高三数学二轮复习专题讲座 解析几何复习建议
高三数学二轮复习建议专题四解析几何
解析几何是数学发展史中的一个里程碑，是高考的重点 、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体，与平面向量、 导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学 思想方法，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形 式新颖、综合性强．基于解析何在高考中重要地位，这一板 块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” 。当然要想在高考中得高分，就必须要做好这道题。
高三数学二轮复习建议专题四解析几何
专题四 解析几何
在高考新课标全国卷Ⅰ中的地位和近五年高考试题统计分析
高考考试说明对解析几何的考核目标与要求
解
二轮复习的重点、难点和热点
析
几
二轮复习建议和复习方案
何
本专题解答题的典型试题及解题方法、策略
复习案例介绍
一、高考新课标全国卷Ⅰ中的地位和高考试题统计分析
2、强化学生的应用意识、创新意识和运算求解能力。
背景新颖、综合性强、对探索能力的考查比较突出，是近年高考考题 的一大特点。学生们需要学会在数形结合、分类讨论等数学思想的指导下， 准确的等价转化已知条件和目标，达到解题破题的目的。这也是二轮复习 的难点和热点。
四、解析几何二轮复习建议及方案
（一）进一步强化概念 提高学生应用定义解题的意识. 定义是对数学对象本质属性的 概括，只有深刻理解、充分认知才能挖掘题目中的隐性条件。 （二）加强基本方法，典型问题的训练 设而不求、整体代换、点差法这些基本方法必须熟练掌握，直线 与曲线位置关系、定点、定值、范围等问题必须熟练解题套路. （三）强化数形结合与等价转化，提高学生解决问题的能力 解析几何的研究对象是曲线的方程和方程的曲线，核心是通 过坐标系将曲线和方程联系起来，实现二者的双向转化.实现 化繁为简，化生为熟。
解析几何二轮复习认识与建议
解析几何二轮复习认识与建议一。
试题特点1、近年高考平面解析几何试题情况统计2013年高考各地的17套（每套试题含文理各1份，）试卷中，出现解析几何的选择题有37道，填空题有26道，解答题31道；全国共37份高考试卷，选择题37道，说明每道试卷都有平面解析几何的选择题，填空题解答题也不少，因此，平面2、主要特点特点一:分值比重大.解析几何在每份试卷中所占分值较大，新课标卷2010——2013连续4年都是出现2道选填题，1道解答题，分值为22分，题量稳定。
解析是必考题型。
特点二:考小题,重在于基础.有关解析几何的小题,其考查的重点在于基础知识:其中,直线与圆、圆锥曲线等内容的试题都突出了对解析几何基础知识的考查，如求直线方程，圆的方程，圆锥曲线的离心率等基础知识.特点三:考大题,注重综合考查考查平面解析几何的大题中，一般是考查圆锥曲线的大题，重点考查抛物线、双曲线、椭圆的相关内容，考查直线与圆锥曲线之间的关系，圆锥曲线之间的关系，也经常与向量、不等式等知识相结合，难度属中等偏难，主要考查学生对基本知识,基本方法,基本技能的理解,掌握和应用情况.纵观2010——2013年新课标卷，关于解析几何的命题有如下几个显著特点：1.高考内容：解析几何的试题把直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线（二次函数）的方程都要考查到，选填题考察基本的定义、图形、方程、性质，而解答题中都有求曲线方程、直线与圆锥曲线问题，并且渐有向多直线多曲线的方面转移。
2.难易程度：考查解析几何的选择题、填空题为基础题或中档题，解答题一般会综合考查，以中等偏难试题为主。
3.高考热点：解析几何的热点仍然是圆锥曲线的性质，直线和圆锥曲线的位置关系以及轨迹问题，仍然以考查方程思想及用韦达定理处理弦长和弦中点为重点。
坐标法使平面向量与平面解析几何自然地联系并有机结合起来。
相关交汇试题应运而生，涉及圆锥曲线参数的取值范围问题也是命题亮点三。
复习方略1。
解析几何的任务（1）根据曲线的几何条件，把它的代数形式表示出来；（2）通过曲线的方程来讨论它的几何性质.二轮复习任务（1）.加强直线和圆锥曲线的基础知识，进一步熟悉解决单条直线与单个圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。
高考数学专题精讲之解析几何内容剖析及备考建议
高考数学专题精讲之解析几何内容剖析及备考建议解析几何是高中数学的重要内容。
高考主要考查直线与圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质。
其中直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是考查重点。
运动与变化是研究几何问题的基本观点，利用代数方法研究几何问题是基本方法。
试题强调综合性，综合考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等思想方法，突出考查考生推理论证能力和运算求解能力。
一、直线与方程1．在平面直角坐标系下，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2. 理解直线的倾斜角概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．能根据两条直线的斜率判断两条直线平行或垂直．4．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式、一般式），了解斜截式与一次函数的关系．5．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．6．掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．二、圆的方程1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判定圆与圆的位置关系．3．能用直线与圆的方程解决一些简单的问题。
4 ．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
三、空间直角坐标系1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。
2．会简单应用空间两点间的距离公式。
四、圆锥曲线（理科）1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．4．了解曲线与方程的对应关系。
5．理解数形结合思想。
了解圆锥曲线的简单应用。
四、圆锥曲线（文科）1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．3．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率）．4．理解数形结合思想。
高三数学二轮试题讲评、专题复习课建议
高三数学二轮复习教学建议Ⅰ.试题讲评课需要注意的五个环节一、课前环节：教师自己做题。
研究题目的背景，涉及到的知识点、思想方法，这样可以预测学生的解题情况。
二、基础环节：精批细改，统计分析，摸清学生答题情况。
1、“三有”：有最高分；有各分数段人数；有进步大的同学名单（多肯定、表扬、鼓励）2、做好错题统计分析，特别是1—14题，错的人数，错因分析。
解答题分中档题和难题分析，哪些学生不该错的错了，难题难在哪？三、关键环节：备课——不仅要备试题，更要备学生。
1、备试题，就是确定哪些题要讲，怎么讲？讲的顺序：是按知识点分类讲；或是按思想方法分类讲；或是按学生错的多少讲。
哪些题目学生自己订正，或者略讲，哪道题要重点讲，哪道题有多种解法，（不是为了一昧追求一题多解）哪些题是多题归一，哪些题还要有拓展、变式训练。
2、备学生，就是要备学生对试题解答情况，分析出错的原因（是审题问题，还是计算问题，还是抄写问题，还是表达问题，是知识能力问题，还是非智力因素？）找出让学生（帮学生）突破难点的方法和策略，怎样引导学生反思，感悟，提升。
3、试题（练习）讲评课也应该有备课教案。
四、重点环节：上课，寻求解题的突破口1、必须坚持学生主体。
①让学生说题：说出对题目的认识和理解；题目的条件、结论和涉及到的知识点；说条件和结论的联系、怎么转化；回顾有类似的问题；说可能用到的思想方法；说自己的想法和猜测；说如何想到解题目方法的，为什么这样想？不这样想行不行？还可以怎么想？如果老师课前自己没有认真做题，不做深入的思考，不设计精要的问题，就不可能达到这样的效果。
②一定要让学生展示，板演、投影（好的作为示范；错的、差的分析、警示）。
总之要充分暴露学生的思维。
有时学生的思维会给我们带来意想不到的效果！2、发挥好教师主导作用。
老师的讲，主要体现在“导”——应该是学生替代不了的东西：讲题意（内涵）、讲思路、讲方法，引导学生理性分析、比较、质疑，培养思维能力；关重细节，注重过程，训练规范答题；讲联系、讲变化、讲创新。
