上册切线长定理人教版九年级数学全一册课件
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解：(1)如图，连接OF.根据切线长定理得BE＝BF，CF＝
CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG. ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°.
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(2)由(1)知，∠BOC＝90°.
∵OB＝6 cm，OC＝8 cm， ∴由勾股定理得BC＝ OB2＋OC2＝10 cm， ∴BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝10 cm.
(3)∵OF⊥BC，∴OF＝OBB·COC＝4.8 cm.
小结：两切线的交点与圆心的连线平分两切线的夹角.
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6.【例3】如图，⊙O内切于四边形ABCD，且BC＝10，AD＝
Hale Waihona Puke Baidu
7，则四边形的周长为( B )
A．32
B．34
C．36
D．38
小结：利用切线长定理，结合整 体思想求解.
12.如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AD＝2，BC＝5，则△ABC 的周长为( B ) A．16 B．14 C．12 D．10
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解：(1)∵CA，CE都是⊙O的切线，
∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，
∴△PCD的周长＝PD＋CD＋PC
＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA＋PB＝2PA＝12， ∴PA＝6，即PA的长为6.
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设△ ABC 的内切圆半径为 r， ∵点 M 为△ ABC 的内心，
∴MH＝ME＝MF＝r，∴四边形 AHME 为正方形， ∴AH＝AE＝r，则 CE＝CF＝6－r，BH＝BF＝8－r， 而 BF＋FC＝BC，∴8－r＋6－r＝10，解得 r＝2， ∴MF＝2，CF＝6－2＝4， ∵OC＝5，∴OF＝5－4＝1， 在 Rt△OMF 中，OM＝ MF2＋OF2＝ 22＋12＝ 5.
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9.【例6】如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC 的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于 点F，∠ADF的平分线交AF于点G. (1)求证：DG∥CA； (2)若DE＝4，BE＝5，AD＝6， 求BI的长．
l，S 表示)．
3.如图，⊙O是Rt△ABC中的内切圆，切点分别为D，E， F，且∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，求⊙O的半径．
解：如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，
设⊙O的半径是r cm， ∵⊙O为△ ABC的内切圆，切点是D，E，F，∴OD⊥AB， OE⊥BC，OF⊥AC，OD＝OE＝OF＝r cm，
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7.【例4】如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F， G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm. (1)求∠BOC的度数； (2)求BE＋CG的长； (3)求⊙O的半径．
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2.已知△ABC，用尺规作△ABC的内切圆⊙O.
图略(提示：作∠B和∠C的平分线，它们相交于点O，过点O 作OD⊥BC于D，然后以点O为圆心，OD长为半径作⊙O即
可)
知识点三：三角形的内切圆半径
(1)直角三角形的直角边分别为 a，b，斜边为 c，则内切圆半 a＋b－c
径 r＝ 2 .
2S (2)△ABC 的周长为 l，面积为 S，则内切圆半径 r＝ l (用
小结：求两内(外)角平分线形成的角.
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14.如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的 周长为12，∠APB＝60°. (1)求PA的长； (2)求∠COD的度数．
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∵AC＝6 cm，BC＝8 cm，由勾股定理得AB＝10 cm， 根据三角形的面积公式得S△ ACB＝S△ OAC＋S△ OBC＋S△ OAB， ∴12AC×BC＝21AC×r＋12BC×r＋21AB×r， 即12×6×8＝21×6r＋21×8r＋12×10r，
解得r＝2，即⊙O的半径是2 cm.
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★15.如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分 ∠BAC 交⊙O 于 D，点 M 为△ABC 的内心． (1)求证：BC＝ 2DM； (2)若DM＝5 2，AB＝8，求OM的长．
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(1)证明：如图，连接MC，DC，BD，
∵点M为△ABC的内心， ∴MC平分∠ACB，∴∠ACM＝∠BCM， ∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，
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∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝45°， ∴∠DBC＝∠BCD＝45°， ∴△BDC为等腰直角三角形，∴BC＝ 2DC. 又∵∠DMC＝∠MAC＋∠ACM＝45°＋∠ACM， 而∠DCM＝∠BCD＋∠BCM＝45°＋∠BCM， ∴∠DMC＝∠DCM，∴DC＝DM，∴BC＝ 2DM.
