二次函数最值问题 优秀教学设计(教案)
中学数学二次函数的最值求解方法解析教案
中学数学二次函数的最值求解方法解析教案一、引言二次函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域有着广泛的应用。
其中，求解二次函数的最值是一项重要且常见的问题。
本教案将介绍两种常用的方法来求解二次函数的最值，帮助学生更好地理解和掌握相关概念与技巧。
二、方法一：配方法求解二次函数的最值1. 通过配方法将二次函数化为完全平方形式。
(1) 首先，对二次函数进行配方，将其化为完全平方形式。
例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过加减常数项的方法将b项配方，得到f(x) = a(x + p)^2 + q，其中p为常数，q为待定常数。
(2) 根据完全平方公式，利用配方结果与一次项系数的关系，可以求得二次函数的最值。
例如，对于函数f(x) = a(x + p)^2 + q，最值点的x坐标为-x=p，最值点的y坐标为q。
2. 通过配方法解题示例举例说明配方法求解二次函数最值的步骤：(1) 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 5，我们可以使用配方法求其最值。
(2) 首先，将f(x)化为完全平方形式：f(x) = (x - 3)^2 - 4。
(3) 根据完全平方公式，得知最值点的x坐标为3，最值点的y坐标为-4。
(4) 因此，函数f(x)的最值为f(3) = -4。
三、方法二：导数法求解二次函数的最值1. 通过导数的性质求解二次函数的最值。
(1) 导数为零的点可以是函数的最值点。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其导数f'(x) = 2ax + b，可以求出导数为零时的x值，即x = -b/2a。
(2) 二次函数的凹凸性与最值点的关系。
当二次函数的二次项系数a大于零时，函数开口向上，最值为最小值；当a小于零时，函数开口向下，最值为最大值。
2. 通过导数法解题示例以函数f(x) = 2x^2 - 8x + 3为例，使用导数法求解其最值：(1) 首先，求出导函数f'(x) = 4x - 8。
高中数学教学备课教案二次函数的应用函数的最值问题
高中数学教学备课教案二次函数的应用函数的最值问题高中数学教学备课教案二次函数的应用——函数的最值问题一、教学目标1. 理解二次函数的最值问题，包括最大值和最小值的定义及求解方法。
2. 能够利用二次函数的最值问题解决实际生活中的应用问题。
3. 掌握相关的解题技巧和方法。
4. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重难点1. 理解最值问题的定义和求解方法。
2. 应用最值问题解决实际问题的能力。
三、教学过程导入：通过与学生的互动讨论，引出最值问题的概念。
1. 什么是最值问题？最大值和最小值有何不同？2. 举例说明最值问题在日常生活中的应用场景。
讲解一：最值问题的基本思路与方法1. 对于一元二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，求最大值或最小值的过程。
2. 最值问题的关键在于找到临界点，即导数为0的点，进而求得函数的最值。
3. 通过二次函数的图像，直观地理解最值的求解过程。
演示一：求解一元二次函数的最值1. 设一个具体的一元二次函数，如 f(x) = x^2 - 4x + 3。
2. 计算导数 f'(x) = 2x - 4，并令其等于0，解方程得到临界点 x = 2。
3. 讨论 x 的取值范围及对应的函数值，确定最大值和最小值。
讲解二：应用二次函数最值解决实际问题1. 通过具体例子，介绍如何将实际问题转化为数学问题，利用最值问题求解。
（例子1：某汽车行驶问题；例子2：抛物线的喷水问题）2. 强调建立数学模型的重要性，培养学生的数学建模能力。
演示二：解决实际问题的步骤及方法1. 选择合适的变量与函数模型。
2. 建立函数模型并确定函数的最值。
3. 根据实际问题的限制条件，确定变量的取值范围。
4. 求解最值并给出合理的解释。
讲解三：其他相关问题的讨论1. 当函数的定义域为有限区间时，如何确定最值？2. 如何处理一元二次函数的最值问题时出现的特殊情况？演示三：解决其他相关问题的方法1. 分析问题，考虑定义域的限制及函数图像的特点。