关于高三数学二轮复习的几点建议
关于高三数学二轮复习的几点建议高三数学二轮复习是考生迎接高考的最后一次冲刺阶段，是对之前所学知识进行梳理和巩固的关键时期。
下面是几点关于高三数学二轮复习的建议。
制定合理的学习计划。
在复习阶段，时间的利用非常重要，需要事先规划好每天的学习任务。
可以制定一个详细的时间表，将各个知识点分散到不同的时间段，合理安排时间，减小压力。
全面复习基础知识。
数学是一个循序渐进的学科，后面的知识点常常会建立在前面的基础上。
在复习时要重点回归基础知识，如集合、函数、导数、积分等。
要查漏补缺，把握好基础知识，才能更好地理解和应用高阶知识。
注重解题技巧和方法。
数学考试的重点是解题，因此在复习时要注重掌握解题的技巧和方法。
可以通过做大量的题目来积累解题经验，学会运用不同的方法解决同一类型的题目。
要理解每个解题步骤的逻辑和原理，遇到难题时能够灵活运用不同的解题思路。
第四，关注应用题和综合题。
高考数学试卷通常会有一些应用题和综合题，这些题目需要考生能够熟练运用数学知识解决实际问题。
在复习时要多做一些应用题和综合题，通过分析和解决实际问题，提高应用数学知识的能力。
第五，进行模拟考试和试卷分析。
模拟考试是检测复习效果的重要手段，可以帮助考生熟悉高考数学试卷的题型和考题难度。
完成模拟考试后，要认真分析试卷，找出自己的薄弱环节，查漏补缺。
可以将每次做错的题目整理起来，重点针对性复习和总结，避免犯类似的错误。
保持积极的心态和良好的身体状态。
面对高考的挑战，压力是难免的，但要保持积极乐观的心态。
要坚信自己的能力，相信自己经过了三年的学习已经具备了应对高考的能力。
良好的身体状态也是保持高效学习的保证，要保持良好的饮食习惯和适量的运动。
高三数学二轮复习是一个枯燥而严谨的过程，需要考生付出大量的时间和精力。
通过制定合理的学习计划，全面复习基础知识，注重解题技巧和方法，关注应用题和综合题，进行模拟考试和试卷分析，保持积极的心态和良好的身体状态，相信每位考生都能够取得优异的成绩。
关于高三数学二轮复习的几点建议
关于高三数学二轮复习的几点建议高三数学二轮复习是考生实现高考目标的关键阶段，也是检验学生数学水平的重要阶段。
为了帮助同学们有效地进行复习，我给出以下几点建议。
制定合理的复习计划。
高三数学复习内容广泛，知识点繁多，同学们需要合理规划复习时间和内容。
可以按照知识点的重要程度和自身的掌握程度确定每个模块的复习时间，合理分配时间，不要安排过于密集的复习计划，要留出时间进行巩固和总结。
做好知识点的梳理和归纳。
高考数学考察的是基础知识和解题能力，同学们要先梳理各个知识点的定义、性质以及常见的解题方法，建立起完整的知识体系。
然后，要结合教材和课堂笔记，总结归纳各个知识点的思路和解题技巧，形成自己的复习资料和笔记，方便日后查阅和复习。
注重练习和习题积累。
数学是一门实践性很强的学科，光有理论知识是不够的，还要能够熟练运用知识解决问题。
同学们要多做一些典型的例题和试题，熟悉题型，掌握解题方法。
可以根据自己的复习进度，选择不同难度的习题，逐步提高解题能力和思维水平。
在做题时，要注意分析题目的要求，选择合适的解题方法，理清思路，避免走题或浪费时间。
第四，针对性地进行弱点突破。
每个同学在数学学习中都会有自己的弱点和难点，需要有针对性地进行突破。
可以找出自己容易出错或不懂的知识点，进行有针对性的练习和复习，同时也可以向老师和同学请教，寻求帮助和解惑。
对于一些常见的易错点和易混淆点，要特别留意并进行反复强化。
保持良好的心态和健康的生活习惯。
高三是一段时间紧张而压力大的阶段，同学们要保持积极乐观的心态，相信自己能够胜利。
要保持充足的睡眠和合理的饮食，适量进行体育锻炼，调整好心理状态，保持良好的学习状态和体力。
要与家人和朋友保持良好的沟通和情感的支持，共同面对挑战和困难。
高三数学二轮复习是提高数学水平和取得好成绩的关键时期，同学们要制定合理的复习计划，对知识点进行梳理和总结，注重练习和习题积累，针对性地进行弱点突破，同时要保持良好的心态和健康的生活习惯。
高考数学第二轮几何复习建议(许勇)
三、 立体几何中语言符号的理解与应用 立体几何是一种有特殊特征的数学知识，因为立体几何主要
以图形为主，同时结合文字及符号来考查学生对题目的理解，以 及不同语言的转化。这方面的知识主要通过选择题来考查，是一 些比较基础的题，在复习中也要注重这一知识点的掌握。
例 1 在下列关于互不相同的直线 l, m, n 和平面, , 的三个命题中：
同一球面上，则球的表面积为（ ）
A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
解析：如图，把四面体补成一个棱长为 1 的正方体，
则正方体的对角线就是球的直径，因为 2R 3 ，
所以 S球表面积 4 R2 3 ，故应选
2.把三条棱相互垂直的三棱锥补成长（正）方体
例 2 在球面上有四点 P, A, B,C ，如果 PA, PB, PC
且 AD / /BC ，所以 EA AB SA 1, SE SB ，
又因为 SA 面ABCD ，所以面 SEB 面 ABCD，
因为 BC EB ，所以 BC 面SEB ， BC SE ，
所以 SE 面 SBC ， SE SC, BSC 是所求二面角的平面角，
又因为 SB 2, BC 1，所以 tan BSC 2 2
②中 l 与 m 也可能是异面直线。
③中当 l / / ,l , m 时，可得出 l / /m，
同理可得 l / /n ，所以 m / /n 正确。答案选 C
总结：在这道题中，主要是考查学生对符号语言的理解能力，线与面 的各类符号交织在一起，很容易让学生觉得头痛，这一块也是很多学 生的弱势，对符号语言的掌握很重要的还是基础知识要过关，明确线 与面，线与线之间的关系，理解好这些之后，在做题的时候只有认真 仔细就不会存在什么问C1 与 B1C 所成角（或其补角），
高三复习阶段如何备考数学解析几何题
高三复习阶段如何备考数学解析几何题数学解析几何是高中数学中一个重要且难度较大的部分，对于广大高三学生来说，备考解析几何题是提高数学成绩的关键。
在高三复习阶段，如何备考数学解析几何题是一个需要认真思考和制定合适策略的问题。
本文将介绍一些备考数学解析几何题的方法和技巧，希望对广大高三学生有所帮助。
一、理清解析几何基本概念在备考数学解析几何题之前，首先要对解析几何的基本概念进行理解和掌握。
解析几何是通过代数方法研究几何问题的一门学科，需要对点、直线、平面、坐标系等基本概念有清晰的认识。
可以通过查阅教材、参考书或互联网资源来进行学习和总结，建立起扎实的基础。
二、掌握解析几何常用定理和公式在备考数学解析几何时，了解和记忆一些常用的定理和公式是非常重要的。
例如，直线的方程、两点间距离公式、两条直线的关系等。
可以利用复习资料和习题集进行有针对性的练习，加深对这些定理和公式的理解和记忆。
三、多做解析几何题并总结题型特点高三复习阶段，多做解析几何的相关题目是必不可少的。
在做题过程中，要注意总结题目的特点和解题方法。
可以将解析几何题型分成平面几何和空间几何两部分，分别进行钻研。
通过大量的练习，可以熟悉各种题型，掌握解析几何的解题技巧。
四、注重解析几何与其他数学知识的综合运用解析几何与代数、函数、三角等数学知识有密切关联，在备考过程中要注重解析几何与其他数学知识的综合运用能力。
可以通过做综合性的题目或者跨章节的大题来加强解析几何与其他数学知识之间的联系，提高解题的能力。
五、注意解题技巧和思维方法的培养解析几何是一门需要思维灵活的学科，解题过程中需要注意一些常用的解题技巧和思维方法。
例如，利用图形的对称性、利用坐标系进行变换等。
在备考过程中，可以参考一些解析几何解题技巧的书籍或者教材，培养自己的解题思维。
六、做好错题和习题的整理与总结在备考过程中，及时整理和总结做错的题目是非常必要的。
可以将做错的题目整理成错题集，进行详细的分析和解答。
高考数学学科二轮备考关键问题指导系列一(解析几何存在问题及应对策略)