解：如图，设DC与⊙O的切点为E. ∵PA，PB分别是⊙O的切线，且切点为A，B，
∴PA＝PB.同理，可得DE＝DA，CE＝CB.
∴△ PCD的周长＝PD＋DE＋CE＋PC
＝PD＋DA＋PC＋CB＝PA＋PB＝14(cm)， ∴PA＝PB＝7 cm.
5.【例2】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相 切于点D，E，F，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm， 求AF，BD，CE的长．
精典范例
4.【例1】如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，
B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝4，
则△PCD的周长为( C )
A．5
B．7
C．8
D．10
小结：利用切线长定理化曲为直.
变式练习
10.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，并与⊙O的切线DC 分别相交于点D，C.已知△PCD的周长等于14 cm，求PA的 长．
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(2)解：如图，作MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于
H， ∵DM＝5 2，∴BC＝ 2DM＝10， 而AB＝8，∴AC＝ BC2－AB2＝6.
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知识点二：三角形的内切圆及内心 (1)三角形的内切圆：与三角形各边都 相切 的圆． (2)三角形的内心是三角形 内切圆的圆心，是三角形三条
角平分线的交点，到 三边 的距离相等． (3)三角形的内切圆的作法： ①作任意两角的角平分线，交点为圆心； ②过交点作任一边的垂线段，即为圆的半径； ③以交点为圆心，垂线段的长为半径作圆.
(2)∵∠P＝60°，∴∠PCE＋∠PDE＝120°，∴∠ACD＋ ∠CDB＝360°－120°＝240°，∵CA，CE是⊙O的切线， ∴∠OCE＝∠OCA＝12∠ACD，同理∠ODE＝12∠CDB， ∴∠OCE＋∠ODE＝12(∠ACD＋∠CDB)＝120°， ∴∠COD＝180－120°＝60°.
解：∵△ABC的内切圆⊙O与AC，AB，BC分别相切于点D，
E，F， ∴AE＝AD，BE＝BF，CF＝CD， 设AE＝x， 则AD＝x，BE＝AB－AE＝5－x，CD＝AC－AD＝6－x，
∴BF＝5－x，CF＝6－x， ∴5－x＋6－x＝9，解得x＝1， ∴AE＝1，BF＝5－x＝4，CD＝6－x＝5， 即AE，BF，CD的长分别为1,4,5.
第二十四章 圆
第10课时 切线长定理
学习目标
1．清楚认识切线长的概念以及切线长定理． 2．灵活应用切线长定理来解决相关问题． 3．了解内切圆的有关概念.
知识要点
知识点一：切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长相等，这一 点和圆心的连线 平分 两条切线的夹角．
对点训练
1.如图，PA，PB都是⊙O的切线， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝ PB ， ∠APO＝∠ BPO.
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(2)解：∵点I是△ ABC的内心，∴∠5＝∠6， ∵∠4＝∠7＋∠5＝∠3＋∠6， 即∠4＝∠DAI，∴AD＝DI.
∵AD＝6，∴DI＝6，∴BI＝DE＋BE－DI＝4＋5－6＝3.
小结：三角形的内心的综合运用.
13.如图，直尺、三角尺都和⊙O相切，AB＝8 cm，则⊙O的 直径为 16 3 cm .
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8.【例 5】如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，且∠ABC＝60°， ∠ACB＝80°，则∠BOC 的度数为 110° .
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(1)证明：∵点I是△ABC的内心， ∴∠2＝∠7， ∵DG平分∠ADF，∴∠1＝21∠ADF， ∵∠ADF＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥CA.
解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BF＝BD＝y cm， CE＝CD＝z cm.
x＋y＝9
x＝4
根据题意，得y＋z＝14 ，解得y＝5 ，
x＋z＝13
z＝9
即 AF＝4 cm，BD＝5 cm，CE＝9 cm.
小结：利用切线长定理列方程(组)求解.
11.如图，△ABC的内切圆⊙O与AC，AB，BC分别相切于点 D，E，F，且AB＝5，BC＝9，AC＝6，求AE，BF和CD的 长．
CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG. ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°.
