中考重难点攻关——二次函数综合题型解析

中考重难点攻关——二次函数综合题型解析

二次函数是初中代数综合性最强的知识，在不同地区、不同版本的中考试题中经常做为压轴题出现，足见其重要性。函数思想和解题方法原理不仅仅局限于初中学习，在高中、大学及以后的生活、工作中都有广泛的用途。在中考前的复习中掌握好二次函数的综合题解题方法，将大大提高中考成绩。

现举一例：

【四川省内江市2019中考试题加试卷压轴题】

已知抛物线C 1：16321--=x x y 与C 2：n mx x y +-=22的顶点相同.

(1)求抛物线C 2的解析式；

(2)点A 是抛物线C 2在第四象限内的一动点，过点A 作AP ⊥x 轴，P 为垂足，求AP+OP 的最大值；

(3)设抛物线C 2的顶点为点C ，点B 的坐标为(-1，-4).问在C 2的对称轴上是否存在点Q ，使线段QB 绕点Q 顺时针旋转90°得到线段QB ’，且点B ’恰好落在抛物线C 2上？若存在，求出

点Q 的坐标，若不存在，请说明理由。

难度：★★★★ 考点：函数综合应用

解析：(1)∵抛物线C 1：16321--=x x y 的顶点为(1，-4)，

又抛物线C 1与C 2：n mx x y +-=22的顶点相同， ∴12

=--

m

，解得m =2，进而解得n =-3， ∴抛物线C 2的解析式是322

2--=x x y .

(2)抛物线C 2：3222--=x x y 与x 轴交于点(-1，0)和

设点A 的坐标为(a ，a 2-2a -3)(0＜a ＜3)，则点P 坐标为(a ，0)，

∴AP+OP=|a 2-2a -3|+a=-a 2+3a +3=4

21

)23(2+--a

∴当23=a 时，AP+OP 取得最大值，为4

21

.

(3)连结BC.抛物线C 2的对称轴为直线l ：x =1

∵点B 的坐标为(-1，-4)，点C 的坐标为(1，-4)， ∴BC=2，BC ⊥直线l.

假设在抛物线C 2上存在满足条件的点B ’，过点B ’作B ’G ⊥直线l 于点G ， 则有△BCQ ≌△QGB ’，进而有BC=QG=2，CQ=GB ’. 设点Q 的坐标为(1，q )，点B ’的坐标为(x ，x 2-2x -3)， 则QG=x 2-2x -3-q =2，CQ=|-4-q|，GB ’=|x -1|

联立⎩⎨⎧+=----412322q x q=x x ，整理得q 2+7q +10=0，解得q =-2或-5

∴满足要求的点Q 的坐标为(1，-2)或(1，-5).

题型一：二次函数中的最值问题

例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A (-2,-4)，O (0,0)，B (2,0)三点． (1)求抛物线y=ax 2+bx+c 的解析式；

(2)若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM 的最小值． 解：(1)把A (-2,-4)，O (0,0)，B (2,0)三点的坐标

代入y=ax 2+bx+c 中，得

⎪⎩⎪

⎨⎧==++-=+-0

0244

24c c b a c b a

解这个方程组，得a =21-，b =1，c =0

所以解析式为x x y +-=22

1

．

(2)由2

1

)1(212122+--=+-=x x x y ，可得抛物线的对称轴为x =1，

并且对称轴垂直平分线段OB

∴OM=BM ∴OM+AM=BM+AM

连接AB ，交直线x =1于M 点，则此时OM+AM 最小， 过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，

在Rt △ABN 中，AB 24442222=+=+=BN AN ，因此OM+AM 最小值为24. 方法提炼：已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点A 、B ，求AM+BM 最小值的问题，只需做出点A 关于这条直线的对称点A’，将点B 与A’连接起来交直线与点M ，那么A’B 就是AM+BM 的最小值。同理，也可以做出点B 关于这条直线的对称点B’，将点A 与B’连接起来交直线与点M ，那么AB’就是AM+BM 的最小值。应用的原理是：两点之间线段最短。 例2：已知抛物线C 1的函数解析式为23(0)y ax bx a b =+-<，若抛物线C 1经过点(0,3)-，方程230ax bx a +-=的两根为1x ，2x ，且124x x -=。 (1)求抛物线C 1的顶点坐标. (2)已知实数0x >，请证明：1x x +

≥2，并说明x 为何值时才会有1

2x x

+=. (3)若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C 2，设1(,)A m y ，

2(,)B n y 是C 2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m ＞0，n ＜0，.请你用含有m 的表达式表示出

△AOB 的面积S ，并求出S 的最小值及S 取最小值时一次函数OA 的函数解析式。 解：(1)∵抛物线过点(0,3)-， ∴-3a ＝-3 ∴a ＝1 ∴y=x 2+bx -3 ∵x 2+bx -3=0的两根为x 1，x 2且21x x -＝4

∴44)(2122121=++=-x x x x x x 且b ＜0 ∴b ＝-2 ∴y=x 2-2x -3=(x -1)2-4 ∴抛物线C 1的顶点坐标为(1，-4) (2)∵x ＞0，∴2)1(21x

x x x -=-+

≥0 M

∴x

x 1

+

≥0，显然当x ＝1时，才有,21=+x x

(3)方法一：由平移知识易得C 2的解析式为：y ＝x 2 ∴A (m ，m ２)，B （n ，n ２）

∵△AOB 为直角三角形，∴OA ２+OB ２=AB ２

∴m ２＋m ４＋n ２＋n ４＝(m －n )２＋(m ２－n ２)２ 化简得：m n ＝-1

∵42422

1

21n n m m OB OA S AOB +⋅+=⋅=∆ 又∵m n ＝-1

∴22221221221m

m n m S AOB ++=++=

∆ ＝

122

1

121)1(212=⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+m m m m ∴S △AOB 的最小值为1，此时m ＝1, A (1，1)

∴直线OA 的一次函数解析式为y ＝x

方法提炼：①已知一元二次方程两个根x 1，x 2求21x x -。因为21x x -=212214x x )x (x -+

可得到：根公式根据一元二次方程的求;24;242221a

ac

b b x a a

c b b x -+-=-+-=

.;2121a c

x x a b x x =-=+②，取得最小值。

时，当211);(,21=+=>≥+m

m m o m m m 例3：如图，已知抛物线经过点A (-1，0)、B (3，0)、C (0，3)三点．

(1)求抛物线的解析式．

(2)点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN ∥y 轴 交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m 的代数式表示 MN 的长．

(3)在(2)的条件下，连接NB 、NC ，是否存在m ，使△BNC 的面积 最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由． 解：(1)设抛物线的解析式为：y=a (x +1)(x -3)，则：

a (0+1)(0-3)=3，a =-1；

∴抛物线的解析式：y =-(x +1)(x -3)=-x 2+2x +3． (2)设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则有：

⎩⎨

⎧==+303b b k ，解得⎩

⎨⎧=-=31

b k ； 故直线BC 的解析式：y =-x +3．

∵点M 的横坐标为m ，∴M (m ，-m +3)、N (m ，-m 2+2m +3)； ∴故MN =-m 2+2m +3-(-m +3)=-m 2+3m (0＜m ＜3)．

(3)如图.∵S △BNC =S △MNC +S △MNB =OB MN DB OD MN ⋅=+2

1

)(21，

∴S △BNC =827

)23(233)3(2122+--=⨯+-m m m （0＜m ＜3）；

∴当m =23时，△BNC 的面积最大，最大值为8

27

．