福建省2024届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列一解析几何存在问题及应对策略（福建省高三毕业班复习教学指导组余小萍执笔整理）新高考的背景下，解析几何知识板块试题分值高，在全卷中占比高，但整体得分低，得分率最低，对全卷影响重大，新高考解析几何如何提分，值得研究.解析几何高考试题以核心素养为导向，突出了学科素养、关键能力的考查，有以下特点：1．突显解析思想，考查全面解析思想解题主要包含两个方面．其一，在坐标系下，每个几何对象均可被数（坐标、方程等）所完全表达，并通过代数（或向量）方法来解决；其二，特定的代数语言有了几何解释，从而使代数语言有了直观意义，人们能从中得到启发，进而解决问题或提出新的结论．解析几何问题考查模式可以用下图的框架体现：2．突出直观想象，强调算理解析法是通过坐标系实现“点与坐标互化”、“曲线与方程互化”、“几何关系代数化”，从而达到用代数方法解决几何问题，其思维模式可以用下图的框架体现：这是平面解析几何复习教学可以遵循的思维模式，通过它，帮助厘清知识，构建方法体系，回到基础，落实对知识与方法的深刻理解，让解析法升华为一种认识论与方法论.3．突破题型套路，鼓励创新新高考试卷持续推进题型和结构的创新，在解析几何试题的设计上，最大的变化就是突破题型套路，有多选题、多空题和条件开放或结论开放试题，在难度层次上也有所变化，从情境选择、设问方式到解题方法，鼓励创新求解的意识，培养学生探究能力．下面就具体的平面解析几何复习教学的相关问题探讨如下.一、存在的问题及原因分析（一）作图意识薄弱，以形助思待提高规范作图是认识问题、研究问题的基础，将图形特征转化、合理代数化的过程是问题条件的理解与解题思路的探究过程．【例1】过点(0,2)-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=( )A. 1B.4C.4D. 4【解析】圆22410x y x +--=化简，得22(2)5x y -+=，故圆心(2,0)B，记(0,2)A -，设切点为M ，.N AB =BM =，故AM sinsin MAB 24BM ABα=∠==，coscos M B 2A AM ABα=∠==，sin 2sincos22ααα==B. 【评析】本题考查直线与圆的位置关系、二倍角公式，属于基础题．利用切线构造直角三角形，由三角函数定义求出sin2α，cos2α，再利用二倍角正弦公式即可求解．本题中切线的运用很多学生能想到，但学生不易想到角度关系MAB 2α=∠，究其原因在于作图意识薄弱，对题中的几何关系挖掘不够，缺乏对图形中几何特征与数量关系的细致分析，难以借助图形分析思考问题.【例2】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y轴上，11F A F B ⊥，222=3F A F B -，则C 的离心率为__________.【解析】依题意222=3F A F B -，设22||2,||3(0)F A t F B t t ==>，||5.AB t ∴=由对称性知21|||| 3.F B F B t ==又11F A F B ⊥，故1||4F A t =，4cos .5A = 由双曲线的定义知，12||||2F A F A a -=，故.t a =在12F AF 中，22216444cos 2425a a c A a a +-==⋅⋅，解得：29()5c a =，故C 的离心率为5【评析】本题考查双曲线的定义及性质、余弦定理、向量共线的充要条件等，属于中档题. 根据向量的关系设参数t ，得到||AB ，2||F B ，1||F B 的关系，勾股定理得到1||4F A t =.由双曲线的定义得到t a =，在1Rt F AB △和12F AF △中通过对cos A 算两次得到a 与c 的关系.学生若作图潦草，难以发现关键的几何特征信息，导致对图中几何关系的提取错误或者不完整，思路受阻．本题中222=3F A F B -，不仅有数量特征，还具有位置关系．【建议】课堂教学中教师能使用尺规规范作图，起到示范指导，并要求学生当堂作图练习．布置不给图形的解几练习，要求学生通过审题自己作图.教师对图形中几何特征与数量关系进行细致分析，结合图形从整体角度理解题意、寻找解题思路．（二）概念思维淡漠，核心观点需增强定义是数学问题研究的起点．曲线方程的概念蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义．【例3】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12，过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE △的周长是__________.【解析】由椭圆离心率为12，可得2a c =，则b ==则椭圆C ：2222143x y c c +=，)A ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，易得ED l ：()3y x c =+，由2211||||||2AF AF F F c ===，故过1F 且垂直于2AF 的直线DE 垂直平分2AF ，即2||||EA EF =，2||||DA DF =，又2222143)x y c c y x c =⎧+=⎪⎨+⎪⎪⎪⎩，得22138320x cx c +-=，故28133213D E D Ec x x x c x =⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩， 213||||6()4278D E D E D E DE x x x x x x c ∴=-=⇒+-=⇒=，所以ADE △的周长2211||||||||||||||4813DA EA DE DF EF DF EF a c ++=+++===.【评析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题.部分学生不能从离心率、椭圆定义角度去分析几何特征解决问题，而是先求点M 坐标，再求点D 、E 的坐标，利用两点间的距离公式，绕了一大圈才得出周长，没能活用定义轻松得到解题的突破口．究其原因在于没有养成优先站在“定义”的角度探究问题和解决问题意识，未能从圆锥曲线的定义审视几何关系，选择简便的方法实现几何条件代数化．【建议】复习教学中凡涉及圆锥曲线的最值问题，均需先回顾梳理各种方法，结合问题背景比较、优化方法；强调要在大问题（圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系）下研究几何性质；加强逻辑严密的课堂推演与条理清晰试题剖析． （三）欠缺条件思辨，代数方法要选择解析几何就是用代数的方法研究几何问题．那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化．【例4】写出与圆221x y +=和圆22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程__________. 【解法一】显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，1=化简得221c b =+①，4.=化简得，|34||4|b c c ++=，故344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可) 【解法二】设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =， 圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =， 则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意； 又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程；又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+1=，解得724k =，从而该切线的方程为724250x y --=； 所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可)【评析】本题是一道开放题，代数法设切线方程通过解方程组能解决问题，也可以利用几何特征快速写出公切线10x +=，发现题中两圆的位置关系是快速破题的关键．本题若改为写出所有公切线方程学生失分率将更高，两种方法计算量也相差无几，代数法中方程组的求解是学生的失分点，其中直线方程的设法涉及简便、减少运算量，几何法通过先求直线OC 与直线10x +=的交点，再求过该点且与圆221x y +=相切的直线即可得到公切线724250x y --=也是利用几何特征简便、减少运算量.【例5】已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴y 轴分别相交于M ，N 两点，且||||MA NB =，||MN =l 的方程为__________.【解析】取AB 的中点为E ，因为||||MA NB =，所以||||ME NE =，设11(,)A x y ，22(,)B x y 可得1212121212y y y y x x x x +-⨯=-+-，即1.2OE AB k k =-⋅ 设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则(0,)M m ，(,0)mN k-， 所以(,)22m m E k -，所以212m k k m k⨯=-=--，k =又||MN =22212m m +=，故2m =，所以直线:22AB y x =-+，即0.x -= 【评析】本题考查椭圆的中点弦问题，属于偏难题.条件 ||||MA NB = 的转化应用是解本题快速与否的关键，取AB 的中点为E ，将中点E 纵横坐标比转化为中点与原点连线的斜率，利用点差法及点坐标就能快速找到一个,k m 的关系式.学生若能依题构图，结合图形联想第三定义推论，就能将条件 ||||MA NB = 转化为简洁的代数形式，从而达到解决问题的目的.