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(2)由(1)知，∠BOC＝90°.
∵OB＝6 cm，OC＝8 cm， ∴由勾股定理得BC＝ OB2＋OC2＝10 cm， ∴BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝10 cm.
(3)∵OF⊥BC，∴OF＝OBB·COC＝4.8 cm.
小结：两切线的交点与圆心的连线平分两切线的夹角.
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6.【例3】如图，⊙O内切于四边形ABCD，且BC＝10，AD＝
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7，则四边形的周长为( B )
A．32
B．34
C．36
D．38
小结：利用切线长定理，结合整 体思想求解.
12.如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AD＝2，BC＝5，则△ABC 的周长为( B ) A．16 B．14 C．12 D．10
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解：(1)∵CA，CE都是⊙O的切线，
∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，
∴△PCD的周长＝PD＋CD＋PC
＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA＋PB＝2PA＝12， ∴PA＝6，即PA的长为6.
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设△ ABC 的内切圆半径为 r， ∵点 M 为△ ABC 的内心，
∴MH＝ME＝MF＝r，∴四边形 AHME 为正方形， ∴AH＝AE＝r，则 CE＝CF＝6－r，BH＝BF＝8－r， 而 BF＋FC＝BC，∴8－r＋6－r＝10，解得 r＝2， ∴MF＝2，CF＝6－2＝4， ∵OC＝5，∴OF＝5－4＝1， 在 Rt△OMF 中，OM＝ MF2＋OF2＝ 22＋12＝ 5.
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9.【例6】如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC 的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于 点F，∠ADF的平分线交AF于点G. (1)求证：DG∥CA； (2)若DE＝4，BE＝5，AD＝6， 求BI的长．
l，S 表示)．
3.如图，⊙O是Rt△ABC中的内切圆，切点分别为D，E， F，且∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，求⊙O的半径．
解：如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，
设⊙O的半径是r cm， ∵⊙O为△ ABC的内切圆，切点是D，E，F，∴OD⊥AB， OE⊥BC，OF⊥AC，OD＝OE＝OF＝r cm，
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7.【例4】如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F， G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm. (1)求∠BOC的度数； (2)求BE＋CG的长； (3)求⊙O的半径．
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2.已知△ABC，用尺规作△ABC的内切圆⊙O.
图略(提示：作∠B和∠C的平分线，它们相交于点O，过点O 作OD⊥BC于D，然后以点O为圆心，OD长为半径作⊙O即
可)
知识点三：三角形的内切圆半径
(1)直角三角形的直角边分别为 a，b，斜边为 c，则内切圆半 a＋b－c
径 r＝ 2 .
2S (2)△ABC 的周长为 l，面积为 S，则内切圆半径 r＝ l (用
小结：求两内(外)角平分线形成的角.
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14.如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的 周长为12，∠APB＝60°. (1)求PA的长； (2)求∠COD的度数．
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∵AC＝6 cm，BC＝8 cm，由勾股定理得AB＝10 cm， 根据三角形的面积公式得S△ ACB＝S△ OAC＋S△ OBC＋S△ OAB， ∴12AC×BC＝21AC×r＋12BC×r＋21AB×r， 即12×6×8＝21×6r＋21×8r＋12×10r，
解得r＝2，即⊙O的半径是2 cm.
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★15.如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分 ∠BAC 交⊙O 于 D，点 M 为△ABC 的内心． (1)求证：BC＝ 2DM； (2)若DM＝5 2，AB＝8，求OM的长．
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(1)证明：如图，连接MC，DC，BD，
∵点M为△ABC的内心， ∴MC平分∠ACB，∴∠ACM＝∠BCM， ∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，
上册切线长定理人教版九年级数学全 一册课 件
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∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝45°， ∴∠DBC＝∠BCD＝45°， ∴△BDC为等腰直角三角形，∴BC＝ 2DC. 又∵∠DMC＝∠MAC＋∠ACM＝45°＋∠ACM， 而∠DCM＝∠BCD＋∠BCM＝45°＋∠BCM， ∴∠DMC＝∠DCM，∴DC＝DM，∴BC＝ 2DM.