九年级数学“二次函数的最值问题”教学设计
=-20 +100x+6000
自变量x的取值范围：
0≤x≤20
当x=2.5时，y的最大值为6125
由学生分析得出：
应对市场作全面调查，有降价的情况，那么涨价的情况呢？
设每件涨价x元，每星期售出的商品的利润y随x的变化：
y=（60+x－40）（300－10x）
=-10 +100x+6000
在活动中，教师应重点关注：
（1）学生是否发现两变量；（2）学生是否发现矩形的长的取值范围；
通过矩形面积的探究，激发学生的学习欲望．
[活动2]
你能找到篱笆围成的矩形的最大面积吗？
教师引导学生分析与矩形面积有关的量．
教师深入小组参与讨论．
在活动中，教师应重点关注：
（1）学生是否能准确的建立函数关系；
（2）学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积；
本问题是一道较复杂的市场营销问题，不能直接建立函数模型，培养学生分类讨论的数学思想方法．
通过本问题的设计，让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的，培养学生考虑问题的完善性．
[活动5]
1．归纳、小结．
2．作业：
教科书习题26.1第9、10题．
引导学生回顾本节课利用二次函数的最大值解决实际问题的过程．
九年级数学“二次函数的最值问题”教学设计
教学任务分析
教
学
目
标
知识目标
通过探究实际问题与二次函数关系，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法．
能力目标
1．通过研究生活中实际问题，让学生体会建立数学建模的思想．2．通过学习和探究“矩形面积”“销售利润”问题，渗透转化及分类的数学思想方法．3．通过研究生活中实际问题，体会数学知识的现实意义，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题．
二次函数最值问题教学设计
二次函数最值问题教学设计学习目标：1. 学习二次函数的定义和特性；2. 理解二次函数最值问题的概念；3. 掌握计算二次函数最值的方法；4. 运用二次函数最值解决实际问题。
教学设计：引入部分：1. 利用一个简单的例子引入二次函数的概念，比如：一个抛物线的形状。
2. 引导学生讨论抛物线的特点，比如：顶点、开口方向等。
实际问题部分：3. 呈现一个实际问题，比如：某公司的销售额在一定时间内变化的情况。
给出某段时间内销售额的二次函数表达式。
4. 引导学生分析问题，找到函数的最值对应的实际情况，比如：销售额的最大值对应最大的营业额等。
计算方法部分：5. 教授计算二次函数最值的方法：a. 找到二次函数的对称轴，也就是顶点的横坐标，记作p；b. 将p代入二次函数，得到对应的纵坐标q；c. 判断是最大值还是最小值，可以通过二次函数的开口方向来确定，如果是上凹则有最小值，如果是下凹则有最大值。
练习部分：6. 给学生提供练习题，让他们通过计算找出二次函数的最值。
比如：已知二次函数f(x)=2x^2-4x+1，求函数的最值。
实际问题应用部分：7. 再次呈现一个实际问题，让学生运用二次函数最值的方法来解决问题，比如：某游乐场的过山车最高点的高度。
小结部分：8. 总结二次函数最值的概念和计算方法。
示范部分：9. 利用一个实际问题，再次演示计算二次函数最值的过程。
拓展部分：10. 提出拓展问题，让学生思考其他类型的最值问题，如绝对值函数的最值等。
评估部分：11. 针对学生的表现和理解程度进行评估，例如，给学生几个二次函数，让他们计算最值。
讨论互动：12. 组织学生分享彼此计算二次函数最值的方法和答案，共同讨论、解决问题的过程和思路。
注意事项：1. 在讲解计算方法时要详细解释每一步的原理；2. 引入的例子和实际问题要尽可能贴近学生的实际生活；3. 激发学生的思考和讨论，让他们积极参与到教学活动中来。
4. 尽量提供多样化的练习和问题，以满足不同层次的学生需求。
闭区间上二次函数的最值问题(教案)
闭区间上二次函数的最值问题一、 教材分析1、教学背景二次函数是重要的初等函数之一，很多问题都要化归为二次函数来处理。
二次函数又与一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系，因此必须熟练掌握它的性质，并能灵活地运用它的性质去解决实际问题。