【建议】复习教学中重视引导学生依题构图，结合圆锥曲线的性质从题意与图形中抽象出关键的几何特征，并以简洁的代数形式加以呈现，从而转化为待求目标关系式进行变形演算．（四）缺乏算法算理，运算求解须考究解析几何问题常常都有计算量大的特点，如何进行有效运算、简便运算，寻找化简方向是我们必须重视的环节，包括如何设元、如何设方程，回归定义，以简驭繁；设而不求，整体运算；充分运用图形几何性质，简化计算；利用根与系数关系化繁为简；选用方程适当形式，减少运算量等，这些方法一定要结合具体问题进行训练.【例6】已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为 ．【解法一】解直角三角形法：如图，依题意得,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭且OPF PQF ∠=∠，所以tan tan OPF PQF ∠=∠，所以2,6pOF PF p PF FQ p =∴=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-.【解法二】射影定理应用法依题意得,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2,PF OF FQ =⋅262p p ∴=⨯，解得3p =或0p =（舍去），所以C 的准线方程为32x =-.【解法三】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，所以直线OP 的斜率22OP pk p ==，因为PQ OP ⊥，所以12PQ k =-，所以PQ 的方程为1()22p y p x -=--，即524px y =-+.令0y =时，52p x =，因为||6FQ =，所以5622p p -=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-． 【解法四】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，(6,0)2pQ +，所以(6,)PQ p =-， 因为PQ OP ⊥，所以0PQ OP ⋅=，所以602pPQ p p =⨯-⨯=，所以()30p p -=，因为0p >，所以3p =，所以C 的准线方程为32x =-．【评析】破解本题的关键是对PQ OP ⊥进行转化，可以从解直角三角形的角度，也可以从斜率角度，还可以从向量的角度，甚至可以利用射影定理的角度去进行转化，显见不同的思路其解题的长度不一样.因此，需强化的解题训练形成套路化、模式化，就能根据问题特点灵活处理.【例7】在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F，2F ，12||||2MF MF -=，点M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【解析】（1）因为12122MF MF F F -=<=C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >．由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 所以，()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+=⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=． 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0．【评析】TA TB ⋅与TP TQ ⋅从弦长公式到韦达定理代入化简是破解本题的关键，从设直线方程到联立消元再到弦长公式的应用，有明晰的解题方向，形成套路化、模式化的解题训练有助于学生根据问题特点灵活处理.【建议】课堂教学时不能只是谈思路方法，应合理利用几何特征设参，分析算式结构，合理消参、降次，通过课堂师生共同演算的体验，增加实践经验，进行算法算理的指导．在涉及求有关过一点的两条斜率不同的直线的交点坐标或弦长问题时，往往只需计算其中的一类交点坐标或弦长，另一类只需等价代换的结果中的参数即可．（五）只求题型模仿，解析思想欠领悟高中解析几何既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，其核心是“数形结合”的思想方法.由于解析几何内容的综合性，在解决问题的过程中，充满着探究性、创新性，对能力有较高的要求.解题中必然要用到思想方法引领，如函数与方程、特殊与一般、分类与整合的思想，以及待定系数法、换元法等等.【例8】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，点．若，则________．【解析】设弦AB 的中点为P ,综合题目的几何特征，直观猜测，PM 平行于x 轴，故由点差法可得124=2k y y =+，快速地给出答案为2． 【评析】本题是典型的直线与抛物线的位置关系问题，常规的解法是设方程、联立方程、用韦达定理求解套路，这势必费力费时且会算错．由于问题的特殊性，焦点弦张角为直角，借助数形结合，动中求不变解析思考，斜率为k 的平行弦的不变性，以及焦点弦张角的不变性，就能抓住问题的本质，既解决了问题，又提升了对抛物线的认识．【例9】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 方程；(2)证明：直线CD 过定点．【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，∴(),1AG a =，(),1GB a =-， ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =，∴椭圆方程为：2219x y +=.()11M -，24C y x =：C k C A B 90AMB =︒∠k =的的（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+，将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+， 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭． 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 【评析】解决本题的关键是借助数形结合，由椭圆的对称性可知定点应在x 轴上，明晰计算化简的方向．【建议】教学中要让学生意识到变化是理解解析几何问题的切入点，不变是解决解析几何问题的落脚点，对于它的探究过程主要集中在数学观察、联想、类比、猜测、抽象、概括等思维过程．解决解几具体问题时常常需要用到“数形结合”的思想方法.在解决问题的过程中，针对具体问题具体分析，跳出套路，数形结合找到解题方向.二、解决问题的思考与对策（一）回归基础，揭示本质，返璞归真解析几何思想的数学结构是由核心概念、基本方法、数学原理3个层次构成.核心概念是曲线与方程，基本方法是几何问题代数化和代数问题几何化，数学原理是映射原理(或化归原则)，其中几何问题代数化的途径是坐标法，是笛卡尔“方法论”的观念表现．【例10】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．【解析】正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系， 设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，由正方形性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OB 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 45211tan 451tan tan 45123OA k θθθ-︒-=-︒===+︒+，()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512OB k θθθ+︒+=+︒===--︒-.故答案为：13；3-.【评析】本题以简单的多空形式呈现，以正方形、直线与直线的位置关系为载体，考查坐标法的基本 应用.考点虽然稍冷，却有着浓浓的解析味.解决问题的关键在于，合理建立坐标系，恰当地表征几何对象，如倾斜角的引进，以及与斜率的互化，体现了基础性、综合性和应用性.【例11】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线 【解析】ACD【评析】曲线方程的特征及区别是求解的关键，是解析几何的基本工具，一定要熟知．