高考数学精英备考专题讲座 第六讲解析几何 第四节解析几何的综合应用 文
2022年高考数学二轮复习《解析几何》讲座
解析几何对学生良好的学习习惯的养成提出较高要求，对自觉地运用数学思想 方法进行分析、推理、运算的能力也提出较高要求．
考试范围与要求
一、直线与方程 1．在平面直角坐标系下，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素. 2. 理解直线的倾斜角概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．能根据两条直线的斜率判断两条直线平行或垂直 ． 4．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两
点式、一般式），了解斜截式与一次函数的关系． 5．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 6．掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行直线间
高考真题
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解析几何难在哪？
解析几何试题综合性强、应用面广，有些题目对运算求解能力要求高、有些题 目对推理论证能力要求高，虽然解析几何中有一些基本问题，但有不少题目，所给 的条件无法直接使用，或者使用起来比较困难，需要考虑对条件进行适当的转化．
考试范围与要求
四、圆锥曲线（文科） 1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范
围、对称性、顶点、离心率）． 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单
的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）． 3．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何
高三数学专题06解析几何题怎么解
高三数学专题06解析几何题怎么解安振平高考解析几何试题一样共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一样紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的差不多知识, 这点值得考生在复课时强化.例1 已知点T 是半圆O 的直径AB 上一点，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB 为直腰作直角梯形B B A A ''，使A A '垂直且等于AT ，使B B '垂直且等于BT ，B A ''交半圆于P 、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线B A ''的方程； （2）运算出点P 、Q 的坐标；（3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q.讲解: 通过读图, 看出'',B A 点的坐标.(1 ) 明显()t A -1,1', ()，，‘t B +-11 因此 直线B A ''的方程为1+-=tx y ；（2）由方程组⎩⎨⎧+-==+,1,122tx y y x解出 ),(10P 、),(2221112t t t t Q +-+；（3）tt k PT 1001-=--=,t t t t tt t t t k QT1111201122222=--=-+-+-=)(. 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q.需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有味吗?例2 已知直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 有且仅有一个交点Q ，且与x 轴、y轴分别交于R 、S ，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程．讲解：从直线l 所处的位置, 设出直线l 的方程,由已知，直线l 只是椭圆的四个顶点，因此设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y 代入椭圆方程，222222b a y a x b =+ 得.)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++ 化简后，得关于x 的一元二次方程.02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a因此其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=∆ 由已知，得△=0．即.2222m b k a =+ ①在直线方程m kx y +=中，分别令y=0，x =0，求得).,0(),0,(m S kmR -令顶点P 的坐标为（x ，y ）， 由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.,.,y m x y k m y k m x 解得 代入①式并整理，得 12222=+y b x a , 即为所求顶点P 的轨迹方程．方程12222=+y b x a 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?例3已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.讲解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则.11,315531152002002210kx y k k kx y k k x x x BE-=+=-=+=⋅-=+= ,000=++∴k ky x即7,0,03153115222=∴≠=+-+-k k k kk k k 又 故所求k=±7.为了求出k 的值, 需要通过消元, 方法设法建构k 的方程.例4 已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且∠F 1PF 2的最大值为90°，直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，△ABF 2的面积最大值为12．（1）求椭圆C 的离心率； （2）求椭圆C 的方程． 讲解：（1）设cF F r PF r PF 2||,||,||212211===, 对,21F PF ∆ 由余弦定理, 得1)2(2441244242)(24cos 22122212221221221212221121-+-≥--=--+=-+=∠r r c a r r c a r r c r r r r r r c r r PF F0212=-=e ， 解出 .22=e（2）考虑直线l 的斜率的存在性，可分两种情形：i) 当k 存在时，设l 的方程为)(c x k y +=………………①椭圆方程为),(),,(,122112222y x B y x A b y a x =+由.22=e 得 2222,2c b c a ==.因此椭圆方程可转化为 022222=-+c y x ………………② 将①代入②，消去y 得 02)(22222=-++c c x k x ,整理为x 的一元二次方程，得 0)1(24)21(22222=-+++k c x ck x k .则x 1、x 2是上述方程的两根．