二次函数在高考中占有重要的地位，而二次函数在闭区间上的最值在各个方面都有重要的应用，主要考察我们分类讨论和数形结合思想。
这节课我们主要学会应用二次函数的图像和性质求二次函数在闭区间上的最值。
影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
2、学情分析从心理特征来说，高三学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
但同时，作为普通高中美术班的学生，学生层次参次不齐，个体差异比较明显。
大部分学生接受能力较慢、注意力容易分散，学习数学的自信心和兴趣不够，所以在教学一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，提高学生自信心。
从认知状况来说，学生在此之前已经复习了函数定义域、值域以及单调性，对二次函数的开口、对称轴已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于闭区间上“动对称轴和动区间”的二次函数最值，由于其抽象程度较高，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。
3、教学重难点重点：轴定区间定的闭区间上二次函数最值问题，轴变区间定的闭区间上二次函数最值，轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题难点：轴变区间定的闭区间上二次函数最值，轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题二、 教学目标分析1. 会结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解一元二次函数的最值问题，提高学生的综合能力，培养学生良好的思维习惯，加深对数形结合、分类讨论等数学思想的认识。
二次函数的最值教案
二次函数的最值教案【教学内容分析】在解决二次函数最值问题时，学生要先知道二次函数的图象是一个抛物线。
通过观察，可以发现二次函数图象的开口向上还是向下、顶点的坐标的位置与二次函数的系数之间存在一定的关系。
对于开口向上的二次函数，其顶点是图象的最小值点；对于开口向下的二次函数，其顶点是图象的最大值点。
因此，要想求二次函数的最值，就需要找到二次函数的顶点。
二次函数最值问题是二次函数教学中的难点和重点之一，教师要灵活运用多种方法进行指导，从图象、公式和实际问题三个层面全面分析解决问题的途径。
【教学目标】1.知识与技能：通过本课学习，学生将掌握求解二次函数最值问题的方法，并且能够运用所学知识解决相关实际问题。
2.过程与方法：培养学生分析问题、提炼问题和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们在解决实际问题时运用数学方法的能力。
【教学重难点】重点：二次函数最值问题的解法。
难点：如何将实际问题转化成数学问题，并解决对应的二次函数最值问题。
【教学方法】以问题为导向的教学方法、探究式学习方法、讲授与讨论相结合的教学方法。
【教学准备】教师准备：教案、PPT、黑板、彩色粉笔等。
学生准备：课本、笔记本、作业本等。
【教学过程】Step 1 导入新课教师提问：你学过的二次函数有什么特点？学生回答后，教师出示一道二次函数的题目：求函数y=3x^2-2x+1的最小值或最大值。
思考讨论几分钟，引导学生注意二次函数的图象和顶点与最值之间的关系。
Step 2 理解二次函数的最值1.教师通过PPT呈现二次函数图象，并引导学生观察抛物线的开口方向和顶点位置。
2.教师解释开口向上的二次函数顶点是图象的最小值点，开口向下的二次函数顶点是图象的最大值点。
并出示几个开口向上和开口向下的二次函数图象，让学生观察并总结。
Step 3 寻找二次函数的最值1.教师通过示例问题引导学生寻找二次函数最值的方法。
例如：求函数y=2x^2-4x+3的最小值或最大值。
二次函数的最值问题 教案
二次函数的最值问题教案教案目录：I. 教学目标II. 教学过程A. 导入与扩展（约5分钟）B. 理论讲解与示范（约15分钟）1. 二次函数及其图像特征2. 最值问题的概念和求解方法C. 练习与巩固（约20分钟）1. 练习题示例解析2. 学生自主练习D. 拓展与应用（约15分钟）1. 实际问题应用示例2. 提出相关拓展问题E. 总结与评价（约5分钟）III. 教学延伸IV. 教学评价V. 参考资料I. 教学目标本教案旨在帮助学生理解二次函数的最值问题，掌握求解最大值和最小值的方法，并能将其应用到实际问题中。