【例12】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213xy +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>， 当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx t kt =+<即0kx y t -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，所以221t k =+，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x ktx t +++-=， 所以2121222633,1313kt t x x x x k k-+=-⋅=++，所以MN ==213k=+= 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN =【评析】问题归结——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义；策略突破——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义，构建方程，转化为求2,2a c 的值或齐次方程，从而求椭圆的方程．【建议】教学中要回归基础，即是回到知识的联系、回到思想方法、回到定义和基本性质中去．对于圆锥曲线而言，即是回到定义、方程、性质去，也是解决问题的认知基础．归纳：1．定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的．对某些圆锥曲线问题，采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的．2．求圆锥曲线方程常用的方法有直接法、定义法、待定系数法、参数法等．用待定系数法求圆锥曲线的标准方程时，要“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，抛物线的焦点是在x 轴的正半轴、负半轴，还是y 轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指运用方程思想、利用待定系数法求出方程中的a 2、b 2、p 的值（基本量法），最后代入椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．3．求椭圆或双曲线的离心率时，应该寻求三角形中的边角之间的关系，从而建立a 、c 的齐次方程（求值）或者齐次不等式（求范围）．4.证明充要条件的问题，不要只证明充分性，或只证明必要性，需注意：既要证明其充分性，又要证明其必要性.（二）弄清几何问题，选择代数方法，合理转化解析几何就是用代数方法来研究几何问题，即：几何问题→代数问题→代数结论→几何结论．所以，它的两大任务是：（1）把几何问题转化为代数问题，（2）研究代数问题，得出代数结论．【例13】设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1) 当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2) 设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【解析】(1)由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-．所以AM 的方程为2y x =-+2y x = （2）本题目标要研究的几何对象为角，这需要在图形中挖掘这两个角的几何特征或这个角的等价几何关系．特例情况当l 与x 轴重合时．①0OMA OMB ∠=∠=︒；②当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，将OMA OMB ∠=∠代数化，即角相等的证明可以有两个思路，即从 数量关系或几何关系来思考．为此，不妨设1221(,),(,)A y x y x B ．思路1：从图形中直线的倾斜角直接切入，由位置特征，可以将问题转化为0MA MB k k +=； 思路2：从数量关系角度看，通过向量运算去获取，淡化几何特征，直接采取坐标运算，即证；思路3：从几何角度看，问题可以转化为运用角平分线定理，现坐标化，即证11AF y AM BFy BM==；思路4:从几何角度看，在坐标几何中，构造直角三角形相似来证． 思路5：从几何角度看，视为角平分线，用点到两边的距离进行代数化． 思路6：角平分线具有对称性，故可证明点A 关于x 轴的对称点在直线BM 上． 这么多的思路，如何代数化，要不要求坐标？程序化（算术化）：即设直线方程，遵循不断求出的思路进行运算，求出点A ，B 坐标，后再计算； 结构化（关系化）：即设直线方程，找出A ，B 坐标关系（这里的策略就是通常所说的“设而不求”， 再对要证的结构关系进行推演．事实上，程序化和结构化的代数思维没有特别的优劣，它都是代数思维的重要特征，它是一个不断螺旋上升的过程，只是大家目前都喜欢用结构化的思维，忽视程序化的思维，这是不对的，对结构化思维的形成与培养也不利．另外，即便用结构化思维进行推演，在设方程上也有此许的差别，如设l 的方程为(1)y k x =-或设x my t =+，还是有讲究的．【评析】解析法的过程，充满着概念与思辩，需要大家细细品味！绝不是机械模仿能达到的． 【建议】课堂中怎样将几何问题转化为代数问题？（1）要主动去理解几何对象的本质特征；（2）善于将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来；（3）恰当选择代数化的形式，这点是关键：一要研究具体的几何对象具有什么样的几何特征（如果几何特征不清楚，就不可能准确将其代数化），这就要在审题上下功夫；二是选择最简洁的代数形式（方便后续的代数研究），这需要大局观；（4）注意等价转化．（三）增强几何意识，配合解析工具，巧妙转化解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量．数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．【例14】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则PQ 的取值范围为．分析：问题归结——定直线上的动点与圆上一点距离问题；策略突破——首先要明确目标PQ 垂径定理，在等腰PCQ △与Rt PCB △中，PC 形，问题溯源，选定较为直观的几何变量AC ，构建PQ 式：2PQ PB PCA ==∠==围，计算求解，又3AC ≥，所以21109AC <≤，因此PQ 的取值范围为． 【建议】直线与圆的三种位置关系：相切，相交，相离．解决直线与圆的问题时，一方面，要运用解析几何的一般方法，即代数化方法，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系非常紧密，因此，准确地作出图形，挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．提高学生等价转化的能力——实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化．例如：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找等量关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．【例15】如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线2y x =交于A 、B 线OA 和OB 分别和圆22(2)4x y -+=交于D 、E 两点，若OABODES S λ∆∆=，则λ等于A ．12B ．13C ．14D ．15【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由2,(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得222(21)0k x k x k -++=，即121x x ⋅=．又11222,y x ⎪⎨=⎪⎩所以12120x x y y ⋅+⋅=，即OA OB ⊥．设直线OA ：1y k x =，直线OB ：2y k x =，则121k k ⋅=-．由21,y x y k x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得21111(,)A k k ，同理22211(,)B k k ．由221(2)4,x y y k x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得1221144(,)11k D k k ++，同理2222244(,)11k E k k ++． 所以OA =OB =OD =，OE ． x所以221122*********(1)(1)2(1)(1)12116161642OAB ODEk k OA OBS k k k k S OD OE ∆∆++++++====≥．