且221221122||kk c x x ++=-， 2212221)1(22||1||k k c x x k AB ++=-+=，AB 边上的高,1||2sin ||22121k k c F BF F F h +⨯=∠=也可如此求解：||||212121y y F F S -⋅=||||21x x k c -⋅⋅=c k k k k c S 21||)211(2221222+++=.2141224412221||122224242422222c k k c k k k k ck k k c<++=+++=++=ii) 当k 不存在时，把直线c x -=代入椭圆方程得22221,2||,22c c S c AB c y ⨯==±=由①②知S 的最大值为22c 由题意得22c =12 因此2226b c == 2122=a故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12621222=+y x下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：c my x -=…………① （如此设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为：),(),,(,122112222y x B y x A by a x =+由.22=e 得：,,22222c b c a ==因此椭圆方程可化为：022222=-+c y x ……② 把①代入②并整理得：02)2(222=---c mcy y m因此21,y y 是上述方程的两根.||1)()(||122221221y y m y y x x AB -+=-+-=2)2(441222222++++=m m c c m m2)1(2222++=m m c , AB 边上的高212mc h +=,从而222222)2(122122)1(2221||21++=+⨯++⨯==m m cm c m m c h AB S.221111222222c m m c ≤++++=当且仅当m=0取等号，即.22max c S =由题意知1222=c , 因此 212,26222===a c b .故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12621222=+y x例5 已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上.（１）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上，求此椭圆的方程.讲解:（1）设A 、B 两点的坐标分别为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=11).,(),,(22222211b y ax x y y x B y x A ，则由 得 02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ,依照韦达定理，得,22)(,2222212122221b a b x x y y b a a x x +=++-=++=+ ∴线段AB 的中点坐标为（222222,ba b b a a ++）. 由已知得2222222222222)(22,02c a c a b a ba b b a a =∴-==∴=+-+ 故椭圆的离心率为22=e . （2）由（1）知,c b =从而椭圆的右焦点坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线02:=-y x l 的对称点为,02221210),,(000000=⨯-+-=⋅--yb x b x y y x 且则解得 b y b x 545300==且 由已知得 4,4)54()53(,42222020=∴=+∴=+b b b y x故所求的椭圆方程为14822=+y x .例6 已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B两点， （1）假如324||=AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.讲解:（1）由324||=AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由A OB C射影定理，得 ,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中， 523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ， 故55-==a a 或，因此直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或（2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由 点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22xy a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅= 即(**),14)2(222=+⋅-+a y x 把（*）及（**）消去a ，并注意到2<y ，可得).2(161)47(22≠=-+y y x适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.例7 如图，在Rt △ABC 中，∠CBA=90°，AB=2，AC=22。
解析几何专题讲座
x R, y - ，0
关于y轴对称
F 0， - p
2
y p 2
（二）圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质
例7（2019 上海）设 m 是常数，若点 F（0,5）是双曲线
m=
16 ．
y2 x2 1 的一个焦点，则
m9
【解析】由于点 F（0,5） 是双曲线 y2 x2 1 的一个焦点，
mx y 2m 1 0m R 相 切 的所 有 圆 中， 半 径 最 大的 圆 的 标准 方 程
为 x 12 y2 2．
【解析】由直线 mx y 2m 1 0m R与圆相切得圆心到直线的距离d 等于
圆的半径 r ，
即r m1 m1 ， m2 1 m2 1
到直线 2x y 0 的距离为 4 5 ，则圆 5
【解析】
的方程为 x 22 y2 9．
圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，圆心到直线 2x y 0 的距离为 4 5 ， 5
待定系数法
设圆的方程 x a2 y b2 r 2，其中圆心 (a, b) ，
C1
C2
C1
C2
C1
（一）直线与圆、圆与圆
例1（2016 浙江）已知
，方程 a2 x2 (a 2) y2 4x 8y 5a 0 表示圆，则
圆心坐标是
- 2,-4 ，半径是
5．
【解析】因为方程 a2 x2 (a 2) y2 4x 8y 5a 0 表示圆 ，
AB CD 0 ，则点 A 的横坐标为
．
（一）直线与圆、圆与圆
巩固练习1.
A
【解析】圆 x 22 y2 2 的圆心C2,0 ，半径r 2 ，可以计算 AB 2 2 ，
专题讲座六-课件
3 .
栏目 导引
专题策略
(2)由条件可知
g(x)＝sinx－π3 －
3 . 2
当 x∈π2 ，π时，有 x－π3 ∈π6 ，2π 3 ，
从而 y＝sinx－π3 的值域为12，1，
那么 y＝sinx－π3 － 23的值域为1－2
3，2－ 2
栏目 导引
专题讲座二 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略
解：(1)由题意知，f(x)＝2cos2x－ 3sin 2x＝1＋cos 2x－ 3sin
2x＝1＋2cos2x＋π3 ，
所以 f(x)的最小正周期 T＝π，
因为 y＝cos x 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，
栏目 导引
专题讲座二 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略
1.已知函数
f(x)＝
sinω
x＋π 6
＋sinωx－π6
－2cos2ωx，x∈R，ω＞0.