II. 教学过程A. 导入与扩展在导入部分，教师可以通过一个简单的问题或实例引起学生对二次函数的兴趣，并与他们分享相关的实际应用领域，如物理学中的抛物线运动等。
B. 理论讲解与示范1. 二次函数及其图像特征- 介绍二次函数的标准形式：y = ax^2 + bx + c，并解释各项的含义。
- 讲解二次函数图像的性质：开口方向、顶点、对称轴等。
使用图像示例进行说明。
2. 最值问题的概念和求解方法- 说明最值问题是指在一定条件下，找出二次函数的最大值或最小值。
- 分别介绍求最大值和最小值的方法：- 最大值：判断二次函数的开口方向，如果是向下的，则最大值为顶点的纵坐标；如果是向上的，则最大值为无穷。
- 最小值：判断二次函数的开口方向，如果是向上的，则最小值为顶点的纵坐标；如果是向下的，则最小值为无穷。
C. 练习与巩固1. 练习题示例解析- 指导学生通过解析一些具体的练习题来加深他们对最值问题的理解。
- 解答中要注重引导学生观察二次函数的图像、判断开口方向，并运用求最值的方法进行解答。
2. 学生自主练习- 要求学生独立解决一定数量的练习题，以巩固所学知识。
- 鼓励学生思考如何将问题转化为二次函数，并运用最值求解方法。
D. 拓展与应用1. 实际问题应用示例- 提供一些与日常生活或实际应用相关的问题，如最高飞行物体的模型、成本与利润的优化等。
《二次函数最值问题》教学设计
《二次函数最值问题》教学设计一、教材分析本节课是在学习了二次函数的概念、图像及性质后，对二次函数性质的应用课。
主要内容包括：运用二次函数的最大值解决最大面积的问题，让学生体会抛物线的顶点就是二次函数图象的最高点(最低点)，因此，可利用顶点坐标求实际问题中的最大值(或最小值).在最大利润这个问题中，应用顶点坐标求最大利润，是较难的实际问题。
本节课的设计是从生活实例入手，让学生体会在解决问题的过程中获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。
按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：1、知识与技能通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法。
2、过程与方法通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。
进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。
渗透转化及分类的数学思想方法。
3、情感态度价值观(1)通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。
(2)在知识教学中体会数学知识的应用价值。
本节课的教学重点是探究利用二次函数的最大值(或最小值)解决实际问题的方法，教学难点是如何将实际问题转化为二次函数的问题。
二、学情分析在解决函数的实际问题时，要善于从实际问题的情境中抽象出数学模型，使实际问题转化为数学问题。
通过数学方法解决问题。
学生刚刚学习了二次函数的概念、图象及性质，因此，只要教师能为学生搭建一个有梯次的研究型学习的平台，学生完全有可能由对具体事例的自主分析，建立数学模型，如再经教师巧妙引领，势必会激发学生对学习的兴趣，从而体会学习的快乐。
三、实验研究：作为一线教师，应该灵活地处理和使用教材。
充分发挥教师自己的智慧，把学生置于教学的出发点和核心地位，应学生而动，应情境而变，课堂才能焕发勃勃生机，课堂上才能显现真正的活力。
因此我对教材进行了重新开发，从学生熟悉的生活情境出发，与学生生活背景有密切相关的学习素材来构建学生学习的内容体系。
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二次函数最值重难点设计
尊敬的各位评委老师大家好：
本题出自人教版数学九年级上册第二十二章二次函数中的实际问题与二次函数习题第6题，我将从原题再现，数学地位，目标理念，分析指导，拓展延伸，教学反思这几个流程来完成说题。
首先我们来看下原题：.....