【建议】1．解析几何研究的对象是几何图形，善用巧用几何图形的特征，把几何特征转化为代数表示，从而缩短思维链条，简化运算过程；2．在几何图形中，利用解三角形和三角形相似等知识，转化为边角之间的关系解决解析几何问题．其中，解三角形的画图用图，体现数形结合的思想；利用角或边的关系消角（边），体现了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想．（四）重视平面解析几何中代数方法的思维训练代数的思维特征，可以概括为程序化：即有点类似于解应用题的算术思维，遵循不断求出的计算，即便引进参数，也当成假设已知，参与运算；构造性的：即有点类似于解应用题的方程思维，注重寻找关系，“设而不求”，推演求解．复习教学中，要通过恰当的事例，训练学生的代数思维，这使得解析几何的代数方法不是一招一式的技巧，而是有着行动指南的思维模式.【例16】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，42p FM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =. （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=.由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=. 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB===点P到直线AB的距离为d=，所以，()3220011422PABS AB d x y=⋅==-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y-=-+-=---=-++，由已知可得53y-≤≤-，所以，当5y=-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=．【评析】运算繁杂是解析几何最突出的特点．首先，解题中要指导学生克服只重视思路、轻视动手运算的缺点．运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，在其它板块中也要加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能收到较好的效果．其次，要培养学生运算的求简意识，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用．【例17】过抛物线24y x=的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为1A，1B两点，以线段1A1B为直径的圆C过点(2,3)-，则圆C的方程为A．22(1)(2)2x y++-=B．22(1)(1)5x y++-=C．22(1)(1)17x y+++=D．22(1)(2)26x y+++=分析一：问题归结——确定圆的方程的基本要素：过焦点的直线AB的方程及与抛物线的交点坐标()()1122,,,A x yB x y；策略突破——圆的两个关键量的代数形式：圆心和半径，确定参变量，引入关联变量——斜率的倒数t，可设直线AB：1x ty=+；；求解过程分析：联立方程组21,4,x tyy x=+⎧⎨=⎩消元得到2440y ty--=；由韦达定理得12124,4y y t y y+==-，则()1,2C t-，直径()()2221112161A B y y t=-=+；求半径()2212-3MC t=+，由22114A B MC=得方程()()()22161412-3t t+=+，则1=2t.回归圆：圆心(1,1)C-，半径的平方25MC=，答案选B．。
江苏省高三数学二轮复习专题讲座6--解析几何二轮复习建议(雨花台中学)
解析几何二轮复习建议雨花台中学高三数学备课组平面解析几何 用代数方法研究几何图形的几何性质，体现着数形结合的重要数学思想．直线与圆的方程、圆锥曲线与方程是历年高考的必考内容，题量一般为一道解答题和两道填空题．江苏高考对双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质由原来的理解降为了解，圆锥曲线突出了直线与椭圆（理科有与抛物线）的位置关系，淡化了直线与双曲线的位置关系．直线与圆锥曲线的有关问题始终是命题的热点内容之一，必考一道解答题．直线与圆锥曲线所涉及的知识点较多，对解题能力的考查层次要求较高，所研究的问题是直线与圆锥曲线的位置关系、定点（定值）、最值以及参数的取值范围等．第一课时 直线与圆教学目标：在2013年的备考中，需要关注：（1）直线的基本概念，直线的方程，两直线的位置关系及点到直线的距离等基础知识；（2）活用圆的两类方程、直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系； （3）对数形结合的思想、转化与化归的思想熟练掌握。
一、基础回顾：1、若直线(a 2＋2a )x －y ＋1＝0的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．2、经过222410x y x y +--+=的圆心，且倾斜角为6π的直线方程为 .3、直线ax ＋2y ＋6＝0与直线x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，则a ＝________.4、直线20x +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长度等于 . 5、已知圆:C ()()22212x y -++=，过原点的直线与圆C 相切，则所有切线的斜率之和为 .6、过点()0,6A 且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程为 .二、典型问题基本题型一：直线的概念、方程及位置问题例1 过点P (3,2)作直线l ，交直线y ＝2x 于点Q ，交x 轴正半轴于点R ，当△QOR 面积最小时，求直线l 的方程．解析： 方法一：设点Q 的坐标为(a,2a )，点R 的坐标为(x,0)，其中x >0.当a ＝3时，△QOR 的面积S ＝9； 当a ≠3时，因为P ，Q ，R 三点共线， 所以23－x ＝2a －2a －3，解得x ＝2aa －1(a >1)，∴△QOR 的面积S ＝12|OR |·2a ＝2a 2a －1＝2[(a －1)＋1a －1＋2]．当且仅当a －1＝1a －1(a >1)，即a ＝2时，S 取得最小值8.此时点Q 的坐标为(2,4)，将Q ，P 两点坐标代入直线方程两点式，并整理得2x ＋y －8＝0.解法二：设l 的方程为x ＝3或y －2＝k (x －3)， 当l 的方程为x ＝3时，△QOR 的面积S ＝9；当l 的方程为y －2＝k (x －3)时，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y －2＝k x －，解这个方程组，得点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3k －2k －2，6k －4k －2.在方程y －2＝k (x －3)中，令y ＝0，得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫3k －2k ，0，∴△QOR 的面积S ＝12·3k －2k ·6k －4k －2＝（3k －2）2k 2－2k，变形得(S －9)k 2＋(12－2S )k －4＝0，因为S ≠9，所以判别式Δ≥0，即(12－2S )2＋16(S －9)≥0，化简，得 2S －8S ≥0， 当且仅当k ＝－2时，S 取得最小值8，此时直线l 的方程为y －2＝－2(x －3)，即2x ＋y －8＝0.综上，当△QOR 的面积最小时，直线l 的方程为2x ＋y －8＝0.说明：直线方程是平面解析几何的基础内容，该考点属于高考必考内容，且要求较高，均属理解、掌握的内容．纵观近几年的高考试题，一般以填空题的形式出现．求直线的方程要充分利用平面几何知识，采用数形结合法、待定系数法、轨迹法等方法；平行与垂直是平面内两条直线特殊的位置关系，高考一般考查平行或垂直的应用．基本策略：(1) 求直线方程的主要方法是待定系数法．在使用待定系数法时，要注意方程的选择，用点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，可以设直线l ：x ＝ky ＋m ，不能平行于x 轴的直线，防止丢解．另外，解题时认真画图，有助于快速准确地找到解题思路．(2) 求最值的问题，可先适当选取自变量，其次建立目标函数，再次是求最值，最后讨论何时取得最值．基本题型二：圆的方程及圆的性质问题例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M ，N 均在直线x ＝5上．圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为r 1＝13；圆弧C 2过点A(29,0)．(1) 求圆弧C 2所在圆的方程；(2) 曲线C 上是否存在点P ，满足PA ＝30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；解析：(1) 由题意知，圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169.当x ＝5时，y ＝±12，所以点M (5,12)，N (5，－12)． 由对称性知，圆弧C 2所在圆的方程的圆心在x 轴上． 设圆弧C 2所在圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 22，将M (5,12)，A (29,0) 代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋144＝r 22，－a 2＝r 22，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14， r 2＝15.故圆弧C 2所在圆的方程为(x －14)2＋y 2＝225，即x 2＋y 2－28x －29＝0.(2) ①如果点P 在圆弧C 1上，设P (x 0，y 0)(－13≤x 0≤5)，则x 20＋y 20＝169.由P A ＝30PO ，得(x 0－29)2＋y 20＝30(x 20＋y 20)，即x 20＋y 20＋2x 0－29＝0， 所以169＋2x 0－29＝0，解得x 0＝－70，与－13≤x 0≤5矛盾； ②如果点P 在圆弧C 2上，设P (x 0，y 0)(5≤x 0≤29)，则(x 0－14)2＋y 20＝225，由P A ＝30PO ，得(x 0－29)2＋y 20＝30(x 20＋y 20)，解得x 0＝0，与5≤x 0≤29矛盾． 综上所述，曲线C 上不存在点P ，使P A ＝30PO .说明：对于圆的方程，高考要求能根据所给的条件选取恰当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决与圆相关的问题．该部分在高考中常以填空题的形式直接考查，或是在解答题的综合考查． 基本策略：求圆的方程有两类方法：(1)几何法：通过研究圆的几何性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心、半径)，进而得到圆的方程．(2)代数法：用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式(本例题中涉及圆心及切线，故设标准形式较简单)；②利用条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；③解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程． 基本题型三：直线与圆的位置关系例3如图所示，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P . (1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)B Q →·B P →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．解 (1)设圆A 的半径为R .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0.连结AQ ，则AQ ⊥MN .∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1.由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.(3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP →＝0.∴BQ →·BP →＝(BA →＋AQ →)·BP →＝BA →·BP →＋AQ →·BP →＝BA →·BP →.当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝⎛⎭⎫－2，－52.则BP →＝⎝⎛⎭⎫0，－52，又BA →＝(1,2)， ∴BQ →·BP →＝BBA →·BP →＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)， x ＋2y ＋7＝0解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k .，∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k .∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－51＋2k －10k1＋2k ＝－5.综上所述，BQ →·BP →是定值，且BQ →·BP →＝－5.说明：弦长问题是高考命题的热点，同时，对于这部分知识，高考常有创新，如与向量知识结合等．层次要求较高，从近年来的命题趋势看，命题形式以填空题为主，在复习时，要熟练掌握由半径、半弦长、弦心距所构成的直角三角形，从而准确地解答问题．基本策略：(1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d 及半弦长l2，构成直角三角形关系来处理．(2)要注意分类讨论，即对直线l 分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨．基本题型四：直线与圆的综合应用问题例4 如图所示，已知直线:l y x =，圆1C 的圆心为（3，0），且经过点()4,1A ． （1） 求圆1C 的方程；（2） 若圆2C 与圆1C 关于直线对称，点B 、D 分别为圆12C C 、上任意一点，求||BD 的最小值；（3） 已知直线上一点M 在第一象限，两质点P Q 、同时从原点出发，点P 以每秒1个单位的速度沿x 轴正方向运动，点Q 以每秒个单位沿射线OM 方向运动，设运动时间为秒。
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解析几何二轮复习建议南京一中引入坐标系，使点与坐标，曲线与方程联系起来的坐标方法对于数学发展起了巨大的作用。
用坐标法研究曲线（几何图形），实际上要解决两个问题：第一是由曲线（几何图形）求方程；第二是利用方程讨论曲线（几何图形）的性质。
由曲线求方程，要解决如何将曲线上的点所满足的条件转化为曲线上点的坐标所适合的方程；在解析几何里，所讨论的曲线的性质通常包括：曲线的范围，曲线的对称性，曲线的截距，以及不同曲线所具有的一些特殊性质，例如过定点，过定线，最值等一些不变（量）性。
用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大。
坐标法是借助坐标系，以代数中数与式、方程的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法。
因此，要有一定的代数知识基础，特别是代数式变形和解方程组的能力要求较高。
以下解析几何二轮复习建议，仅供参考。
基本题型一：求基本量1．直线的几何量主要是斜率、倾斜角、截距；圆的几何量主要是圆心、半径。
这些量主要通过两直线的平行与垂直、线性规划、直线与圆的位置关系等进行综合，作为题中的一个点出现．2．圆锥曲线的几何量主要包括轴、轴长、顶点、焦距、焦点、准线、渐近线、离心率。
在已知方程求有关量时，首先是把方程化为标准方程，找准a ，b ，c ，p 的值，二是记准相应量的计算公式．在已知图形中求有关量时，要明确各个量的几何意义和图形中的特征求方程或不等式求几何量．例1．直线l ：3x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则直线l 在x 轴上的截距_____． 解：因为⊙C 方程可化为(x －1)2＋y 2＝(3)2，所以圆心C (1，0)，半径r ＝3，因为直线l 与圆C 相切，直线C 到l 的距离等于r ，即∣3⋅1－1⋅0＋m ∣2＝3，解得m ＝－33或3．当m ＝3时，直线l 方程为3x －y ＋3＝0，在x 轴上的截距为－1； 当m ＝－33，直线l 方程为3x －y ＋－33＝0，在x 轴上的截距为3．例2．(2008天津）设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m ＞1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为___________解：根据椭圆定义得2a ＝1＋3，a ＝2，即m ＝2，b ＝m 2－1＝3，c ＝1，e ＝c a ＝12，根据第二定义得P 到右准线距离为2．例3．