2
(1)求函数 f(x)的值域；
(2)若函数 y＝f(x)的图象与直线 y＝－1 的两个相邻交点间的 π
距离为 ，求函数 y＝f(x)的单调增区间． 2
栏目 导引
专题讲座二 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略
3.已知 f(x)＝a·b，其中 a＝(2cos x，－ 3sin 2x)， b＝(cos x，1)(x∈R)． (1)求 f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，f(A) ＝－1，a＝ 7，A→B·A→C＝3，求边长 b 和 c 的值(b＞c)．
子天 是开
梅放
花；
，有
选的
高三数学一轮复习 专题六 透析解析几何几类典型问题的解法课件 理
方法三 对称问题几何意义法
【例
3】 (1)设 F1,F2 分别是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线 x=
a2 c
上存在 P,使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆离心率的取值范围是( )
(A) (0, 2 ] (B) (0, 3 ] (C)[ 2 ,1) (D)[ 3 ,1)
解析:法一
由题意知
kAB=
1 2
,设
A(x1,y1),B(x2,y2),则
x12 a2
x22
a2
y12 b2
y22 b2
1, 1.
两式相减得 x1 x2 x1 x2 + y1 y2 y1 y2 =0.
a2
b2
由
AB
中点是(1,-1)知
xy11
x2 y2
2, 2,
方法总结 “直线与圆锥曲线相交的弦分点”,最基本的解法是本解析 中解法1为利用根与系数的关系得出点的坐标的两个方程、分点关系 得出点的坐标的一个方程(横坐标或者纵坐标),从三个方程中消去点的 坐标,就得出了求解目标的方程,问题得解.解法2也是解决该类问题的基 本方法,相对解法1,运算方面复杂一些.解法3是对抛物线焦点弦的一个 专门解法,其特点是应用抛物线的定义把问题转化为解一个直角三角形. 该类试题也经常以解答题的形式出现.
专题六 透析解析几何几类典型问题的 解法
解析几何是高中数学最主要的知识板块之一,在高考中占有重要位置. 解析几何试题类型众多、解法灵活,但其中有很多类问题的解法具有 一般性,下面我们以解析几何试题的类型为线索,总结其几类问题的解 题方法.
方法一 中点问题点差法
探讨解析几何的应用及重要性
探讨解析几何的应用及重要性1. 引言1.1 什么是解析几何解析几何是数学中的一门重要分支，它是代数与几何相结合的学科，通过代数方法来研究几何问题。
在解析几何中，几何图形可以用代数的方式描述，通过坐标系和方程来解决各种几何问题。
解析几何的基本概念包括点、直线、圆、曲线等几何元素，以及平移、旋转、缩放等几何变换。
通过使用代数方法，解析几何可以精确地描述几何图形的性质和关系，解决各种几何难题。
解析几何的历史可以追溯到十七世纪，当时的数学家们开始尝试用代数方法研究几何问题。
著名的数学家笛卡尔提出了坐标系的概念，并将几何问题转化为代数方程的求解问题，从而开创了解析几何的发展。
随着时代的发展，解析几何逐渐成为数学中不可或缺的一部分，对科学技术的发展起着重要作用。
解析几何的基本原理和方法也在现代科学中得到广泛应用，成为求解各种实际问题的重要工具。
1.2 解析几何的历史意义解析几何的历史意义可以追溯到古希腊时代，当时的数学家欧几里得和阿波罗尼奥斯等人提出了许多几何学理论，奠定了解析几何的基础。
随着时间的推移，数学家们开始将代数和几何结合起来，形成了解析几何这一学科。
解析几何的历史意义在于它开创了一种全新的数学研究方法，使得数学家们能够更加深入地探讨几何问题。
在历史上，解析几何的出现对数学的发展起到了巨大的推动作用。
通过解析几何的方法，数学家们能够更好地理解几何图形的性质和关系，从而推动了数学知识的不断进步。
解析几何的历史意义还体现在它为现代科学的发展奠定了基础。
许多科学领域都需要借助解析几何的方法来解决复杂的问题，比如物理学、工程学和计算机科学等。
可以说解析几何在数学史上具有重要的地位，它不仅促进了数学理论的发展，也推动了现代科学的进步。
2. 正文2.1 解析几何在现代科学中的应用解析几何在现代科学中的应用十分广泛。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有重要的应用价值。
在物理学中，解析几何被广泛应用于描述和研究空间中的物体运动、力学、流体力学等现象。
2019-2020年高考数学精英备考专题讲座 第六讲解析几何 第二节圆锥曲线 文
2019-2020年高考数学精英备考专题讲座 第六讲解析几何 第二节圆锥曲线 文圆锥曲线是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年的高考试题,对圆锥曲线的定义、几何性质等的考查多以选择填空题的形式出现,而圆锥曲线的标准方程以及圆锥曲线与平面向量、三角形、直线等结合时,多以综合解答题的形式考查,属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控制在之间.考试要求 ⑴了解圆锥曲线的实际背景；⑵掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；⑶了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质；⑷了解抛物线的定义、几何图形、标准方程,知道其简单几何性质；⑸了解圆锥曲线的简单应用；⑹掌握数形结合、等价转化的思想方法. 