数学地位：
函数与几何综合题能有效的考查学生对学习数学知识的掌握和灵活运用的程度。
在各地的中考数学试题中，有关函数与几何构成的综合题占据相当的比例，分值也很大；进入高中后，二次函数的应用更加广泛，更加灵活，更加突出了其重要性。
这类题型设计优美，新颖独特，活不超纲，充分体现了考查能力和提高素质教育的思想和要求。
目标理念：主要是从考试大纲分析
本题重要考点是相似三角形的应用及二次函数的应用。
直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半及勾股定理是学生熟悉的，相对较易掌握，对于单独求二次函数的最值问题学生大部分也能掌握，有待提高的是知识点之间的联系和从几何问题中整理出二次函数的模型并利用二次函数的知识求最值，以上是学生现有的能力表现。
通过这道题目的讲解，让学生能分析出题目要考查的知识点以及知识点之间的联系，掌握建模思想，并能将这种思想运用到新的题目当中，以实现解题目标。
分析指导：（两种方法）
方法一分析：
首先在Rt △ABC 中利用∠A ＝30°、AB ＝12，求得BC ＝6、AC 的长，然后根据四边形CDEF 是矩形得到EF ∥AC 从而得到△BEF ∽△BAC ，设AE ＝x ，则BE ＝12－x ．利用相似三角形成比例表示出EF 、DE ，然后表示出有关x 的二次函数，然后求二次函数的最值即可． 解：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝12，
∴BC ＝6，AC ＝AB •cos30°＝12×
2
3＝63． ∵四边形CDEF 是矩形，
∴EF ∥AC ．
∴△BEF ∽△BAC ．
∴EF:AC ＝BE:BA ．
设AE ＝x ，则BE ＝12－x ．
EF ＝23（12-x ） 在Rt △ADE 中，DE ＝21AE ＝2
1x ． 矩形CDEF 的面积S ＝DE •EF ＝
21x •23(12−x)＝−43x 2＋33x （0＜x ＜12）． 当x ＝6时，S 有最大值．
∴点E 应选在AB 的中点处．
方法二分析：
本题考查二次函数最小（大）值的求法．思路是：矩形的面积=大三角形的面积-两个小三角形的面积．
指导学生：
本题属于应用迁移层面的题目，所考查的知识能力属高阶思维，这类题对我们的学生来说一般难度较大，难在将几何知识与函数知识结合起来，从几何问题中整理出二次函数的模型并利用二次函数的知识求最值，然而这个要求较高，学生很难把握到位。
根据我做的一个小调查，我们的学生能完全做出的不足20%。
所以要教会学生解此类题的规律是什么，要知道哪些是同类试题，答题时哪些是采分点。
中考是网上阅卷，字迹要工整，美观，干净，尽量减少涂改，养成良好的答题习惯。
拓展延伸：
拓展迁移，解此题的规律迁移，找出同类试题。
拓展一分析：
欲求使长方形面积最大的边长x，先利用长方形的面积=大三角形的面积-两个小三角形的面积表示出函数y，再利用二次函数的性质求出最大值及相应的x的值即可。
拓展二分析：
设矩形DEFG的宽DE=x，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．
点评：本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG的宽表示出长是解题的关键．
教学反思：
方法上：注重学生知识的迁移能力。
效果上：具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华，要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以达到“做一题、通一类、会一片”的教学效果，让学生走出题海战术，真正做到轻负高质，这对激发学生学习的兴趣，培养学生的创造性思维，创新能力，数学素质，都将起作积极的推动作用。
以上是我对这道题的理解分析，请评委指正。