（2007安徽）如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为___________．解法一：不妨设OF 2＝1，因为OF 1＝OF 2＝OA ， 所以△AF 1F 2为直角三角形．所以AF 1＝1．所以2a ＝AF 2－AF 1＝3－1,又2c ＝2，所以e ＝ca ＝3解法二：连接OA ，由△ABF 2为等边三角形，可得 A 点的坐标为(－12c ，32c )．因为A 在双曲线上，所以(－12c )2a 2－(32c )2b 2＝1，即14e 2－34e 2e 2－1＝1，去分母整理得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，e ＝3±1．因为e ＞1，所以e ＝3＋1．例4．（2008四川）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为____________． 解：如图，过A 作AH ⊥l ，垂足为H ，由抛物线的定义可知， AF ＝AH ，又AK ＝2AF ，所以AK ＝2AH ，因为∠AHK ＝90︒， 所以∠AKH ＝45︒，所以KH ＝AH ＝y A ．所以AF ＝y A ．即AF ⊥x 轴．所以AF ＝FK ＝4，S △AFK ＝8． 例5．（2010四川）椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．分析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等，FA PF =。
如果我们考虑几何的大小，易知PF 不超过c a +，得到一个关于基本量a ，b ，c ，e 的不等式，从而求出离心率e 的范围；如果我们考虑，通过设椭圆上的点),(y x P ，注意到椭圆本身的范围，也可以求出离心率e 的范围。
解法1：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以FA PF =，而c c a FA -=2，c a PF +≤， 所以c a c ca +≤-2，所以222c ac a +≤。
又ac e =，所以122≥+e e ，所以0122≥-+e e ， 即0)1)(12(≥+-e e ，又10<<e ，所以121<≤e *解法2：设点),(y x P 。
由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以FA PF =，由椭圆第二定义，e x ca PF =-2，所以ex a ex e ca PF -=-=2， 而，c ca FA -=2， 所以c c a ex a -=-2，解出)(12ca c a e x -+=， 由于a x a ≤≤-，所以a c a c a e a ≤-+≤-)(12，又ace =，所以0122≥-+e e ， 即0)1)(12(≥+-e e ，又10<<e ，所以121<≤e 基本题型二：求曲线方程1．已知曲线的类型求曲线方程的基本方法：直接法与待定系数法。
在用直接法求方程时，要注意条件的转化方向和手段，在用待定系数法求方程时，要注意方程形式的选择标准和一些常用的设方程的技巧。
2．求一般轨迹方程常用方法：直接（译）法、参数法和数形结合法。
以直接（译）法为主，强化曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤。
也是注意，相关点法、参数法和数形结合法，有利于拓展思考问题的思路。
例6．已知直线l 经过点P (－1，1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1=0及l 2：x ＋2y －3=0所截得的线段M 1M 2的中点M 在直线l 3：x －y －1=0上，试求直线l 的方程．解法一：（1）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程是x ＝－1，与直线l 1，l 2的交点分别为M 1(－1，1)，M 2(－1，2)．线段M 1M 2的中点(－1，32)不在直线l 3上，不合．（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，分别与l 1，l 2联列解得M 1(－1，1)，M 2(1－2k 1＋2k ，1＋4k 1＋2k ），线段M 1M 2的中点为M (－2k 1＋2k ，1＋3k1＋2k ），因为M 在直线l 3上，代入得，k ＝－27．代入得直线l 的方程为2x ＋7y －5＝0．解法二：因为被两平行直线l 1，l 2所截线段M 1M 2的中点在与l 1，l 2平行且与l 1，l 2等距离的直线上，而与l 1，l 2平行且与l 1，l 2等距离的直线方程为x ＋2y －2＝0，又由已知线段M 1M 2的中点M 在直线l 3：x －y －1=0上，所以由方程组⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1=0解得线段M 1M 2中点M 的坐标为(43，13)．从而直线l 经过点P (－1，1)和M (43，13)，代入两点式得直线l 的方程为2x ＋7y －5＝0．例7．已知点A (2，2)，B (3，－1)，C (5，3)，求△ABC 内切圆的方程.解：代入两点式得三边的方程分别是AB ：3x ＋y －8＝0，BC ：2x －y －7＝0，CA ：x －3y ＋4＝0．设△ABC 的内心坐标为I (a ，b )，则由I 到三边的距离相等得∣3a ＋b －8∣10＝∣2a －b －7∣5＝∣a －3b ＋4∣10，根据I 的位置和线性规划知识，可以去绝对值得＋(3a ＋b －8)10＝－(2a －b －7)5＝＋(a －3b ＋4)10， 化简得⎩⎨⎧a ＋2b =6，(3＋22)a －(2－1)b =8＋72．解得a ＝6－22，b ＝2．半径r ＝－(2a －b －7)5＝－5－525＝10－5．所以内切圆的方程为(x －6＋22)2＋(y －2)2＝(10－5)2．例8．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长与短轴长的比为2，且过点(－2，3)，则该椭圆的方程是_______________． 解：根据条件可知椭圆为标准方程．（1）当焦点在x 轴上时，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由条件得⎩⎨⎧2a2b =2，(－2)2a 2＋(3)2b2=1．解得⎩⎨⎧a =22，b =2.所求的椭圆方程为x 28＋y24＝1．（2）当焦点在y 轴上时，设椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ．由条件得⎩⎨⎧2a 2b =2，(3)2a 2＋(－2)2b 2=1．解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=7，b 2=72.所求的椭圆方程为y 27＋2x 27＝1． 例9．如图，在以点O 为圆心，AB ＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝60︒，曲线C 是满足MA ＋MB 为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P ．求曲线C 的方程．解：如图建立平面直角坐标系， 因为曲线C 过点P ，所以MA ＋MB 为定值就是P A ＋PB ，根据条件求得 P A ＋PB ＝2(1＋3)，所以MA ＋MB ＝2(1＋3)＞AB ． 根据椭圆定义可知，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点，且长轴长为2(1＋3)的椭圆，在所建的坐标系中，方程形式为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．根据条件得a ＝1＋3，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12， 所以曲线C 的方程为x 24＋23＋y 212＝1．例10．（2010安徽）椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F在x 轴上，离心率12e =。
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程。
解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为12222=+by a x ，由21=e ，得21=a c ，22223c c a b =-=， 所以1342222=+c y c x ，将A 点代入，得42=c ， 所以椭圆E 的方程为：1121622=+y x （Ⅱ）由（Ⅰ）知)0,2(1-F ，)0,2(2F ，所以直线1AF 方程为)2(43+=x y ，即0643=+-y x ，直线2AF 方程为2=x 。