题型一 圆锥曲线的定义及应用例 ⑴已知点为椭圆的左焦点,是此椭圆上的动点,是一定点,则的最大值和最小值分别为. ⑵已知双曲线的虚轴长为,离心率为,、分别是它的左、右焦点,若过的直线与双曲线的左支交于、两点,且是与的等差中项,则.点拨：题⑴可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值；题⑵是圆锥曲线与数列性质的综合题,可根据条件先求出双曲线的半实轴长的值,再应用双曲线的定义与等差中项的知识求的值.解：⑴设椭圆右焦点为,则,∴1||||||||6MA MF MA MF +=-+.又 111||||||||AF MA MF AF -≤-≤(当、、共线时等号成立).又,∴, .故的最大值为,最小值为.⑵依题意有222226ca b c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩,解得.∵、在双曲线的左支上,∴,,∴2211||||(||||)4AF BF AF BF a +-+=.又,.∴,即.∴.易错点：在本例的两个小题中,⑴正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻；⑵忽视双曲线定义中的两焦半径的大小关系容易出现解题错误；⑶由、、三点共线求出的最值也是值得注意的问题. 变式与引申1.已知为抛物线上任一动点,记点到轴的距离为,对于给定的点,的最小值为( ). A. B. C. D.2.设、分别是椭圆：的左、右焦点,过的直线与相交于、两点,且是与的等差中项,则. 题型二 圆锥曲线的标准方程例2 已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点. ⑴求椭圆的离心率；⑵设,又,为与不在轴上的两个交点,若的重心在抛物线上,求和的方程.图点拨：问题⑴：将的焦点坐标代入的方程,得出的关系式,进而求出的离心率；问题⑵：利用问题⑴的答案,联立、的方程先得出、坐标,再利用的重心在抛物线上,求、的方程. 解：⑴∵抛物线经过椭圆的两个焦点,,∴,即, ∴,∴椭圆的离心率.⑵由⑴可知,椭圆的方程为,联立抛物线的方程, 得,解得或(舍去),∴,即,,∴的重心坐标为.∵重心在上,∴,得.∴. ∴抛物线的方程为,椭圆的方程为.易错点：忘记用第⑴小问的答案；记错重心坐标公式；联立、的方程后,计算错、坐标. 变式与引申3.求经过两点和的椭圆的标准方程.4.已知椭圆与直线相交于、两点,是的中点,若,的斜率为,求椭圆的方程. 题型三 圆锥曲线的几何性质例 如图,已知为椭圆的左焦点,过点作斜率为(为半焦距)的直线交椭圆于点、两点. ⑴若直线的倾斜角为,求证：(为椭圆的离心率)； ⑵若,且,求椭圆的离心率的取值范围.点拨：这是一道过椭圆焦点的直线与椭圆性质的有关问题,依据题给条件,几性质、焦半径公式及题给条件建立含离心率的不等式,进而求出的取值范围. ⑴解法：∵,∴,即,又, ∴,故.解法：依题意直线的分别为,∴点的坐标为,故. ⑵解：∵,∴.将直线代入椭圆,整理得 ,∴,.∵,∴2222||||||||||B F F x x BF FA x a c c a c cλ--++===u u u r u u u r 22222222221121231(,)aa c e a ca ce-+++-=-==∈,解不等式,得,∴,故椭圆的离心率的取值范围为.易错点：问题⑴中忽视斜率的正负,会导致的符号出错；问题⑵中不适时联想平几性质，解题思路将受阻. 变式与引申5.给定抛物线：,过点斜率为的直线与交于,两点. (Ⅰ)设线段的中点在直线上,求的值； (Ⅱ)设,,求的取值范围.题型四 以圆锥曲线为载体的探索性问题例 已知椭圆：的离心率为,过右焦点的直线与相交于、两点.当的斜率为时,坐标原点到的距离为.⑴求、的值；⑵上是否存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立？若存在,求出所有的点的坐标与的方程.若不存在,说明理由.点拨：问题⑴可先写出的方程,再利用点到的距离和椭圆的离心率求出、的值；问题⑵是存在性探索问题,可先探索命题成立的充要条件,将向量坐标化,再综合运用题给条件,逐步推出满足题意的是否存在.但需考虑转动时斜率不存在情形. 解：⑴设,当的斜率为时,其方程为,点到的距离为, ∴.由,得,.图⑵上存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立.由⑴知的方程为 .设,.①当不垂直轴时,设的方程为.上的点使成立的充要条件是的坐标为,且2212122()3()6x x y y +++=,即222211221223234x y x y x x ++++ .又、在上,∴,,∴ ①将代入 ,整理得2222(23)6360k x k x k +-+-=, 于是 ,,2221212423(1)(1)kky y k x x -+=--=.代入①解得,,此时,于是12122(2)ky y k x x +=+-=-,即.因此,当时,,的方程为；当时,,的方程为.②当垂直于轴时,由知,上不存在点,使成立. 综上,上存在点使成立,此时的方程为.在、之间),为坐标原点. ⑴若,,求的面积；⑵对于任意的动直线,是否存在常数，总有？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.