C.13 D.14
【答案】D
【解析】
试题分析：如图所示，取BC的中点D，连接,,PAPBPC，则2PBPCPD，又点P满足
20PBPCPA，所以有20PDPA
，可得三点,,APD共线且12APAD，即P点为,AD的中
点时满足20PBPCPA，此时14APCABCSS，所以黄豆落在APC内的概率为14，故选D.
2
考点：几何概型及其概率的计算.
4. 已知函数()sin3cosfxxx，当0,x时，()1fx的概率为（ ）
A．13 B．14 C.15 D．12
【答案】D
【解析】
试题分析：2sin3fxx，4333x，3,2fx，要使()1fx，则
5,03362xx，故概率为1
2
.
考点：几何概型.
5. 把3个不同的球放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒的概率是____________．
【答案】23
【解析】
考点：古典概型.
6. 2016年是吉安一中98年校庆，在校庆的节日校门口挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互
独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同
时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超2过秒的概率是_________.
【答案】34
【解析】
试题分析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻为,xy，所以全部基本事件构成的区域为0404xy，符合题意
3
的区域为040422xyyx，如下图所示，由几何概型概率公式可知，所求概率为1222321164P，
故答案为34.
考点：1、约束条件与可行域；2、对立事件的概率公式及几何概型概率公式.
7. 从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
【答案】B
【解析】
考点：1、排列的应用；2、古典概型概率公式.
8. 如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线sin,0,fxxx，及直线,0,xaa与x轴围成，
向矩形OABC内随机投掷一点， 若落在阴影部分的概率为14，则a的值是（ ）
A．712 B．23 C.34 D．56
【答案】B
【解析】
4
试题分析：1112sin(cos)1cos,,,600423aaSadxxxaaSaa阴影矩形,故选B.
考点：几何概型.
9. 函数()sin()fxx的导函数'()yfx的部分图象如图所示，其中A，C为图象与x轴的两个交
点，B为图象的最低点，若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率
为 ．
【答案】4
【解析】
考点：1.定积分的计算；2.几何概型.
10. 一个边长为2m，宽1m的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，
恰有60粒在会标区域内，则该会标的面积约为（ ）
A．235m B．265m C. 2125m D．2185m
【答案】B
【解析】
5
试题分析：由几何概型的概率公式可知,=会标的面积落在会标区域的豆子数长方形的面积所有的豆子数，即60=21100会标面积,
所以会标的面积约为26062=1005m,故选B.
考点：几何概型.
11. 若不等式组 1010210xyyxy表示的区域为，不等式 221124xy 表示的区域为，向区域
均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为（ ）
A．114 B．10 C. 150 D．50
【答案】A
【解析】
考点：几何概型.
12. 甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率
6
分别为P、23、35，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为23，则P等于（ ）
A．23 B．34 C.45 D．56
【答案】B
【解析】
试题分析：3人中有人达标但没有全部达标，其对立事件为“3人都达标或全部没有达标”，则
23122
1135353PP
，解得34P.故选B.
考点：古典概型.
13. 若变量,xy满足约束条件20,0,220,xyxyxy，且(6,3)，则yzx仅在点1(1,)2A处取得最大
值的概率为（ ）
A．19 B．29 C.13 D． 49
【答案】A
【解析】
考点：简单的线性规划；几何概型.
14. 若a是集合{1,2,3,4,5,6,7}中任意选取的一个元素，则圆22:(2)1Cxy与圆222:Oxya内
含的概率为__________.
【答案】74
【解析】
7
试题分析：数形结合可得，只能是圆C在圆O内部，则有21a，即3a，则圆22:(2)1Cxy与
圆222:Oxya内含的概率为74.
考点：古典概型.
15. 如图，点A的坐标为1,0，点C的坐标为2,4，函数2fxx.若在矩形ABCD内随机取一点，
则此点取自阴影部分的概率等于 ．
【答案】512
【解析】
考点：1、几何概型；2、定积分.