解：如图，设DC与⊙O的切点为E. ∵PA，PB分别是⊙O的切线，且切点为A，B，
∴PA＝PB.同理，可得DE＝DA，CE＝CB.
∴△ PCD的周长＝PD＋DE＋CE＋PC
＝PD＋DA＋PC＋CB＝PA＋PB＝14(cm)， ∴PA＝PB＝7 cm.
5.【例2】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相 切于点D，E，F，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm， 求AF，BD，CE的长．
精典范例
4.【例1】如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，
B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝4，
则△PCD的周长为( C )
A．5
B．7
C．8
D．10
小结：利用切线长定理化曲为直.
变式练习
10.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，并与⊙O的切线DC 分别相交于点D，C.已知△PCD的周长等于14 cm，求PA的 长．
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(2)解：如图，作MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于
H， ∵DM＝5 2，∴BC＝ 2DM＝10， 而AB＝8，∴AC＝ BC2－AB2＝6.
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知识点二：三角形的内切圆及内心 (1)三角形的内切圆：与三角形各边都 相切 的圆． (2)三角形的内心是三角形 内切圆的圆心，是三角形三条
角平分线的交点，到 三边 的距离相等． (3)三角形的内切圆的作法： ①作任意两角的角平分线，交点为圆心； ②过交点作任一边的垂线段，即为圆的半径； ③以交点为圆心，垂线段的长为半径作圆.
(2)∵∠P＝60°，∴∠PCE＋∠PDE＝120°，∴∠ACD＋ ∠CDB＝360°－120°＝240°，∵CA，CE是⊙O的切线， ∴∠OCE＝∠OCA＝12∠ACD，同理∠ODE＝12∠CDB， ∴∠OCE＋∠ODE＝12(∠ACD＋∠CDB)＝120°， ∴∠COD＝180－120°＝60°.
解：∵△ABC的内切圆⊙O与AC，AB，BC分别相切于点D，
E，F， ∴AE＝AD，BE＝BF，CF＝CD， 设AE＝x， 则AD＝x，BE＝AB－AE＝5－x，CD＝AC－AD＝6－x，
∴BF＝5－x，CF＝6－x， ∴5－x＋6－x＝9，解得x＝1， ∴AE＝1，BF＝5－x＝4，CD＝6－x＝5， 即AE，BF，CD的长分别为1,4,5.
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第10课时 切线长定理
学习目标
1．清楚认识切线长的概念以及切线长定理． 2．灵活应用切线长定理来解决相关问题． 3．了解内切圆的有关概念.
知识要点
知识点一：切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长相等，这一 点和圆心的连线 平分 两条切线的夹角．
对点训练
1.如图，PA，PB都是⊙O的切线， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝ PB ， ∠APO＝∠ BPO.
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(2)解：∵点I是△ ABC的内心，∴∠5＝∠6， ∵∠4＝∠7＋∠5＝∠3＋∠6， 即∠4＝∠DAI，∴AD＝DI.
∵AD＝6，∴DI＝6，∴BI＝DE＋BE－DI＝4＋5－6＝3.
小结：三角形的内心的综合运用.
13.如图，直尺、三角尺都和⊙O相切，AB＝8 cm，则⊙O的 直径为 16 3 cm .
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8.【例 5】如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，且∠ABC＝60°， ∠ACB＝80°，则∠BOC 的度数为 110° .
上册切线长定理人教版九年级数学全 一册课 件
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(1)证明：∵点I是△ABC的内心， ∴∠2＝∠7， ∵DG平分∠ADF，∴∠1＝21∠ADF， ∵∠ADF＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥CA.
解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BF＝BD＝y cm， CE＝CD＝z cm.
x＋y＝9
x＝4
根据题意，得y＋z＝14 ，解得y＝5 ，
x＋z＝13
z＝9
即 AF＝4 cm，BD＝5 cm，CE＝9 cm.
小结：利用切线长定理列方程(组)求解.
11.如图，△ABC的内切圆⊙O与AC，AB，BC分别相切于点 D，E，F，且AB＝5，BC＝9，AC＝6，求AE，BF和CD的 长．