本节主要考查： ⑴知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质(焦点、离心率、焦点三角形,焦半径等)以及这些知识的综合应用；⑵以平面向量、三角形、导数为背景的圆锥曲线的方程问题、参数范围问题、最值问题、定值问题等相关的综合问题；⑶圆锥曲线定义法、待定系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和“几何问题代数化” 等解析几何的基本方法；⑷数形结合思想、方程思想、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本数学能力. 点评：⑴圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,同时又是高考的热点和压轴点之一,主要考查圆锥曲线的定义(如例)与性质(如例)、求圆锥曲线方程(如例)、直线与圆锥曲线的位置关系、以圆锥曲线为载体的探索性问题(如例)等.⑵圆锥曲线的定义,揭示了圆锥曲线存在的条件性质、几何特征与焦点、离心率相关的问题,恰当利用圆锥曲线定义和数形结合思想解题,可避免繁琐的推理与运算.⑶求圆锥曲线的标准方程：①定型——确定是椭圆、抛物线、或双曲线；②定位——判断焦点的位置；③定量——建立基本量、、的关系式,并求其值；④定式——据、、的值写出圆锥曲线方程.⑷圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径、焦点三角形、通径等都是高考的重点热点.此类问题,它源于课本,又有拓宽引申、高于课本,是高考试题的题源之一,应引起重视,注意掌握好这一类问题的求解方法与策略.如对于求离心率的大小或范围问题,只需列出关于基本量、、的一个方程(求大小)或找到关于基本量、、间的不等关系(求范围)图即可.⑸求参数取值范围是圆锥曲线中的一种常见问题,主要有两种求解方法：一是根据题给条件建立含参数的等式后,再分离参数求其值域；另一是正确列出含参数的不等式,进而求之.其列不等式的思路有：①运用判别式或；②点在圆锥曲线内部(一侧)或外部(另一侧)；③利用圆锥曲线的几何意义(如椭圆中等)；④根据三角形两边之和大于第三边(注意三点共线的情况).⑹解有关圆锥曲线与向量结合的问题时,通性通法是向量坐标化,将一几何问题变成纯代数问题.⑺探索性问题是将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,它要求学生具有观察分析问题的能力、具有创造性地运用所学知识和方法解决问题的能力以及探索精神.解题思路往往是先假设满足题意,即从承认结论、变结论为条件出发,然后通过归纳,逐步探索待求结论.习题6-2.已知椭圆中心在原点,左、右焦点、在轴上,、是椭圆的长、短轴端点,是椭圆上一点,且轴,,则此椭圆的离心率是( ).A. B. C. D.2.过抛物线的焦点F 作直线，交抛物线于A 、B 两点，交其准线于C 点，若，则直线的斜率为___________．.已知定点,,定直线：,不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍.设点的轨迹为,过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、. ⑴求的方程；⑵试判断以线段为直径的圆是否过点,并说明理由..如图,已知直线：与抛物线：交于、两点,为坐标原点,. ⑴求直线和抛物线的方程；⑵若抛物线上一动点从到运动时,求面积的最大值.【答案】变式与引申 1. C提示：如图6-2-1,点到轴的距离比到准线的距离(即)少,∴ .而点在抛物线外,∴的最小值为. 2.提示：由椭圆定义知22||||||48AF AB BF a ++==,又，∴,. 3. 解法一：①当焦点在轴上时,设椭圆的标准方程为,依题意有2222222(3)(2)(23)111a ba b --⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得. ②当焦点在轴上时,同理解得,,不合,舍去. 综上所求椭圆的方程为.解法二：设所求椭圆方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠.依题意有,解得11515m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故所求椭圆的方程为.4. 解法一：设,,代入椭圆方程得,,相减得121212()()()0x x n y y y y -++-=.∵,,∴.由,得.∴,.又21|||AB x x =-=∴.将代入,解得,∴.故椭圆方程为. 解法二：由,得.设,,则,.∴||AB ===,∴. ①设,则,,∴,代入①,得,. 故椭圆方程为.5. 解：(Ⅰ)过点斜率为的直线为, 将代入方程， 得. ① 设,,则有,.∵线段的中点在直线上,∴,即,得(此时①式的判别式大于零). (Ⅱ)由,得,即. 由②,得.∵,,∴③ 由①、③得,易知,∴,. ∴,又,∴,即,得,解得或,故的取值范围是[3[2-++U . 6. 解：⑴由题意,直线的方程为.设点,,由,得 ,则,,∴1212||||S ON x x =⋅-===⑵设点,则.由、、三点共线得.由得点到轴距离与到直线：距离相等,即,∴222222000002x m x x m y mx y +=++, .把,代入,得0002240002224422242px x px x x x p x p x pp⋅⋅--=⋅+,即,∴,解得.故存在常数,总有.习题6-2 . B.提示：设椭圆的方程为,则,,,.由 轴,,得,∴,即,解得,∴,故椭圆的离心率.