概率论与数理统计统计课后习题答案__主编_程述汉_舒兴明_第五章

第五章习题解答

1. 设随机变量X 的方差为2，则根据车比雪夫不等式有估计

{}()2P X E X -≥≤ 1/2 . {}2

()1()22

2

D X P X

E X -≥≤

=

2. 随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，则根据车比雪夫不等式有估计{}6P X Y +≥≤ 1/12 .

{}{}2

()16()[()()]66

12

D X P X Y P X Y

E X E Y +≥=+-+≥≤

=

3. 电站供应一万户用电．设用电高峰时，每户用电的概率为09，利用中心极限定理，（1）计算同时用电的户数在9030户以上的概率；（2）若每户用电200 w ，电站至少应具有多大发电量才能以095的概率保证供电？ 解：⑴ 设X 表示用电户数，则

~(10000,0.9),10000,0.9,9000,900X B n p np npq ====

由中心定理（定理4）得

{}{}

90301903090009030900019009001(1)10.84130.1587

P X P X X P >=-≤--⎧⎫

=-≤⎨⎬⎩⎭=-Φ=-=

⑵ 设发电量为Y ，依题意 {}2000.95P X Y ≤=

即 900090002000.95900900Y X P ⎧⎫--⎪⎪≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭

9000200()0.95

9009000

200

1.65

9001809900

Y Y

Y -Φ=-≈=

4. 某车间有150台同类型的机器，每台机器出现故障的概率都是002，设各台机器的工作是相互独立的，求机器出现故障的台数不少于2的概率． 解：设X 表示机器出故障的台数，则(150,0.02)X B

{}{}

{}210203

3231 2.94 2.94 2.9410.5832(0.5832)0.7201

P X P X X P P X ≥=-≤<---⎧⎫=-≤<⎨⎬

⎩⎭=-<-=Φ=

5.用一种对某种疾病的治愈率为80%的新药给100个患该病的病人同时服用，求治愈人数不少于90的概率．

解：设X 表示治愈人数，则(100,0.8)X B 其中100,0.8,80,16n p np npq ====

{}8090809016161(2.5)0.0062

X P X P --⎧⎫

≥=≥⎨⎬

⎩

⎭=-Φ=

6. 设某集成电路出厂时一级品率为0.7，装配一台仪器需要100只一级品集成电路，

问购置多少只才能以99.9%的概率保证装该仪器是够用(不能因一级品不够而影响工作)． 解：设购置n 台，其中一级品数为X ，(,0.7)X B n

0.7,0.7,0.21p np n npq n ===

{}0.71000.71000.210.211000.71(

)0.999

0.21X n n P X P n n n

n

--⎧⎫

≥=≥⎨⎬

⎩⎭

-=-Φ=

有

1000.70.309021700.21n

n n

-=-⇒= 7. 分别用切比雪夫不等式与隶美弗—拉普拉斯

中心极限定理确定：当掷一枚硬币时，需要掷多少次，才能保证出现正面的频率在0.4～0.6

之间的概率不小于90%．

解：设投n ，其中正面出现的次数为X ，1(,),2

X B n p p =

⑴由切贝雪夫不等式

20.110.90.1()0.1()

0.1

25X P p n X X X P p P E n n n X D n

n

⎧⎫-><-⎨⎬⎩⎭

⎧⎫⎧⎫->=->⎨⎬⎨⎬

⎩⎭⎩⎭

≤=

只要

2510.9250n n

≤-⇒≥

⑵中心极限定理 {}{}0.10.90.10.9

0.10.10.10.12(

)10.9

0.1 1.6568

X P p n P X np n X np n P X np P npq npq npq n npq

n n npq

⎧⎫-<>⎨⎬⎩⎭-<>⎧⎫-⎪⎪

-<=-<<

⎨⎬⎪⎪⎩

⎭

=Φ->⇒

>⇒≥ 8. 某螺丝钉厂的废品率为0.01，今取500个装成一盒．问废品不超过5个的概率是多少？ 解：设X 表示废品数，则(500,0.01)X B

0.01,5, 4.95p np npq ===

{}05

55505 4.95

4.95 4.95(0)( 2.25)0.4878

X P X P ---⎧⎫≤≤=≤≤⎨⎬

⎩⎭=Φ-Φ-=