选B. 2.提示：过点B 向准线作垂线,垂足为M ，可知，所以直线的斜率为 . 解：⑴设,则,化简得.⑵①当直线与轴不垂直时,设的方程为,与双曲线联立消去 得2222(3)4(43)0k x k x k -+-+=.由题意知且.设,,则, ,222222222121212124389333(2)(2)[2()4](4)k kkk k k y y k x x k x x x x k +----=--=-++=-+=.∵,,∴的方程为,∴点的坐标为,,同理可得,因此221222122228134343393922(1)(1)44(1)()0k k k kk k y y x x FM FN --+--++++⋅=-+=+=u u u u r u u u r .②当直线与轴垂直时,其方程为,则,,的方程为,∴点的坐标为,,同理可得,因此2333222()()0FM FN ⋅=-+⨯-=u u u u r u u u r .综上,即,故以线段为直径的圆经过点. .解：⑴由,得.设,,则,21212()424y y k x x pk +=+-=--.∵21212(,)(2,24)(4,12)OA OB x x y y pk pk +=++=---=--u u u r u u u r,∴,解得,故直线的方程为,抛物线的方程.⑵解法一：由,得,∴||AB .设212(,)(22P t t t ---<-+,∵为定值,∴当点到直线的距离最大时,的面积最大.而22(11|22||2)4|22t t t d+-+-==又,∴当时, .∴当点坐标为时,面积的最大值为.解法二：设,依题意,抛物线在点处的切线与平行时,的面积最大.∵,∴,,.此时点到直线的距离|2(2)(2)2|45d ⋅----===.由,得,∴||AB , 故面积的最大值为.。
高考数学专题精讲之解析几何内容剖析及备考建议
高考数学专题精讲之解析几何内容剖析及备考建议解析几何是高中数学的重要内容。
高考主要考查直线与圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质。
其中直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是考查重点。
运动与变化是研究几何问题的基本观点，利用代数方法研究几何问题是基本方法。
试题强调综合性，综合考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等思想方法，突出考查考生推理论证能力和运算求解能力。
一、直线与方程1．在平面直角坐标系下，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2. 理解直线的倾斜角概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．能根据两条直线的斜率判断两条直线平行或垂直．4．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式、一般式），了解斜截式与一次函数的关系．5．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．6．掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．二、圆的方程1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判定圆与圆的位置关系．3．能用直线与圆的方程解决一些简单的问题。
4 ．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
三、空间直角坐标系1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。
2．会简单应用空间两点间的距离公式。
四、圆锥曲线（理科）1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．4．了解曲线与方程的对应关系。
5．理解数形结合思想。
了解圆锥曲线的简单应用。
四、圆锥曲线（文科）1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．3．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率）．4．理解数形结合思想。
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高考数学精英备考专题讲座第六讲解析几何第四节解析几何的综合应用文解析几何是历年高考的热点，每年高考卷上选择题、填空题、解答题都会出现，基本呈现稳定的态势，而且解答题难度较大，综合性强，且经常以压轴题的形式出现，入手容易但计算量大，又与其他知识综合命题，所以成了大部分学生在高考中的心理障碍，是解题时的“鸡肋”、复习时如何突破这块知识点，是我们亟待解决的问题、难度值跨度比较大，在0、3～0、8之间、考试要求（1）了解直线、曲线的实际背景；（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其几何性质；（4）了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道其几何性质；（5）了解圆锥曲线的简单应用；（6）掌握数形结合、等价转化的思想方法、题型一有关圆知识点的应用例1、在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为（1）求实数的取值范围；（2）求圆的方程；（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论、点拨：根据二次函数图象的特点：开口向上，与轴交点为可以得出b的范围、又由圆是过抛物线与坐标轴三交点的圆和圆的一般方程的特点，可以用来表示圆的一般方程、再由方程的解和曲线方程的定义可以假设圆要过点且不依赖，将该点坐标代入圆的方程中，整理变形，再观察验证圆是否过定点、解：（1）令，得抛物线与轴交点是，令，由题意且，解得且、（2）设所求圆的一般方程为，令得，它与是同一个方程，故，F=b，令得，此方程有一个根为，代入得所以圆的方程为、（3）圆过定点、证明如下：假设圆过定点(不依赖于)将该点的坐标代入圆的方程,并变形为，为使式对所有满足的都成立，必须有，结合式解得或经检验知点均在圆上，因此圆过定点、、易错：（1）中学生很有可能直接解得而没；（2）中没有意识到令，与是同一个方程没解出，；（3）对方程不知道怎么下手，从而得不出、变式与引申1、已知以点为圆心的圆与轴交于点、与轴交于点、，其中为原点、（1）证明：的面积为定值；（2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程、题型二圆锥曲线的定义及应用例2 ：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（）、（A）（B）（C）（D）点拨：利用双曲线的定义及直角三角形面积的两种表示形式，建立方程组再求解、解：连AF1，则△AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为2c、令由直角三角形性质知：，∴、∵ ，∴，∴ 、∵e﹥1，∴取、故选D、注：本题若求出点A的坐标，再代入双曲线方程也可求出、易错点：（1）正确应用相应曲线的定义至关重要，否则解题思路受阻、（2）由直角三角形面积的两种表示形式得出关系式是值得注意的问题、变式与引申2、双曲线=1(b∈)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5，|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________、题型三圆锥曲线的几何性质图例3、如图所示，从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴端点的连线（1）、求椭圆的离心率；（2）、设是椭圆上任意一点，是右焦点，是左焦点，求的取值范围；（3）、设是椭圆上任意一点，当时，延长与椭圆交于一点P，若的面积为，求此时椭圆的方程、点拨：从着手，寻找、的关系，最后求得离心率；在焦点三角形中，用余弦定理，求得的范围，从而求得的范围；则与椭圆相交，求得弦的长和点到的距离，由的条件求得椭圆方程中的、，从而求得方程、解：（1）轴代入椭圆方程得，、又且，，故从而当且仅当时，上式成立、故、（3）设椭圆方程为直线的方程为代入椭圆方程，得、又点到的距离由得故、所求椭圆方程为、（注：此问亦可用求得）点评：本例中第（1）问是课本题，第（2）（3）问是该题的引申，像这种源与课本，又有拓宽引申的题常常是高考试题的来源之一，应引起大家的重视，注意掌握好这一类问题、变式与引申3、已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为（）A、B、1C、2D、4题型四直线与圆锥曲线的关系【例4】设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若|OF|=a，|PQ|=b，求△OPQ的面积、点拨：结合抛物线方程的特点，可设方程为y2=4ax（a>0），F（a，0），再运用抛物线的定义，找出、两点横坐标、关系，最后设过方程的直线为（还要注意斜率存在与否的讨论）由求解即可、解：如图8所示，由题意知抛物线的方程为，F设，由抛物线的定义知：所以由故设过F的弦的斜率为k，则其方程为将其与抛物线方程联立知：ky2－4ay－4a2k=0 若斜率不存在，则其两个交点为（a，2a）与（a，－2a），同样有那么因此：易错：（1）不会使用焦半径公式而导致运算复杂；（2）直接设过F的弦的斜率为k，则其方程为后面没有对斜率k是否存在进行讨论、变式与引申4、（xx年高考四川卷文）过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q、（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值、本节主要考察：（1）基础知识有圆锥曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质、以及这些知识的综合应用、（2）基本方法有求圆锥曲线的定义法、待定系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和“几何问题代数化”等解析几何的基本方法、（3）基本思想有数形结合思想、方程思想、等价转化思想等、（4）基本能力有逻辑推理能力、运算求解能力、探究创新能力，并尝试考察解决实际问题的能力、点评：（1）圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，同时又是热点和压轴点之一，主要考察圆锥曲线的定义与性质，求圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，以圆锥曲线为载体的探索性问题等、（2）恰当利用圆锥曲线的定义和几何特征，运用数形结合思想，可避免繁琐的推理和运算、（3）求圆锥曲线主要方法有定义法、待定系数法、相关点法，另外还有直接法、参数法等、（4）圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径、焦点三角形、通径等都是高考命题点，它们源于课本，高于课本，应引起重视，注意掌握这类问题的求解方法与策略、如求离心率的大小或范围，只需列出关于基本量a、b、c 的一个关系式即可、（5）求参数的最值或范围问题是圆锥曲线的一种常见问题，主要方法一是根据条件建立含参数的等式，再分离参数求其值域；另一是列出含参数的不等式，进而求之、列不等式的思路有①运用判别式△>0或；②点在圆锥曲线的内部或外部；③利用圆锥曲线的几何意义（如椭圆中-a≤x≤a）；④根据三角形两边之和大于第三边（注意共线情况）等、（6）充分利用向量的工具作用，运用坐标法，把几何问题变为纯代数问题，体现解析几何的基本思想方法、（7）运用韦达定理的解题方法是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的核心方法，其解题步骤是“设”（点的坐标，直线、曲线方程）、“联”（联立方程组）、“消”（消去一元，得到一元二次方程）、“用”（运用韦达定理、中点坐标公式、弦长公式等）、“判”（运用判别式检验、求参数的值或缩小参数的取值范围）、（8）关注解析几何中的探究创新问题，解题思路往往是先假设满足题意，即从承认结论、变结论为条件出发，然后通过归纳，逐步探索待求结论、（9）适当关注解析几何应用题，它体现圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用、标准卷更重视应用意识的考查、（10）由于对双曲线的要求明显降低，以它作为载体的解析几何大题的可能性已减少，所以解析几何大题的最大可能素材是用坐标法解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题、练习6-41、已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点、若，则椭圆的离心率是（）A、B、C、D、2、斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为（）A、B、C、D、3、设抛物线的焦点为，点、若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________、4、已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：32404（Ⅰ）求的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由、5、已知椭圆的右焦点为，离心率为（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于A，B两点，若，求的取值范围。
【答案】变式与引申圆与直线不相交，不符合题意舍去，圆的方程为、2、1提示：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1||PF2|,依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4, 依已知条件有|PF1||PF2|=|F1F2|2=4c2∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1、3、 C提示：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0）所以4、解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为、椭圆的右焦点为，此时直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，代入直线的方程得，所以，故、（Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符、设直线的方程为、代入椭圆方程得、解得，代入直线的方程得，所以D点的坐标为、又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得因此，又、所以、故为定值、习题6-41、D提示：对于椭圆，因为，则2、C提示：设直线的方程为，则弦长、3、提示：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为，B点坐标为（）所以点B 到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题、（Ⅱ）方法一：假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为，由消去，得∴ ① ② 由，即，得将①②代入（*）式，得，解得所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或、方法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为，由消掉，得，于是，①即②由，即，得将①、②代入（*）式，得，解得；所以存在直线满足条件，且的方程为：或、整理得，因为，所以，所以，即高考资源网(www、ks5uZZZ)www、ks5uZZZ来源：高考资源网。